2022學年天津市濱海新區(qū)高三數(shù)學上學期第三次月考卷附答案解析

學年天津市濱海新區(qū)高三上學期第三次月考數(shù)學試卷本試卷分為第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試用時120分鐘．第Ⅰ卷1至3頁，第Ⅱ卷4至6頁．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡上，并在規(guī)定位置粘貼考試用條形碼．答卷時，考生務必將答案涂寫在答題卡上，答在試卷上的無效．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．祝各位考生考試順利！第Ⅰ卷注意事項：1．每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．2．本卷共9小題，每小題5分，共45分．一．選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．若全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．若條件，條件，則p是q的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C．D．4．自2021年1月1日起，《中華人民共和國民法典》開始施行，為了解某市市民對《中華人民共和國民法典》的了解情況，決定發(fā)放3000份問卷，并從中隨機抽取200份進行統(tǒng)計，已知該問卷滿分100分，通過對隨機抽取的200份問卷成績進行統(tǒng)計得到了如圖所示的頻率分布直方圖，估計這3000份問卷中成績不低于80分的份數(shù)為（

）A．840 B．720 C．600 D．5405．已知是定義在上的偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，若，，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．6．已知三棱錐的底面是邊長為2的等邊三角形，平面，且，則該三棱錐外接球的表面積為A． B． C． D．7．設函數(shù)的最大值為，其圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且的圖象關(guān)于點對稱，則下列判斷正確的是（

