（人教A版2019必修第一冊(cè)）高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)題型 技巧》精講與精練高分突破 5.5.2 簡(jiǎn)單的三角恒等變換【附答案解析】

高一數(shù)學(xué)《考點(diǎn)?題型?技巧》精講與精練高分突破系列(人教A版2019必修第一冊(cè))5.5三角恒等變換5.5.2簡(jiǎn)單的三角恒等變換【考點(diǎn)梳理】考點(diǎn)一半角公式sineq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,2))，coseq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1＋cosα,2))，taneq\f(α,2)＝±eq\r(\f(1－cosα,1＋cosα))＝eq\f(sinα,1＋cosα)＝eq\f(1－cosα,sinα).考點(diǎn)二輔助角公式輔助角公式：asinx＋bcosx＝eq\r(a2＋b2)sin(x＋θ).eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(其中tanθ＝\f(b,a)))【題型歸納】題型一：降冪公式的化簡(jiǎn)求值問(wèn)題1．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.2．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）利用倍角公式求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.3．（2020·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一期中（文））求值：（1）若，求的值.（2）求的值.題型二：輔助角公式的應(yīng)用4．（2023·河北遷安·高一期末）已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（3）當(dāng)時(shí)，畫(huà)出函數(shù)的圖象.5．（2023·甘肅·慶陽(yáng)第六中學(xué)高一期末）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.6．（2023·上?！じ咭徽n時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)并求值.（1）；（2）；（3）；（4）.題型三：三角恒等式變換中的（給角求值、給值求值、給值求角）問(wèn)題7．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求下列函數(shù)的最大值和最小值：（1）；（2）；（3）；（4）.8．（2023·四川·成都外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高一月考）已知函數(shù)，函數(shù)的最小正周期是（）A． B． C． D．9．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）（1）求的值；（2）已知均為銳角，且，求的值.題型四：三角恒等式變換中證明、化簡(jiǎn)問(wèn)題10．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）.11．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）求下列各式的值：（1）已知，求的值；（2）求的值；12．（2023·河南駐馬店·高一期末（理））化簡(jiǎn)，求值：（Ⅰ）已知，求；（Ⅱ）13．（2023·四川·仁壽一中高一開(kāi)學(xué)考試）已知，.（1）求；（2）已知，.求.【雙基達(dá)標(biāo)】一、單選題14．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）若，是第三象限的角，則＝（）A．2 B． C．﹣2 D．15．（2023·河南·高一期末）下列函數(shù)中是奇函數(shù)且最小正周期為的是（）A． B．C． D．16．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）的值為（）A． B． C． D．17．（2023·上?！ど贤馄謻|附中高一期中）若，則等于（）A． B． C． D．18．（2023·河南商丘·高一月考）若函數(shù)的最大值為，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．19．（2023·湖北武漢·高一期中）已知，則的值為（）.A． B． C． D．20．（2023·江蘇省前黃高級(jí)中學(xué)高一月考）若，則的值為（）A．2019 B．2020 C．2021 D．202221．（2023·河南駐馬店·高一期末（理））已知，則的值是（）A． B． C． D．22．（2023·江蘇·南京師大附中高一期末）已知，，，若，則＝（）A． B． C． D．【高分突破】一：?jiǎn)芜x題23．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知2tanθ–tan(θ+)=7，則tanθ=（）A．–2 B．–1 C．1 D．224．（2023·北京·101中學(xué)高一期末）若，則（）A． B． C． D．25．（2023·上?！じ咭黄谥校┮阎?