2022-2023學年貴州省銅仁市高二上學期1月期末質量監(jiān)測數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年貴州省銅仁市高二上學期1月期末質?監(jiān)測數(shù)學試題

一、單選題

I.直線3x-"y-l=()的傾斜角是

A.?B.￡C.≥D.2

6336

【答案】B

【分析】直線M-Qy-I=O即y=JIr-乎，故直線的斜率為

設直線的傾斜角為α

則0≤α<萬，且tanα=

故α=W

故選B

【詳解】2.若直線/經(jīng)過兩點A(l,2∕),8(τ,l)且與直線/'：x+2y-2=0平行，貝IJt=()

A.1B.2C.—D.—

45

【答案】D

【分析】根據(jù)直線平行，即斜率相等，結合斜率兩點式列方程求參數(shù)即可.

【詳解】由題意鋁=-1，則5r=l,可得/=：.

1+r25

故選：D

3.為了進一步學習貫徹黨的二十大精神，推進科普宣傳教育，激發(fā)學生的學習熱情，營造良好的學

習筑圍，不斷提高學生對科學、法律、健康等知識的了解，某學校組織高一10個班級的學生開展“紅

色百年路.科普萬里行，，知識競賽.統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)，10個班級的平均成績恰好成等差數(shù)列，最低平均成績?yōu)?/p>

70,公差為2,則這10個班級的平均成績的第40百分位數(shù)為()

A.76B.77C.78D.80

【答案】B

【分析】先利用等差數(shù)列的首項和公差求出通項公式，再利用百分位數(shù)的概念求解即可.

【詳解】記10個班級的平均成績形成的等差數(shù)列為伍"，則%=70+2(〃-1)=2〃+68,

又10x40%=4,所以這10個班級的平均成績的第40百分位數(shù)為包磬=”要=77.

故選：B

4.過拋物線V=2px(p>0)的焦點/作直線，交拋物線于A(3,yJ,以2,必)兩點，若∣Afi∣=8,則。=

()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】如圖所示，由題得嘴,0),利用拋物線的定義化簡IABI=IA用+1S=8即得解.

【詳解】如圖所示，由題得尸(5,0),拋物線的準線方程為尤=-5.

所以IAM=IA可+|8用=3+勺2+券=8,.”=3.

故選：C

5.已知向量陽=(2,Tx,1)是平面α的法向量，〃=(6,12,-3丫)是直線/的方向向量,若/，。，則乂+卜=

()

A.-4B.4C.-2D.2

【答案】C

【分析】由/可得機//〃，求解即可.

【詳解】因為∕~Lα,故m//九，故加=力7,4/0,

則(2,Tx,l)=/l(6,12,_3y),解得：Λ=∣,x=-l,y=-1,

則x+y=-2.

故選：C.

6.已知正四棱柱ABCD-AAG。中，AB=2,A4∣=4,點E,尸分別是用G和BBl的中點，例是

線段AF的中點，則直線AM和CE所成角的余弦值為()

D.叵

617

【答案】D

【分析】建立空間直角坐標系，寫出相關點的坐標，根據(jù)向量法求解即可.

【詳解】如圖

建立空間直角坐標系，則A(2,(),0),D1(0,0,4),C(0,2,0),E(l,2,4),F(2,2,2),

則M(Ll,3),AM=(T,1,3),CE=(1,0,4),

AMcE-1+12√i而

cosAM,CE=

則∣AM∣∣Cf∣^√H×√17-17

所以異面直線AM和CE所成角的余弦值為叵.

17

故選：D.

7.如圖，在三棱錐04BC中，點E,尸分別是08,AC的中點，M是EF的中點，設OA=（Z,OB=b，

OC=C用a，b，C表示，則8M=（）

B

-也

LB?L+LC.l.?÷lcD,L3+L

444222424242

【答案】A

【分析】根據(jù)空間向量的線性運算計算得解.

【詳解】因為〃是E尸的中點，E,F分別是。8,AC的中點,

所以8仞=-(BF+BE￡)TBC+BA?+-BO

2>4

W(OC-OB+OA—OB)—-OB

4

131

=-OA——OB+-OC

444

13,1

--a——b+-c.

