2022-2023學年陜西省西安市高二下學期期中數(shù)學（理）試題2【含答案】

如22-2023學年陜西省西安市高二下學期期中數(shù)學(理)試題

一、單選題

2

1.集合N=η?>11,8={x∣x-2x<θ},則(CRN)∏8=()

A.[1,2)B.(1,2)C.[0,l)D.(0,1]

【答案】D

【分析】根據(jù)分式不等式解法解出集合A,一元二次不等式解法解出集合B,再由補集與交集的運

算即可求解.

【詳解】依題意，

2?3-r,

因為--->1=---------1>O=——->0=>(3-x)(Al)>0,

x-1x—1X-1

解得l<x<3,所以力=(1,3),所以I；N=(YO,l]U[3,+∞)

因為f-2χ<0nχ(χ-2)<0,解得0<χ<2,所以3=(0,2)

所以(ORD8=(0』.

故選：D.

2.復數(shù)Z滿足(2+i)z=∣3+4i∣(i為虛數(shù)單位，則]對應的點所在象限為

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】A

【解析】先利用復數(shù)的除法，化簡復數(shù)z,計算得Z=2+i,得到復平面中對應得點，即得解.

【詳解】由于(2+i)z=∣3+4i∣,

∣3+4∕∣√32+4255(2-/)?.

z=-----------=--------------=-------=-------------------=Z-I

2+z2+i2+i(2+/)(2-0

I=2+i在復平面中對應的點為：(2』)，在第一象限

故選：A

【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算及幾何意義，考查了學生概念理解，數(shù)學運算的能力，屬于基

礎題.

3.已知圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖，且其陰離子排列如圖2所示，圖中圓的半

徑均為1,且相鄰的圓都相切，A,B,C,D,是其中四個圓的圓心，則萬.麗=()

A.6B.10C.24D.26

【答案】A

【解析】建立以￡石為一組基底的基向量,其中同=同=1且￡花的夾角為60。,根據(jù)平面向量的基本定理

可知,向量方和麗均可以用B表示,再結合平面向量數(shù)量積運算法則即可得解.

【詳解】解：如圖所示,建立以￡石為一組基底的基向量,其中同=同=1且￡3的夾角為60。,

JB=2a+4b,CD=4a-2b,

ΛZβ?GD=(25+4?)?(4α-2?)=8J2-8ft2+12α??=8-8+12×l×l×∣=6.

則函數(shù)V=∕(l-x)的圖象大致是()

【答案】B

【分析】分段求出函數(shù)y=∕(i-χ)的解析式，利用導數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得答案.

【詳解】當ι-χ>o,即x<l時，y=∕(l-x)J"j),

I-X

；=一占(I)+ln(D=T+In(I-X),

y—O-X)2O-X)2

令???j√>0?,得χ<i-e,令y'<0,得I-e<x<l,

所以函數(shù)y=∕(l-x)在(-%l-e)上為增函數(shù)，在(l-e,l)上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；

當l-x≤0,即x21時，y=/(1-?)=(1-x)e'^x,

y'=(?-x),e1^v+(1-x)(e'?)=-e'`-(?-?)e1`=-el^v(2-x),

令???/>()?,得χ>2,令/<0,得l≤x<2,

所以函數(shù)夕=/。-力在(2,+8)上為增函數(shù)，在［1,2)上為減函數(shù)，由此得B正確；

故選：B

5.正整數(shù)1,2,3,…，〃的倒數(shù)的和I+：+：+…已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒

23n

有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；當“很大時I+?+:+…+L*ln∕z+y.其中7稱為

23n

歐拉一馬歇羅尼常數(shù)，y=0.577215664901…，至今為止都不確定，是有理數(shù)還是無理數(shù).設［司表示

不超過X的最大整數(shù).用上式計算1+：+；+--+親的值為(M參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69,ln3NL10,

In10≈2.30)

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】1+W??+^-≈In2022÷/=ln2+ln3+ln337+/,

232022

利用In300<In337<In360估計In337范圍，從而求得［in2022+7］值.

