2023-2024屆高考數(shù)學(xué)26 建議問題（解析版）

專題26建議問題

例1.從2016年1月1日起，廣東、湖北等18個保監(jiān)局所轄地區(qū)將納入商業(yè)車險改革試點范圍，其中最

大的變化是上一年的出險次數(shù)決定了下一年的保費倍率，具體關(guān)系如下表：

上一年出險次數(shù)012345次以上(含5次)

下一年保費倍率85%100%125%150%175%200%

連續(xù)兩年沒出險打7折，連續(xù)三年沒出險打6折

經(jīng)驗表明新車商業(yè)車險保費與購車價格有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系下面是隨機(jī)采集的8組數(shù)據(jù)(X,V)(其中X(單

位:萬元)表示購車價格,丁(單位：元)表示商業(yè)車險保費)：(8,2150),(11,2400),(18,3140),(25,3750),

(25,4000),(31,4560),(37,5500),(45,6500),已知由這8組數(shù)據(jù)得到的回歸直線方程為y=bx+1055.

(1)求〃的值；

(2)廣東李先生2017年1月購買了一輛價值20萬元的新車，

①估計李先生購車時的商業(yè)車險保費；

②若該車2017年3月已出過一次險，5月又被刮花了，李先生到汽車維修4S店詢價，預(yù)計修車費用為500

元，理賠專員建議李先生自費維修(即不出險)，你認(rèn)為李先生是否應(yīng)該接受該建議？請說明理由.(假設(shè)車輛

2017年與2018年都購買相同的商業(yè)車險產(chǎn)品)

【解析】（1）元=J（8+ll+18+25+25+31+37+45）=剪=25（萬元）,

88

y=工（2150+2400+3140+3750+4000+4560+55∞+6500）=4000阮）,

8

由于回歸直線$=成+1055經(jīng)過樣本點的中心（元刃，即（25,4000）,

所以4000=25。+1055,解得》=117.8.

(2)①價值為20萬元的車輛的商業(yè)車險保費預(yù)報值為117.8×20+1055=3411元.

②由于該車已出險一次，若再出險一次，則保費要增加25%,

即保費增加341Ix25%=852.75元.

因為852.75>500,若出險，2018年增加的保費大于500元，

所以李先生應(yīng)接受理賠專員的建議.

例2.為了分析某個高三學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)，對其下一階段的學(xué)習(xí)提供指導(dǎo)性建議.現(xiàn)對他前7次考試的數(shù)

學(xué)成績X、物理成績進(jìn)行分析.下面是該生7次考試的成績.

數(shù)學(xué)888311792108100112

物理949110896104101106

(1)他的數(shù)學(xué)成績與物理成績哪個更穩(wěn)定?請給出你的證明；

(2)已知該生的物理成績y與數(shù)學(xué)成績X是線性相關(guān)的，若該生的物理成績達(dá)到115分，請你估計他的數(shù)

學(xué)成績大約是多少？并請你根據(jù)物理成績與數(shù)學(xué)成績的相關(guān)性，給出該生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、物理上的合理建議.

2222

參考公式：方差公式：S=^[(%,-%)+(X2-X)+.(?-Λ)],其中亍為樣本平均數(shù).

,∑(x,?-可(%-方Σxiyi-nx?y

$=---------；—=-----------，a=y-bx.

∑(χ∕^j)2力工；一位2

I=I(=1

-12—17+17—8+8+12—6—9+8—4+4+1+6

【解析】(1)x=100+100,N=IOO+=IOO,

77

“學(xué)=等=142

??理=?從而Sj學(xué)>S*理

物理成績更穩(wěn)定.

(2)由于X與y之間具有線性相關(guān)關(guān)系，

-497

根據(jù)回歸系數(shù)公式得到b=;;=O.5,<5=100—0.5x100=50,

7994T

二線性回歸方程為3=0?5X+50,

當(dāng)y=115時，X=I30.

