2022-2023學(xué)年陜西省西安市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)（理）試題2【含答案】

如22-2023學(xué)年陜西省西安市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)(理)試題

一、單選題

2

1.集合N=η?>11,8={x∣x-2x<θ},則(CRN)∏8=()

A.[1,2)B.(1,2)C.[0,l)D.(0,1]

【答案】D

【分析】根據(jù)分式不等式解法解出集合A,一元二次不等式解法解出集合B,再由補(bǔ)集與交集的運(yùn)

算即可求解.

【詳解】依題意，

2?3-r,

因?yàn)?-->1=---------1>O=——->0=>(3-x)(Al)>0,

x-1x—1X-1

解得l<x<3,所以力=(1,3),所以I；N=(YO,l]U[3,+∞)

因?yàn)閒-2χ<0nχ(χ-2)<0,解得0<χ<2,所以3=(0,2)

所以(ORD8=(0』.

故選：D.

2.復(fù)數(shù)Z滿足(2+i)z=∣3+4i∣(i為虛數(shù)單位，則]對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在象限為

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【解析】先利用復(fù)數(shù)的除法，化簡復(fù)數(shù)z,計(jì)算得Z=2+i,得到復(fù)平面中對(duì)應(yīng)得點(diǎn)，即得解.

【詳解】由于(2+i)z=∣3+4i∣,

∣3+4∕∣√32+4255(2-/)?.

z=-----------=--------------=-------=-------------------=Z-I

2+z2+i2+i(2+/)(2-0

I=2+i在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為：(2』)，在第一象限

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算及幾何意義，考查了學(xué)生概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于基

礎(chǔ)題.

3.已知圖1是某晶體的陰陽離子單層排列的平面示意圖，且其陰離子排列如圖2所示，圖中圓的半

徑均為1,且相鄰的圓都相切，A,B,C,D,是其中四個(gè)圓的圓心，則萬.麗=()

A.6B.10C.24D.26

【答案】A

【解析】建立以￡石為一組基底的基向量,其中同=同=1且￡花的夾角為60。,根據(jù)平面向量的基本定理

可知,向量方和麗均可以用B表示,再結(jié)合平面向量數(shù)量積運(yùn)算法則即可得解.

【詳解】解：如圖所示,建立以￡石為一組基底的基向量,其中同=同=1且￡3的夾角為60。,

JB=2a+4b,CD=4a-2b,

ΛZβ?GD=(25+4?)?(4α-2?)=8J2-8ft2+12α??=8-8+12×l×l×∣=6.

則函數(shù)V=∕(l-x)的圖象大致是()

【答案】B

【分析】分段求出函數(shù)y=∕(i-χ)的解析式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性可得答案.

【詳解】當(dāng)ι-χ>o,即x<l時(shí)，y=∕(l-x)J"j),

I-X

；=一占(I)+ln(D=T+In(I-X),

y—O-X)2O-X)2

令???j√>0?,得χ<i-e,令y'<0,得I-e<x<l,

所以函數(shù)y=∕(l-x)在(-%l-e)上為增函數(shù)，在(l-e,l)上為減函數(shù)，由此得A和C和D不正確；

當(dāng)l-x≤0,即x21時(shí)，y=/(1-?)=(1-x)e'^x,

y'=(?-x),e1^v+(1-x)(e'?)=-e'`-(?-?)e1`=-el^v(2-x),

令???/>()?,得χ>2,令/<0,得l≤x<2,

所以函數(shù)夕=/。-力在(2,+8)上為增函數(shù)，在［1,2)上為減函數(shù)，由此得B正確；

故選：B

5.正整數(shù)1,2,3,…，〃的倒數(shù)的和I+：+：+…已經(jīng)被研究了幾百年，但是迄今為止仍然沒

23n

有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式；當(dāng)“很大時(shí)I+?+:+…+L*ln∕z+y.其中7稱為

23n

歐拉一馬歇羅尼常數(shù)，y=0.577215664901…，至今為止都不確定，是有理數(shù)還是無理數(shù).設(shè)［司表示

不超過X的最大整數(shù).用上式計(jì)算1+：+；+--+親的值為(M參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69,ln3NL10,

In10≈2.30)

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】1+W??+^-≈In2022÷/=ln2+ln3+ln337+/,

232022

利用In300<In337<In360估計(jì)In337范圍，從而求得［in2022+7］值.

【詳解】由題意知I+1+：+…+/；=hι2022+7.

