北京市昌平區(qū)2023屆高三二模數(shù)學(xué)（解析版）

昌平區(qū)2023年高三年級(jí)第二次統(tǒng)一練習(xí)

數(shù)學(xué)試卷

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要

求的一項(xiàng).

1.已知集合A={T°,2},^β={T,l},則集合ADB=（）

A.{-l}B.{-l,0,2}C.{-l,0,1,2}D.{0,2}

【答案】C

【解析】

【分析】利用并集的定義直接求解作答.

【詳解】因?yàn)榧螦={T,0,2},B={T,l},所以ADB={-1,0,1,2}.

故選：C

2.（1—2x）5的展開式中爐項(xiàng)的系數(shù)為（）

A.-40B.40C.-80D.80

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即可求解.

【詳解】（1—2x）5的展開式中Y項(xiàng)為C；（—2X）2=4（）d,

所以展開式中X2項(xiàng)的系數(shù)為40.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)展開式定理，熟記通項(xiàng)即可，屬于基礎(chǔ)題.

3.已知復(fù)數(shù)z=α+i（αeR）滿足z?5=5,則。的值為（）

A.√6B.2C.±√6D.±2

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算得解.

【詳解】因?yàn)閦=α+i,

所以z?N=(α+i)(α-i)=ɑ?+1=5,

解得4=±2,

故選:D

2

4.已知函數(shù)/(x)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，/(x)=x2--,則/(-1)=()

A1B.-IC.2D.-2

【答案】A

【解析】

【分析】求得了(一1)的值，利用奇函數(shù)的性質(zhì)可求得一/(1)的值.

2

【詳解】已知函數(shù)/(X)為奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2--,

則〃Tf(I)-=L

故選：A.

5.將函數(shù)y=2cos2二-1的圖象向右平移工個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)()

24

Tr兀TCTC

A.在區(qū)間一工,；上單調(diào)遞增B.在區(qū)間上單調(diào)遞減

63|_63_

5π7π5兀7兀

在區(qū)間

C.n,^?2上單調(diào)遞增D.在區(qū)間—上單調(diào)遞減

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出變換后的函數(shù)解析式，再探討在兩個(gè)指定區(qū)間上的單調(diào)性作答.

【詳解】函數(shù)y=2cos22-l,即y=cosx,將其圖象向右平移三個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)是

24

Tr

/(x)=cos(x--),

4

TTτr7ΓSirTTSJTTr

當(dāng)］時(shí),X----∈［-----,］,因?yàn)橛嘞液瘮?shù)V=COSX在［-------］上不單調(diào)，

63412121212

因此函數(shù)/(幻=CoS(X--TT)在［-I三rT,r曰上不單調(diào)，AB錯(cuò)誤；

463

當(dāng)XW［型勺時(shí)，x--e［-,~］,因?yàn)橛嘞液瘮?shù)y=cosx在［二,生］上單調(diào)遞減，

121246363

JrSTT7π

因此函數(shù)/(x)=CoS(X--)在［——,一］上單調(diào)遞減，C錯(cuò)誤，D正確.

41212

故選：D

6.已知點(diǎn)P在直線/x—y—10=0上,點(diǎn)Q(2cos6,2sine)(e∈R),則IPa的最小值為()

A.1B.3C.5D.7

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)。的軌跡為圓，利用圓的幾何性質(zhì)，轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離得解.

【詳解】設(shè)Q(χ,y),

由Q(2cos6,2sin6)(eWR)可知X=2cosθ,y-2smθ,

所以V+y2=4,即。在圓心為(0,0),半徑為2的圓上的動(dòng)點(diǎn)，

…∣0-0-10∣U

圓心到直線的距離d=-~.——=5,

√3+l

所以

IPQLI=5-2=3,

故選：B

7.已知雙曲線C:3m/—my2=3的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(一2,0),則雙曲線C的離心率為()

A.-B.C.2D.4

23

【答案】C

【解析】

【分析】把雙曲線方程化成標(biāo)準(zhǔn)形式，求出，〃即可求出離心率作答.