【詳解】由題意知I+1+：+…+/；=hι2022+7.

232022

而In2022=In2χ3χ337=In2+ln3+In337=1.79+In337,

XIn300<In337<In360,

In300=In3+21n10≈1.10+2×2.30=5.70,

In36θ=2(ln2+ln3)+lnlθ≈2(0.69+1,10)+2.30=5.88,

.?.In2022∈(7.49,7.67),

/.ln2022+∕∈(8.06,8.25),

故l+→→-+?7Mn2022+#8,

故選：B

6.若直線/：夕=履+3上存在長度為2的線段48,圓。：N?+/=[上存在點M,使得彤IJ監(jiān)，

則”的取值范圍是()

A?卜,一用卷,÷∞jB.-4'T_

C.(-∞,-2√2]u[2√2,+00)D.[-2√2,2√2]

【答案】A

【分析】由題意，以/8為直徑的圓與圓。有公共點，設/8中點為N(∕,k+3),則IMNI=1,問題轉

化為圓。上存在點"，直線/上存在點M使得IMM=1,根據(jù)點到直線的距離公式列出不等式，即

可求得人的取值范圍.

【詳解】由題意，以/8為直徑的圓與圓。有公共點，設/3中點為Na股+3),則IMM=1,問題轉

化為圓。上存在點/，直線/上存在點M使得IMM=1,故只需點〃到直線/的距離的最小值小于

或等于1,即點。到直線/的距離d=1342,解得女≥正或A≤-好.

√1+k222

故選：A.

7.如圖是一款多功能粉碎機的實物圖，它的進物倉可看作正四棱臺，已知該四棱臺的上底面邊長為

40cm,下底面邊長為IOCm,側棱長為30cm,則該款粉碎機進物倉的容積為()

A.8600√2cm3B.8600√3cm3C.10500√2cm3D.10500√3cm3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結合棱臺的體積計算公式，代入計算，即可得到結果.

畫出滿足題意的正四棱臺/3CD如圖所示，則用。=40√Σ,8Z)=Io√L過點。作

DELBIR于點、E,則Z)E=I5√lDE=j302-(15√Σ)2=15近，所以該正四棱臺的體積為

j∕=∣(402+102+10×40)×15√2=10500√2(cm,).

故選：C

?x=?+sin2θ

8.在平面直角坐標系XQy中，已知直線/：歹=左(x+l)與曲線C：.八(。為參數(shù))在第

[y=sιnθ+cosθn

一象限恰有兩個不同的交點，則實數(shù)攵的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,?-)C.[?,1)D.忤

【答案】D

【分析】對曲線C的參數(shù)方程消參求得普通方程，利用導數(shù)求得直線與曲線相切時直線的斜率以及

臨界狀態(tài)對應直線的斜率，即可容易求得結果.

【詳解】對曲線C的方程消參可得：y2=l+sin2θ=x,即V=χ,x∈[θ,2],

作圖如下:

設直線/與曲線C在第一象限的切點為p（，*〃），且洲=〃2

因為∕=χ,（x>0）,故可得y=4,y'=訪：，

則=J=,即TLT=1,解得〃=1,〃=-1（舍去）.

故此時切點坐標為（1,1）,對應直線/的斜率匕=p

當直線/過點。（2,&）時，設其斜率為的，

故可得左,=".

23

數(shù)形結合可知，當直線/與曲線C在第一象限內(nèi)有兩個交點時,

斜率的取值范圍為［右潞），即為

故選：D.

【點睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉化，以及直線與拋物線相切時切點的求解，涉及導數(shù)的

幾何意義，屬綜合中檔題.

9.已知將函數(shù)/（x）=2Sin妥CoSm-瓜in竽3>0）的圖象向右平移合個單位長度，得到函數(shù)

g（x）的圖象，若g（x）在（0,兀）上有3個極值點，則3的取值范圍為（）

【答案】C

【分析】利用三角恒等變化得/(x)=2sin［四+1卜/,由圖象的變化得

g(x)=-2cos［函+結合題意和余弦函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.

