吉林省高三下學(xué)期模擬考試(文科)數(shù)學(xué)試卷附答案解析

吉林省高三下學(xué)期模擬考試(文科)數(shù)學(xué)試卷附答案解析

班級:___________姓名：考號：

一、單選題

1.設(shè)集合A={x∣x>0},8={x∣-2<x≤l},則(QA)CB=()

A.{x?x>-2}B.{x∣x>0}C.{x∣-2<x≤0)D.{xlθ≤x≤l}

2.已知復(fù)數(shù)z=(α-2i)(l+3i)(αwR)的實部與虛部的和為12,則∣z-5∣=()

A.3B.4C.5D.6

3.已知向量α=(L2),人=(LO)與c=(3,4).若人為實數(shù)，3+力?)“c,則λ=()

A.-B.?C.1D.2

42

4.2022年北京冬奧會開幕式始于24節(jié)氣倒計時它將中國人的物候文明、傳承久遠的詩歌、現(xiàn)代生活的畫

面和諧統(tǒng)一起來.我國古人將一年分為24個節(jié)氣，如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣的日唇長變化量相同，冬至日

署長最長，夏至日辱長最短，周而復(fù)始.已知冬至日皆長為13.5尺,夏至日號長為L5尺，則一年中夏至

到秋分的日唇長的和為()尺.

楚芋逐漸舉小

春分

/雨水驚蟄O清明谷雨X

I小寒芒種\

冬至27090夏至

秋分/

將長逐漸變大

A.24B.60C.401D.31.5

5.己知菱形ABCo的邊長為√LNBM>=60。將AABD沿折起,使力，。兩點的距離為6,則所得三

棱錐A-BCD的外接球的表面積為()

9萬,15;T

A.3πB.—C.6萬1

2)?—

3

6?已知α=8sl,』M和c1,則下列不等關(guān)系正確的是()

A.a<c<bB.a<b<cC.c<b<a\D?c<a<b

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7.已知α>O,b>O,若直線∕∣:or+〃y-2=0與直線4:2x+(l—a)y+l=0垂直，則α+2b的最小值為()

A.1B.3C.8D.9

8.函數(shù).“X)=ASinWX+e)(A>0,o>0,M<乃)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將/(x)的圖像向右平移J個單位

6

jr)TT

長度，得到函數(shù)y=g(χ)的圖像，則g(χ)在區(qū)間上的值域為()

A.[-√2,2]B.[-1，應(yīng)]C.[θ,√2]D.[0,2]

二、多選題

9.己知/(x)是定義域為R的奇函數(shù)，且滿足/(-X+2)=/(x+2),則下列結(jié)論正確的是()

A./(4)=0

B.函數(shù)y=∕(χ)的圖象關(guān)于直線X=I對稱

C./(x+8)=/(X)

D.若/(-3)=T,則f(2021)=T

10.南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法.商功》中出現(xiàn)了如圖所示的形狀，后人稱之為“三角垛”.“三

角垛”最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球，L,以此類推.設(shè)從上到下各層球數(shù)構(gòu)成一

個數(shù)列{%},則()

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A.4=9B.a,1^-an=n+?

Sl2〃

C?4o=5c4λD.=--τ

Mai∏+?

o

11.直四棱柱ABa>-AB∣GA中底面ABCf)為菱形，ZBAD=60,AB=AD=A41=2。為CG中點，點。

在四邊形c∕)AG內(nèi)(包括邊界)運動，下列結(jié)論正確的是()

A.若DQ=大DC+“DD?,且/1+〃=；,則四面體ABPQ的體積為定值

B.若AQ〃平面ABP,則A。的最小值為百

c.若的外心為。，則AaAO為定值2

D.若AQ=S，則點。的軌跡長度為W

1

12.已知"χ)=Il,若y="χ)-"M恰有3個零點，則“的可能值為()

2∣x-2∣,x>0

3

A.OB.1C.-D.2

2

三、填空題

TTY

13.函數(shù)/(x)=sin(5-x)-8cos5的最小值為一.

14.在△力比'中內(nèi)角4B,C所對的邊分別是a,b,c,若b=不,8=。則2a+c的最大值為__.