22

,,三上=113,

【詳解】雙曲線。：3蛆2_切2=3化為：13,依題意，一+,=22,解得加=1,

——mm

mm

因此雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)為1,所以雙曲線C的離心率為2.

故選：C

8.對(duì)于兩個(gè)實(shí)數(shù)α1,設(shè)min{α,b}=<"'"一：則"f=1”是“函數(shù)/(x)=min{∣x∣,∣x-f∣}的E

X=-對(duì)稱''的()

2

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的對(duì)稱性求解參數(shù)，再利用充要條件的概念判斷即可.

【詳解】如圖，在同一個(gè)坐標(biāo)系中做出兩個(gè)函數(shù)y=W與y=∣x-√∣的圖象,

琳

則函數(shù)〃%)=疝11｛國(guó),忖—4｝的圖象為兩個(gè)圖象中較低的一個(gè)，即為圖象中實(shí)線部分，

根據(jù)圖象令X=T+，，解得X=’,

2

分析可得其圖象關(guān)于直線X=-對(duì)稱，

2

要使函數(shù)"X)=min｛μ∣,∣%-r∣｝的圖象關(guān)于直線x=g對(duì)稱，則t的值為r=1,

當(dāng)f=l時(shí)，函數(shù)/(x)=min｛WJxT∣｝的圖象關(guān)于直線X=；對(duì)稱，

所以r=1”是“函數(shù)/(X)=min｛W,∣xT∣｝的圖象關(guān)于直線x=∣對(duì)稱”的充分必要條件.

故選：C

9.已知等比數(shù)列｛為｝的前“項(xiàng)和為S,,,則下列結(jié)論中一定成立的是()

A.若4>0,則$2“<0B.若4>0,則S2,,>O

C.若%>0,則S2,,+1<OD.若。5>0,則S2,,+∣>0

【答案】D

【解析】

【分析】由通項(xiàng)公式可由4>。推出首項(xiàng)與公比同號(hào)，取4=-1可判斷AB,由為〉?？傻?〉0,取4=1

可判斷C,由分類討論可知1—q2"9,]-同號(hào)，可判斷D.

【詳解】由數(shù)列伍“｝是等比數(shù)列,

若。6=。/>0，q,q同號(hào)，

由s,=初二。知,當(dāng)4=一1時(shí)，S2n=O,故A,B錯(cuò)誤；

1-7

若%=qq4>0>則可知4>0

當(dāng)4=1時(shí)，該等比數(shù)列為常數(shù)列，則與的>0,故C錯(cuò)誤；

q（l-q"Hd）

當(dāng)g≠ι時(shí)，s,,,+∣=a~^~二

2"+'?-q

4>1時(shí)，l-<72019<0,l-^<0,當(dāng)4<1時(shí)，l-√ol9>O,l-^>O

所以由4>0且1—q2o\]—q同號(hào)，可知S2,,+∣>O,故D正確.

故選：D

10.某市一個(gè)經(jīng)濟(jì)開發(fā)區(qū)的公路路線圖如圖所示，粗線是大公路，細(xì)線是小公路，七個(gè)公司

4,A2,A3,A4,4,A,A7分布在大公路兩側(cè)，有一些小公路與大公路相連.現(xiàn)要在大公路上設(shè)一快遞中轉(zhuǎn)

站，中轉(zhuǎn)站到各公司（沿公路走）的距離總和越小越好，則這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在（）

A.路口CB.路口OC.路口ED.路口廠

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定圖形，用d表示7個(gè)公司到大公路最近的小公路距離和，

BC=dl,CD=d2,DE=di,EF=d4,再求出到路口C,D,E,F的距離總和，比較大小作答.

