2023屆初升高數(shù)學(xué)銜接講義第三講 一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理（講義）含解析

2023年新高中新建索養(yǎng)提升專題游又

第三講一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理(精講)(原卷版)

【知識點(diǎn)透析】

1、一元二次根的判別式

一元二次方程0χ2+bχ+c=0(α*0),用配方法將其變形為：*+且)2=生_土把

2a4a2,

h2-Aac叫做一元二次方程ax2+bx+c^O(a≠0)的根的判別式，表示為：

Δ=Z?2—Aac

(1)當(dāng)A=6-4αc>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：X=TA-

2a

⑵當(dāng)△=〃-4αc?=0時，因此，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：X,?-?

^2a

⑶當(dāng)A=∕j2-4αc<0時，因此，方程沒有實(shí)數(shù)根.

【知識點(diǎn)精講】

【例1】已知關(guān)于X的一元二次方程31-2x+Z=O,根據(jù)下列條件，分別求出女的范圍:

(1)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根；(2)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)數(shù)根.

(6x—a≥—10

【變式1X(2022秋?重慶開州?八年級統(tǒng)考期中)使得關(guān)于X的不等式組

有且只有4個整數(shù)解,且關(guān)于X的一元二次方程(α-5)χ2+4x+l=0有實(shí)數(shù)根的所有整數(shù)

。的值之和為()

A.35B.30C.26D.21

【變式2].已知關(guān)于X的一元二次方程：/-(2H1)χ+4(Jt-i)=0.

(1)求證：這個方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰4ABC的一邊長α=4,另兩邊長仄C恰好是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，求AABC

的周長.

【例2】已知實(shí)數(shù)x、y滿足/+/-孫+2x-y+l=0,試求x、y的值.

【變式1](2022秋?湖北武漢?八年級武漢市第一初級中學(xué)?？计谀?已知α,b,C滿足α2+

6b=7,b2—2c=-1,c2—2a=—17,則ɑ—b+c的值為()

A.-1B.5C.6D.-7

【變式2】((2022秋?江蘇揚(yáng)州√l年級統(tǒng)考期中)新定義，若關(guān)于久的一元二次方程：

m(x—a)2+b=0與H(X—d)2+b=0,稱為“同類方程如2(X—I)2+3=0與

6(%-I/+3=0是“同類方程力現(xiàn)有關(guān)于X的一元二次方程：2Q-1)2+1=0與(Q+

2

6)X-(&+8)x÷6=0是“同類方程”.那么代數(shù)式α/+fox+2022能取的最大值是

2、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程OX2+ZλY+C=0(4WO)的兩個根為：

-b+?Jb2-4ac-b-y∣b2-Aac

Y-----------------------------------------------Y-............................................................

-b+y∣b2-4ac-b-y∣b2-4acb

------------1------------=—,

2a2aa

_-?+y∣h2-4ac-b-?∣h2-4ac_(-?)2-(√?2-4ac)2_4ac_c

2ala(2a)24/a

韋達(dá)定理：如果一元二次方程Or2+bx+c=0(q≠0)的兩個根為王,K2，那么:

aa

【知識點(diǎn)精講】

【例3】若和/是方程/+2x-2007=0的兩個根，試求下列各式的值:

9?11

⑴xl+x2~；(2)----F—；(3)(xl—5)(X9—5)；(4)Ix1-x2|.

%X2

常見的一些變形結(jié)論：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形:

????1?iI??

1—々)

x1+x2=(xi+x2)_2JqX2，-----=------，CX]=(XI+W)^^4XIX7,

xlx2X1X2

222

Ixi-x2∣=J(XT+x2)-4X1X2,XIX2+X1X2=xlx2(xl+x2),

333+々）等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.

xι+Λ2=（Xl+Λ2）-3XIX2（XI

【例4].已知關(guān)于X的方程2/-，nr+，”=，

（I）若m=-2,方程兩根分別為x∣,x2,求|芭-司和x：+E的值；

（2）若方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【變式1]已知兩不等實(shí)數(shù)α,6滿足“2=2-2”,〃=2-2》，求烏+二的值.

a1b2

【變式2]（2022秋?浙江杭州?八年級杭州外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)機(jī)是不小于-1的實(shí)數(shù),

使得關(guān)于X的方程x2+2（〃L2）-3m+3=0有兩個實(shí)數(shù)根r,X2?

⑴若斕+好=2,求m的值；

（2）令T=F紅+之，求T的取值范圍.

I-X1I-X2

【變式3].已知西，七是一元二次方程4日2-4丘+%+l=0的兩個實(shí)數(shù)根.