232022

而In2022=In2χ3χ337=In2+ln3+In337=1.79+In337,

XIn300<In337<In360,

In300=In3+21n10≈1.10+2×2.30=5.70,

In36θ=2(ln2+ln3)+lnlθ≈2(0.69+1,10)+2.30=5.88,

.?.In2022∈(7.49,7.67),

/.ln2022+∕∈(8.06,8.25),

故l+→→-+?7Mn2022+#8,

故選：B

6.若直線/：夕=履+3上存在長度為2的線段48,圓。：N?+/=[上存在點(diǎn)M,使得彤IJ監(jiān)，

則”的取值范圍是()

A?卜,一用卷,÷∞jB.-4'T_

C.(-∞,-2√2]u[2√2,+00)D.[-2√2,2√2]

【答案】A

【分析】由題意，以/8為直徑的圓與圓。有公共點(diǎn)，設(shè)/8中點(diǎn)為N(∕,k+3),則IMNI=1,問題轉(zhuǎn)

化為圓。上存在點(diǎn)"，直線/上存在點(diǎn)M使得IMM=1,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式列出不等式，即

可求得人的取值范圍.

【詳解】由題意，以/8為直徑的圓與圓。有公共點(diǎn)，設(shè)/3中點(diǎn)為Na股+3),則IMM=1,問題轉(zhuǎn)

化為圓。上存在點(diǎn)/，直線/上存在點(diǎn)M使得IMM=1,故只需點(diǎn)〃到直線/的距離的最小值小于

或等于1,即點(diǎn)。到直線/的距離d=1342,解得女≥正或A≤-好.

√1+k222

故選：A.

7.如圖是一款多功能粉碎機(jī)的實(shí)物圖，它的進(jìn)物倉可看作正四棱臺(tái)，已知該四棱臺(tái)的上底面邊長為

40cm,下底面邊長為IOCm,側(cè)棱長為30cm,則該款粉碎機(jī)進(jìn)物倉的容積為()

A.8600√2cm3B.8600√3cm3C.10500√2cm3D.10500√3cm3

【答案】C

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合棱臺(tái)的體積計(jì)算公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.

畫出滿足題意的正四棱臺(tái)/3CD如圖所示，則用。=40√Σ,8Z)=Io√L過點(diǎn)。作

DELBIR于點(diǎn)、E,則Z)E=I5√lDE=j302-(15√Σ)2=15近，所以該正四棱臺(tái)的體積為

j∕=∣(402+102+10×40)×15√2=10500√2(cm,).

故選：C

?x=?+sin2θ

8.在平面直角坐標(biāo)系XQy中，已知直線/：歹=左(x+l)與曲線C：.八(。為參數(shù))在第

[y=sιnθ+cosθn

一象限恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍為()

A.(0,1)B.(0,?-)C.[?,1)D.忤

【答案】D

【分析】對(duì)曲線C的參數(shù)方程消參求得普通方程，利用導(dǎo)數(shù)求得直線與曲線相切時(shí)直線的斜率以及

臨界狀態(tài)對(duì)應(yīng)直線的斜率，即可容易求得結(jié)果.

【詳解】對(duì)曲線C的方程消參可得：y2=l+sin2θ=x,即V=χ,x∈[θ,2],

作圖如下:

設(shè)直線/與曲線C在第一象限的切點(diǎn)為p（，*〃），且洲=〃2

因?yàn)楱M=χ,（x>0）,故可得y=4,y'=訪：，

則=J=,即TLT=1,解得〃=1,〃=-1（舍去）.

故此時(shí)切點(diǎn)坐標(biāo)為（1,1）,對(duì)應(yīng)直線/的斜率匕=p

當(dāng)直線/過點(diǎn)。（2,&）時(shí)，設(shè)其斜率為的，

故可得左,=".

23

數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)直線/與曲線C在第一象限內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí),

斜率的取值范圍為［右潞），即為

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化，以及直線與拋物線相切時(shí)切點(diǎn)的求解，涉及導(dǎo)數(shù)的

幾何意義，屬綜合中檔題.

9.已知將函數(shù)/（x）=2Sin妥CoSm-瓜in竽3>0）的圖象向右平移合個(gè)單位長度，得到函數(shù)

g（x）的圖象，若g（x）在（0,兀）上有3個(gè)極值點(diǎn)，則3的取值范圍為（）

【答案】C

【分析】利用三角恒等變化得/(x)=2sin［四+1卜/,由圖象的變化得

g(x)=-2cos［函+結(jié)合題意和余弦函數(shù)的圖象列出不等式組求解即可.