444

故選：A

8.若對圓(x-lp+(y-1)2=1上任意一點P(XM,∣3x-4y-α∣+∣3x-4y-9∣的取值與X,y無關，則

實數(shù)”的取值范圍是()

A.a<-6B.-6≤a≤4C.α<-6或α≥4D.a≥4

【答案】A

【分析】將段—6—4+四-4卜9|轉化為點至恒線的距離，數(shù)形結合，可求出〃的取值范圍.

A+

【詳解】依題意∣3x-4y-α∣+∣3x-4y-9|=51BU-"JXUT］表示P(x,y)到兩條平行直線

3x-4y-α=0和3x-4y-9=0的距離之和的5倍.

因為這個距離之和與X,y無關，

故兩條平行直線3x-4y-α=0和3x-4y-9=0在圓(X-Iy+(y-l)2=l的兩側，如圖所示,

故圓心(U)到直線3x-4y-α=0的距離〃=邑上@"，

解得α≥4或a≤-6.

當時，直線3x-4y-α=0在圓的右下方，不滿足題意，所以舍去.

所以α≤-6.

故選：A

二、多選題

9.數(shù)列｛《,｝的前〃項和為S,,,已知S,,=-∕+7",則下列說法正確的是（）

A.｛4,,｝是遞增數(shù)列

B.α∣o=-12

C.當〃>4時，an<0

D.當〃=3或4時，S“取得最大值

【答案】BCD

【分析】根據(jù)S“表達式及“22時，/=，-S,-的關系，算出數(shù)列｛q｝通項公式，即可判斷每個選

項的正誤.

【詳解】當n≥2時，?=S,,-5n.l=-2n+8,

又q=S∣=6=-2xl+8,所以4=-2,+8,

則｛q,｝是遞減的等差數(shù)列，故A錯誤；

“io=-12,故B正確：

當〃〉4口寸，α,,=8-2”<0,故C正確；

7

因為SI,=-*+7”的對稱軸為a=/,開口向下，

而"是正整數(shù)，且〃=3或4距離對稱軸一樣遠，

所以當"=3或4時，S“取得最大值，故D正確.

故選：BCD.

10.已知曲線C的方程為y="∑）^,和直線/"7+%=0,則下列結論正確的是（）

A.曲線C表示以原點為圓心，以2為半徑的圓

B.曲線C與直線/有1個公共點的充分不必要條件是。=-2

C.曲線C與直線/有2個公共點的充要條件是2≤8<2拒

D.當匕=1時，曲線C上有3個點到直線/的距離為也

2

【答案】BCD

【分析】由題設知曲線C為f+y2=4且40,即可判斷A；再畫出曲線C、直線/：x—y+b=O的

圖象，應用充分、必要性定義及數(shù)形結合分析B、C、D的正誤.

【詳解】A：y=√4T?>0.故曲線C為/+丁=4且y≥0,即曲線C表示以原點為圓心，以2為

半徑的半圓，錯;

由A分析知：曲線C與直線/：x-y+%=0如下圖示，

由圖知：當直線在與半圓左側相切和過(0,2),(-2,0)兩點(虛線表示的直線)之間時，曲線C與直線

/有2個公共點，

當直線在與半圓左側相切，則晟=2,即b=±2√∑,故6=2√∑,

當直線過(0,2),(-2,0)兩點時，b=2,

所以，曲線C與直線/有2個公共點時2≤ib<2√∑,C對；

當直線與半圓左側相切，或在過(0,2),(-2,0)兩點和過QO)之間的情況時，曲線C與直線/有1個公

共點，

當直線過(2,0)時，b=-2,結合上述分析知：曲線C與直線/有1個公共點時6e{2√∑)[[-2,2),,

所以曲線C與直線/有1個公共點的充分不必要條件是b=-2,B對；

當b=l,貝∣J∕"-y+l=O,如上圖實線位置上的直線，

顯然直線左上部分半圓有(0,2),(-2,0)到直線距離都為走，

2

圓對稱性，直線右下部分半圓存在一點到直線距離也為立，

2

所以。=1時，曲線C上有3個點到直線/的距離為也，D對.

