2022-2023學年八年級數(shù)學知識點串講（蘇科版）：分式及分式的基本性質（解析版）

專題04分式及分式的基本性質

選擇題（共11小題）

X

1.（2022春?江陰市期中）要使分式一有意義，則X的取值應滿足（）

X-2022

A.X=2022B.x>2022C.x<2022D.Λ≠2022

【分析】根據(jù)分式有意義的條件列不等式組求解.

【解答】解：由題意可得x-2022#）,

解得x≠2022,

故選：D.

【點評】本題考查分式有意義的條件，理解分式有意義的條件（分母不能為零）是解題關鍵.

a1a2-ab+b2

2.（2022春?吳中區(qū)校級期中）如果工=二，則一=（）

b2a2+b2

53

A.-B.-C.1D.2

35

【分析】根據(jù)題意，得到h=2m代入消元化筒計算即可.

【解答】解：?.9=;,

b2

：.b=2a,

.a2-ab+b2α2-2α2+4a23

*φa2+b2=α2+4α2=J

故選：B.

【點評】本題考查了條件型分式求值，熟練掌握變形消元代入求值的方法是解題的關鍵.

3?（2022春?靖江市校級期中）下列各式譬、崇親、￡+1、等中分式有（）

A.2個B.3個C.4個D.5個

【分析】根據(jù)分式的定義進行解答即可.

5αn1aα+bSana

【解答】解：下列各式一、「、丁、工+1、丁中分式有一、=、l,共3個.

a2m2πb3a2m7b+

故選：B.

【點評】本題考查的是分式的定義，解答此題時需注意π是常數(shù)，不是分母.

4.（2022春?寶應縣期中）下列分式中，字母X的取值是全體實數(shù)的是（）

2+%3%5x+62%—1

A.7C.D.

XIWX2-I%2+l

【分析】根據(jù)分式有意義的條件，分母不為0,逐一判斷即可解答.

【解答】解：A、——（*0）,故A不符合題意；

X

3χ

B、一—（Λ≠±I）,故B不符合題意；

i-l?l

5x+6

C、k-（Λ?1）,故C不符合題意；

xz-l7

2χ-1

D、F一（X取全體實數(shù)），故D符合題意；

x2+l

故選：D.

【點評】本題考查了分式有意義的條件，熟練掌握分式有意義的條件是解題的關鍵.

5.（2022春?灤水區(qū)期中）關于分式王匚的判斷，下列說法正確的是（）

x-2

A.當x=2時，分式的值為零

B.當X=-I時，分式無意義

C.當今2時，分式有意義

D.無論X為何值，分式的值總為負數(shù)

【分析】利用分式有無意義、值為。的條件，逐個判斷得結論.

【解答】解：當x=2時，分式無意義，故A說法錯誤：

當X=-1時，分式的值為0,故B說法錯誤；

當Λ≠2時，分式有意義，故C說法正確；

當x=3時，分式的值不為負數(shù)，故D說法錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了分式有無意義及值為0的條件.當分式的分母為0時，分式無意義；當分式的分子

為0,分母不為0時分式的值為0;當分式的分母不為0時，分式總有意義.

6.（2022春?儀征市期末）當X滿足什么條件時，分式三的值為0.（）

X+2

A.X=-2B.X=2C.x≠-2D.x≠2

【分析】根據(jù)分子等于零，且分母不等于零時，分式的值為零解答即可.

【解答】解：當分式---=0時，X-2=0,且x+2≠0,

X+2

解得：x=2.

故選：B.

【點評】本題考查了分式等于。的條件，熟練掌握分式的相關知識是解題的關鍵.

7.（2022春?淮陰區(qū)校級期中）將分式旦中的X,y的值都變?yōu)樵瓉淼?倍，則該分式的值（）

x+y

A.變?yōu)樵瓉淼?倍B.變?yōu)樵瓉淼?倍

C.不變D.變?yōu)樵瓉淼囊话?/p>

【分析】根據(jù)分式的基本性質：分式的分子與分母同乘（或除以）一個不等于。的整式，分式的值不變.即

可判斷.

【解答】解「?分式^中…的值都變?yōu)樵瓉淼?倍,

?，.分式■變?yōu)椋?/p>

x+y

xy4xy2xy

x+y2（x+y）x+y'

則該分式的值變?yōu)樵瓉淼?倍?

故選：A.

【點評】本題考查了分式的基本性質，解決本題的關鍵是掌握分式的基本性質.