【詳解】觀察圖形知，A，42,4,4,4,A，4七個(gè)公司要到中轉(zhuǎn)站，先都必須沿小公路走到小公路與大

公路的連接點(diǎn)，

令A(yù)到8、4到。、&到。、到。、Ai到E、到E、A7到F的小公路距離總和為"，

BC=d],CD—d,,DE—?,EF-d4,

路口。為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和

SC=d+4+d、+d,+(?+dr)+(?+d,)+(d4+?+d,)=d+d∣+54+3d3+d&,

路口。中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和S°=d+(4+&)+&+?+?+(4+?)=d+4++34+4，

路口E為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和

SE=d+(4+d^+?)+(d,+?)+?+?+d4=d+4+2d,+44+?，

路口戶為中轉(zhuǎn)站時(shí)，距離總和

SF=d+(4+&+?+”4)+(d,+cly+&)+2(4+d4)+2d&=d+d、+2d、+44+5d&,

顯然SC>SD,SF>SE>SD,所以這個(gè)中轉(zhuǎn)站最好設(shè)在路口D.

故選：B

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及實(shí)際問(wèn)題中的大小比較，根據(jù)實(shí)際意義設(shè)元，列式表示出相關(guān)量，再用不等式的

相關(guān)性質(zhì)比較即可.

第二部分(非選擇題共IlO分)

二、填空題：共5小題，每小題5分，共25分.

H.3<,21log,5三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是-

【答案】Iog25

【解析】

【分析】利用特殊值1和2作為“橋梁”比較大小即可.

?Λ1A21

【詳解】1<=<2，3-=—=—<1，log25>log?4=2,

?3√9

?

52

.?.Iog25>2>3^>

即三個(gè)數(shù)中最大的數(shù)是logz5.

故答案為：log25.

12.已知拋物線C:/=4y的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M在C上，且M在第一象限，則點(diǎn)F的坐標(biāo)為；

若阿耳=3,點(diǎn)M到直線X=-I的距離為.

【答案】?.(0,1)②.2√2+l

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線定義求出M的縱坐標(biāo)，代入拋物線得橫坐標(biāo)即可得

解.

【詳解】由C:f=4y可知焦點(diǎn)E(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-l,

?MF?=3,

加-(-1)=3,即y”=2,

代入拋物線方程可得，x,w=±2√2,

又M在第一象限，所以XM=2夜，

故點(diǎn)M到直線X=-1的距離為XM-(-1)=2√2+l.

故答案為:(0,1)；2√2+l

13.若函數(shù)/(x)=CofiX-ASinX(A>0)的最大值為2,則A=，/(x)的一個(gè)對(duì)稱中心為

【答案】①.√3②.(奈θj(答案不唯一)

【解析】

【分析】根據(jù)輔助角公式求出4再由余弦型函數(shù)求出對(duì)稱中心.

【詳解】由/(x)=CoS^-AsirLr=Jl+A>cos(x+o)知,Ji+4=2(4>0)，

解得A=石，

所以/(x)=COSX-?V^inx=2cos(x+?,

TrTrTC

令x+—=E+一,左∈Z,可得X=EH?一,Z∈Z,

326

即函數(shù)/(χ)的對(duì)稱中心為(?π+^?,0∣,?∈Z,

則滿足條件的點(diǎn)如(看,0),(e，oj等都可以.

故答案為：√3:(《,o](答案不唯一)

14.已知點(diǎn)A&C在圓V+y2=4上運(yùn)動(dòng)，且ABlJgC,若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(1,0),則∣PA+PB+Pcj的

取值范圍是.

【答案】[1,5]

【解析】

【分析】由題意可知AC為圓直徑，設(shè)B(x,y),利用向量運(yùn)算可得IPA+PB+PC∣=Jl3-6x,由此即

可求出答案.

【詳解】因?yàn)樗訟C為圓直徑，

設(shè)3(x,>),(-2≤x≤2),則PO=(T,0),PB=(X

所以PA+P8+PC=2PO+P8=(x-3,y),

故IPA+PB+PC∣=∣2PO+PB∣=√(Λ-3)2+√=√13-6x,

所以當(dāng)-2Wx≤2時(shí)，l≤13-6x≤25,l≤√13-6x<5.

故1≤∣PA+PB+Pq≤5

故答案為：[1,5].

如圖，在長(zhǎng)方體中，動(dòng)點(diǎn)瓦尸分別在線段和上.