建議：進(jìn)一步加強(qiáng)對數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，提高數(shù)學(xué)成績的穩(wěn)定性，將有助于物理成績的進(jìn)一步提高

例3.某工程設(shè)備租賃公司為了調(diào)查4,B兩種挖掘機(jī)的出租情況，現(xiàn)隨機(jī)抽取了這兩種挖掘機(jī)各100臺，

分別統(tǒng)計了每臺挖掘機(jī)在一個星期內(nèi)的出租天數(shù)，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

/里挖掘機(jī)8歲佗?機(jī)

出包天It123457I23~~4~5?7

一敷~ib^TT

??___一敵IM"20"??"io"丁

(/)根據(jù)這個星期的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，將頻率視為概率，求該公司一臺A型挎掘機(jī)，一臺B型挎掘機(jī)一周內(nèi)合計出

租天數(shù)恰好為4天的概率；

(〃)如果A,8兩種挖掘機(jī)每臺每天出租獲得的利潤相同，該公司需要從A,8兩種挖掘機(jī)中購買一臺，請你

根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計知識，給出建議應(yīng)該購買哪一種類型，并說明你的理由.

【解析】(/)設(shè)"事件Ai表示一臺力型挖掘機(jī)在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為i天”，

"事件鳥表示一臺8型挖掘機(jī)在一周內(nèi)出租天數(shù)恰好為/天"，其中i"=l,2,3,...,7

則該公司一臺A型挖掘機(jī)，一臺B型挖掘機(jī)一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為

P(A員+ΛΛ+A4)=P(A&)+0(4與)+尸(&4)

=P(A)P(四)+P(A)P(B2)+P(A)P(4)

520102030149

100100100100100100125

9

所以該公司一臺4型車，一臺B型車一周內(nèi)合計出租天數(shù)恰好為4天的概率為—

(團(tuán))設(shè)X為A型挖掘機(jī)出租的天數(shù)，則X的分布列為

X1234567

P0.050.100.300350.150.030.02

設(shè)y為8型挖掘機(jī)出租的天數(shù)，則Y的分布列為

Y1234567

P0.140.200.200.160.150.100.05

E(X)=l×0.05+2×0.10+3×0.30+4×0.35+5×0.15+6×0.03+7×0.02=3.62

E(Y)=1x0.14+2x0.20+3x0.20+4x0.16+5x0.15+6x0.10+7x0.05=3.48

一臺A類型的挖掘機(jī)一個星期出租天數(shù)的平均值為3.62天，一臺輛B類型的挖掘機(jī)一個星期出租天數(shù)的平

均值為3.48天，選擇A類型的挖掘機(jī)更加合理.

例4.小型風(fēng)力發(fā)電項目投資較少,開發(fā)前景廣闊.受風(fēng)力自然資源影響,項目投資存在一定風(fēng)險.根據(jù)測算，

IEC(國際電工委員會)風(fēng)能風(fēng)區(qū)的分類標(biāo)準(zhǔn)如下：

風(fēng)能分類一類風(fēng)區(qū)二類風(fēng)區(qū)

平均風(fēng)速m/s8.5—106.5--8.5

某公司計劃用不超過1。0萬元的資金投資于48兩個小型風(fēng)能發(fā)電項目.調(diào)研結(jié)果是：未來一年內(nèi)，位于一

類風(fēng)區(qū)的A項目獲利40%的可能性為0.6,虧損20%的可能性為0.4；

B項目位于二類風(fēng)區(qū)，獲利35%的可能性為0.6,虧損10%的可能性是0.2,不賠不賺的可能性是0.2.

假設(shè)投資A項目的資金為X(%≥0)萬元，投資B項目資金為y(y≥0)萬元，且公司要求對A項目的

投資不得低于8項目

（回）記投資A,B項目的利潤分別為分口〃，試寫出隨機(jī)變量J與〃的分布列和期望號,Eη-

（0）根據(jù)以上的條件和市場調(diào)研，試估計一年后兩個項目的平均利潤之和Z=烤+Eη的最大值，并據(jù)此

給出公司分配投資金額建議.