2

故選：BCD

11.過橢圓5+E=I的中心任作一直線交橢圓于尸，Q兩點，K是橢圓的左、右焦點，A,B

25Io

是橢圓的左、右頂點，則下列說法正確的是（）

A.尸。八周長的最小值為18

B.四邊形尸巴。居可能為矩形

-22-∣「89^

C.若直線∕?斜率的取值范圍是,則直線尸8斜率的取值范圍是-不

D.P耳PB的最小值為-1

【答案】AC

【分析】A由橢圓對稱性及定義有.PQg周長為IPQI+10,根據(jù)橢圓性質即可判斷；B根據(jù)圓的性

質，結合橢圓方程與已知判斷正誤：C、D設尸（為,%），利用斜率兩點式可得M%?k,w=-卷，進而

判斷C正誤，應用向量數(shù)量積的坐標表示列關于4的表達式，結合橢圓有界性求最值.

【詳解】A：根據(jù)橢圓的對稱性,IPa+1尸局+1。用=IPa+1質|+|尸周=∣PQ+1O,當PQ為橢圓的

短軸時，|尸。|有最小值8,所以「。尸2周長的最小值為18,正確；

B：若四邊形PzQK為矩形，則點P,Q必在以耳K為直徑的圓上，但此圓與橢圓（+《=1無交點,

錯誤；

C：設P(X0,%),則因為直線Rl斜率的范圍是

KPA,KPB

Λθ+5XO—5XQ~25xθ—2525

-2δ-∣o^

，所以直線尸5斜率的范圍是一不一不，正確;

D：設P(%,%),則

W8=(一3-%,—%)?(5f-%)=XL5+渭君-2%―15+161||卜系x°_引若

.因為-5≤x°≤5,所以當Xo=1時，PE?P3最小值為-令,錯誤.

故選：AC.

12.已知正方體ABC。-ABG。的棱長為4,M是側面BCG片內任一點，則下列結論中正確的是

()

A.若M到棱GA的距離等于到A8的距離的2倍，則M點的軌跡是圓的一部分

B.若M到棱GR的距離與到A8的距離之和為6,則加點的軌跡的離心率為述

3

C.若〃到棱G。的距離比到A8的距離大2,則例點的軌跡的離心率為√∑

D.若M到棱GA的距離等于到BC的距離，則M點的軌跡是線段

【答案】AB

【分析】由正方體的性質可將M到棱GR的距離與到AB的距離轉化為在平面BCGq內，M到點G

的距離與到點8的距離，據(jù)此求出軌跡方程判斷A,根據(jù)橢圓的定義、離心率判斷B,根據(jù)雙曲線

的定義、離心率判斷C,根據(jù)拋物線的定義可判斷D.

【詳解】對于A,由正方體可知M到棱GQ的距離等于到AB的距離的2倍，即在平面BCGBl內,

M到點G的距離等于到點8的距離的2倍，連接BG，以BG中點為原點，以BG所在直線為X軸,

以線段8G的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系，如圖,

設M(x,y),-2√2<x<2√2,-2√2<y<2√2,則B(-2√2,0),C(2√2,0),

由IMCJ=21MBl可得2,1+2何+/=^x-2^+y2,

整理得χ2+y2+^^χ+8=O,-2√2<x<2√2,-2√2<y<2√2,

易知點M的軌跡是圓的一部分,所以A正確;

對于B,M到棱CQl的距離與到AB的距離之和為6,可轉化為在平面BCG片內，M到點G的距離

與到點B的距離的和為6,大于IBGI=4√Σ,所以點M的軌跡為橢圓的一部分,其中2?=6,2c=4√2,

所以橢圓的離心率e=2也，故B正確；

3

對于C,〃到棱GA的距離比到A8的距離大2,轉化為在平面BCCg內，∣MCl|-|Mβ∣-2<4√2,

所以點M的軌跡是雙曲線的一部分，該雙曲線的實軸長為2,焦距為4&，所以離心率e=2√∑,所

以C錯誤；

對于D,"到棱GR的距離等于到BC的距離，可轉化為在平面BCG片內，M到點Cl的距離與到BC

的距離相等，所以M點的軌跡是以G為焦點，BC為準線的拋物線的一部分，故D錯誤.