15.已知函數(shù)/(x)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，且對任意實數(shù)X都有

M'(?r+4)-(X+4)∕(X)=2X(X+4),貝IJy(IO)=.

16.已知，。:f+V=4和直線/∕y=-Jir,若斜率為4的直線勾與圓。交于A,3兩點，與直線人交于點

C(C在圓O內(nèi))，若IAC-忸CI=1,則∣Aβ∣=.

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四、解答題

17.在一ABC中內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,且分=4.

(1)若SinC=2sin3,αcosC=4求..A6C的面積；

(2)若A=2B,且;/BC的邊長均為正整數(shù)，求

18.已知｛《,｝是一個等差數(shù)列，且4=L%=-5.

(1)求｛4｝的通項

(2)若數(shù)列｛??｝的前〃項和為S(I,求九的值

19.設(shè)函數(shù)/(x)=V+加-6x+2,若/(力在x=2處有極值.

(D求實數(shù)a的值：

⑵求函數(shù)/(x)的極值；

⑶若對任意的xe[-2,4],都有"x)<∕-3c?,求實數(shù)C的取值范圍.

20.如圖，在直四棱柱ABCD-AMGR中底面A8C。是正方形AA=2AB=2,E為。R的中點.

(D證明：CEL平面BCE；

(2)求平面B1C1E與平面AeE夾角的余弦值.

21.已知傾斜角為二的直線經(jīng)過拋物線C:x2=2p-y(p>0)的焦點F,與拋物線C相交于A、B兩點,且

4

IAB∣=8.

(1)求拋物線C的方程；

(2)求過點AB且與拋物線C的準線相切的圓的方程.

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22.己知函數(shù)/(X)=IogosV在其定義域上是奇函數(shù)，a為常數(shù).

(D求a的值.

⑵證明：f(x)在(1,E)上是增函數(shù).

⑶若對于［3,4］上的每一個X的值，不等式“χ)>［g］+"恒成立，求實數(shù)勿的取值范圍.

參考答案與解析

1.C

【分析】根據(jù)補集和交集的定義即可求解.

【詳解】由已知得?A={x∣x≤0},而8={x∣-2<x≤l}

所以低A)c8={x∣-2<x≤0}.

故選：C

2.C

【分析】先把已知z=(α-2i)(l+3i)3eR)化簡，整理出復(fù)數(shù)Z的實部與虛部，接下來去求IZ-51即可解決.

［詳解】Z=(a-2i)(l+3i)=(?+6)+(36?-2)i

則有，。+6+3a—2=12解得a=2

則z=8+4i,z-5=3+4i故∣z-5∣=反不=5.

故選：C

3.B

【分析】先求出α+勸的坐標，再由(a+?)〃c,,列方程可求得結(jié)果

【詳解】因為向量α=(L2)fe=(l,O)

所以α+M=(1,2)+2(LO)=(I+2,2)

因為(α+初)〃Cc=(3,4)

所以殍=,，解得2=g

故選：B

4.D

【分析】根據(jù)給定條件可得以冬至日唇長為首項，夏至日唇長為第13項的等差數(shù)列，求出公差即可列式計

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算作答.

【詳解】依題意，冬至日號長為13.5尺，記為4=13.5,夏至日號長為1.5尺，記為q=15

因相鄰兩個節(jié)氣的日唇長變化量相同，則從冬至日唇長到夏至日署長的各數(shù)據(jù)依次排成一列得等差數(shù)列

{αn},π∈N',π<13

數(shù)列｛α,J的公差d=='?:??-5=-1

13—113—1

因夏至日署長最短，冬至日愚長最長

所以夏至到冬至的日暑長依次排成一列是遞增等差數(shù)列，首項為L5尺，末項為13.5尺，公差為1,共13

項

秋分為第7項，故%=4+6d=7.5

所以一年中夏至到秋分的日號長的和為7=31.5（尺）.

故選：D.

5.B

【解析】先判定所得三棱錐為正四面體，將此正四面體放置在正方體中使得正方體的面對角線是正四面體

的棱，利用正方體的性質(zhì)求得正方體的邊長，進而得到對角線長，由此得到正方體的外接球也就是正四面

體的外接球的直徑，最后利用球的表面積公式計算得到結(jié)果.