【解析】解：（I）A項目投資利潤J的分布列

OAx-0.2X

P0.60.4

Eξ=0.24X-0.08X=O.16X

8項目投資利潤〃的分布列

035y-OAy0

P0.60.20.2

助=0.2Iy-0.02y=0.19y

(2)Z=塔+E7=().16x+().19y

x+y<100

而,χ≥y

χ,y≥o

如圖所示

由圖可知，當(dāng)X=50,y=50,公司獲得獲利最大，最大為17.5萬元.

建議給兩公司各投資50萬.

例5.張老師開車上班,有路線①與路線②兩條路線可供選擇.路線①:沿途有A,B兩處獨立運(yùn)行的交通信號

12

燈,且兩處遇到綠燈的概率依次為5，3，若A處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時間2分鐘;若B處遇紅燈或黃燈，

則導(dǎo)致延誤時間3分鐘;若兩處都遇綠燈,則全程所花時間為20分鐘.

32

路線②:沿途有。，b兩處獨立運(yùn)行的交通信號燈,且兩處遇到綠燈的概率依次為工,二,若。處遇紅燈或黃燈,則

45

導(dǎo)致延誤時間8分鐘;若。處遇紅燈或黃燈,則導(dǎo)致延誤時間5分鐘;若兩處都遇綠燈,則全程所花時間為15分

鐘.

⑴若張老師選擇路線①,求他20分鐘能到校的概率；

⑵為使張老師日常上班途中所花時間較少,你建議張老師選擇哪條路線?并說明理由.

【解析】(1)走路線①，20分鐘能到校意味著張老師在AB兩處均遇到綠燈，記該事件為A,則

o121

233

(2)設(shè)選擇路線①的延誤時間為隨機(jī)變量鼠則J的所有可能取值為0,2,3,5.

1?11?1

則POo)=5X5=5,P(J=2)=]X,=§,

P(J=3)=LLLP(J=5)=LXLL

'7236v7236

4的數(shù)費望E(J)=OXG+2XG+3X，+5X，=2.

3366

設(shè)選擇路線②的延誤時間為隨機(jī)變量〃，則〃的可能取值為0,8,5,13.

則尸(〃=。)=洛*PM=8)=那4,

W=>月=['=13)=%∣=梟

?QO

"的數(shù)糊望Es)=OX?+8x—+5X二+13x2=5?

')20202020

因此選擇路線①平均所花時間為20+2=22分鐘，選擇路線②平均所花時間為15+5=20分鐘,

所以為使張老師日常上班途中所花時間較少，建議張老師選擇路線②.

例6.某公司每個工作日由位于市區(qū)的總公司向位于郊區(qū)的分公司開一個來回的班車（每年按200個工作

日計算），現(xiàn)有兩種使用班車的方案，方案一是購買一輛大巴，需花費90萬元，報廢期為10年，車輛平均

每年的各種費用合計5萬元，司機(jī)年工資6萬元，司機(jī)每天請假的概率為0.1（每年請假時間不超過15天

不扣工資，超過15天每天100元），若司機(jī)請假則需從公交公司雇傭司機(jī)，每天支付300元工資.方案二是

租用公交公司的車輛（含司機(jī)），根據(jù)調(diào)研每年12個月的車輛需求指數(shù)如直方圖所示，其中當(dāng)某月車輛需

求指數(shù)在3導(dǎo),寺］（〃=1,2,3,4,5）時，月租金為1+0.2〃萬元

（1）若購買大巴，設(shè)司機(jī)每年請假天數(shù)為X,求公司因司機(jī)請假而增加的花費y（元）及使用班車年平均

花費J（萬元）的數(shù)學(xué)期望EJ.

（2）試用調(diào)研數(shù)據(jù)，給出公司使用班車的建議，使得年平均花費最少.