15.ABCD-A￡G"A8=2,A41=AO=I,ABCG

給出下列四個(gè)結(jié)論：

②YDIEF不可能是等邊三角形；

③當(dāng)JDJE_LDF時(shí)，DxF=EF-

④至少存在兩組E,F,使得三棱錐DLDEF的四個(gè)面均為直角三角形.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①②④

【解析】

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方體的特征，利用等體積法確定①，根據(jù)特殊情況分析三角形邊長(zhǎng)可判斷②，利用向量法可

判斷③，根據(jù)長(zhǎng)方體中的特殊位置找出滿足條件三棱錐判斷④.

【詳解】由題意，在長(zhǎng)方體中，E到平面CGOQ的距離為1,尸到邊的距離為2,所以

萬(wàn)*，故①正確；

%-OEF=4-￡>DIF=§*1*1*2=§

由圖可知，AF的最小值為2,若D∣E=2,則DE=亞/二BF="不=6

則二［=應(yīng)，若此時(shí)所則可得

AE=JM-AD2=√5=2,EC=QEF2-CQ==邪)，

BE=QECJBC?=^T=√L

則AE+BE=2j5>AB=2,即。尸取最小值為2時(shí)，DlE,EE不能同時(shí)取得2,當(dāng)。∣尸變大時(shí),

AE,EP不可能同時(shí)大于2,故VDER不可能是等邊三角形，故②正確;

則設(shè)

0(0,0,0),D1(0,0,1),EQ,m,0)(0≤m≤2),F(0,2,n)(0≤n≤l),

Dp=(1,m,-l),DF=(0,2,π),由DsDF可得DlEDF=(1,m,-l)?(0,2,n)=2m-n=0,即

n=2m,

222

D1F=^4+(72-1)=+(2m-I)=^4m-4m+5，

22222

EF=y∣1+(m-2)+n=y∕l+(m-2)+(2m)=√5m-4∕τι+5，

顯然與所不恒相等，只有加=〃=0時(shí)才成立，故③錯(cuò)誤；

當(dāng)上為AB中點(diǎn)，尸與。重合時(shí)，如圖，

此時(shí)，

D1DIDE,D1DIDC,

又DE=EC=&,DC=2,故DE^+EC?=DC?，所以。ELEC,

因?yàn)镈∣E=/,EC=插,D∣C=下,所以4爐+改^=qc2,

所以AE_LEC,即三棱錐D}-DEF的四個(gè)面均為直角三角形，

當(dāng)E與B重合，尸與C重合時(shí)，如圖，

顯然DlD工DB,D1DIDC,CB±DC,CB1.DiC,

故三棱錐D1-DEF的四個(gè)面均為直角三角形，

綜上可知，至少存在兩組及尸，使得三棱錐。-DEf的四個(gè)面均為直角三角形，故④正確.

故答案為：①②④

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題四個(gè)選項(xiàng)比較獨(dú)立，

①的關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)，得出高及底面積為定值；

②分析三邊中D、F的最小值為2,此時(shí)其余兩邊不能同時(shí)等于2;

③利用向量得出兩點(diǎn)的關(guān)系，在此關(guān)系下不一定能推出兩邊長(zhǎng)相等；

④考慮特殊位置尋求滿足條件的位置是解題關(guān)鍵.

三、解答題：共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程.

16.在.ASC中，y∣3a=2?sinA.

（1）求NB；

（2）若。=",c=3,求-ABC的面積.

Jr2TT

【答案】（1）2或三

33

（2）土叵或雙5

24

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意，由正弦定理邊角相互轉(zhuǎn)化即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)題意，由余弦定理可得。，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)?=26SinA，由正弦定理可得，

GSinA=2sinBsinA,

因?yàn)镾inA>0,所以SinB=組，

2

且3∈（0,兀），所以8=?∣或

【小問(wèn)2詳解】

由（1）可知B=?∣或胃，且8=J7,C=3,h<c,所以8<C

即B=/,由余弦定理可得，b2=a2+c2-2accosB<

即7=∕+9-2αχ3χ-,解得α=l或α=2,

2

?Zl-1R4?C_1?D_?1?_3上

當(dāng)Q—IH口，S=—ClCsinB——×1×3×—=--------，

λrAγBC2224

上C_OrHC_??D_?OQ_??/?