【詳解】由已知得aBAD為等邊三角形，；.對角線8。=AB=BC=CQ=DA=G

將沿8。折起，使4C兩點的距離為√J,折起后三棱錐A為正四面體，各棱長都是

將此正四面體放置在正方體中使得正方體的面對角線是正四面體的棱，設(shè)正方體的棱長為。，則正方體的面

對角線為缶=有,??.”=?,所以正方體的體對角線為鳥=爰=2R,其中R為正方體的外接球半徑，由

于正方體的外接球就是正四面體Aa笫的外接球，，正四面體極力的外接球表面積為=—

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故選：B.

【點睛】本題考查幾何體的外接球面積問題，對于正四面體，可以放置在正方體中解決，利用正方體的性

質(zhì)以簡化計算，拓展：對棱相等的四面體可以放置在長方體中求解，利用長方體的有關(guān)性質(zhì)可以簡化計算.

6.A

rsin,,

［分析】構(gòu)造/(x)=e-x-l,χeR得至IJe~>sin1,構(gòu)造/(x)=SinX-x+,1，工>。多次求導(dǎo)得到sin1>∣-,

66

從而得到m,，再構(gòu)造g(x)=COSX-(I-療+》］,χ>o多次求導(dǎo)后得到CoSl礙，從而比較

出大小.

【詳解】設(shè)/(x)=e*τ-1xeR

故r(X)=e*-l,當(dāng)xe(→Λ,())時r(x)<O,當(dāng)Xe(O,+∞)時/,x)>0

故/(x)=e'-x-l在x∈(→x>,0)上單調(diào)遞減，在x∈(0,?κo)上單調(diào)遞增

所以/(x)N∕(O)=O,故e*≥x+l,當(dāng)且僅當(dāng)x=()時等號成立

因為SinI-I≠0,??=es""^l>sinl-l+l=sinl

設(shè)r(x)=SinX-X+［Vx>O

則(X)=COSX-I+gfJC>O

設(shè)r(x)=√(x),則/(X)=-SinX+xx>0

設(shè)e(x)=/(x),則e'(x)=1-CoSX≥O在X>O上恒成立

故/(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，則r'(x)>/(O)=O

故t(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，則r,(x)>(O)=O

故=SinX-X+L?√在(0,+8)上單調(diào)遞增

則r(x)>f(O)=O在(0,+e)上恒成立

所以/(1)=Sinl-I+,>0,則SinI>*

66

i??=esinl-1>-

??(x)=cosx-ll-→2+^-x4jX>O

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故短(X)=-SinXl-X+3)x>o

設(shè)∕z(χ)=g<χ),則”(X)=-COSX+l-gVx>0

??√(x)=Λ,(x),貝!j∕(X)=Sinx-xχ>0

設(shè)MX)=/(x),則MX)=COSX-1≤O在(0,+功上恒成立

故/(x)=SinX-X在(0,+8)上單調(diào)遞減，故/(x)</(O)=O

故〃'(外在(0,+8)上單調(diào)遞減，故Λ,(x)</(O)=O

故g'(x)在(0,+")上單調(diào)遞減，故g'(x)<g'(0)=O

故g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，故g(x)<g(0)=0

所以g(l)=COSl-1I-g+=)<0,BPcos1<?l

1??5

Xcosl<-<-<-<esin'-',即“<c<b.

2446

故選：A

【點睛】方法點睛：麥克勞林展開式常常用于放縮法進行比較大小，常用的麥克勞林展開式如下:

2Mv35γ2n+?

ex=l+x+-++—+6>(xz,+l)sinx=x--+--+(-?)/y------+6>(A：2//t2)

2!n?vf3!5!v,(2n+l)!v7

丫2?462n

-ΛΛΛ/.?∣iΛ(

COSX=I-------+--------------++(-1)7~+O*

2!4!6!v7(2n)!v

v2v3v∏+∣

ln(l+x)=x-y+y-.+(-I)"Q+O(X"'1)

-J—=l+χ+χ2??+χ“+o(%”)(l+x)"=]+&+"；J

7.D

71

【分析】根據(jù)兩直線方程表達式及其位置關(guān)系可得:+?L=1,在利用基本不等式即可求得a+2〃的最小值.

ba

【詳解】由題可知兩條直線斜率一定存在

又因為兩直線垂直，所以斜率乘積為T，即即2α+b="

b??-a)

整理可得［2+?1L=I

ba

所以4+?=(4+23(2+4]=幺+1+4+絲≥5+2j^>2=9,當(dāng)且僅當(dāng)α=匕=3時等號成立;

?ba)ha?ba

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因此α+%的最小值為9.

