專題14解析幾何中的軌跡與方程（解密講義）（原卷版）

專題14解析幾何中的軌跡與方程（解密講義）【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)1】直線與圓1.直線的方程及應(yīng)用（1）直線方程的五種形式名稱幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率y＝kx＋b與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過一點(diǎn)、斜率y－y0＝k(x－x0)兩點(diǎn)式過兩點(diǎn)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不過原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)所有直線（2）兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1，l2的斜率k1，k2存在，則l1∥l2?k1＝k2，l1⊥l2?k1k2＝－1.若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在．（3）求直線方程要注意幾種直線方程的局限性．點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、斜截式要求直線不能與x軸垂直．而截距式方程不能表示過原點(diǎn)的直線，也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線．（4）兩個(gè)距離公式兩平行直線l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0間的距離d＝eq\f(|C1－C2|,\r(A2＋B2)).點(diǎn)(x0，y0)到直線l：Ax＋By＋C＝0的距離公式d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).2.圓的方程及應(yīng)用（1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2.（2）圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)為半徑的圓．（3）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：|MC|＞r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?M在圓外；|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；|MC|＜r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?M在圓內(nèi).3.直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（1）直線與圓的位置關(guān)系：相交、相切和相離，判斷的方法主要有點(diǎn)線距離法和判別式法．點(diǎn)線距離法：設(shè)圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r，則d<r?直線與圓相交，d＝r?直線與圓相切，d>r?直線與圓相離．判別式法：設(shè)圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直線l：Ax＋By＋C＝0，方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2))消去y，得關(guān)于x的一元二次方程根的判別式Δ，則直線與圓相離?Δ<0，直線與圓相切?Δ＝0，直線與圓相交?Δ>0.（2）圓與圓的位置關(guān)系有五種，即內(nèi)含、內(nèi)切、相交、外切、外離．設(shè)圓C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)，圓C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)，兩圓心之間的距離為d，則圓與圓的五種位置關(guān)系的判斷方法如下：d>r1＋r2?兩圓外離；d＝r1＋r2?兩圓外切；|r1－r2|<d<r1＋r2?兩圓相交；d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切；0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含．方法技巧：1、求解兩條直線的平行或垂直問題時(shí)要考慮斜率不存在的情況；2、對(duì)解題中可能出現(xiàn)的特殊情況，可用數(shù)形結(jié)合的方法分析研究．3、解決與圓有關(guān)的問題一般有兩種方法：(1)幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程；(2)代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)．【考點(diǎn)2】曲線方程1．圓錐曲線的定義(1)橢圓：|PF1|＋|PF2|＝2a(2a>|F1F2|)；(2)雙曲線：||PF1|－|PF2||＝2a(2a<|F1F2|)；(3)拋物線：|PF|＝|PM|，點(diǎn)F不在直線l上，PM⊥l于M.2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)圖形性質(zhì)范圍－a≤x≤a－b≤y≤b－b≤x≤b－a≤y≤a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)軸長軸A1A2的長為2a；短軸B1B2的長為2b焦距|F1F2|＝2c離心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c的關(guān)系c2＝a2－b23．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x離心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)實(shí)虛軸線段A1A2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長度|A1A2|＝2a；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長度|B1B2|＝2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長，b叫做雙曲線的虛半軸長a，b，c的關(guān)系c2＝a2＋b24．