【詳解】因?yàn)?(x)=2sin/?卜OS等-樂in與B

ωxωx

=sinωx-yβ(?-cosωx)

=sinωx+8cosωx-y∕3

?πππ)

令t=ωx+-又因?yàn)镚〉0,當(dāng)xw(。，兀)時(shí),E=^υx+y∈WM兀+引,

3

g(x)在(0,兀)上有3個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于人⑺=CoSf在fe(∣?,M+g)上有3個(gè)極值點(diǎn),

恤)=COSf的圖象如圖所示:

TT

由余弦函數(shù)〃⑺=CoSZ的性質(zhì)可得:3兀<ωπ+-≤4π,

Q11

解得2<0≤q.

33

故選:C.

22

10.已知雙曲線0-4=1的左、右焦點(diǎn)分別為耳,心，過點(diǎn)耳作圓/+『=42的切線分別交雙曲線

a"b'

的左、右兩支于點(diǎn)8,c,且忸C=ICEI,則雙曲線的離心率為()

A.yjs~2?^3B.5÷2?>∕3

C.√5+2√3D.5-2√3

【答案】C

【分析】設(shè)切點(diǎn)為A,利用垂直關(guān)系可得CoSNCG瑪=2,由題意結(jié)合雙曲線的定義可得忸用=2%

C

?BF2?=4a,在△明工中利用余弦定理解出-的值即可求雙曲線的離心率.

【詳解】如圖所示，設(shè)切點(diǎn)為A,連接04,

22

由雙曲線的定義可知|。耳I=C,?AFl?=y∣?θF^-?θA^=>Jc-a=b,

所以cosNAFQ=cosZCF1F2=-,

因?yàn)殁頒I=Ie聞,所以ICKITC&=忸c∣+∣姐ITC周=I即1=2%

因?yàn)殁钣?忸4=2α,所以忸FJ=4*

忸用‘+I耳閭2-8目

所以在48片5中，由余弦定理可得CoSNCGg=

2∣

即2=4"-+4cT6"-,整理得2岫=一,

c2×2a×2c

^c2=a2b2,得從一2而-2/=0,即O2用

+—2=0,

解得2=1+6或1一行（舍去）,

a

所以e2=??=Ht=5+2√3,

aa

則雙曲線的離心率e=J5+2JJ,

故選：C

11.某校組織甲、乙兩個(gè)班的學(xué)生到“農(nóng)耕村”參加社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，某天安排有釀酒、油坊、陶藝、

打鐵、紡織、竹編制作共六項(xiàng)活動(dòng)可供選擇，每個(gè)班上午、下午各安排一項(xiàng)活動(dòng)（不重復(fù)），且同一

時(shí)間內(nèi)每項(xiàng)活動(dòng)都只允許一個(gè)班參加，則活動(dòng)安排方案的種數(shù)為（）

A.126B.360C.600D.630

【答案】D

【分析】按兩個(gè)班共選擇活動(dòng)項(xiàng)數(shù)進(jìn)行分類，至少選兩項(xiàng)，至多選四項(xiàng)，故分三類求解即可.本題等

同染色問題，即四區(qū)域六色涂，相鄰不能涂同色問題.

【詳解】按兩個(gè)班共選擇活動(dòng)項(xiàng)數(shù)分三類：

第一類：兩個(gè)班共選擇2項(xiàng)活動(dòng)，有《種方法；

第二類：兩個(gè)班共選擇3項(xiàng)活動(dòng)，有￡6種方法；

第三類：兩個(gè)班共選擇4項(xiàng)活動(dòng)，有《種方法.

則活動(dòng)安排方案的種數(shù)為《+￡4+4=630.

故選：D.

【點(diǎn)睛】直接分類法是求解有限制條件排列問題的常用方法：先選定一個(gè)適當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，將要完

成的事件分成幾個(gè)類型，分別計(jì)算每個(gè)類型中的排列數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理得出總數(shù).而對(duì)于分

類過多的問題，正難則反，一般采用間接法處理.