故選：AB

三、填空題

13.己知空間向量α=(2,"+2,5),?=(2n+l,-2,1),?α±?,則〃=.

3

【答案】々T5

【分析】根據(jù)給定條件，利用空間向量垂直的坐標表示求解作答.

【詳解】空間向量α=(2,,+2,5),6=(2"+l,-2,l),

3

由a_L6，得“?6=2χ(2"+l)+("+2)x(-2)+5xl=O,解得"=-5，

所以”=-，3

2

-3

故答案為：

14.在正項等比數(shù)列｛4｝中，若的是74與15%的等差中項，則數(shù)列｛%｝的公比4=.

【答案】5

【分析】設正項等比數(shù)列｛4｝的公比為4,根據(jù)等差中項的性質得到2%=15%+7%,再根據(jù)等比數(shù)

列通項公式整理得2∕-7q-15=0,解得即可.

【詳解】解：設正項等比數(shù)列｛為｝的公比為9,(4>。)，

因為%是7%與15%的等差中項，所以2%=15%+74，

2

即2aiq*=15α1<7+7*,即2q?-7q-15=0,

3

解得4=5或＜?=-]（舍去）；

故答案為：5.

?2,.2

15.已知雙曲線-方=l（a＞O力＞0）的左、右焦點分別是小工，左、右頂點分別是4，4,

其中。為坐標原點，尸是第一象限內一點，若∣A4∣=2∣P閭，且（EP+Eq書P=0,線段與雙

曲線交于。，若IPa=4|。閭，則雙曲線的漸近線方程為.

【答案】y=±]

【分析】若A為PE中點，易知KAL8P,則4PK居為等腰三角形，∣∕V"=∣E6∣=2c,根據(jù)已知

可得IPKI=4、IQ用=￡,結合雙曲線定義得IQKI=Ua,進而可得COS/4乙片=言，三角形。馬耳中

用余弦定理求CoSNA鳥耳，建立齊次方程求參數(shù)關系，即可得漸近線方程.

【詳解】若A為尸心中點，則耳P+耳E=2μA,故（EP+6E）?EP=264gP=0,

所以64EP=0,即耳ALfiP,故A尸耳居為等腰三角形，I尸耳|=|百入∣=2c,

又∣A4∣=2∣p用=%，則IP閭=4,由IPa=川。段，則IQEI=1,

.11〃「廠IAKIIPF1a

由IQ用TlQgl=2，則I。41=三4,而“S"用片=詢Q=彳市37=元

?I?Ir2I乙I*?^2?-C

/2121212

且cos4居耳J-F+3∕-3F=4c+ir-二、

2∣∕√yQE∣2x2CXqac

5

所以O2-6∕=色,則4C?2=542,故4（/+從）=5。2,即4/

ac4c

所以2=1，故雙曲線的漸近線方程為y=±1χ?

a22

故答案為：y=±→

16.如圖，圓錐SO的軸截面S48是邊長為4的等邊三角形，過。8中點N作弦CDLo3,過CD作

平面CDM〃&4,交SB于M,已知此平面與圓錐側面的交線是以M為頂點的拋物線的一部分，則

MCMD=.

【分析】先根據(jù)線面平行的性質定理得到S4與MN平行，從而BMNS,BSA,可得PwVl=1,再利

用向量的線性運算及數(shù)量積的運算律即可求解.

【詳解】如圖，連接CO,根據(jù)題意知IONI=1,又IOCl=2,CDYOB,

所以ICM=QN|=有，因為SA//平面CZ)且SAU平面SAB,

平面SAB平面CCM=MM所以SA"MN,所以一BMNS/SA,

所以粵=需=I又ISAl=4,所以IMM=1,

因為N為CO中點，所以MC+MO=2MN,又MC-MD=DC，

所以(MC+MD)2-(MC-MD)2=4MC?MD=4MN?-DC。，

又IMM=Lm=6

所以MC?MD=MNJLXDC2=MN*-Ne2=l-3=-2.

