2022-2023學年黑龍江省牡丹江市高二下學期期中數學試題【含答案】

2022-2023學年黑龍江省牡丹江市高二下學期期中數學試題

一、單選題

1.已知等差數列｛%｝的前〃項和為S"，若S'=21,%=5,則公差為()

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】B

【分析】由前n項和及等差中項的性質可得￡=74求得4=3,進而求公差即可.

【詳解】由邑=4+%+…+β7=7%=21,則“4=3,

???公差d=上生=-1.

2

故選：B.

2.在等差數列｛《,｝中，若α∣+4=5,a?+%=。，則%+%=()

A.10B.20C.25D.30

【答案】C

【解析】根據等差數列通項公式，可得關于首項與公差的方程組，解方程組即可得首項與公差，進

而由等差數列通項公式求得a5+a6.

【詳解】在等差數列｛%｝中，％+%=5,4+4=15,

根據等差數列通項公式，設公差為d,

q+q+d=5

可知,解得

q+2d+q+3d=15

故％+%

=6+44+4+5〃

=2al+9d=25,

故選：C.

【點睛】本題考查了等差數列通項公式的基本量計算，屬于基礎題.

3.已知,/(x)=xln‰若/'(X())=2,則Xo=()

A./B.βC.---D.In2

2

【答案】B

【分析】對函數進行求導，然后代入求值即可.

【詳解】因為ΛX)=Λ1ΠΛ,所以/'(X)=InX+1,

由/'(Xo)=lnXo+l=2,解得Xo=e.

故選：B.

4.設等比數列｛《,｝的前〃項和為5.嗎=-8,%=；,則$6=()

21n15-21C63

A.-----B.—C.—D.—

2222

【答案】C

【分析】設等比數列｛4｝公比為9,由%=∕q?'結合己知條件求4、再利用等比數列前"項和公

式求S6.

【詳解】設等比數列｛q｝公比為4,則%=%八又4=-8,%=；,

:?q=-3,故q=i6,

16×[l-(-?]16χ獸

即56=------------Γ~=-Γ121

~2

1-(--)-

22

故選：C

5.設曲線y=ax-ln(x+l)在點(0,0)處的切線方程為y=2x,則a=

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【詳解】D試題分析：根據導數的幾何意義，即？(Xo)表示曲線f(X)在x=xo處的切線斜率，再

代入計算.

解:/=a-擊,

?'?y'(0)=a-1=2,

.β.a=3.

故答案選D.

【解析】利用導數研究曲線上某點切線方程.

6.設數列｛%｝滿足4“=三4L,且4=；,則.22=()

A.—2B.—C.?D.3

32

【答案】D

【分析】由題意首先確定數列為周期數列，然后結合數列的周期即可求得最終結果.

_]+a1+)l+a,1+3C

【詳解】由題意可得：~L=T=3,%=1~~L=T==-2,

。

l-al1-21-3

~2

11

l+a31+(-2)1l+a4"^31

12

1一。3~(~)3l-a41+12

3

據此可得數列｛4｝是周期為4的周期數列，

a

則2022=%05χ4+2=?=3.

故選：D

7.直線y=gx-b與曲線y=-gx+lnx相切，則6的值為()

A.2B.-2C.-1D.1

【答案】D

【分析】求出V=-；+/,設切點(馬,％),由y'(%)=g求出(/,%)，代入y=；X-匕可得答案.

【詳解】y'=-^+-＞設切點(%,%)，由J，

2XZXoZ

所以Xo=I,%=-g,代入y=gx-b,得b=l.

故選：D.

+7

8.已知數列｛q｝是等比數列，?2=2,%=；，令1,=”「。2+42。+???÷∣,則L=()

A?H,")B.⑹卜一身C.γ｛l-?)D.用I-H

【答案】C

【分析】設等比數列｛%｝的公比為4(4工。)，根據題意求得4/=8,且當〃≥2時，L=/得到

an-?,an

數列｛4?q,+J是以/為公比的等比數列，結合等比數列的求和公式，即可求解.