【詳解】因為/(x)=2sin/?卜OS等-樂in與B

ωxωx

=sinωx-yβ(?-cosωx)

=sinωx+8cosωx-y∕3

?πππ)

令t=ωx+-又因為G〉0,當xw(。，兀)時,E=^υx+y∈WM兀+引,

3

g(x)在(0,兀)上有3個極值點等價于人⑺=CoSf在fe(∣?,M+g)上有3個極值點,

恤)=COSf的圖象如圖所示:

TT

由余弦函數(shù)〃⑺=CoSZ的性質(zhì)可得:3兀<ωπ+-≤4π,

Q11

解得2<0≤q.

33

故選:C.

22

10.已知雙曲線0-4=1的左、右焦點分別為耳,心，過點耳作圓/+『=42的切線分別交雙曲線

a"b'

的左、右兩支于點8,c,且忸C=ICEI,則雙曲線的離心率為()

A.yjs~2?^3B.5÷2?>∕3

C.√5+2√3D.5-2√3

【答案】C

【分析】設切點為A,利用垂直關系可得CoSNCG瑪=2,由題意結合雙曲線的定義可得忸用=2%

C

?BF2?=4a,在△明工中利用余弦定理解出-的值即可求雙曲線的離心率.

【詳解】如圖所示，設切點為A,連接04,

22

由雙曲線的定義可知|。耳I=C,?AFl?=y∣?θF^-?θA^=>Jc-a=b,

所以cosNAFQ=cosZCF1F2=-,

因為忸CI=Ie聞,所以ICKITC&=忸c∣+∣姐ITC周=I即1=2%

因為忸用-忸4=2α,所以忸FJ=4*

忸用‘+I耳閭2-8目

所以在48片5中，由余弦定理可得CoSNCGg=

2∣

即2=4"-+4cT6"-,整理得2岫=一,

c2×2a×2c

^c2=a2b2,得從一2而-2/=0,即O2用

+—2=0,

解得2=1+6或1一行（舍去）,

a

所以e2=??=Ht=5+2√3,

aa

則雙曲線的離心率e=J5+2JJ,

故選：C

11.某校組織甲、乙兩個班的學生到“農(nóng)耕村”參加社會實踐活動，某天安排有釀酒、油坊、陶藝、

打鐵、紡織、竹編制作共六項活動可供選擇，每個班上午、下午各安排一項活動（不重復），且同一

時間內(nèi)每項活動都只允許一個班參加，則活動安排方案的種數(shù)為（）

A.126B.360C.600D.630

【答案】D

【分析】按兩個班共選擇活動項數(shù)進行分類，至少選兩項，至多選四項，故分三類求解即可.本題等

同染色問題，即四區(qū)域六色涂，相鄰不能涂同色問題.

【詳解】按兩個班共選擇活動項數(shù)分三類：

第一類：兩個班共選擇2項活動，有《種方法；

第二類：兩個班共選擇3項活動，有￡6種方法；

第三類：兩個班共選擇4項活動，有《種方法.

則活動安排方案的種數(shù)為《+￡4+4=630.

故選：D.

【點睛】直接分類法是求解有限制條件排列問題的常用方法：先選定一個適當?shù)姆诸悩藴?，將要?/p>

成的事件分成幾個類型，分別計算每個類型中的排列數(shù)，再由分類加法計數(shù)原理得出總數(shù).而對于分

類過多的問題，正難則反，一般采用間接法處理.