故選：D

8.C

【分析】先由圖像求出"x)=√∑sin[3x+(],根據(jù)平移得到g(x)=√∑sin(3x-aJ,直接求值域即可.

【詳解】由圖像可以看出：

,所以3=3.

因為/閨

=-Acos^=-I所以ACC)S夕=1.

且A>O,G>O,∣同<乃

-TT

所以9=1A=√2

所以〃x)=0sin0x+?).

因為g(x)=f(Xq),所以g(x)=夜Sin3卜-方)+(=√∑sin卜X-?).

因為Xe，所以3x-ge[0/],所以sin'C?！?/p>

故g(x)e[0，&].

故選：C

9.ACD

【分析】由/(x)奇函數(shù)可得/(0)=0,令x=-2,.f(4)=∕(0)可判斷A；由/(-X+由=∕(x+2),可得χ=2為

對稱軸，可判斷B；由Ax)是奇函數(shù)，/(x+2)=/(-x+2)分析可判斷C；由F(X)周期為8,可判斷D

【詳解】選項A,由于/S)是定義域為R的奇函數(shù)，故/(0)=0,令x=—2,f(4)=/(O)=O故A正確：

選項B,由于/(-x+2)=/(x+2),故函數(shù)/(χ)關(guān)于x=2對稱，不一定關(guān)于x=l對稱，故B錯誤；

選項C,/(x)是奇函數(shù)，故f(x+2)=∕(-x+2)=-f(x-2),令t=x-2,有F(t+4)=-f(f),故

?ɑ+8)=-∕a+4)=∕ω,BP∕(X+8)=∕(X),故C正確；

選項D,由C,/(x)周期為8,故/(2021)=/(253x8—3)=/(—3)=-1,故D正確

故選：ACD

10.BD

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［分析］根據(jù)題意分析可得4-4,τ=〃(〃N2).對A、B：直接代入檢驗即可;對C：利用累加法可得勺=當(dāng)辿

即可得結(jié)果；對D：利用裂項相消法運算求解.

【詳解】根據(jù)題意可知從第二層起，某一層的球數(shù)比上一層的球數(shù)多的數(shù)量剛好是其層數(shù)，即

-=”522),即all=%+"(〃≥2)

對A：因為生=6,所以%=%+4=10,故A錯誤；

對B：因為?！ㄒ?"("≥2),所以〃用一/=〃+1,故8正確；

對C：因為出一4=2,%2=3,…，an-an,x=n(n≥2),且(=1

所以上述各式相加得?！?4=2+3++〃

故=1+2+3+L+〃=≥2)；

經(jīng)檢驗：q=l滿足4=當(dāng)附

所以4=皿等1,則4=55,故C錯誤；

故選：BD.

11.AB

【分析】對于A,取。D,QC的中點分別為M,N,由條件確定Q的軌跡，結(jié)合錐體體積公式判斷A；對于B,

由面面平行的判定定理可得平面ABP〃平面AMN,從而可得AQ〃平面A1BP,進而可求得AQ的最小值：

對于C,由三角形外心的性質(zhì)和向量數(shù)量積的性質(zhì)可判斷，對于D,由條件確定點。的軌跡為圓弧44,利

用弧長公式求軌跡長度即可判斷.

【詳解】對于A,取。0,DC的中點分別為M,N,連接A",AMMN,。。，則OA=2DM,DC=2DN與

MNHDyC

因為DQmC+〃DR,4+〃=g所以。Q=2∕ION+2"OM2Λ+2∕∕=1

所以Q,M,N三點共線，所以點。在MN,因為AC∕Ml8MN∕∕DlC

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所以AfiV////,W（z平面.A1BU平面4RP，所以W〃平面A1BP

所以點0到平面4即的距離為定值，因為A&BP的面枳為定值

所以四面體A1BPO的體積為定值，所以A正確；

對于B?因為dM7∕BP,因為∕Λ∕（r平面&BP,BPu平面4月「

所以W〃平面4BP，又4?！ㄆ矫?BP,AOΓ?AM=M,40,NΛ∕U平面4K?