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)圖形標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離性質(zhì)頂點(diǎn)O(0，0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開口方向向右向左向上向下方法技巧：1、準(zhǔn)確把握?qǐng)A錐曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡單幾何性質(zhì)，注意焦點(diǎn)在不同坐標(biāo)軸上時(shí)，橢圓、雙曲線、拋物線方程的不同表示形式．2、求圓錐曲線方程的基本方法就是待定系數(shù)法，可結(jié)合草圖確定．3、在求解有關(guān)離心率的問題時(shí)，一般并不是直接求出c和a的值，而是根據(jù)題目給出的橢圓或雙曲線的幾何特點(diǎn)，建立關(guān)于參數(shù)c，a，b的方程或不等式，通過解方程或不等式求得離心率的值或范圍．考點(diǎn)命題點(diǎn)考題直線與圓=1\*GB3①直線的方程=2\*GB3②圓的方程2023北京卷T15，2023新課標(biāo)I卷T62022新高考II卷T15，2022全國甲卷（文）T142022新高考II卷T3，2022新高考II卷T10曲線方程=1\*GB3①橢圓、雙曲線和拋物線的方程=2\*GB3②求軌跡方程2023北京卷T12，2023北京卷T62023全國甲卷（文）T7，2023全國甲卷（理）T8，2023全國甲卷（理）T12，2023全國乙卷（理）T11，考點(diǎn)一直線與圓命題點(diǎn)1直線的方程典例01（2021·全國·統(tǒng)考高考真題）拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)到直線y=x+1的距離為2，則p=（A．1 B．2 C．22 D．典例02（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）圖1是中國古代建筑中的舉架結(jié)構(gòu)，AA',BB',CC',DD'是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中DD1,CC1,BB1A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9典例03（2020·山東·統(tǒng)考高考真題）已知直線l:y=xsinθ+cosθ的圖像如圖所示，則角A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角命題點(diǎn)2圓的方程典例01（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2-4x-2y-4=0A．1+322 B．4 C．1+3典例02（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知直線l:x-my+1=0與⊙C:x-12+y2=4交于A，B兩點(diǎn)，寫出滿足“△ABC面積為8典例03（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）若直線x-y+m=0m>0與圓x-12+y-12=31．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，A1,0，B2,0，動(dòng)點(diǎn)C在直線y=x上，若圓M過A，B，C三點(diǎn)，則圓M面積的最小值為（A．π2 B．π4 C．π D2．已知圓C：x2+y2-4y+3=0，一條光線從點(diǎn)PA．圓C關(guān)于x軸的對(duì)稱圓的方程為xB．若反射光線平分圓C的周長，則入射光線所在直線方程為3x-2y-4=0C．若反射光線與圓C相切于A，與x軸相交于點(diǎn)B，則PBD．若反射光線與圓C交于M，N兩點(diǎn)，則△CNM面積的最大值為13．（多選）設(shè)動(dòng)直線l:mx-y-2m+3=0(m∈R)交圓C:(x-4)2+(y-5)2=12于A．直線l過定點(diǎn)(2,3) B．當(dāng)|AB|取得最大值時(shí)，m=1C．當(dāng)∠ACB最小時(shí)，其余弦值為14 D．AB?考點(diǎn)二曲線方程命題點(diǎn)1橢圓、雙曲線和拋物線的方程典例01（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知拋物線y2=45x,F1,F2分別是雙曲線xA．x210-C．x2-y典例02（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）過原點(diǎn)的一條直線與圓C:(x+2)2+y2=3相切，交曲線y2=2px(p>0)于點(diǎn)典例03（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）已知雙曲線C的焦點(diǎn)為(-2,0)和(2,0)，離心率為2，則C的方程為．典例04（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）已知點(diǎn)A1,5在拋物線C：y2=2px上，則A到命題點(diǎn)2求軌跡方程典例01（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知a,b∈R,ab>0，函數(shù)fx=ax2+b(x∈RA．直線和圓 B．直線和橢圓 C．直線和雙曲線 D．直線和拋物線典例02（2020·全國·統(tǒng)考高考真題）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若AC?BC=1，則點(diǎn)A．圓 B．橢圓 C．拋物線 D．直線典例03（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）在直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P到x軸的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)0,12的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為(1)求W的方程；(2)已知矩形ABCD有三個(gè)頂點(diǎn)在W上，證明：矩形ABCD的周長大于331．