?inγ—CCqγ-U9

12.已知y=∕G+左)—左(2>0)是R上的偶函數(shù)，且當(dāng)X3A時(shí)，/(χ)=SmXSSX十上若

e

∕α)>∕α),則()

A.x1÷x2>2kB.χl+χ2<2k

C.∣x1-^∣<∣x2-Λ∣D.∣x1-?∣>∣x2-?∣

【答案】C

【分析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)可得出/(X)的圖象關(guān)于直線X=%對(duì)稱，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷X34時(shí)函數(shù)的單

調(diào)性，由此結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)和/(不)>/(匕)，可得出N-H<昆-修，即可判斷c,D；脫掉絕對(duì)值

符號(hào)化簡，可判斷A,B.

【詳解】由y=∕α+%)-左是R上的偶函數(shù)，^f(-χ+k)-k=f(x+k)-k,

即"-x+%)=/(x+/),所以/(X)的圖象關(guān)于直線X=左對(duì)稱.

當(dāng)X34時(shí)，f(χ)=------------,由∕r(χ)=-------------≤0,僅在x=2E,A∈Z時(shí)取等號(hào)，

ee

得/(χ)在區(qū)間伙,+⑹上為減函數(shù)，則在區(qū)間(-％口上為增函數(shù)，

根據(jù)/(χ)圖象的對(duì)稱性,由〃再)>)得k-4<區(qū)-H，

則C正確、D錯(cuò)誤.

當(dāng)玉一%,-%異號(hào)時(shí)，則x∣-/<-X2+左或-項(xiàng)+左<%2-%，即占+X?<24或x∣+々>2%,

即選項(xiàng)A,B的結(jié)果不能確定，

故選：C.

二、填空題

13.已知函數(shù)V=Sinx在xe[0,π]的圖像與X軸圍成的區(qū)域面積為α,則(χ2-0χ+l)4的展開式中產(chǎn)的

系數(shù)為.

【答案】-56

【分析】先根據(jù)定積分的定義求出α=2,然后二項(xiàng)式可以化簡為(X-I)",進(jìn)而可以求解.

【詳解】由已知可得α=??s?nrdv=(-cos.r)|；=2,

44S,3

所以二項(xiàng)式-^+l)=(√-2X+1)=(X-1)的展開式中含x的項(xiàng)為CX-(-1)5=-56X,

故f的系數(shù)為-56,

故答案為：-56.

14.已知三棱錐P-/8C中，底面Z8C是邊長為2百的正三角形，點(diǎn)尸在底面上的射影為底面的中

心，且三棱錐P-/8C外接球的表面積為18兀，球心在三棱錐P-ZBC內(nèi)，則二面角尸-48-C的平

面角的余弦值為.

【答案】;

【分析】根據(jù)給定條件，求出球半徑并確定球位置，再作出二面角尸-N5-C的平面角，結(jié)合三棱

錐的結(jié)構(gòu)特征求解作答.

【詳解】設(shè)正“8C的中心為。，有OA=OB=OC,而POl平面力8C,則PN=PB=PC,

延長CO交于點(diǎn)￡>,則點(diǎn)。為/8的中點(diǎn)，有PDJ.AB,CDVAB,

即NPOC為二面角。一/8-。的平面角，

由NB=2√J,得OC=2OD=2,顯然三棱錐尸-/8C為正三棱錐，其外接球的球心M在線段P。上,

由三棱錐尸-/BC的外接球的表面積為18π,則該球半徑MC=逑，由MC?=MO?+OC?,解得

2

MO=-,

2

PO=2及,PD=3，所以COSNpDc=黑=；,

所以二面角P—/8—C的平面角的余弦值為

故答案為：?

15.數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,,且囚+3的+…+3"-%="?3",若對(duì)任意〃GN?,S,,≥(T)"就恒成立，

則實(shí)數(shù)彳的取值范圍為.

【答案】[T4]

【分析】由q+3%+…+3"τ%="?3”可化簡得到｛凡｝的通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式形式上的特點(diǎn)可知｛%｝

為等差數(shù)列，求出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，代入，的公式，即可把不等式S(I≥(-l)"成化為

(-l),,Λ≤n+2,分〃為偶數(shù)和”為奇數(shù)討論即可求出實(shí)數(shù)/1的取值范圍.

【詳解】因?yàn)閝+3%+…+3"%,=〃.3",當(dāng)"=1時(shí)，α∣=3.

π2

當(dāng)“≥2時(shí)，+3a2+...+3-I=(〃-1),3"",

兩式相減得3"τ?=n?3π-(π-l)?3"τ,化簡得∕=2〃+1,〃≥2,

當(dāng)"=1時(shí)，"∣=2xl+l=3.