，，且，，則（）A． B． C． D．26．（2023·福建·莆田錦江中學(xué)高一期末）若，，，則（）A． B． C． D．27．（2023·山西·懷仁市第一中學(xué)校云東校區(qū)高一月考（理））若，，，，則（）A． B． C． D．28．（2023·江蘇·揚(yáng)州大學(xué)附屬中學(xué)高一月考）已知，則的值為（）A． B． C． D．29．（2023·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的最大值和最小值分別為（）A． B． C．，0 D．30．（2023·浙江·高一期末）已知?jiǎng)t（）A． B． C． D．31．（2018·四川資陽(yáng)·高一期末）已知，，則的值為A． B． C． D．32．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）德國(guó)著名的天文學(xué)家開(kāi)普勒說(shuō)過(guò)：“幾何學(xué)里有兩件寶，一個(gè)是勾股定理，另一個(gè)是黃金分割.如果把勾股定理比作黃金礦的話，那么可以把黃金分割比作鉆石礦.”黃金三角形有兩種，其中底與腰之比為黃金分割比的黃金三角形被認(rèn)為是最美的三角形，它是一個(gè)頂角為的等腰三角形（另一種是頂角為的等腰三角形）.例如，五角星由五個(gè)黃金三角形與一個(gè)正五邊形組成，如圖所示，在其中一個(gè)黃金中，.根據(jù)這些信息，可得（）A． B． C． D．二、多選題33．（2023·海南·瓊中中學(xué)高一期中）已知，，則（）A． B．C． D．34．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）設(shè)函數(shù)，則A．是偶函數(shù) B．在單調(diào)遞減C．最大值為2 D．其圖像關(guān)于直線對(duì)稱35．（2023·江蘇·常熟市中學(xué)高一月考）已知，，，，則（）A． B．C． D．36．（2023·山東棗莊·高一期末）下列化簡(jiǎn)正確的是（）A． B．C． D．37．（2023·江蘇·儀征市第二中學(xué)高一月考）下列說(shuō)法正確的是（）A．B．C．D．38．（2023·江蘇·南京市秦淮中學(xué)高一月考）下列等式中恒成立的是（）A． B．C． D．三、填空題39．（2020·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)的最大值為_(kāi)_________.40．（2023·河北·藁城新冀明中學(xué)高一月考）已知=，則的值是____.41．（2020·四川·棠湖中學(xué)高一月考）__________.42．（2023·廣東·金山中學(xué)高一期中）已知，則______.43．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）已知，則的值為_(kāi)_____．44．（2020·福建省南平市高級(jí)中學(xué)高一期中）若都是銳角，，，則.45．（2023·安徽舒城·高一期末）若，則__________.46．（2023·山東濱州·高一期末）函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_(kāi)___________.47．（2019·河南駐馬店·高一期末（文））已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)（且）取得最大值，則時(shí)，的值為_(kāi)_________．四、解答題48．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）；（3）．49．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）證明：（1）；（2）．50．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）化簡(jiǎn)：（1）；（2）.51．（2023·全國(guó)·高一課時(shí)練習(xí)）解答：（1）化簡(jiǎn)：；（2）求值：；（3）求函數(shù)的最大值.52．（2023·北京·大峪中學(xué)高一期中）已知，且.（1）求的值；（2）求的值.53．（2023·上海市民辦西南高級(jí)中學(xué)高一月考）（1）已知，，求的值；（2）已知，，求．【答案詳解】．1．（1）（2）（3）（4）（5）（6）因?yàn)?，所以，所以，因此原?2．（1）（2）（3）（4）（5）（6）3．（1）由，等式左邊分子、分母同除得，，解得，則.（2）.4．（1）；（2）；（2）詳見(jiàn)解析.【詳解】（1），，，所以函數(shù)的周期為；（2）令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是；（3）由列表如下：0xy0-2020則函數(shù)的圖象如下：.5．（1）；（2）.【詳解】（1）由，所以函數(shù)的最小正周期為．（2）時(shí)，，，∴的值域?yàn)椋?．（1）；（2）；（3）；（4）32.【詳解】（1）原式.（2）原式