?inγ—CCqγ-U9

12.已知y=∕G+左)—左(2>0)是R上的偶函數(shù)，且當X3A時，/(χ)=SmXSSX十上若

e

∕α)>∕α),則()

A.x1÷x2>2kB.χl+χ2<2k

C.∣x1-^∣<∣x2-Λ∣D.∣x1-?∣>∣x2-?∣

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得出/(X)的圖象關于直線X=%對稱，結合導數(shù)判斷X34時函數(shù)的單

調(diào)性，由此結合函數(shù)的性質(zhì)和/(不)>/(匕)，可得出N-H<昆-修，即可判斷c,D；脫掉絕對值

符號化簡，可判斷A,B.

【詳解】由y=∕α+%)-左是R上的偶函數(shù)，^f(-χ+k)-k=f(x+k)-k,

即"-x+%)=/(x+/),所以/(X)的圖象關于直線X=左對稱.

當X34時，f(χ)=------------,由∕r(χ)=-------------≤0,僅在x=2E,A∈Z時取等號，

ee

得/(χ)在區(qū)間伙,+⑹上為減函數(shù)，則在區(qū)間(-％口上為增函數(shù)，

根據(jù)/(χ)圖象的對稱性,由〃再)>)得k-4<區(qū)-H，

則C正確、D錯誤.

當玉一%,-%異號時，則x∣-/<-X2+左或-項+左<%2-%，即占+X?<24或x∣+々>2%,

即選項A,B的結果不能確定，

故選：C.

二、填空題

13.已知函數(shù)V=Sinx在xe[0,π]的圖像與X軸圍成的區(qū)域面積為α,則(χ2-0χ+l)4的展開式中產(chǎn)的

系數(shù)為.

【答案】-56

【分析】先根據(jù)定積分的定義求出α=2,然后二項式可以化簡為(X-I)",進而可以求解.

【詳解】由已知可得α=??s?nrdv=(-cos.r)|；=2,

44S,3

所以二項式-^+l)=(√-2X+1)=(X-1)的展開式中含x的項為CX-(-1)5=-56X,

故f的系數(shù)為-56,

故答案為：-56.

14.已知三棱錐P-/8C中，底面Z8C是邊長為2百的正三角形，點尸在底面上的射影為底面的中

心，且三棱錐P-/8C外接球的表面積為18兀，球心在三棱錐P-ZBC內(nèi)，則二面角尸-48-C的平

面角的余弦值為.

【答案】;

【分析】根據(jù)給定條件，求出球半徑并確定球位置，再作出二面角尸-N5-C的平面角，結合三棱

錐的結構特征求解作答.

【詳解】設正“8C的中心為。，有OA=OB=OC,而POl平面力8C,則PN=PB=PC,

延長CO交于點￡>,則點。為/8的中點，有PDJ.AB,CDVAB,

即NPOC為二面角。一/8-。的平面角，

由NB=2√J,得OC=2OD=2,顯然三棱錐尸-/8C為正三棱錐，其外接球的球心M在線段P。上,

由三棱錐尸-/BC的外接球的表面積為18π,則該球半徑MC=逑，由MC?=MO?+OC?,解得

2

MO=-,

2

PO=2及,PD=3，所以COSNpDc=黑=；,

所以二面角P—/8—C的平面角的余弦值為

故答案為：?

15.數(shù)列｛%｝的前〃項和為S,,,且囚+3的+…+3"-%="?3",若對任意〃GN?,S,,≥(T)"就恒成立，

則實數(shù)彳的取值范圍為.

【答案】[T4]

【分析】由q+3%+…+3"τ%="?3”可化簡得到｛凡｝的通項公式，由通項公式形式上的特點可知｛%｝

為等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的首項和公差，代入，的公式，即可把不等式S(I≥(-l)"成化為

(-l),,Λ≤n+2,分〃為偶數(shù)和”為奇數(shù)討論即可求出實數(shù)/1的取值范圍.

【詳解】因為q+3%+…+3"%,=〃.3",當"=1時，α∣=3.

π2

當“≥2時，+3a2+...+3-I=(〃-1),3"",

兩式相減得3"τ?=n?3π-(π-l)?3"τ,化簡得∕=2〃+1,〃≥2,

當"=1時，"∣=2xl+l=3.