所以凡=2〃+l,〃eN',所以數(shù)列｛《,｝是以q=3為首項(xiàng)，1=2為公差的等差數(shù)列，

所以S“=3n+^^-~—×2=/72+2n，

n2

由S,,≥(-1)"”2得〃2+2〃≥(_1ynλ,即(-1)"X≤〃+2對(duì)任意〃€N*恒成立，

當(dāng)力為偶數(shù)時(shí)，不等式化為4≤N+2,所以∕l≤("+2)min=2+2=4;

當(dāng)〃為奇數(shù)時(shí),不等式化為T4"+2,gpΛ≥-(n+2),所以洗s[-(〃+2)]max=-(l+2)=-3,

所以實(shí)數(shù)2的取值范圍為[-3,4].

故答案為：卜3,4]

16.已知函數(shù)/(x)=2+lnx,g(x)=/,若總存在兩條不同的直線與函數(shù)y=∕(x)J=g(x)圖象均

相切，則實(shí)數(shù)”的范圍為.

【答案】(0,2)

【分析】將有兩條公切線轉(zhuǎn)化為〃(x)=4(In*+I與直線。=四有兩個(gè)不同交點(diǎn),后利用導(dǎo)數(shù)研

究函數(shù)MX)="(I11'+」單調(diào)性與極值情況畫出〃(x)=4(1±1)大致圖象,即可得答案.

【詳解】設(shè)切線在/(x)=2+lnx,g(x)=S上的切點(diǎn)分別為(西,必),(％,E).

因/'(x)=Lg'(x)=S=.則切線方程可表示為：?=?(?-X1)+2+Inx1

X2√xx↑

,也可表示為一二金(X7)+山，其中酒”

1=a

X12J.nα=?S>0,4(2

則=d.則總存在兩條不同的直線與函數(shù)

a灰

l1+1lnx=v

112

y=f(%),y=g(χ)圖象均相切,

等價(jià)于∕(x)=40nX+1)與直線.=“2有兩個(gè)不同交點(diǎn).∕(χ)=*丁則

ji

\-4InX

fl⑴:=——■

令/(x)>0=0<X<1n∕z(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

h'(x)COnX>1=>〃(x)在(l,+∞)上單調(diào)遞減，則〃(XL=?(?)=4.

注意到x→0K(x)→-8,hf?j=0,X→∞,Λ(x)→0,可得MX)大致圖象如下，則

α>0

=OVaV2

0<a2<4

故答案為：(0,2)

三、解答題

17.如圖，在極坐標(biāo)系中，曲線C/是以C/(4,0)為圓心的半圓，曲線C2是以C?為圓心

的圓，曲線。、C2都過極點(diǎn)O.

X

(1)分別寫出半圓C/,C2的極坐標(biāo)方程；

TT

(2)直線/：。=：(夕€尺)與曲線C/,G分別交于V、N兩點(diǎn)(異于極點(diǎn)O),P為C2上的動(dòng)點(diǎn),

求aPMN面積的最大值.

【答案】(I)G：0=8c。.B(O≤e≤∕j;C2:p^2y∕3sinθ(0≤θ≤π)-(2)乎.

【分析】(1)直接利用轉(zhuǎn)換關(guān)系的應(yīng)用，把參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換.

(2)利用三角函數(shù)關(guān)系式的變換和三角形的面積的公式的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】(D曲線C/是以G(4,0)為圓心的半圓，

所以半圓的極坐標(biāo)方程為P=8cs?彳0<d≤∣^,

曲線C2是以。2(五∣1)為圓心的圓，轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)方程為P=2JWs山*0≤θ<π).

-8cov

(2)由(1)得：∣MV∣=∣PΛ/P.vH?y-^>sin^|=1,

顯然當(dāng)點(diǎn)P到直線MN的距離最大時(shí)，MPMN的面積最大.

此時(shí)點(diǎn)尸為過C2且與直線MN垂直的直線與G的一個(gè)交點(diǎn)，

設(shè)PCz與直線MN垂直于點(diǎn)”，

如圖所示：

在HAOg中，IgHOC/s嗎=爭

所以點(diǎn)尸到直線MN的最大距離d=?HG1+匕=*+療=手

所以冬麗=gχMM?d=g<ι×孚=牛.