8.（2022春?東?？h期中）下列等式一定成立的是（）

aα+laabaa2aa-c

A.-=-----B.-=-C.-=-D.-=-----

bb+1bb2bb2bb-c

【分析】根據(jù)分式的基本性質，進行計算即可解答.

【解答】解：A、￡≠等，故A不符合題意；

bD÷l

B、三=警.故B符合題意；

bb乙

c、T≠故C不符合題意；

bbz

aa-c

D、-≠--,故D不符合題忌；

bb-c

故選：B.

【點評】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵.

9.（2022春?廣陵區(qū)期末）下列分式從左到右變形錯誤的是（）

c133+匕

A.-=-B.-=--------

5c54a4a+b

114Q—2

----=-----

a-b-------b-aα2+4α+4α+2

【分析】根據(jù)分式的基本性質，進行計算即可解答.

【解答】解：A、三="故A不符合題意；

5c5

33+匕

B>—≠故B符合題意；

4a4α+o

11

c?—--,故C不符合題意;

a-b

a2-4(α+2)(α-2)a-2

故D不符合題意;

α2+4α+4(a+2)2a+2'

故選：B.

【點評】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵.

10.（2022春?沐陽縣期末）把分式子2工、（x≠0,丫:^^^中的工、y縮小為原來的那么分式的值（

A.縮小2倍B.擴大2倍

C.改變?yōu)樵瓉淼墓.不改變

4

【分析】根據(jù)分式的基本性質，進行計算即可解答.

【解答】解：由題意得:

∣x-3?∣yχ-3y

2-X=2x

2

；?把分式J（X≠0,丫片0）中的彳、y縮小為原來的3，那么分式的值不改變，

故選：D.

【點評】本題考查了分式的基本性質，熟練掌握分式的基本性質是解題的關鍵.

11.（2022春?常州期末）若x2+χ-l=0,則與蕓?的值是（）

x（x-l）

A.-2B.-1C.1D.2

【分析】將/+X-1=0變形得X2=I-X，代入所求式中，整體代入若干次，化簡可得答案.

【解答】解：?；/+X-I=0,

.".xi-1-X,

.X3+2X-1

??x（x-l）

_%（lτ）+2%-1

I-X-X

3X-X2-1

l-2x

3x—1—(1—x)

1-2.x

_4x-2

=T^2x

=-2.

故選：A.

【點評】本題考查了分式的化簡求值，掌握整體代入的思想和降次是解本題的關鍵.

二.填空題（共11小題）

12.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）若分式上的值為零，則X=-3.

X

【分析】根據(jù)分式值為零的條件可得x+3=0,且Λ≠0,再解即可.

【解答】解：根據(jù)題意得：

??÷3=0

Ix≠O'

解得X=-3.

故答案為：-3.

【點評】此題主要考查了分式值為零的條件，關鍵是掌握分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于

零.注意：“分母不為零”這個條件不能少.

4

13.（2022春?常熟市期末）分式——的值是整數(shù)，則正整數(shù)機的值等于2,3,5.

m-1

【分析】根據(jù)題意分情況討論，正整數(shù)〃?，即團-1>0,屏0,進行計算即可得出答案.

4

【解答】解：要使分式一;的值是整數(shù)，

m-l

4

當m=2時，------=4,

m-l

4

當加=3時，----=2,

Tn-I

4

當m=5時，----=1,

m-l

所以正整數(shù)，〃的值等于2,3,5.

故答案為：2,3,5.

【點評】本題主要考查了分式的值，熟練掌握分式的值計算方法進行求解是解決本題的關鍵.

%+3

14.（2022?黃岡模擬）要使分式——有意義，則字母X的取值范圍是x≠-4.

X+4---------

【分析】根據(jù)分式的分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案.

【解答】解：由題意得：戶4≠0,

解得：x≠-4,

故答案為：x≠-4.

【點評】本題考查的是分式有意義的條件，掌握分式有意義的條件是分母不等于零是解題的關鍵.

a2—4

15.（2022春?射陽縣期中）當α=2022時，分式----的值為2024.

a-2

【分析】先化簡分式，再代入求值即可得出答案.

【解答】解：原式=S+?（廠2）

=a+2,

當α=2022時,

原式=2022+2

=2024.

故答案為：2024.

【點評】本題考查了分式的值，掌握/-扇=（a+6）sb）是解題的關鍵.

X4-1X

16.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）當X=-1時，分式一的值為0.當XR3時,分式一;有意義.

-------x-2------x-3

【分析】先根據(jù)分式的值為0的條件列出關于X的不等式組，求出X的值，再根據(jù)分式有意義的條件列

出關于X的不等式，求出X的取值范圍即可.