所以凡=2〃+l,〃eN',所以數(shù)列｛《,｝是以q=3為首項，1=2為公差的等差數(shù)列，

所以S“=3n+^^-~—×2=/72+2n，

n2

由S,,≥(-1)"”2得〃2+2〃≥(_1ynλ,即(-1)"X≤〃+2對任意〃€N*恒成立，

當力為偶數(shù)時，不等式化為4≤N+2,所以∕l≤("+2)min=2+2=4;

當〃為奇數(shù)時,不等式化為T4"+2,gpΛ≥-(n+2),所以洗s[-(〃+2)]max=-(l+2)=-3,

所以實數(shù)2的取值范圍為[-3,4].

故答案為：卜3,4]

16.已知函數(shù)/(x)=2+lnx,g(x)=/,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=∕(x)J=g(x)圖象均

相切，則實數(shù)”的范圍為.

【答案】(0,2)

【分析】將有兩條公切線轉化為〃(x)=4(In*+I與直線。=四有兩個不同交點,后利用導數(shù)研

究函數(shù)MX)="(I11'+」單調(diào)性與極值情況畫出〃(x)=4(1±1)大致圖象,即可得答案.

【詳解】設切線在/(x)=2+lnx,g(x)=S上的切點分別為(西,必),(％,E).

因/'(x)=Lg'(x)=S=.則切線方程可表示為：?=?(?-X1)+2+Inx1

X2√xx↑

,也可表示為一二金(X7)+山，其中酒”

1=a

X12J.nα=?S>0,4(2

則=d.則總存在兩條不同的直線與函數(shù)

a灰

l1+1lnx=v

112

y=f(%),y=g(χ)圖象均相切,

等價于∕(x)=40nX+1)與直線.=“2有兩個不同交點.∕(χ)=*丁則

ji

\-4InX

fl⑴:=——■

令/(x)>0=0<X<1n∕z(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

h'(x)COnX>1=>〃(x)在(l,+∞)上單調(diào)遞減，則〃(XL=?(?)=4.

注意到x→0K(x)→-8,hf?j=0,X→∞,Λ(x)→0,可得MX)大致圖象如下，則

α>0

=OVaV2

0<a2<4

故答案為：(0,2)

三、解答題

17.如圖，在極坐標系中，曲線C/是以C/(4,0)為圓心的半圓，曲線C2是以C?為圓心

的圓，曲線。、C2都過極點O.

X

(1)分別寫出半圓C/,C2的極坐標方程；

TT

(2)直線/：。=：(夕€尺)與曲線C/,G分別交于V、N兩點(異于極點O),P為C2上的動點,

求aPMN面積的最大值.

【答案】(I)G：0=8c。.B(O≤e≤∕j;C2:p^2y∕3sinθ(0≤θ≤π)-(2)乎.

【分析】(1)直接利用轉換關系的應用，把參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間進行轉換.

(2)利用三角函數(shù)關系式的變換和三角形的面積的公式的應用求出結果.

【詳解】(D曲線C/是以G(4,0)為圓心的半圓，

所以半圓的極坐標方程為P=8cs?彳0<d≤∣^,

曲線C2是以。2(五∣1)為圓心的圓，轉換為極坐標方程為P=2JWs山*0≤θ<π).

-8cov

(2)由(1)得：∣MV∣=∣PΛ/P.vH?y-^>sin^|=1,

顯然當點P到直線MN的距離最大時，MPMN的面積最大.

此時點尸為過C2且與直線MN垂直的直線與G的一個交點，

設PCz與直線MN垂直于點”，

如圖所示：

在HAOg中，IgHOC/s嗎=爭

所以點尸到直線MN的最大距離d=?HG1+匕=*+療=手

所以冬麗=gχMM?d=g<ι×孚=牛.

【點睛】本題考查的知識要點：參數(shù)方程極坐標方程和直角坐標方程之間的轉換，三角函數(shù)關系式

的恒等變換，三角形的面積公式的應用，主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力，屬于中

檔題.