二I。=2口寸，SARr=—sinB=—×2×3×—=-------,

2222

所以A8C的面積為主叵或土8.

24

17.在四棱錐P-ABco中，底面A88是邊長(zhǎng)為2的菱形，AC3。=。，且尸。［平面ABCr>,

P。=2,￡G分別是PRP。的中點(diǎn)，E是PA上一點(diǎn),且AP=3AE?

(1)求證：BD，平面￡FG；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，求直線與平面EFG所成角的正弦值.

條件①：BZ)=2√3；

條件②：ADAB=-.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答記分.

【答案】(1)證明見解析；

⑵±

5

【解析】

【分析】(1)通過(guò)證明8D∕/GE即可證明結(jié)論；

(2)以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，由選擇條件可得相應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)，可得向量力坐標(biāo)與平面EEG法向量

坐標(biāo)，即可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

因G,F分別為PaPB中點(diǎn)，則GF為z?PD8中位線，則GE//￡)&

又BDU平面GEF,Gbu平面GE/7,則BO//平面EFG.

【小問(wèn)2詳解】

如圖以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

若選①，因BD=26,底面ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，則。A=1,0D=OB=B

若選②，因NDAB=,，底面ABeD是邊長(zhǎng)為2的菱形，則OA=IOD=OB=E，

則A(Lo,0),5(0,60),D(O,一60),P(0,0,2),G,F0,與,1

?√\

所以PA=(1,0,-2),AP=(-1,0,2),OA=(I,0,0).

=OA+1”=(2

又AP=3AE,則AE=-AP,得OE

3313

>\

223J"_2√3

II?

則EO,EF=,,,EG=

33^3Ξ^3,3.

\\7

2√31

1?EF=—-x-?-----y+-Z=0

323

設(shè)平面EFG法向量為“=(x,y,z),則2√3IZ=O

n?EG--—X------V+

32'3

得〃=(1,0,2),又24=(1,0,—2),設(shè)直線24與平面EPG所成角為"

18.2023年9月23日至2023年10月8日,第19屆亞運(yùn)會(huì)將在中國(guó)杭州舉行.杭州某中學(xué)高一年級(jí)舉辦了

“亞運(yùn)在我心”的知識(shí)競(jìng)賽，其中1班，2班，3班，4班報(bào)名人數(shù)如下：

班號(hào)?234

人數(shù)30402010

該年級(jí)在報(bào)名的同學(xué)中按分層抽樣的方式抽取10名同學(xué)參加競(jìng)賽，每位參加競(jìng)賽的同學(xué)從預(yù)設(shè)的10個(gè)題

目中隨機(jī)抽取4個(gè)作答，至少答對(duì)3道的同學(xué)獲得一份獎(jiǎng)品.假設(shè)每位同學(xué)的作答情況相互獨(dú)立.

(1)求各班參加競(jìng)賽的人數(shù)；

(2)2班的小張同學(xué)被抽中參加競(jìng)賽，若該同學(xué)在預(yù)設(shè)的10個(gè)題目中恰有3個(gè)答不對(duì)，記他答對(duì)的題目

數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望；

(3)若1班每位參加競(jìng)賽的同學(xué)答對(duì)每個(gè)題目的概率均為g,求1班參加競(jìng)賽的同學(xué)中至少有1位同學(xué)

獲得獎(jiǎng)品的概率.

【答案】⑴3,4,2,1

(2)分布列見解析，2.8

,、217

(3)

729

【解析】

【分析】(1)根據(jù)分層抽樣計(jì)算可得；

(2)根據(jù)超幾何分布求出概率，列出分布列求期望即可得解；

(3)計(jì)算1班每位同學(xué)獲獎(jiǎng)概率，然后根據(jù)二項(xiàng)分布求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

各班報(bào)名人數(shù)總共I（X）人，抽取10人，抽樣比為上，

10

故1—4班分別抽取30X'=3（人），40×?=4（人），20×?=2（人），IOxL=I（人）,

10101010

【小問(wèn)2詳解】

由題意，X的可能取值為123,4,

GC=7=1

P(X=I)

Co21030

ax=2)=?^髭得

C3C1_35x3_1

P(X=3)=音:

ClO^210~2

_35_1

P(X=4)=k：

^21δ-6,

jo

所以X的分布列為:

X1234

13??