所以平面HMQ〃平面4BP.取。G的中點E.連接PE.則尸E∕∕RCD1C∕∕A1B

所以PE/〃/，所以4,3.P,E四點共面,所以平面dΛφ〃平面為SPE

即P/EAIV1:.當(dāng)4。J_九亞時/0取最小值

;

∣λ∣'）y]ZBAD-60.AB=AD=AA1=2.所以4Λ∕=石.A/V=?

AN=>!AD2+DN2-IAD-DNcos120o^^4+l-2×2×l×^-^=√7,所以A"?+MN?=AN?,所以Q,M重

合，所以A。的最小值為近，所以B正確；

對于C,若的外心為O,過。作于”

因為kB∣=grs=2√∑

所以A8?Aθ=A8?(A"+"θ)=A8?A"=gA∕=4,所以C錯誤;

對于D,過A作AKLG。，垂足為K,因為?！?L平面A蜴GA

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AKU平面A18∣G2,所以DAJ■AK

因為C1D1∩DDl=D?,C1D1.DD1U平面DD1C1C,所以從K_L平面DDlGC

因為KOCfIftiDD1C1C,所以A1K1KO

又在“1通中4R=2.AAiKDi=?.A1DiK=y

所以KDl=HQlcos-=19A1K=A1D↑s?n?-=?√3,

在A4K0中4κ=6.40=5,N4K0=g.所以K0=2

則。住以K為硼心,2為半徑的I同上運動

在。P?PG上取點也.4,使得烏43=E?A4=L則山3=心2=2

所以點。的軌跡為閱弧4必.因為AK=LZV3=白,所以乙

r)τr

則圓弧44等于告，所以D錯誤；

故選：AB

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)所給條件結(jié)合線面位置關(guān)系確定點的軌跡，再結(jié)合錐體體積

公式，空間圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)化解決問題.

12.AD

【分析】由/(x)-α∣x∣=0得/(x)=a∣x∣,利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論.

【詳解】由/(χ)-αN=0得/(χ)=α∣χ∣,作出函數(shù)y=f(χ),y=α∣χ∣∣的圖像，如圖所示.

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當(dāng).≥2時此時y=a∣M與y=∕(x)有三個交點

故符合條件的。滿足α=O或2.

故選：AD

【點睛】方法點睛：函數(shù)零點的求解與判斷方法：

(1)直接求零點：令f(x)=0,如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點.

(2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數(shù)在區(qū)間［a,6］上是連續(xù)不斷的曲線，且Aa)?f(6)<0,還必須

結(jié)合函數(shù)的圖像與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個零點.

(3)利用圖像交點的個數(shù)：將函數(shù)變形為兩個函數(shù)的差，畫兩個函數(shù)的圖像，看其交點的橫坐標有幾個不同

的值，就有幾個不同的零點.

13.-7

【解析】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及二倍角的余弦公式化簡，可得關(guān)于CoSI的二次函數(shù)形式，然后使用換元法以及

二次函數(shù)的性質(zhì)，可得結(jié)果.

【詳解】由/(x)=Sinq-X)-8cos

所以f(X)=CoSX-8cos∣?=2COS￡T-8CoS?∣

即f(x)=2cos?2-8cos2-l,由-l≤cos2≤l

222

令f=cos?∣f∈［-l,l］

則y=2f2-g-l,對稱軸為f=2

所以y=2∕-8r-l在［-1,1］遞減

當(dāng)t=l,即CoSI=I時有Znin(X)=-7

故答案為：-7

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)型的最值問題，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練二倍角公式，誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，

第13頁共21頁

屬基礎(chǔ)題.

14.2√7

【詳解】分析：由正弦定理可得得α=2s%A,c=IsinC,化為2α+c=5si"A+JIcosA,

即可得出.

ac_&_C

詳解：由sinAsinC-兀

sin——

3

得α=2sinA,c=2sinC:.2q+c=4sinA+2sinC=4ΛZΠA+2sin(120o-A)=5sinA+y∕3cosA=2?∣7sin(A+￠),

其中e="rcftm*.