.（3）原式.（4）原式.7．（1），最大值為1，最小值為；（2），最大值為，最小值為；（3），最大值為2，最小值為；（4），最大值為2，最小值為.8．B【詳解】所以的最小正周期為，故選：B9．（1）；（2）.【詳解】（1）原式（2）因?yàn)榫鶠殇J角，，所以，，由根據(jù)函數(shù)在上為增函數(shù)，所以所以.又均為銳角，則，所以10．（1）左邊==右邊，原式成立.（2）左邊=右邊，原式成立.（3）左邊=右邊，原式成立.（4）左邊=右邊，原式成立.（5）左邊=右邊，原式成立.（6）左邊=右邊，原式成立.11．（1）；；（2）．【詳解】（1），．（2）原式．12．（Ⅰ）；（Ⅱ）16.解：（Ⅰ）由，所以，解得，所以（Ⅱ）13．（1）；（2）.解：（1），，（2），14．C【詳解】由且是第三象限的角，可得，又由，即.故選：C.15．D【詳解】由選項(xiàng)A得，所以該函數(shù)為偶函數(shù)，且最小正周期為，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，該函數(shù)為偶函數(shù)，且最小正周期為，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，.該函數(shù)為偶函數(shù).且最小正周期為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，該函數(shù)是奇函數(shù)且最小正周期為,D選項(xiàng)正確.故選：D16．C【詳解】故選：C.17．A解：，，，所以，，，，．故選：A．18．B【詳解】依題意，，設(shè)銳角滿足，則.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為因此.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為解得.綜上，實(shí)數(shù)的值為.故選：B.19．D【詳解】，，，，故選：D20．C【詳解】.故選：C21．B【詳解】，即，，，則，故選：B.22．C解：因?yàn)槿簦瑒t，即，，則，所以，，即又，所以.故選：C23．D【詳解】，，令，則，整理得，解得，即.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用兩角和的正切公式化簡(jiǎn)求值，屬于中檔題.24．C【詳解】將式子進(jìn)行齊次化處理得：．故選：C．25．A【詳解】且，，.又，，.當(dāng)時(shí)，，，，不合題意，舍去；當(dāng)，同理可求得，符合題意.綜上所述：.故選：.26．C【詳解】由題意，故故又，故，則故選：C27．C【詳解】，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)椋?，所以，，則．故選：C28．D【詳解】因?yàn)椋?，故選：D29．D【詳解】設(shè)，則，則，由，得，所以，所以當(dāng)，即時(shí)，；當(dāng)，即時(shí)，.故選：D.30．B【詳解】由得，故.所以.故選：B31．A詳解：∵，，∴，∴，．∴．故選A．32．C因?yàn)槭琼斀菫榈牡妊切?，所以，，則，，而，所以，.故選：C.33．AC【詳解】∵，，且解得：∴，故A正確；，故B錯(cuò)誤；，故C正確；∵，∴.∵，∴，故D錯(cuò)誤.故選：AC34．ABD【詳解】.選項(xiàng)A：，它是偶函數(shù)，本說(shuō)法正確；選項(xiàng)B：，所以，因此是單調(diào)遞減，本說(shuō)法正確；選項(xiàng)C：的最大值為，本說(shuō)法不正確；選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，因此函數(shù)圖象關(guān)于對(duì)稱，本說(shuō)法正確.故選：ABD35．BC【詳解】①因?yàn)?，所以，又，故有，，解出，故A錯(cuò)誤；②，由①知：，所以，所以，故B正確；③由①知：，而，所以，又，所以，解得，所以又因?yàn)?，，所以，有，故C正確；④由，由③知，，兩式聯(lián)立得：，故D錯(cuò)誤．故選：BC36．ABD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故選項(xiàng)C不正確；對(duì)于選項(xiàng)D：，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.37．AB【詳解】對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，由兩角和的正弦公式，，故B正確.對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，，故D錯(cuò)誤.故選：AB38．ACD【詳解】選項(xiàng)A.由,則成立，故A正確.選項(xiàng)B.由當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)，所以B不正確.選項(xiàng)C.,故C正確.選項(xiàng)D.所以成立，故D正確故選：ACD39．解：函數(shù)f（x）＝2cosx+sinx（cosxsinx）sin（x+θ），其中tanθ＝2，可知函數(shù)的最大值為：．故答案為．40．【詳解】故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.41．1【解析】，.42．1【詳解】因?yàn)椋?故答案為：.43．【詳解】因?yàn)?，，所以，，所以．故答案為：?4．【解析】①因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，代入①得，故填?5．【詳解】由可以得到，所以，設(shè)，則則，所以.故答案為.46．，因?yàn)?，所以，所以，所以，可?/p>