【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：參數(shù)方程極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程之間的轉(zhuǎn)換，三角函數(shù)關(guān)系式

的恒等變換，三角形的面積公式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中

檔題.

18.“8C的內(nèi)角Z,B,C所對(duì)的邊分別為α,b,c,已知2〃=.十〃一叫。_tan⑷.

⑴求角Ci

/7

(2)若c=2ji?,。為BC中點(diǎn)，cos8=笆7，求4)的長.

【答案】(i)￥

4

⑵而

【分析】(1)根據(jù)余弦定理與正弦定理將邊化角結(jié)合三角恒等變換即可求解；

(2)先求解sin4=叵，由正弦定理求出〃邊，結(jié)合余弦定理即可求解.

10

【詳解】(1)由2〃=(〃+c?-α)(l-tan4),Λ2b1=26ccosJ(l-tan∕i),Λfe=c(cosJ-sin√i)

sinB=sinC(cosA-sinA),β/A+B-?-C=π，

由正弦定理得，sin(4+C)=sinCcOSZ-SinCSin/，/.sinAcosC=-sinCsinA≠0,

.*.tanC=-If解得C=—；

4

(2)c。SB=^^-，SinB=JI-COS26二手,?sinA=sin(B+C)=,

由正弦定理得α="M=2√Σ,

SinC

在ANBO中，由余弦定理得力》=/爐+8力2-〃氏8。COS8,解得/。=岳.

19.如圖，在四棱錐尸一/BC。中，AB∕∕CD,AB±BC,BC=CD=PA=PD=；AB=2,PC=2√3，

E為AB的中點(diǎn).

(1)證明：8O_L平面/PD；

(2)求平面APD和平面CEP的夾角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析

喈

【分析】(I)已知條件求出/8,BD,的長度，勾股定理證得

取力。的中點(diǎn)O,連接OP,0C,有PoI.4D,得P0,勾股定理證得POlOC,從而PO/平面ABCD,

有BDLOP,所以8。工平面NPr>.

(2)建立空間直角坐標(biāo)系，求相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，求相關(guān)向量的坐標(biāo)，求平面/尸。和平面CEP的一個(gè)

法向量，利用向量夾角公式求平面《尸。和平面CEP的夾角的余弦值

【詳解】(1)在直角梯形48C。中，易得43=4,BD=2近,JΣ>=2√2,

?-?AD1+BD-=AB2>：.BDLAD.

取工。的中點(diǎn)。，連接0尸，OC,易得Po-Lj4D,Po=五,如圖所示，

在ACDO中，易得OC=y]CD1+DO--2CD?∞cos135o=√10-

又PC=2也，：,OC^+Pb=PC'：.POLOC,

又POLAD,AD∏OC=O,力。,。CU平面488,平面/8CZ),

5。U平面Z5C。，：.BDlOP,

又BDLAD,ADCOP=0,4￡),。尸U平面力尸。，L平面/PD

(2)如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,所在直線分別為X,y軸，過點(diǎn)。且與尸。平行的直線為Z

軸建立空間直角坐標(biāo)系，

CD

則D(O,O,O),J(2√2,θ,θ),5(θ,2√2,θ),^(√2,√2,θ),P(√2,O,√2),c(-√2,√2,θ),

.?.CP=(2√2,-√2,√2),CE=(2√2,O,θ),

平面為PD,.?.平面NPZ)的一個(gè)法向量為Z=(0,1,O)?設(shè)平面CEp的法向量為S=(X,y,z),

n,-CP=0

則——，得,取y=l,得%=(0,1,1)，

2√2x=0

n2CE-0

.一一1λ∕2

??cosn.,n1=-----=，

-1×√22

.?.平面/PO和平面CEP的夾角的余弦值為正.

2

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)撥

利用向量法求二面角的方法主要有兩種：(1)分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通

過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角的范圍；(2)分

別在二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個(gè)向量，則這兩個(gè)向量的夾角的大小

就是二面角的大小.

20.已知尸為拋物線爐=2PX(P>0)的焦點(diǎn)，過尸且傾斜角為45°的直線交拋物線于48兩點(diǎn)，

I明=8.

(1)求拋物線的方程：

(2)已知P(XI),-1)為拋物線上一點(diǎn)，M,N為拋物線上異于P的兩點(diǎn)，且滿足Gr即,v=-2,試探

究直線MN是否過一定點(diǎn)？若是，求出此定點(diǎn)；若不是，說明理由.