已知Q為直線l:x+2y+1=0上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P滿足QP=1,-3，記P的軌跡為E，則（A．E是一個(gè)半徑為5的圓 B．E是一條與l相交的直線C．E上的點(diǎn)到l的距離均為5 D．E是兩條平行直線2．已知A1,A2是橢圓C:x24+y23=1的長軸上的兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上異于長軸頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)，點(diǎn)Q與點(diǎn)A．雙曲線 B．拋物線C．橢圓 D．兩條互相垂直的直線3．已知拋物線C1:y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn)與橢圓C2:x2a2+yA．33 B．22 C．2-14．過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于Ax1,2p，A．1 B．2 C．3 D．4AA·新題速遞1．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）過直線y=x上一點(diǎn)M作圓C：x-22+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若直線PQ過點(diǎn)1,3A．5x-y-2=0 B．x-5y+14=0C．5x+y-8=0 D．x+5y-16=02．（2023·山東聊城·統(tǒng)考三模）已知兩圓x2+y2+4ax+4a2-4=0和x2+yA．3 B．1 C．49 D．3．（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）“-1≤b<1”是“方程1-x2=x+b有唯一實(shí)根”A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．非充分非必要條件4．（2024·廣東汕頭·汕頭市潮陽實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？级＃┰诶忾L為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M、N為線段BD1上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)A．23π3 B．3π6 C5．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知F是拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)，P是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若Q3,1為拋物線內(nèi)部一點(diǎn)，且△PQF周長的最小值為4+A．x=-12 BC．y=-12 D6．（2023·四川綿陽·三臺(tái)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓C:x29+y24=1的左、右焦點(diǎn)，P是橢圓A．2 B．12 C．55 D7．（多選）（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:y2=2pxp>0的焦點(diǎn)為F，A-p2,0，B是以FA為半徑的圓F與拋物線A．直線BF⊥x軸 B．直線AB與拋物線C相切C．PA?PB≥08．（多選）（2023·湖南·湖南師大附中校聯(lián)考一模）已知I1:xA．與I1,B．與I1,C．向I1D．向I1引兩切線的夾角與向I9．（多選）（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┮阎€C:x2m-1+y2m=1是頂點(diǎn)分別為A,B的雙曲線，點(diǎn)A．0<m<1B．C的焦點(diǎn)為1,0C．C的漸近線可能互相垂直D．當(dāng)m=12時(shí)，直線MA,MB10．（2024·湖北武漢·武漢市第六中學(xué)校聯(lián)考二模）與直線y=33x和直線y=3x11．（2024·全國·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A12,0，A2-2,0，P為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，記直線PA1的斜率為k，直線PA2的斜率為k(1)求曲線C的方程；(2)若直線l與曲線C交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在第一象限，點(diǎn)N在第四象限），記直線MA1，的斜率為k3，直線NA2的斜率為k12．（2019·上海楊浦·上海市控江中學(xué)校考三模）設(shè)拋物線Γ的方程為y2=2px，其中常數(shù)p>0，F(xiàn)是拋物線(1)若直線x=3被拋物線Γ所截得的弦長為6，求p的值；(2)設(shè)A是點(diǎn)F關(guān)于頂點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，P是拋物線Γ上的動(dòng)點(diǎn)，求|PA||PF|(3)設(shè)p=2,l1、l2是兩條互相垂直，且均經(jīng)過點(diǎn)F的直線，l1與拋物線Γ交于點(diǎn)A,B,l2與拋物線Γ交于點(diǎn)C,DBB·易錯(cuò)提升1．在直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，圓C:(x-2)2+(y-2)2=1，若直線l:x+y+m=0繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°A．-2,2C．-2-2,-2+22．已知橢圓E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F，過F作圓x2+y2=A．33 B．53 C．633．若點(diǎn)P既在直線l:x-y+2=0上，又在橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，C的左、右焦點(diǎn)分別為F