Y-I-I

【解答】解：?.?分式口的值為0,

解得一

X

?.?分式口有意義,

.?.x-3≠0,即Λ≠3.

故答案為：—^1.≠3.

【點評】本題考查的是分式的值為0的條件，熟知分式值為零的條件是分子等于零且分母不等于零是解

答此題的關鍵.

12

17.（2022春?淮陰區(qū)期末）已知---=1,則----+χ-l=3.

x-1X-I

【分析】先解分式方程，然后將X的值代入求解.

【解答】解：解方程’7=1得，x=2,

X-I

將x=2代入方程得：2+27=3.

故答案為：3.

【點評】本題考查了分式的值，求解X的值是解答本題的關鍵.

18.（2022春?江寧區(qū)期末）分式J?和—二;的最簡公分母為2（α+方）（a-b）.

a2-b22a+2b---------------

【分析】根據(jù)最簡公分母的定義即可得出答案.

1Ill

【解答】解：分式=/…7=F=h~∑?兩個分式的最簡公分母為2Q+8）（α-b）,

a2-b2（α+b）（α-。）2a+2b2（α+b）

故答案為:2（α+?）（a-b）.

【點評】本題考查最簡公分母，通常取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù)與字母因式的最高次哥的積作公分母，

這樣的公分母叫做最簡公分母，這是解題的關鍵.

19.（2022春?梁溪區(qū)校級期中）下列4個分式：①寫三；②尹③J-；④二一，中最簡分式有2

α'+3xz-yz2mznm+1

個.

【分析】根據(jù)確定最簡分式的標準即分子，分母中不含有公因式，不能再約分，即可得出答案.

【解答】解：①娛是最簡分式；

α2+3

-一--γ-=——>不是最簡分式;

（x+y）（x-y）x+y

二一，不是最簡分式；

2mn

是最簡分式;

最簡分式有①④，共2個;

故答案為：2.

【點評】此題考查了最簡分式，最簡分式的標準是分子，分母中不含有公因式，不能再約分.判斷的方

法是把分子、分母分解因式，并且觀察有無互為相反數(shù)的因式，這樣的因式可以通過符號變化化為相同

的因式從而進行約分.

20.（2022春?泰興市期中）若2=：=9,則分式亭等號=、

abcaz+bz+cz_5D-

3451

【分析】可以設一=1=-=則a=3億b=4k,c=5k,把這三個式子代入所要求的式子再進行化簡

abck

就得到式子的值.

3451

【解答】解：設-=一=-=一，則a=3k,b=4k,c=5k,

abck

I八,ab-bc+ac3k?4k—4k?5k+3k?5k7k27

則分式----------=--------------------=-----=—.

a2+b2+c29∕c2+16∕c2+25fc250H?θ

_7

故答案為

50

【點評】掌握本題的設法，把多個未知數(shù)的問題轉化為一個未知數(shù)的問題.

Q2—2a+1

21.（2022春?姜堰區(qū)期中）化簡：--------=1-tz.

1-a

【分析】先將分子利用完全平方公式變形，再進行約分即可.

【解答】解：原式=/里=一（a-l）=l-a?

故答案是1~a.

【點評】本題考查了約分.要注意完全平方公式的運用.

22.（2022春?洪澤區(qū)期中）給出下列分式：⑴警,（2）呼，⑶錯，⑷會，⑸需急其

中最簡分式有⑵.（填序號）

【分析】直接利用分式的性質性質分別化簡，再結合最簡分式的定義得出答案.

Sbc4bc

【解答】解:(1)—=一；

6a3a

4a2-b2(2Q+>)(2Q-匕)

(3)=2a+b↑

2a-b2a-b

a-b

(4)

b-a

Mf2(α+b)(α-b)a-b

(5)

α2+2α?+b2(α+匕)2α+?

&2+廿

則最簡分式有（2）

a-?-b

故答案為：（2）.

【點評】此題主?？疾榱俗詈喎质?正確掌握最簡分式的定義是解題關鍵.

三.解答題（共7小題）

3a2b

23.（2022春?泗陽縣期中）（1）約分:

Gab

、八2bIa

（2）通分：姿與直

【分析】（I）直接利用分式的性質化簡，進而得出答案:

（2）首先得出最簡公分母，進而得出答案.