4

故答案為：-2

四、解答題

17.已知正項數(shù)列｛4｝的前“項和為S"，在①“3-2ajαe-3d=0("∈N*),且q=3；

③J

②3%=3+2S,,("∈N*);=all(n,nt∈N*),4=3,這三個條件中任選一個，解答下列問題:

4“

(1)證明數(shù)列｛%｝是等比數(shù)列，并求其通項公式；

2。2

(2)設2=3(“∣+ιj(α+1)，數(shù)列間的前〃項和為人若7；22-和€2)恒成立，求義的最小值.

注：若選擇不同的條件分別解答，則按第一個解答計分.

【答案】(1)證明見解析，an=3".

【分析】(1)由%與5,的關系或等比數(shù)列的定義及通項公式求解即可；

(2)由裂項相消法求出7；后，再由Z,≥2-∣■恒成立進行求解即可.

【詳解】(1)若選擇條件①：因為“3-2???+∣-3?=0,

所以(??+,+?)?(?÷∣-34)=0,又>O,所以an+l-3an=0,即％=3αn,

又4=3,所以數(shù)列｛4｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，所以”,,=3χ3"τ=3";

若選擇條件②：因為3%=3+25“，所以當”≥2時，有3q,τ=3+2S,ι,

兩式相減,得3a,-3an_,=2Sll-25,,.l=2an,即an=3an_t(〃≥2),

又3q=3+2S∣=3+2q,所以q=3,所以數(shù)列｛叫是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，

所以％=3x3"τ=3";

若選擇條件③：由j=",(",meN*)q=3,得巴以=%,即娛=4=3,

aaa

m?,.

又4=3,所以數(shù)列｛4,,｝是首項為3,公比為3的等比數(shù)列，所以”,,=3χ3"τ=3";

_2×3"_11

(2)山(1)知'L3(3"T+1乂3"+1)-3"T+]-3"+]，

則

7"=Gθ+l-3l+0+(3l+l-32+lJ+(32+>-33+0++(3"2+1-3"T+J+(3"-+1-3"+1)

_11

=2-3"+1'

因為數(shù)列｛Z,｝為遞增數(shù)列，所以刀,的最小值為工=3-總=；,

7λ?7

又(,≥2—?∣(2eZ)恒成立，則2-5≤(=w,解得2≥],

7

故2的最小值為

18.如圖，在幾何體ABCDEF中，四邊形ABCD是等腰梯形，四邊形CDEF是正方形，且平面CDEF±

平面A8CO,CD=AD,/D4β=NABC=60。，M,N分別是AE,Bz)的中點.

(1)證明：MN//平面CDEF；

⑵求二面角E-MN-C的余弦值.

【答案】(1)證明見解析；

【分析】(1)利用線面平行的判定定理和面面平行的判定定理和性質定理推理作答.

(2)建立空間直角坐標系，利用空間向量的夾角公式求解作答.

【詳解】(1)取Ao的中點G,連接GM,GN,因為M,N分別是BO中點，

則GM//OE,而Z)EU平面8EF,GM<Z平面C￡>EF,于是GM〃平面CDE戶，

GN//AB//DC,同理GN〃平面Ci)E/，又GNGM=G,GM,GNu平面GMN,

因此平面GMN〃平面CDEF,又MNU平面GMN,

所以MN//平面Cf)EF.

(2)因為BC=CD=AD,NDAB=NABC=60°,則NDBA=NCBO=30°,NA￡>8=90°，有AD2BD，

正方形CT)EF中，OE_LOC,￡>Eu平面CZ)EF,平面Cr)E尸_L平面ABCO,

平面C平面ABCD=8,于是DEJ,平面ABC￡),

以點。為坐標原點，分別以D4,。8,。后的方向為4孔2軸正方向，建立空間直角坐標系。-孫z,

設BC=2,則CQ=Ao=OE=3A8=2,E(0,0,2),M(l,0,l),N(0,G,0),C(-l,√I,0),

所以EM=(1,0,-1),MN=(-1,√J,-1),NC=(-1,0,0),

/、m?EM=Xl-Zl=OLLL

設平面EMN的法向量為加=α,χ,z∣),則｛,令Xt=6,得m=(6,2,6),

HI?MN=一μ+√3y1-z1=0

/、〃?MN=-X,+?/?V9-Z9=0L

設平面MNC的法向量為“=(Λ?,%,Z,),貝"^'^^令為=1,得〃=(0,1,我，

n?NC=-x2=0

因此COS5,〃〉==2X1上唯6=理,顯然二面角E-MN-C的平面角為銳角，

?m??n?2×√104

所以二面角E-MN-C的余弦值為典.