3

（1）是否存在實(shí)數(shù)3使（2μ-々）（玉-2%）=-5成立？若存在，求出女的值，若不存在,

請說明理由；

（2）若女是整數(shù)，求使五+三-2的值為整數(shù)的所有Z的值.

【變式41（2022秋?四川涼山?八年級?？茧A段練習(xí)）設(shè)一元二次方程一一2022x+1=0的

兩根分別為a,b,根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可知：ab=l,記Sl=±+d,S2=

T?+T?,S3=備+磊,…,Si。。=:?+那么Sl+S?+S3+-+

2023年新高中新建索養(yǎng)提升專題游又

第三講一元二次方程根的判別式與韋達(dá)定理(精講)(解析版)

【知識點(diǎn)透析】

1、一元二次根的判別式

一元二次方程+bx+c=0(α≠0),用配方法將其變形為：(χ+2y=匕心竺把

Ia4/,

h~—4αc叫做一元二次方程ax?+Zλr+c=O(a≠0)的根的判別式,表示為：A=〃2-4αc

(1)當(dāng)A=〃-4αc>0時，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根：1=一"±"夕一牝(

Ia

(2)當(dāng)△=〃-4覺=0時，因此，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根：xl7=--

⑶當(dāng)△=〃一4。。<0時，因此，方程沒有實(shí)數(shù)根.

【知識點(diǎn)精講】

【例1】已知關(guān)于X的一元二次方程3/一2x+Z=O,根據(jù)下列條件，分別求出攵的范圍:

(1)方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根;(2)方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根

(3)方程有實(shí)數(shù)根；(4)方程無實(shí)數(shù)根.

【解析】：△=(—2)2-4x3x攵=4一12%

(1)4-12Zr>0=>?<-;4—12k=OnZ=-

33

(3)4一12攵≥0nk≥一;4-12k<Qk<—.

33

6x—a≥—10

【變式秋?重慶開州?八年級統(tǒng)考期中)使得關(guān)于的不等式組

1X(2022X-1+-x<--x+-

有且只有4個整數(shù)解,且關(guān)于X的一元二次方程(α-5)x2+4x+1=0有實(shí)數(shù)根的所有整數(shù)

。的值之和為()

【答案】B

【分析】先求出不等式組的解集，根據(jù)有且只有4個整數(shù)解可確定a的取值范圍，再通過根

的判別式確定a的取值范圍，最后結(jié)合兩個取值范圍找出滿足條件的整數(shù)相加即可.

【詳解】解：整理不等式組得：(6久-α≥-10①

-8+4x<τ+12②

由①得：x≥^,

由②得：x<4

:不等式組有且只有4個整數(shù)解，

.?.不等式組的4個整數(shù)解是：3,2,1,0,

/.-1<—≤0,

6

解得：4<α≤10,

???(α-5)x2+4%+S=O有實(shí)數(shù)根,

△=/—4ac=16—4X(Q—5)X1=36—4α≥0,

解得：a≤9,

方程(Q—5)x2+4x÷1=0是一元二次方程,

.,.a≠5

.?.4VQ≤9,且WW5,

滿足條件的整數(shù)有：6、7、8、9；

Λ6+7+8+9=30,

故選：B.

【變式2].已知關(guān)于X的一元二次方程：Λ2-(2?+l)X+4()t-?)=0.

(1)求證：這個方程總有兩個實(shí)數(shù)根；

(2)若等腰4ABC的一邊長α=4,另兩邊長氏C恰好是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，求aABC

的周長.

【解答】(1)證明：A=(2代1)2-4×l×4(A-I)

=U2-12A+9

=(2A-3)2,

：無論A取什么實(shí)數(shù)值，(24-3)220,

ΛΔ>0,

???無論在取什么實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；

2∕c+l±(2k-3)

(2)解:?X-

2

.?x↑=2k-1,x?=2,

'：b,C恰好是這個方程的兩個實(shí)數(shù)根，設(shè)6=24-1,c=2,

當(dāng)a、6為腰，則a=Z>=4,即2"-l=4,解得A=|,此時三角形的周長=4+4+2=10；

當(dāng)6、C為腰時，b=c=2,此時?÷c=a,故此種情況不存在.

綜上所述，的周長為10.

【例2】已知實(shí)數(shù)x、y滿足J?+J-孫+2x-y+1=0,試求x、y的值.