【答案】(1)y2=4x(2)過定點(diǎn)，

【解析】(1)設(shè)出直線的方程，聯(lián)立拋物線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理即可求解出P的值，即可求解出拋

物線的方程；

(2)求解出P點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線MV的方程X=叩+?加WO),,根據(jù)心M?∕w=-2求解出之間的關(guān)

系，從而確定出直線所過的定點(diǎn).

【詳解】解：(1)由已知F(W,0),直線48的方程為V=X-]

2

y=2pχ2

聯(lián)立直線與拋物線p，消y可得，X"—3px+=0,所以X/+與=3〃,

y=x--4

2

因?yàn)楱O45∣=S+Λ?+P=4p8,所以2P=4,

即拋物線的方程為/=4x.

(2)將P(XO,-1)代入∕=4x可得尸

不妨設(shè)直線MN的方程為X=W+Q"≠0),M(?η,必)，N(X2,%),

V,=4x

聯(lián)立〈，消X得/一4叩-4f=0,

X=my-i>rt

2

則有yl+y2=4加,yly2=-4f,?=ιβm+16/>

k.

k-2LLLXA114416

由題意PMkPN_1=--X——

1必%一（必+%）+1—2

再一彳?-4必一1%一

9

化簡可得，，=「,

代入Δ=16m2+16/=16(機(jī)2+(一%)=I6(〃？一g)+32>0

Q

此時(shí)直線MN的方程為x=m(y-?')+-,

4

所以直線MN過定點(diǎn)停,1).

【點(diǎn)睛】本題考查拋物線方程求解以及拋物線中的直線過定點(diǎn)問題，難度一般.(1)圓錐曲線中已知兩

條直線的斜率之間的關(guān)系，可將斜率表示為對(duì)應(yīng)的韋達(dá)定理形式，從而確定出未知參數(shù)之間的關(guān)系;

(2)直線y=b+,"的過定點(diǎn)問題，實(shí)際就是求解直線方程中參數(shù)之間的關(guān)系.

21.某市為了更好的了解全體中小學(xué)生感染新冠感冒后的情況，以便及時(shí)補(bǔ)充醫(yī)療資源.從全市中小

學(xué)生中隨機(jī)抽取了100名抗原檢測為陽性的中小學(xué)生監(jiān)測其健康狀況，100名中小學(xué)生感染奧密克

戎后的疼痛指數(shù)為X,并以此為樣本得到了如下圖所示的表格：

疼痛指數(shù)Xx≤?o10<%<90X≥90

人數(shù)(人)10819

名稱無癥狀感染者輕癥感染者重癥感染者

其中輕癥感染者和重癥感染者統(tǒng)稱為有癥狀感染者.

(1)統(tǒng)計(jì)學(xué)中常用L=緇2表示在事件/發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的似然比.現(xiàn)從樣本中隨機(jī)抽取1

P(B?A)

名學(xué)生，記事件A：該名學(xué)生為有癥狀感染者，事件8：該名學(xué)生為重癥感染者，求似然比L的值;

(2)若該市所有抗原檢測為陽性的中小學(xué)生的疼痛指數(shù)X近似的服從正態(tài)分布N(50,4),且

P（X≥90）=±.若從該市眾多抗原檢測為陽性的中小學(xué)生中隨機(jī)抽取3名，設(shè)這3名學(xué)生中輕癥感

染者人數(shù)為丫，求y的分布列及數(shù)學(xué)期望.

【答案】（吟

（2）分布列見解析，2.4

【分析】（1）應(yīng)用條件概率公式計(jì)算求解即可；

（2）應(yīng)用由二項(xiàng)分布分別寫出求分布列及計(jì)算數(shù)學(xué)期望.

QIiQOQ_OlO_Ql

【詳解】⑴由題意得：”小封尸⑻=而,尸出）=茄,％皿Fo'R函γ,

9

P(AB)=畫=?

/.P(B∣A)=

P(A)—2—10

W

81

P(AB)?9

P(B?A)=

P(A)-2一10

10

a?

￡=L

/回?lo

(l?

X∕9

lo

(2)vP(%≤10)=P(Λr≥90)=?,

14(4

.?.P(10<Ar<90)=l-2×—=y,則y~B[3,g

???y可能的取值為0,1,2,3,

4

???p(y=0>cθ×?I=?^=1>Cb*焉2}c;X∣×r?

Wf=UX1喂

.?.y的分布列為:

YO123

1124864

P

125125125