【詳解】設等比數列｛%｝的公比為4(4/0),

因為%=2,α5=l可得/=殳=：,解得4=：,

4452

則〃2=gq=2,解得4=4,所以44=8

又由當〃22時，“〃&-=：,

.凡

所以數列｛例?αz｝表示首項為8,以才=（為公比的等比數列,

81√1T

所以7L14)32

"以(=4?%+%q++%?用=——j—T

1——

4

故選：c.

二、多選題

9.若｛q｝為等差數列，〃2=11，%=5,則下列說法正確的是（）

A.an=15-2n

B.-20是數列｛4｝中的項

C.數列｛%｝單調遞減

D.數列｛4｝前7項和最大

【答案】ACD

【分析】由｛4｝為等差數列，列方程組求得首項與公差，就可得到通項公式，然后對選項逐一判斷

即可.

【詳解】因為數列｛%｝為等差數列，且生=11，%=5,則K+41=5'解得4=13M=-2,

?=13+（n-l）×（-2）=-2n+15,故A選項正確，

由-20=-2〃+15,得〃=/把N*,故B錯誤，

因為“<0,所以數列｛%｝單調遞減，故C正確，

由數列通項公式4=15-2〃可知，前7項均為正數，?=-l,所以前7項和最大,故D正確.

故選：ACD

10.已知SZl是數列｛%｝的前八項和，s“=I-M,則下列結論正確的是（）

A.數列｛叫是等比數列B.數列｛叫是等差數列

c?4=￡D.5?=1-?

【答案】ACD

S.,n=1a,1,?

【分析】利用4,=CC、。求解出當〃22時，口l=3,故數列%｝是等比數列，求出通項公

lSn-S,.-υn≥2a<?-X2

式和前”項和公式，判斷出答案.

【詳解】當月=1時，4=S∣=l-q,所以q=g,

當"≥2時，a=S-S^=(l-a,,)-(l-<7,,-),所以2%=41,所以

nnllla

n-?乙

所以數列｛4｝是首項為T，公比為T的等比數列，所以％=gx￡zr=￡，

?=1-?=1-^7?

故選：ACD.

II.如圖是函數y=∕(χ)的導函數的圖象，對于下列四個判斷，其中正確的是()

A./(X)在12,-1］上是增函數

B.當x=-l時，〃x)取得極小值

C.F(X)在(-1,2)上是增函數,在(2,4)上是減函數

D.當x=3時，/(x)取得極小值

【答案】BC

【分析】根據圖象可得出尸(x)在各個區(qū)間上的符號，從而得到單調區(qū)間，進而得到極值點.

【詳解】由圖象知，當x∈［-2,T上,/'(x)≤0恒成立，即"x)在［-2,7］上單調遞減，A項錯誤;

又當Xe(T2)時，/Kx)>O恒成立，即“X)在Xe(T2)上單調遞增，所以當戶-1時，/(x)取得

極小值，B項正確；

當xe(2,4)時，f'(x)<O恒成立，即/(x)在(2,4)上單調遞減，C項正確;

當xw(2,4)時,f'(x)<O恒成立，即F(X)在(2,4)上單調遞減,所以D項錯誤.

故選：BC.

12.已知函數"x)=?√—奴+1的圖象在點(IJ(X))處的切線的斜率為2,則()

A.a=?B./(x)有兩個極值點

C.f(x)有2個零點D./(x)有1個零點

【答案】ABD

【分析】首先求導得尸(X)=3f-α,利用切線斜率與導數關系得到/⑴=2,解出。值即可判斷A

選項，將。代回原函數與導函數，利用導數與極值的關系，求出((X)=O時的兩根，即可判斷B選

項，利用零點存在定理和數形結合的思想即可判斷其零點個數.