【解析】：可以把所給方程看作為關(guān)于X的方程，整理得：X2-(y-2)x+y2-y+?=O

由于X是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此：

△=Iy-2)]2-4(/-y+l)=-3∕≥O=>γ=O,

代入原方程得：X2+2x+1=0=>X=-1.綜上知：X=-I,y=0

【變式1](2022秋?湖北武漢?八年級武漢市第一初級中學(xué)校考期末)已知α,b,C滿足a?+

6b=7,b2—2c=-1,c2—2a=-17,則a—b+c的值為()

A.-1B.5C.6D.-7

【答案】B

【分析】首先把M+66=7,h2—2c=—1,c2-2a=-17,兩邊相加整理成小?66+b2-

2c+c2-2a+ll=0,分解因式，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得出a、爪C的數(shù)值，代入求得答案

即可.

【詳解】解：小+6b=7,e2—2c=—1,c2-2a=—17,

?a2+6b+62—2c+c2—2a=-11,

a2+6h+fa2-2c+c2—2a+11=0

???(a-l)2+(b+3)2+(c-l)2=0,

??CL—1,b——3,c—1?

?a-h+c=l÷3+l=5.

故選：B.

【變式2】((2022秋?江蘇揚(yáng)州?八年級統(tǒng)考期中)新定義，若關(guān)于％的一元二次方程：

m(%-Q)2+b=0與九(X-Q)2+b=0,稱為“同類方程”.如2(x-1)2+3=0與

6(%-1)2+3=0是“同類方程”.現(xiàn)有關(guān)于X的一元二次方程：2。-1)2+1=0與(α+

2

6)X-(&+8)%+6=0是“同類方程”.那么代數(shù)式a/+?x+2022能取的最大值是

【答案】2023

【分析】根據(jù)“同類方程”的定義，可得出&b的值，從而解得代數(shù)式的最大值.

【詳解】V2(%一1)2+1=O與(α+6)%2一(b+8)%+6=O是“同類方程”，

.,.(α+6)x2—(e+8)x+6=(α+6)(%—I)2+1,

.*.(Q+6)X2—(b+8)x+6=(Q+6)X2-2(α+6)x+ɑ+7,

.Ch+8=2(α+6)

??(6=α+7

解得：『「工1，

/.ax2+bx+2022

=-X2+2%+2022

=-(x-l)2+2023

，當(dāng)X=1時，ax2+hx+2022取得最大值為2023.

故答案為：2023.

2、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系

一元二次方程ox?+bx+c=0(aWO)的兩個根為：

-b÷y∣h2-4ac-h-^h1-4ac

-r∣-b+?∣b2-4ac-b-y∣b2-4ezc?b

加1以r：x+x=------------------+------------------=一一，

122a2aa

_-?÷V∕?2-4ac-b-y∣b2-4ac_(-?)2-(?∣b2-4ac)2_4ac_c

1'2la2a(2〃)24a2a

韋達(dá)定理：如果一元二次方程辦？+Ax+c=0(。w0)的兩個根為Χ,%，那么：

bc

Xj+X=----9X∣X=一

2a9a

【知識點(diǎn)精講】

【例3】若內(nèi),當(dāng)是方程/+2》-2007=0的兩個根，試求下列各式的值：

,,11

(1)x∣^+x-,^；(2)----1----；(3)(??—5)(x,-5)；(4)I%l—%,I.

?i々

【解析】：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：X1+Λ2=-2,x1x2=-2007

222

(1)x1+x2=(%,+x2)-2X1X2=(-2)2-2(-2007)=4018

11-22

⑵—I-----=

xlx2xlx2-2007^2007

XXX

(3)(x1-5)(2-5)=12-5(xl+X2)+25=-2007-5(-2)+25=-1972

ΛX2XX2XX2

(4)Ix1-X2I=√(1-2)=√(,+2)-4,2=√(-2)-4(-2007)=4√502

常見的一些變形結(jié)論：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：

???11I??

Xj+X：~(?i+M)~-2X1X2，—I-----=---------~，(x1-/=(Xl+々)~-4XJX2，

212

Ixi-x2I=J(Xl+x2)-4X∣X2,xlx2+X1X2=XIX2(玉+%2)，

333XXXX

xl+x2=(Xl+x2)-3,2(∣+2)等等.韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想.

【例4].已知關(guān)于X的方程21-如f+〃，=0.

(1)若W=-2,方程兩根分別為X],丫2，求|與-司和M+X；的值；

(2)若方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根，求實(shí)數(shù)，〃的取值范圍.

【答案】?(1)6，-4(2)m<0

2XΛ2

【解析】(1)由卜|一引=(%+*2)2-4西%,xf+%2=(xl+2)[(I+X2)-3XIX2],借助韋達(dá)定

理求解.

(2)借助韋達(dá)定理表示方程有一正數(shù)，有一負(fù)數(shù)根的等價條件，進(jìn)而求解.