2α+C的最大值是26.

故答案為2近.

點睛：本題考查了正弦定理、兩角和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

15.50

【分析】函數(shù)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)，令工=-2,得/(2)=2,由

√(x+4)-(x+4)∕(x)-2x(x+4),可得—夕-^?=2,所以——————，(——=2'(———'(——=2,i?

x+4X10662

而得解.

【詳解】#(x+4)-(x+4)"x)=2x(x+4),函數(shù)〃x)是定義在R上的不恒為零的偶函數(shù)

令X=—2,得-2f(2)-2/(-2)=-8,所以/(2)=2.

當(dāng)xw0,-4時由V(X+4)-(x+4)∕(x)=2x(x+4),可得：ZkilL&1=2

x+4X

所以Z≡一迪=2竺L組1=2

10662

兩式相加的《幽-羽=4,所以/(10)=50

102

故答案為：50

16.√i3

?兀

【分析】作,可得IAHl=IBH推出|C”|=5,繼而求出N”CO=§,求得∣O”∣

根據(jù)圓的弦長與圓心距以及半徑之間的關(guān)系，求得IAM.

第14頁共21頁

【詳解】由題意0:/+/=4可知圓的半徑為2

如圖示，作。H,"，垂足為〃，則，為A8的中點，即IAHl=IBHl

V

所以IAC—忸CHA/71+1C”I一(|8〃I一|C"|)=2∣C"I=1,則IC*=：

因為直線4的斜率為√I,其傾斜角為三

,TT

直線6的斜率為-6,即直線4的傾斜角為?

所以N”C。=與一]=1，由IeHI=g,可得IOm=*

故答案為：vr?

17.(1)16

(2)6

【分析】(1)利用正弦定理，邊角互化，以及正弦的和差公式，即可求解.

(2)根據(jù)正弦定理，邊化角，再由余弦定理可得片(C-4)=4卜2-16),再分c=4和cw4分類討論，即可求

解.

(1)

因為SinC=2sin8,由正弦定理得c=2h=8

又acosC=4=b,得SinAcosC=sinB

故sinAcosC=sin[π-(A÷C)]=sin(A÷C)=sinAcosC+cosAsinC

所以COSASinC=O

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JT

因為0<A,C<兀所以SinCX0,于是COSA=(),故A=^,JIBC為直角三角形

所以ABC的面積S=Lbc=Lχ4χ8=16;

22

(2)

由A=28,得SinA=Sin25=2SinBCosB,由正弦定理，可得α=2Z?COS6；

由余弦定理，得a."+，"?."=4Ω2(C-4)=4(C2-16).

2acv,

A=2B

若c=4,則8=C,故,B=C

Λ+B÷C=π

則B=C=A=I此時α=4√∑,不符合題意.

.?.c≠4,由片(。-4)=4卜2-16),得α=2jc+4

又c-a<b,即c-α=c-2jc+4<4,則0<c<12.

?.?“與CeN",故當(dāng)c=5時有α=6,而b=4,故能構(gòu)成三角形，故α=6.

18.(1)an=-2n+S.(2)-165.

【分析】(D根據(jù)給定條件求出數(shù)列｛%｝的公差d即可得解；

(2)利用(1)的結(jié)論結(jié)合等差數(shù)列前〃項和公式求解即得.

【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列｛叫的公差為4由已知得_5,解得％=3d=-2

所以％=q+("-l)d=-2"+5；

(2)由(1)及等差數(shù)列前〃項和公式得臬=%要?15=3型?15=T65

所以幾的值是-165.

3

19.(1)--

2

⑵〃力在尸-1處有極大值1,在X=2處有極小值-8

⑶(-∞,-3)u(6,+∞)

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)“X)在X=2處有極值，得出r(2)=0,從而求出實數(shù)J

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(2)利用極值的定義求解即可；

(3)將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題求解.