P

301026

E(X)=IχL2χa+3χ'+4χLy=2.8

3010265

【小問(wèn)3詳解】

?I+C：41

由題意，1班每位同學(xué)獲獎(jiǎng)的概率為尸=C∣=A÷I

/381819

設(shè)1班獲獎(jiǎng)人數(shù)為y,則丫B（3,∣）,

1o217

所以至少1人獲獎(jiǎng)的概率為ι-p（y=O）=I-Ck5）°（§）3=而.

19.已知橢圓C:0+今=1（。>/7>0）上的點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為4,且右焦點(diǎn)為（1,0）.

（I）求橢圓C的方程;

（2）設(shè)AB分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（不與AB重合），直線AP,BP分別與直

線x=4相交于點(diǎn)M,M當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，求證：以MN為直徑的圓截X軸所得的弦長(zhǎng)為定值.

22

【答案】（I）—+?=1

43

（2）證明見解析

【解析】

【分析】（1）根據(jù)焦點(diǎn)得c,由橢圓定義可得。，即可求出橢圓方程；

（2）利用直線AP,BP和χ=4相交求出M,N點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)以MN為直徑的圓與X軸交于點(diǎn)Q（XI,0）,根

據(jù)QMQM=O及P（X。，為）在橢圓上可得出圓過(guò)定點(diǎn)，即可得證?

【小問(wèn)1詳解】

由題意，2α=4,即α=2,

因?yàn)橛医裹c(diǎn)為（1,0）,所以C=1,

所以。2=/—￠2=3,

22

所以橢圓的方程為三+X=I.

43

【小問(wèn)2詳解】

設(shè)P(XO,%),由⑴知A(-2,0),3(2,0),

???*=A'直線A-=集i(E)，

???kκp=,直線BP:y=^^(x_2),

x0-2x0-2

可得M4,且"，N4,2%、

直線分別與x=4相交,

I玉)+2JI?-2>

設(shè)以MN為直徑的圓與X軸交于點(diǎn)Q（XI,0）,

則血=(4一%,-?),ρ^=(4-xl,?-),

Ao+2X0-2

山區(qū)?血=0可得(4一%)2+芻^.普；=°，

√V∩4√V∩I4

即(4_玉)2+臺(tái)I=0,

Ao—4

22

由P(Xo,%)在橢圓上可得￡■+九=1,即=12—3x：,

代入上式可得(4一X1)2+9(二")=0,即(4一%)2=9,

癡-4

解得王=1或再=7,

即以MN為直徑的圓過(guò)X軸上的定點(diǎn)。?,())和2(7,0),

所以以MN為直徑的圓截X軸所得的弦長(zhǎng)I20I=6為定值.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題的兩大類型及解法

(1)動(dòng)直線/過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解法：設(shè)動(dòng)直線方程(斜率存在)為y=fcr+f,由題設(shè)條件將r用％表示為r=〃吠，

得y=A(x+M,故動(dòng)直線過(guò)定點(diǎn)(一機(jī),0).

(2)動(dòng)曲線C過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題.解法：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對(duì)參變量恒成立，令其系數(shù)等

于零，得出定點(diǎn).

20.已知函數(shù)/(x)=AX-In(I+x)(Z>0).

(1)當(dāng)Z=I時(shí)，求曲線y=∕(x)在點(diǎn)(0,7(0))處的切線方程；

(2)若函數(shù)/(x)在(0,+8)上有最小值，求左的取值范圍；

(3)如果存在％∈(0,+s),使得當(dāng)x∈(O,Xo)時(shí)，恒有/(x)<χ2成立，求左的取值范圍.

【答案】(1)y=0；

(2)(0,1)；

(3)(0,1].