【詳解】

(1)當(dāng)〃?=-2時，2∕+2x-2=0即：/+x-l=0

A=l+4>0,%+x2=-1,3x>——1

因此：禺_*2「=(X[+4)2-4XlX2=5.?.∣Xl_/|=正

X：+W=(??+x2)[x；+x；-XX2]=(?1+工2)KXl+工2)2-3x∕2]=T

(2)2X2—tnx+tn=O

Δ=m2-8∕n,x+x=

l2T3=5

△=〃，-8m>0

m：.m<0

?=y<θ

ba

【變式1】已知兩不等實(shí)數(shù)m8滿足/=2-2。,b2=2-2h.求/+屏的值.

【解析】：。力是一元二次方程丁+2尤一2=0的不等實(shí)根

則有a+b=—2,ab=—2

H上/+/(a+b)(a2-ab-?-b2)(67+/?)[(a-?-b)2-3ab]_

原式=-----Z-=---------------------?--------------=------------------------?---------------=-5

(ab)2(ah)2(ah)2

【變式2］（2022秋?浙江杭州?八年級杭州外國語學(xué)校?？计谀┰O(shè)機(jī)是不小于-1的實(shí)數(shù),

使得關(guān)于X的方程/+2（m-2）x+∕"2-3m+3=0有兩個實(shí)數(shù)根X/,X2.

（1）若辭+詔=2,求,"的值；

（2）令T=產(chǎn)■+中，求T的取值范圍.

l-x1I-X2

【答案】（1）1（2）0<7≤4且TW2

【分析】首先根據(jù)方程有兩個實(shí)數(shù)根及力是不小于-1的實(shí)數(shù)，確定"的取值范圍，根據(jù)根

與系數(shù)的關(guān)系，用含力的代數(shù)式表示出兩根的和、兩根的積.

（1）變形/+V為（必+為）2-2m治，代入用含/〃表示的兩根的和、兩根的積得方程，解方

程根據(jù)立的取值范圍得到力的值；

（2）化簡A用含力的式子表示出7,根據(jù)"的取值范圍，得到7的取值范圍.

(1)

?:關(guān)于X的方程/+2(〃廠2)x+∕-3研3=0有兩個實(shí)數(shù)根,

Δ=4Qm~2)2-4(//-3研3)20,解得Λ≤1,

Y勿是不小于T的實(shí)數(shù),

.β.-l≤∕Z7≤l,

方程x2+2(/77-2)x+z∕-3研3=0的兩個實(shí)數(shù)根為M,X2,

.*.XΛX2=-2(∕TΓ2)=4-2ZZ7,xl?X尸MT93.

?：x；+x；=2、.*.(Xi^x2),一2MX尸2,

.?.4(ZZr2)2~2(Z∕-3ΛT^3)=2,

整理得//-5研4=0,解得析1,儂=4(舍去)，

J勿的值為1;

⑵

mx1mx2_mx1(l-x2')+mx2(,l-xi')_m[{x1+x2)-2x1x2]

，

l-X?j1—X2(I-X1)(I-X2)l-(Xι+χ2)+χiχ2

_m(4-2m-27n2+6m-6)_-2m(m-l)2_-2m(m-l)2

=2~2∕n.

l-4+2m+m2-3m+3m2-mm(m-l')

當(dāng)A=I時，方程為1+2(加一2)+∕zf-3加+3=0,

解得OFl或ZW=O.

當(dāng)m=l或Zff=O時，T沒有意義.

1≤m<1且m≠0

Λ0<2-2ΛJ≤4且7≠2.

即0<7≤4且T≠2.

【變式3].已知王，%是一元二次方程4辰2一4日+4+1=0的兩個實(shí)數(shù)根.

3

(1)是否存在實(shí)數(shù)3使(2±-%)(西-2%)=-成立？若存在，求出左的值，若不存在,

請說明理由；

(2)若女是整數(shù)，求使++衛(wèi)-2的值為整數(shù)的所有火的值.

X2X\

【答案】(1)不存在k理由見解析；(2)k=-2,-3,-5.

【詳解】

(1)假設(shè)存在實(shí)數(shù)匕使(2%-%)(演-2%)=-]成立.

：一元二次方程4Aχ2-4Λx+Z+I=O的兩個實(shí)數(shù)根

'4?≠0

"[Δ=(-4?)2-4?4?(?+l)=-16?>0^<,

又x∣,々是一元二次方程4fcr?-4Ax+%+l=O的兩個實(shí)數(shù)根

X1+X2=?

x2-

.*.<?+l.*.(2x1-x2)(∣-2X2)=2(XJ—5χz=2(x∣+x2)9x1x2

?+9