【詳解】f'(x)=3x2-a,由題得/(1)=2,.?.3-4=2,.?.α=l,故A正確，

f(x)=x3-x+l,:.f'(x)=3x2-l,令/(X)=0,X=或昱,

33

令r(*)<o,B∣J3X2-I<O,-3<x<3，令rα)>o,則》<一直或》>立，

3333

?/(x)在-8,-咚,，，+8上單調遞增，在-W,W上單調遞減，

I3八3J?iJ

?/(x)在X=-*取得極大值，在X=/取得極小值，故/(x)有兩極值點，故B正確，

又/(7)=T+l+l=l>0,/(-2)=-8+2+l=-5<0,則/(—1)?∕(-2)<0且/(x)在［—2,—1］上單.調

遞增，且圖像連續(xù)不斷，故/(x)在上有一零點,

(Γ?/3

而/y=1-23->0,則其無其他零點，大致圖像如圖所示:

故C錯誤，D正確.

故選：ABD.

三、填空題

13.等差數列｛“”｝的前〃項和為S“，a2=20,S9=45,則S“取得最大值時〃的值為.

【答案】5或6

【分析】先求得劣,然后利用q,NO求得正確答案.

【詳解】設等差數列｛q｝的公差為d,

α∣+4=20

解得q=25,d=-5,

9q+36d=45

所以%=-5"+30,

由q,=-5"+30≥0,解得”《6,又4=°，

所以S“取得最大值時n的值為5或6.

故答案為：5或6

14.已知函數/(x)=f+alnX的圖象在(IJ⑴)處的切線經過坐標原點，則實數。的值等于

【答案】T

【分析】由導數的幾何意義求出切線方程，結合切線經過坐標原點，即可求得。的值.

【詳解】因為/(x)=f+αlnx,所以r(x)=2x+?

所以r(l)=2+α,又/(1)=1,

所以y=∕(x)在(IJ⑴)處的切線方程為：j-l=(2+a)(x-l),

又切線方程過原點，把(0,0)代入得T=TX(α+2),

解得：a=-?.

故答案為：-1.

15.已知公差不為0的等差數列伍〃｝的前〃項和為S,若⑷，as,α∕o成等比數列，則邑=

aI

【答案】349

Io

【分析】根據等比中項的性質求得等差數列的項和公差的關系，最后求出盤的值.

aI

【詳解】設｛%｝的公差為d(dwθ),

由題意知a；=%?4θ,

即(的+2d)?=α3(a3÷7J),

2

即a；+4%d+4rf=a^+7a3d,

???d≠0,

.S77(?+J)49

,

?*a1a3+4d16

49

故答案為：—.

16

【點睛】等差、等比數列基本量的求解是數列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌

握等差、等比數列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數列的前〃項和公式

時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程.

16.若函數/(x)=V+(α-l)χ2+3依的導函數尸(x)為偶函數，則曲線y="x)在點(IJ⑴)處的切

線方程為.

【答案】y=6x-2(或6x-y-2=0)

【分析】求出導函數/(X),由其為偶函數得。值，然后計算出斜率/⑴，再計算出了⑴，由點斜式

得直線方程并整理.

【詳解】因為r(x)=3d+2(α-I)X+3a為偶函數，所以2(α-l)=0,解得α=l,∣S∣JΓ(1)=6.

又"1)=4,故曲線y=F(x)在點(IJ⑴)處的切線方程為y-4=6(x-1),即y=6x-2.

故答案為：y=6x-2.

四、解答題

17.已知他“｝是各項均為正數的等比數列，4=2,%=2%+16.

(1)求他“｝的通項公式;

(2)設)=k>g2?,求數列｛〃,｝的前〃項和.

2n12

【答案】(1)β,,=2-;(2)Sn=n.

【分析】(1)本題首先可以根據數列｛%｝是等比數列將由轉化為a?2,%轉化為44,再然后將其帶

入％=2%+16中，并根據數列｛%｝是各項均為正數以及4=2即可通過運算得出結果；

(2)本題可以通過數列｛q,｝的通項公式以及對數的相關性質計算出數列｛〃｝的通項公式，再通過數列

｛〃｝的通項公式得知數列｛〃｝是等差數列，最后通過等差數列求和公式即可得出結果.