【解析】⑴由已知，當(dāng)x≤15時,ι=30OX,

當(dāng)x≥15時，y=200(%-15)+4500=200x+1500

300%0≤x≤15

所以y=4,無CN

[200x+1500Λ≥15

由已知x~3(2(X),0.1),所以E(X)=200x0.1=20

所以E4=9+5+6+0.03xl5+0.02χ5=20.55(萬元)

⑵若使用方案二，由已知每年租車費用為12萬元的月份為得X0.2X12=1

每年租車費用為1.4萬元的月份為gxθ?2χ12=4;

每年租車費用為1.6萬元的月份為＜xθ?2xl2=3;

每年租車費用為1.8萬元的月份為'xθ?2xl2=2;

O

每年租車費用為2萬元的月份為JX0.2X12=2;

O

所以方案二每年的平均費用為1.2x1+1.4x4+1.6x3+1.8x2+2x2=19.2萬元

所以應(yīng)該使用方案二，可以使得年平均花費最少

例7.某糕點房推出一類新品蛋糕，該蛋糕的成本價為4元，售價為8元.受保質(zhì)期的影響，當(dāng)天沒有銷

售完的部分只能銷毀.經(jīng)過長期的調(diào)研，統(tǒng)計了一下該新品的日需求量.現(xiàn)將近期一個月(30天)的需求量展

示如下：

日需求量X(個)20304050

天數(shù)510105

(1)從這30天中任取兩天，求兩天的日需求量均為40個的概率；

⑵以表中的頻率作為概率，根據(jù)分布列求出該糕點房一天制作35個該類蛋糕時，對應(yīng)的利潤的期望值

320

E(X)=M現(xiàn)有員工建議擴(kuò)大生產(chǎn)一天45個,試列出生產(chǎn)45個時利潤F的分布列并求出期望E(Y),

并以此判斷此建議該不該被采納.

【解析】⑴從這30天中任取2天，

基本事件總數(shù)〃=C；°,

2天的日需求量均為40個包含的基本事件個數(shù)小=Gj,

C23

,兩天的日需求量均為40個的概率P=能=云.

??o29

⑵設(shè)該糕點房制作45個蛋糕對應(yīng)的利潤為y,

P(y=-20)=1,

P(y=60)=g,

P(y=140)=∣,

P(y=180)=J,

O

的分布列為：

y-2060140180

????

P

6336

E（y）=-20x，+60x，+140x，+180xL出，

63363

320280320

：該糕點房一天制作35個該類蛋糕時,對應(yīng)的利潤的期望值E(X)------<

313------3

二此建議不該被采納.

例8.為了保障全國第四次經(jīng)濟(jì)普查順利進(jìn)行，國家統(tǒng)計局從東部選擇江蘇，從中部選擇河北、湖北，從

西部選擇寧夏，從直轄市中選擇重慶作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查

小區(qū).在普查過程中首先要進(jìn)行宣傳培訓(xùn)，然后確定對象，最后入戶登記.由于種種情況可能會導(dǎo)致入戶

登記不夠順利，如有些對象對普查有誤解，配合不夠主動；參與普查工作的技術(shù)人員對全新的操作平臺運(yùn)

用還不夠熟練等，這為正式普查提供了寶貴的試點經(jīng)驗.在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家

個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：

普查對象類別順利不順利?Q?

企事業(yè)單位4050

個體經(jīng)營戶50150

合計

(1)寫出選擇5個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；

(2)補(bǔ)全上述列聯(lián)表(在答題卡填寫),并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的把握認(rèn)為“此普查小區(qū)的入戶登

記是否順利與普查對象的類別有關(guān)“；

(3)根據(jù)該試點普查小區(qū)的情況，為保障第四次經(jīng)濟(jì)普查的順利進(jìn)行，請你從統(tǒng)計的角度提出一條建議.