(1)

f?x)=3x2+2ax-6,因為在x=2處有極值，所以/(2)=(),解得“=-力

檢驗：當(dāng)”■時f(x)=3萬2_3x_6=3(x-2)(x+l)

當(dāng)x∈(T,2)時/(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(2,y)時/(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)在χ=2處

有極小值，滿足條件.

M3

?<≈=--?

2

(2)

由(1)知∕,(x)=3犬-3x-6=3(x-2)(x+l)

當(dāng)Xe(F1)時/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)Xe(-1,2)時/'(x)<0,/(x)單調(diào)遞減；

當(dāng)x∈(2,y)時/(x)>0,/(x)單調(diào)遞增；

X∕(-l)=-1-∣+6+2=y/(2)=8-6-12+2=-8.

所以〃X)在尸-1處有極大值y,在X=2處有極小值-8.

(3)

2

原命題等價于/(x)nwx<c-3c對任意的X∈[-2,4]都成立

由(2)知f(x)在xe(-2,-l)上單調(diào)遞增，在Xe(T,2)上單調(diào)遞減，在xe(2,4)上單調(diào)遞增，所以

F(XLX=max{"T)j(4)}

因為f(-l)=-1-∣+6+2=y/(4)=64-24-24+2=18>∕(-1)

所以f(x)g=18<c2-3c,解得c?(?,3)(6,+?).

20.(1)證明見解析

⑵邁

3

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【分析】（1）利用勾股定理和線面垂直的性質(zhì)可證得C/,BClCE由線面垂直的判定定理可證得

結(jié)論；

（2）以A為坐標原點可建立空間直角坐標系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果.

【詳解】（1）四邊形CDAG為矩形，CD=^DDl=1,E為力。中點

r22

.?.C1E=CE=√i+P=√2又CG=2.-.CiE+CE=CC^:.CiELCE.

8∣C∣_L平面CDD1C1,CEU平面CDD1C1：.B1C1ICE；

B1C1QE=C1,4G，GEu平面BCE,.?.CEJ_平面SGE.

（2）以A為坐標原點，A3,ARA41正方向為x,%z軸，可建立如圖所示空間直角坐標系

則A(0,0,0),C,(1,1,2)與E(OJl)和C(l,l,0)

.?.Aq=(1,1,2),AE=(0,1,1)與CE=(TO,1)；

設(shè)平面4C∣E的法向量〃=(x,y,z)

AC-Ai=x+y+2z=0/、

則1，令y=ι,解得：χ=l,Z=—1與."=(IJT);

AE?n=y+z=0

由(1)知CEj■平面BCE,???平面BGE的一個法向量為CE=(T,0,1)

IIICET2√6

I1∣CE∣-∣w∣√2×√33

即平面BGE與平面AGE夾角的余弦值為正.

3

21.(1)X2=4y(2)(x÷6)2+(y-lI)2=144g<(x-2)2+(y-3)2=16

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【解析】(1)設(shè)直線AB的方程為y=χ+當(dāng)與拋物線聯(lián)立，結(jié)合I，叫=M+%+P,利用韋達定理可求解0,

即得解；

(2)利用韋達定理，可得AB的中點為M(2,3),可求解/8的垂直平分線的方程，圓心為(α,5-a),利用圓

半徑、弦長、弦心距的勾股關(guān)系，可求解a,可得圓方程.

【詳解】解：(1)由題意設(shè)直線AB的方程為),=χ+日，令4χ,y)B{x2,y2)

p2

聯(lián)立,’2得y2-3py+2=0

X2=2py4

+%=3。

根據(jù)拋物線的定義得IABl=yi+y2+p=4p

又IABI=8.?.4p=8,p=2

故所求拋物線方程為爐=4y

(2)由(1)知％+%=3p=6xl+x2≈yl+y2-p=4

AB的中點為M(2,3),AB的垂直平分線方程為y-3=-5-2)即y=-x+5

設(shè)過點A8的圓的圓心為(4,5—〃)

該圓與C的準線y=τ相切

半徑r=6-a

圓心(4,5-4)到直線48:y=x+l的距離為d=叫性,∣AB∣=8

√2

?'.(目-7=」)2+4)=(6-n)2,解得a=γ或。=2

√2

???圓心的坐標(-6,11)為，半徑為12,或圓心的坐標為(2,3),半徑為4

圓的方程