18.“8C的內(nèi)角Z,B,C所對的邊分別為α,b,c,已知2〃=.十〃一叫。_tan⑷.

⑴求角Ci

/7

(2)若c=2ji?,。為BC中點，cos8=笆7，求4)的長.

【答案】(i)￥

4

⑵而

【分析】(1)根據(jù)余弦定理與正弦定理將邊化角結合三角恒等變換即可求解；

(2)先求解sin4=叵，由正弦定理求出〃邊，結合余弦定理即可求解.

10

【詳解】(1)由2〃=(〃+c?-α)(l-tan4),Λ2b1=26ccosJ(l-tan∕i),Λfe=c(cosJ-sin√i)

sinB=sinC(cosA-sinA),β/A+B-?-C=π，

由正弦定理得，sin(4+C)=sinCcOSZ-SinCSin/，/.sinAcosC=-sinCsinA≠0,

.*.tanC=-If解得C=—；

4

(2)c。SB=^^-，SinB=JI-COS26二手,?sinA=sin(B+C)=,

由正弦定理得α="M=2√Σ,

SinC

在ANBO中，由余弦定理得力》=/爐+8力2-〃氏8。COS8,解得/。=岳.

19.如圖，在四棱錐尸一/BC。中，AB∕∕CD,AB±BC,BC=CD=PA=PD=；AB=2,PC=2√3，

E為AB的中點.

(1)證明：8O_L平面/PD；

(2)求平面APD和平面CEP的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

喈

【分析】(I)已知條件求出/8,BD,的長度，勾股定理證得

取力。的中點O,連接OP,0C,有PoI.4D,得P0,勾股定理證得POlOC,從而PO/平面ABCD,

有BDLOP,所以8。工平面NPr>.

(2)建立空間直角坐標系，求相關點的坐標，求相關向量的坐標，求平面/尸。和平面CEP的一個

法向量，利用向量夾角公式求平面《尸。和平面CEP的夾角的余弦值

【詳解】(1)在直角梯形48C。中，易得43=4,BD=2近,JΣ>=2√2,

?-?AD1+BD-=AB2>：.BDLAD.

取工。的中點。，連接0尸，OC,易得Po-Lj4D,Po=五,如圖所示，

在ACDO中，易得OC=y]CD1+DO--2CD?∞cos135o=√10-

又PC=2也，：,OC^+Pb=PC'：.POLOC,

又POLAD,AD∏OC=O,力。,。CU平面488,平面/8CZ),

5。U平面Z5C。，：.BDlOP,

又BDLAD,ADCOP=0,4￡),。尸U平面力尸。，L平面/PD

(2)如圖，以。為坐標原點，DA,所在直線分別為X,y軸，過點。且與尸。平行的直線為Z

軸建立空間直角坐標系，

CD

則D(O,O,O),J(2√2,θ,θ),5(θ,2√2,θ),^(√2,√2,θ),P(√2,O,√2),c(-√2,√2,θ),

.?.CP=(2√2,-√2,√2),CE=(2√2,O,θ),

平面為PD,.?.平面NPZ)的一個法向量為Z=(0,1,O)?設平面CEp的法向量為S=(X,y,z),

n,-CP=0

則——，得,取y=l,得%=(0,1,1)，

2√2x=0

n2CE-0

.一一1λ∕2

??cosn.,n1=-----=，

-1×√22

.?.平面/PO和平面CEP的夾角的余弦值為正.

2

【點睛】方法點撥

利用向量法求二面角的方法主要有兩種：(1)分別求出二面角的兩個面所在平面的法向量，然后通

過兩個平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結合實際圖形判斷所求角的范圍；(2)分

別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點的兩個向量，則這兩個向量的夾角的大小

就是二面角的大小.

20.已知尸為拋物線爐=2PX(P>0)的焦點，過尸且傾斜角為45°的直線交拋物線于48兩點，

I明=8.