【解析】

【分析】(1)把人=1代入，求出函數(shù)/(X)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.

(2)利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)/(χ)在區(qū)間(0,+8)內(nèi)的最值情況作答.

(3)變形不等式，構(gòu)造函數(shù)g(x)=Y一"+ln(x+l),x∈(O,%),利用導(dǎo)數(shù)探討g(x)>O恒成立的k的范

圍作答.

【小問(wèn)1詳解】

當(dāng)Z=I時(shí)，/(x)=xTn(l+x),求導(dǎo)得：尸(?=1———,則/'(O)=O,而/(0)=0,

1+x

所以曲線y=∕(x)在點(diǎn)(0,∕(0))處的切線方程為y=0?

【小問(wèn)2詳解】

x∈(0,+∞),%>(),函數(shù)/(X)=丘一In(I+x),求導(dǎo)得：f?x)=k一一—,顯然恒有0<」一<1,

1+xl+x

則當(dāng)Z≥l時(shí)，f'(x)>O,函數(shù)/O)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，無(wú)最小值，不符合題意；

當(dāng)0<攵<1時(shí)，由/'(X)=O,得X=L-1,當(dāng)o<χ<"L-i時(shí)，f'(χ)<O,當(dāng)x>_L_1時(shí)，

kkk

r5)>o,

因此函數(shù)f(χ)在(0,1—1)上單調(diào)遞減，在(工一1,+8)上單調(diào)遞增，即當(dāng)X=_1一1時(shí)，函數(shù)/(χ)取得最小

kkk

值，

所以函數(shù)/(x)在(0,+8)上有最小值，人的取值范圍是(0,D?

【小問(wèn)3詳解】

/(?)<X2<=>X2-AΛ+1Π(%+1)>0,

因?yàn)榇嬖赬Oe(O,+8)，使得當(dāng)Xe(O，/)時(shí)，恒有/(x)<χ2成立，

2

則有存在AOW(O,”)，使得當(dāng)無(wú)e(0,%)時(shí)，x-fcc+l∏(x+l)>0,

令g(x)=χ2一日+in(x+l),x∈(O,Λo),即有W尤∈(O,xlj),g(x)>O恒成立，

,

求導(dǎo)得g'(x)=2x-A+-?-,令∕ι(x)=2x-A+-?-,x∈(0,Λυ),Λ(x)=2--~?-?>0,

x+↑x+l(x+l)

因此函數(shù)∕z(x),即函數(shù)g'(χ)在(0,%)上單調(diào)遞增，而g'(0)=I-M

當(dāng)i≥0,即o<z≤ι時(shí)，g'(χ)>g'(0)≥0,函數(shù)g(χ)在(0,玉,)上單調(diào)遞增，

?x∈(0,x0),g(x)>g(O)=O成立,從而0<A≤l,

當(dāng)左>1時(shí),g'(0)=l-><0,g'(6=A+∕->0,則存在玉∈(0,Q,使得g'(χ∣)=O,

當(dāng)0<x<不時(shí)，g'(x)<0,函數(shù)g(x)在(0,為)上單調(diào)遞減，當(dāng)Xe(O,玉)時(shí)，g(x)<g(O)=O,不符合題

意,

所以左的取值范圍是(0,1]?

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及不等式恒成立問(wèn)題，將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、

最值是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

21.若數(shù)列｛4｝滿足除q∣=l(k=l,2,3,—l(n≥2)),則稱數(shù)列｛凡｝為77數(shù)列.記

a

S”=%+。2+。3+÷n-

(1)寫出一個(gè)滿足％=%=1，且$5=5的〃數(shù)列；

(2)若q=24,〃=2000,證明：”數(shù)列｛0,,｝是遞增數(shù)列的充要條件是=2023；

(3)對(duì)任意給定的整數(shù)〃(〃23),是否存在首項(xiàng)為1的〃數(shù)列｛q,｝,使得S“=1?如果存在，寫出一個(gè)

滿足條件的〃數(shù)列｛《,｝；如果不存在，說(shuō)明理由.

【答案】(1)