附：

尸(蜉一局)0.100.0100.001

(α+6)(c+i∕)(α+c)(6+G局2.7066.63510.828

【解析】(1)分層抽樣

(2)完成列聯(lián)表

普查對象類別順利不順利

企事業(yè)單位401050

個體經(jīng)營戶10050150

aid-14060200

將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)代入公式計算得

n(ad-bcY200(40x50-IOOXK))2200/175>27()6

(α+6)(c+d)(α+c)(6+d)-140×60×50×150^63

所以有90%的把握認(rèn)為"此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)”.

(3)(意思相近即可得分)

建議：加大宣傳力度，消除誤解因素，尤其要做好個體經(jīng)營戶的思想工作.

例9.荊楚湖北素有“板栗之鄉(xiāng)”稱號，但板栗的銷售受季節(jié)的影響，儲存時間不能太長。我校數(shù)學(xué)興趣小

組對近年某食品銷售公司的銷售量y(噸)和板栗銷售單價*(元/千克)之間的關(guān)系進(jìn)行了調(diào)查，得到如

下表數(shù)據(jù)：

銷售單價為(元/公斤)1110.5109.598

銷售量E(噸)568101114.1

(1)根據(jù)前5組數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于X的回歸直線方程；

(2)若回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的差的絕對值不超過0.5(即

∣γ-γ∣=14.4-14.1=0.3<0.5),則認(rèn)為回歸直線方程是理想的，試問(0)中得到的回歸直線方程是否

理想？

⑶如果今年板栗銷售仍然服從(0)中的關(guān)系，且板栗的進(jìn)貨成本為2.5元/千克，且貨源充足(未售完的部

分可按成本全部售出)，為了使利潤最大，請你幫助該公司就銷售單價給出合理建議.(每千克銷售單價不超

過12元).

Yjxiyi-nxy

參考公式：回歸直線方程§=阮+M,其中〃=號-------二-,含=]-K參考數(shù)據(jù):

豆Xj-nx

/=1

55

EXiyi=392,Zxj2=502.5.

Z=IZ=I

【解析】(1)因為方=L(Il+10.5+10+9.5+9)=10,7=1(5+6+8+10+11)=8,

所以B=比三個聯(lián)=一3.2,所以8=8—(—3.2)X10=40，

502.5-5X10'

所以)關(guān)于X的回歸直線方程為：9=-3.2x+40.

(2)當(dāng)χ=8時，$=-3.2x8+40=14.4,則位—y|=14.4-14.1=0.3<0.5,

所以可以認(rèn)為回歸直線方程是理想的.

(3)設(shè)銷售利潤為M千元)，則W=(X-2.5)(-3.2x+40)=-3.2f+48x-100,

/y_|_1C_'I

因為2.5<x≤12,所以W=3.2x(15-X)-Ioo≤3.2x—-—Ioo=80,

當(dāng)且僅當(dāng)X=I5—%,即x=7.5時，W/取得最大值.

所以可建議該公司將銷售價格定位7.5元/千克.

例10.國家統(tǒng)計局進(jìn)行第四次經(jīng)濟(jì)普查，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從15個發(fā)達(dá)地區(qū)，10個欠發(fā)達(dá)地區(qū)，5個貧困地區(qū)中

選取6個作為國家綜合試點地區(qū)，然后再逐級確定普查區(qū)域，直到基層的普查小區(qū).普查過程中首先要進(jìn)行

宣傳培訓(xùn)I,然后確定對象，最后入戶登記，由于種種情況可能會導(dǎo)致入戶登記不夠順利，這為正式普查提

供了寶貴的試點經(jīng)驗，在某普查小區(qū)，共有50家企事業(yè)單位，150家個體經(jīng)營戶，普查情況如下表所示：

普查對象類別順利不順利

企事業(yè)單位401050

個體經(jīng)營戶9060150

art-13070200

(1)寫出選擇6個國家綜合試點地區(qū)采用的抽樣方法；

(2)根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有97.5%的把握認(rèn)為"此普查小區(qū)的入戶登記是否順利與普查對象的類別有關(guān)"，

分析造成這個結(jié)果的原因并給出合理化建議.

n^ad-bc?

附：參考公式：K'=