(1)求拋物線的方程：

(2)已知P(XI),-1)為拋物線上一點，M,N為拋物線上異于P的兩點，且滿足Gr即,v=-2,試探

究直線MN是否過一定點？若是，求出此定點；若不是，說明理由.

【答案】(1)y2=4x(2)過定點，

【解析】(1)設出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)韋達定理即可求解出P的值，即可求解出拋

物線的方程；

(2)求解出P點坐標，設出直線MV的方程X=叩+?加WO),,根據(jù)心M?∕w=-2求解出之間的關

系，從而確定出直線所過的定點.

【詳解】解：(1)由已知F(W,0),直線48的方程為V=X-]

2

y=2pχ2

聯(lián)立直線與拋物線p，消y可得，X"—3px+=0,所以X/+與=3〃,

y=x--4

2

因為∣45∣=S+Λ?+P=4p8,所以2P=4,

即拋物線的方程為/=4x.

(2)將P(XO,-1)代入∕=4x可得尸

不妨設直線MN的方程為X=W+Q"≠0),M(?η,必)，N(X2,%),

V,=4x

聯(lián)立〈，消X得/一4叩-4f=0,

X=my-i>rt

2

則有yl+y2=4加,yly2=-4f,?=ιβm+16/>

k.

k-2LLLXA114416

由題意PMkPN_1=--X——

1必%一（必+%）+1—2

再一彳?-4必一1%一

9

化簡可得，，=「,

代入Δ=16m2+16/=16(機2+(一%)=I6(〃？一g)+32>0

Q

此時直線MN的方程為x=m(y-?')+-,

4

所以直線MN過定點停,1).

【點睛】本題考查拋物線方程求解以及拋物線中的直線過定點問題，難度一般.(1)圓錐曲線中已知兩

條直線的斜率之間的關系，可將斜率表示為對應的韋達定理形式，從而確定出未知參數(shù)之間的關系;

(2)直線y=b+,"的過定點問題，實際就是求解直線方程中參數(shù)之間的關系.

21.某市為了更好的了解全體中小學生感染新冠感冒后的情況，以便及時補充醫(yī)療資源.從全市中小

學生中隨機抽取了100名抗原檢測為陽性的中小學生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學生感染奧密克

戎后的疼痛指數(shù)為X,并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：

疼痛指數(shù)Xx≤?o10<%<90X≥90

人數(shù)(人)10819

名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者

其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.

(1)統(tǒng)計學中常用L=緇2表示在事件/發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機抽取1

P(B?A)

名學生，記事件A：該名學生為有癥狀感染者，事件8：該名學生為重癥感染者，求似然比L的值;

(2)若該市所有抗原檢測為陽性的中小學生的疼痛指數(shù)X近似的服從正態(tài)分布N(50,4),且

P（X≥90）=±.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學生中隨機抽取3名，設這3名學生中輕癥感

染者人數(shù)為丫，求y的分布列及數(shù)學期望.

【答案】（吟

（2）分布列見解析，2.4

【分析】（1）應用條件概率公式計算求解即可；

（2）應用由二項分布分別寫出求分布列及計算數(shù)學期望.

QIiQOQ_OlO_Ql

【詳解】⑴由題意得：”小封尸⑻=而,尸出）=茄,％皿Fo'R函γ,

9

P(AB)=畫=?

/.P(B∣A)=

P(A)—2—10

W

81

P(AB)?9

P(B?A)=

P(A)-2一10

10

a?

￡=L

/回?lo

(l?

X∕9

lo

(2)vP(%≤10)=P(Λr≥90)=?,

14(4

.?.P(10<Ar<90)=l-2×—=y,則y~B[3,g

???y可能的取值為0,1,2,3,

4

???p(y=0>cθ×?I=?^=1>Cb*焉2}c;X∣×r?

Wf=UX1喂

.?.y的分布列為:

YO123

1124864

P

125125125