4

19.在平面直角坐標系Xoy中，已知圓Q:/+/+12^-14^+60=0.設圓。2與X軸相切，與圓。∣外

切，且圓心O?在直線X=-6上.

⑴求圓儀的標準方程；

⑵設垂直于。。2的直線/與圓。1相交于B,C兩點，且IBCI=3√7,求直線/的方程.

【答案】(l)(x+6)2+(y-1)2=1

12349

(2)y=6x+-^ιty=6x+-.

【分析】(1)由題意求出圓。一圓。2的圓心和半徑，由兩圓外切，可得7-n=5+〃，即可求出答

案.

(2)由忸C∣=3√7,可求出圓心0/到直線/的距離，再由點到直線的距離公式代入求解即可.

【詳解】(1)圓0∣:x2+∕+12x-14y+60=0,

2

則圓Oi的標準方程為(x+6)2+(y-7)=25,

即圓。Ι的圓心坐標為(-6,7),半徑為5,

因為圓。2與X軸相切，與圓0/外切，則圓心。2(-6,〃)，n>0,

則圓。2的半徑為〃，

則7-〃=5+〃，解得〃=1,

即圓。2的標準方程為(x+6)2+(y—I)?=1；

(2)由(1)知。2(-6,1),則自e=-*,

所以直線/的斜率為6,

設直線/的方程為y=6χ+%,

因為忸q=3",則圓心O/到直線I的距離d=[一(乎)=呼,

?ri∣-6×6-7+W∣∕37a”且123T49

所以J---■—~~L=-y---,解得機=k或機=:-,

√36+T222

所以直線/的方程為y=6x+與123或y=6x+]49?

/V2

20.已知雙曲線c∕-}=l(a>0,b>0)的離心率為2,焦點到一條漸近線的距離為萬

⑴求雙曲線C的方程；

(2)若過雙曲線的左焦點F的直線/交雙曲線于A,8兩點，交》軸于P,設PF=WIFA="F8,證明:

8

mΛ-n-——.

3

【答案】⑴/-《=1

3

(2)證明見詳解

【分析】(1)由雙曲線的離心率，焦點到一條漸近線的距離建立等量關系，求解即可；

(2)設出直線的方程，聯(lián)立方程組，得到韋達定理，由PF=mE4="F8,解得加，〃，證明即可.

22

【詳解】⑴因為已知雙曲線C:二-與=l(a>0力>0)的離心率為2,

a~b~

所以￡=2,又因為焦點到一條漸近線的距離為√J,設焦點坐標為(c,0),

a

hbe

到漸近線y=±χ的距離為：d1=],=b1.

所以b=√L又/="+〃，解得：a2=?,b2=3.

所以雙曲線C的方程為：X2-^=

1.

3

(2)證明：如圖

由題意可知b(-2,0),由于過雙曲線的左焦點尸的直線/交雙曲線于A,B兩點,交y軸于P,

所以可知直線/的斜率存在，故設直線方程為：)，=&(x+2).A(x,,yJ,β(x2,y2),則P(O,2G).

y=?(x+2)

聯(lián)立2得：(3-k2)x2-4k2x-4k2-3=O.

X2--=1

3

△=16左4+4(3-公)(3+4公)=36公+36>0恒成立.

4k2-4k2-3

所以x∣+X?=3→τ,卯"FT

PF=(-2,-2k),FA=(xl+2,y,),FB=(x2+2,y2),

因為PF=mFA=nFB，所以Ua+2)=π(x2+2)=-2,

-2

所以，”=言n=------,

,

X2+2

2-2(々+2)-2(X]+2)

所以〃?+〃=

X1+2X2+2(Xl+2)(占+2)

-8k°

-8

—2(入[+々)一8—2(x∣+x2)—83-公

(X+2)(x>+2)X[X>+2(x+x>)+4-4左~-3Sk2

+2+4

3-k23-?

-24

二3-&2二-24二8

993

3-k2

21.已知拋物線U