【詳解】(1)因為數列｛““｝是各項均為正數的等比數列，4=24+16,4=2,

22

所以令數列｛4｝的公比為4，=aiq=2q,a2=alq=2q,

所以2∕=4q+16,解得g=-2(舍去)或4,

2

所以數列｛%｝是首項為2、公比為4的等比數列，an=2×4'-'=2'-'.

⑵因為a=Iog24,,所以4=2"-l,bn+l=2n+?,bn+l-bn=2,

所以數列｛〃｝是首項為1、公差為2的等差數列，S,,=號??"n2.

【點睛】本題考查數列的相關性質，主要考查等差數列以及等比數列的通項公式的求法，考查等差

數列求和公式的使用，考查化歸與轉化思想，考查計算能力，是簡單題.

18.已知函數〃尤)=3x2-9x+5?

⑴求函數/(x)的單調遞減區(qū)間；

(2)求函數/(x)的極值.

【答案】⑴18,|)

7

⑵“x)的極小值為-“無極大值.

【分析】(1)求導，由導函數小于0求出單調遞減區(qū)間；(2)求出函數的遞增區(qū)間，結合第一問求

出極小值，無極大值.

【詳解】(I)r(x)=6x-9,令r(x)=6x-9<0,解得：x<∣,

故函數/(x)的單調遞減區(qū)間是‘8,B

(2)令∕<x)>。得：x>∣

故“X)在’8，()單調遞減，在(|，+8)單調遞增，

所以“X)在X、處取得極小值，4^J=3×7^9xi+5=^4,

所以/(χ)的極小值為-：，無極大值.

19.已知等差數列㈤｝的公差為2,若外,外,%成等比數列.

⑴求等差數列也｝的通項公式；

(2)若等差數列［—的前〃項和為S“，證明：Slt

IAa“+J4

【答案】⑴%=2〃

(2)證明見解析

【分析】(1)根據條件求出《即可；

(2)利用裂項相消法求出S,,即可證明.

【詳解】(1)因為電，%，4成等比數列，所以Y="?-/

又因為｛4｝為等差數列，公差為2

所以(a∣+6)2=(q+2)(4+14),解得4=2,

則a'=ai+(M-1)J=2+(H-1)×2=2∏;

,一1-z111

(2)由(1)得-=-~~?,77=.1=-\----------

anan+x2n?2(n+?)4∕ι(n+l)41〃H+1

貝IJS“=；(1-4)+J(U)+；d—-二)

424234〃/2+1

IIll11、1八1、1

=—(z1-----1---------F----------)=-(1-------)<一.

4223nπ÷l4〃+14

20.已知數列｛4｝的前”項和為S,,,且4,+S“="

(1)設?,=%-l,求證：｛?,｝是等比數列；

(2)求數列｛4｝的通項公式.

【答案】(1)見證明；(2)1

【分析】⑴通過4+S,,=〃與-+S,,M="+1作差、整理可知--1=也-1),進而可知數列｛q,｝是

以為首項、T為公比的等比數列；

(2)通過(1)可知g=q,-l=-占，進而可知

【詳解】(1)證明：an+S,=n,

,??！?1+Sn+1=n+?f

aa

兩式相減得：?÷1~n+n+?

整理得：4+∣T=T（4-1）,

又G=Q〃-1，

.?數列｛c,,｝是以為首項、T為公比的等比數列；

（2）解：由⑴可知，c,l=a,-l=-^=~,

【點睛】本題考查由S“與關系求數列的通項，注意解題方法的積累，屬于基礎題.

21.已知數列｛4｝的前〃項和為S,,S,,=n1.

（D求數列m｝的通項公式；

（2）已知4=2",求數列｛“也｝的前〃項和7“.

【答案】⑴%=2，?-1

(2)(=(2〃_3>2'用+6

【分析】（1）利用。“與SM的關系式，分類討論并檢驗可求得％=2"-1；

（2）利用錯位相減法即可求得7“.

【詳解】（1）因為S.=",

所以當〃=1時，4=S]=1,

22

當〃≥2時，Sn_｝=（n-l）=n-2w+l,

故=Sn-Slt7=2n7，

經檢驗，弓