【解答】解：（1）原式=黑=*

2baC

（2）點與亂’最簡公分母為：3a-bc,

2b2bbc2b2c

則---=--------=—^—,

3a23a2be3a2bc

aα?3α23a3

be3a2bc3a2bc

【點評】此題主要考查了通分與約分，正確掌握分式的性質是解題關鍵.

24.（2022春?鼓樓區(qū)期中）閱讀材料.

X=如期X/I

已知R的值.

X1,/2+1

解：由，-9得丁=3,

xo2+l

Xχ2+%+ι

顛倒分子與分母的位置為--------

x2÷x+lx

E,x2+x+lx2+l

因為-------=——+1=3+1=4,

XX

x1

所以?

X2+X+14

回答問題:

已知〃，小為非零實數(shù)，言4be_1≡=七求代數(shù)式abc

?的值.

b+c8,ab+bc-?-ac

【分析】先分別求得念,言，言的倒數(shù)，再將計算結果代入就說的倒數(shù)進行計算即可.

【解答】解：???篝=二be=王1充ac=I1?

a+bb+ca+c

=6,=8,----=10,

ab----be------ac

a+bb+ca+c

---÷——+——=6+8+10,

abbeac

.c(α+D)α(h+c)b(α+c)

>?++-■24,

abcabcabc

ac+bc+ab+ac+ba+bc

=24,

abc

.2(αb+bc+gc)

>?~24,

abc

ab+bc+ac

--------=12,

abc

abc1

ab^bc+ac12

【點評】此題考查的是分式的計算，能夠根據(jù)已知等式進行正確變形是解決此題的關鍵.

25?（2022春?洪澤區(qū)期中）小紅、小剛、小明三位同學在討論：當X取何整數(shù)時，分式4的值是整數(shù)？

小紅說：這個分式的分子、分母都含有X,它們的值均隨X取值的變化而變化，有點難.

小剛詡我會解這類問題：當X取何整數(shù)時?，分式W的值是整數(shù)？3是㈤的整數(shù)倍即可，注意不要忘

記負數(shù)哦.

小明說：可將分式與分數(shù)進行類比.本題可以類比小學里學過的“假分數(shù)”，當分子大于分母時，可以將“假

分數(shù)”化為一個整數(shù)與“真分數(shù)”的和.比如：：=—r-=2+當（通常寫成帶分數(shù)：2-）.類比分式，當

33?3

3x-2

分子的次數(shù)大于或等于分母次數(shù)時，可稱這樣的分式為“假分式”，若將一二化成一個整式與一個“真分

x+1

式”的和，就轉化成小剛說的那類問題了!

小紅、小剛說：對！我們試試看！…

（1）解決小剛提出的問題；

（2）解決他們共同討論的問題.

【分析】（1）只要3是x+1的倍數(shù)即可；

（2）將分式化成一個整式與一個真分式的和，5是x+1的倍數(shù)即可.

【解答】解：⑴當x+U±L±3時,分式W的值是整數(shù),

Λx=O,-2,2,-4.

3%—23(x+l)-55

(2)----=--------=3---rv

X+lX÷l%+1

當x+l=±l,±5時，分式的值為整數(shù),

.?x=0,-2,4,-6.

【點評】本題考查了分式的整數(shù)值，考查學生的計算能力，看懂題意是解題的關鍵.

m2+5m+6

26.已知：分式

τn2-4

（I）當心滿足什么條件時，分式有意義？

m2+5m+6

（2）約分:

m2-4

（3）當初滿足什么條件時，分式值為負？

【分析】（1）分母不等于0時分式有意義，據(jù)此求解可得;

（2）將分子與分母因式分解，再約去公因式即可得;

（3）由分式的值為負數(shù)知絲里?0,據(jù)此得『+3>°或『+3<0,解之可得.

根-2（m-2VO（m-2>0

【解答】解：（1）當團2―4川，分式有意義，

解得：m≠±2;

τn2+5m+6(m+2)(τn+3)τn+3

(2)

m2-4(m+2)(m-2)m-2

(3)由題意知巴更<0,

m-2

.(m÷3>0或Pn÷3<0

Im—2VoIm-2>0

解得：-3Vm<2,

即-3<∕n<2,且tn≠-2時二分式的值為負.

【點評】本題主要考查約分，由約分的概念可知，要首先將分子、分母轉化為乘積的形式，再找出分子、

分母的最大公因式并約去，也考查了分式有意義的條件.

27.有趣的“約分”

“約去”指數(shù)：如訴=而,的='你見過這樣的約分嗎？面對這荒謬的約分,一笑之后,再

認真檢驗，發(fā)現(xiàn)其結果竟然是正確的，這是什么原因？