）A．函數(shù)在上單調(diào)遞增B．函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱C．當時，函數(shù)的最小值為D．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位8．已知雙曲線的一條漸近線與拋物線交于點，點是拋物線的準線上一點，拋物線的焦點為雙曲線的一個焦點，且為等邊三角形，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．9．已知，函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷注意事項：1．用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上．2．本卷共11小題，共105分．二．填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．試題中包含兩個空的，答對1個的給3分，全部答對的給5分．10．已知復數(shù)，則.11．已知二項式的展開式中的常數(shù)項為，則．12．已知圓的圓心在直線上，且與直線切于點，則圓被直線截得的弦長為.13．一個口袋里有形狀一樣僅顏色不同的4個小球，其中白色球2個，黑色球2個.若從中隨機取球，每次只取1個球，每次取球后都放回袋中，則事件“連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球”的概率為；若從中一次取2個球，只取一次，記所取球中白球可能被取到的個數(shù)為ξ，則隨機變量ξ的期望為.14．已知實數(shù)，滿足，且.則的最大值為．15．已知平行四邊形的兩條對角線相交于點，，，，其中點在線段上且滿足，，若點是線段上的動點，則的最小值為.三．解答題：本大題共5小題，共75分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．16．在中，內(nèi)角、、所對的邊分別為，，，已知，，.（1）求的值；（2）求的值.17．已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F、G分別是PA、PB、BC的中點．(1)求證：EF⊥平面PAD；(2)求平面EFG與平面ABCD所成二面角的夾角的余弦值；(3)線段PD上是否存在一個動點M，使得直線GM與平面EFG所成角為，若存在，求線段PM的長度，若不存在，說明理由．18．設是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，公比大于0，已知，，．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前項和．19．已知橢圓，左?右頂點分別為P，Q，上頂點為K，原點為O，的面積為，兩焦點與短軸的一個頂點構(gòu)成等邊三角形，過點且斜率不為的直線與橢圓交于不同的兩點A，B．(1)求橢圓的標準方程；(2)求面積的最大值；(3)直線PA與直線交于點，試問B，Q，三點是否共線？若共線，請證明；若不共線，請說明理由．20．已知函數(shù)，其中，為自然對數(shù)的底數(shù).設是的導函數(shù).（Ⅰ）若時，函數(shù)在處的切線經(jīng)過點，求的值；（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）若，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點，求的取值范圍.1．C【分析】解一元二次不等式結(jié)合整數(shù)集的概念列舉法表示出集合，然后解一次不等式求出集合，進而根據(jù)補集的概念求出，進而根據(jù)交集的概念即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，則，因此，故選：C2．D【分析】先求解兩個不等式，根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷即可【詳解】由題意，條件或條件或故條件，則p是q的既不充分也不必要條件故選：D3．B【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性排除A,D,再根據(jù)，排除C即得解.【詳解】解：根據(jù)題意，，其定義域為R，有，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，排除A，D，，排除C，故選：B．【點睛】方法點睛：根據(jù)函數(shù)的解析式找圖象，一般先找差異，再驗證.4．A【分析】根據(jù)頻率分布直方圖求得成績不低于80分的頻率，利用樣本估計總體，即可求解.【詳解】由頻率分布直方圖可知，成績不低于80分的頻率為，由樣本估計總體，故估計這3000份問卷中成績不低于80分的份數(shù)為份.故選：A.5．C【詳解】是定義在上的偶函數(shù)，，，，在上是增函數(shù)，在上為減函數(shù)，則，即，故選C.6．D【分析】由于球中球心與球的小圓圓心的連線垂直于這個小圓，利用也垂直于這個小圓，即可利用球心與小圓圓心建立起直角三角形，，根據(jù)題意可求出是底面三角形的外接圓的半徑，利用計算即可，最后即可求出球的表面積．【詳解】由已知得，作下圖，連結(jié)，延長至圓上交于H，過作交于，則為，所以，為斜邊的中點，所以，為的中位線，為小圓圓心，則為的中點，則，則，，則球的半徑球的表面積為答案選D.【點睛】本題考查計算球的表面積，關(guān)鍵在于利用進行計算，難點在于構(gòu)造三要素相關(guān)的直角三角形進行求解，難度屬于中等．7．D【解析】利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)求得，利用正弦型函數(shù)的單調(diào)性可判斷A選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的對稱性可判斷B選項的正誤，利用正弦型函數(shù)的值域可判斷C選項的正誤，利用三角函數(shù)圖象變換可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意可得，函數(shù)的最小正周期為，，所以，，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，則，可得，，，，所以，.對于A選項，當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，A選項錯誤；對于B選項，，所以，函數(shù)的圖象不關(guān)于直線對稱，B選項錯誤；對于C選項，當時，，，C選項錯誤；對于D選項，，所以，要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象向右平移個單位，D選項正確.故選：D.【點睛】方法點睛：求函數(shù)在區(qū)間上值域的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.8．A【分析】根據(jù)題意得，設，列方程可得點A的坐標，然后求解得，再由，即可求出雙曲線的方程.【詳解】由題意，點，拋物線的準線方程為，作，由拋物線的定義可知，，又為等邊三角形，所以，所以，即點重合，所以，設，不妨設，則，得，所以，所以，又因為，所以得，所以雙曲線的方程為.故選：A9．C【分析】根據(jù)題意得當時恒成立且當時，恒成立，再分別討論函數(shù)在各段上的最值即可求解.【詳解】解:因為關(guān)于的不等式恒成立,所以當時恒成立且當時，恒成立；所以當時恒成立且當時，恒成立，即當時恒成立且當時，恒成立；所以當時，令，函數(shù)是開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，所以當時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故原不等式恒成立等價于，解得；當時，即時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故原不等式恒成立等價于，解得；當時，令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以原不等式恒成立等價于，即.綜上，實數(shù)的取值范圍是故選：C【點睛】本題考查利用導數(shù)研究不等式恒成立問題，分段函數(shù)，考查分類討論思想，運算求解能力，是中檔題.本題解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意將問題轉(zhuǎn)化為當時恒成立且當時，恒成立.10．【解析】結(jié)合復數(shù)的乘除法法則求出，進而可求出模.【詳解】解：，則.故答案為:11．2【分析】在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得常數(shù)項，再根據(jù)常數(shù)項等于求得實數(shù)的值．【詳解】二項式的展開式中的通項公式為，令，求得，可得常數(shù)項為，，故答案為．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．12．【分析】設圓心坐標為，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可知，直線與直線垂直，可求得的值，進而可求得圓的方程，求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得結(jié)果.【詳解】設圓心坐標為，則，由圓的幾何性質(zhì)可得，直線的斜率為，則，解得，則圓心為，圓的半徑為，所以，圓的方程為，圓心到直線的距離為，因此，所求弦長為.故答案為：.【點睛】方法點睛：圓的弦長的常用求法（1）幾何法：求圓的半徑為，弦心距為，弦長為，則；（2）代數(shù)方法：運用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式.13．1【分析】求出每一次取到白球的概率，再列式即可求出連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球的概率；可得隨機變量的可能取值為0，1，2，求出取2不同值的概率，即可求出數(shù)學期望.【詳解】由題可得每一次取到白球的概率為，連續(xù)取球四次，恰好取到兩次白球的概率為，隨機變量的可能取值為0，1，2，則，，，.故答案為:;1.【點睛】思路點睛:求離散型隨機變量的數(shù)學期望時，應首先分析出變量的可能取值，然后求出每次取值下的概率，結(jié)合數(shù)學期望公式即可求解.14．9【分析】將已知等式變形為，對等式兩邊同乘，構(gòu)造關(guān)于所求式子的不等式，進行求解即可.【詳解】由，得，則，當且僅當，即時成立，令，則有，解得，故的最大值為.故答案為9.【點睛】本題主要考查基本不等式的應用，利用基本不等式將已知等式進行不等化是解決此類題常用的方法，屬于難題.15．【解析】根據(jù)題意，利用余弦定理求出，，根據(jù)平面向量的線性運算即可得出，，得出，即可求出；由于點是線段上的動點，可設，則，由平面向量的三角形加法法則得出，，結(jié)合條件且根據(jù)向量的數(shù)量積運算，求得，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出的最小值.【詳解】解：在平行四邊形中，，，，則在中，由余弦定理得：，即，，，則，在中，由余弦定理得：，即，，，，，而，即，，解得：，；由于點是線段上的動點，可設，則，，，即，，即，所以當時，取得最小值，最小值為.故答案為：；.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量的線性運算和數(shù)量積運算的實際應用，解題的關(guān)鍵在于利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，考查轉(zhuǎn)化思想和運算能力.16．（1）；（2）.【分析】（1）利用正弦定理，化邊為角的正弦，得到，求出，再用余弦定理求出的值；（2）由第一問先求，再求，，進而求出.【詳解】（1）∵∴由正弦定理：可得：，其中，∵∴，即∵∴∵，∴由余弦定理可得：∵∴（2）由余弦定理可得：；∴∵∴∴17．(1)證明見解析(2)(3)不存在，理由見解析【分析】（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明AB⊥平面PAD，即可證明結(jié)論；（2）建立合適的空間直角坐標系，求出所需點的坐標和向量的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出平面EFG的法向量，由向量的夾角公式求解即可；（3）設，利用向量的線性運算求出的坐標，然后利用向量的夾角公式列出方程，求解即可得到答案．【詳解】（1）因為平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，AB⊥AD，AB?平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，又E、F分別是PA、PB的中點，則，故EF⊥平面PAD；（2）取AD的中點O，連接PO，連接OG，則，因為平面PAD⊥平面ABCD，PO⊥AD，PO?平面PAD，所以PO⊥平面ABCD，故以點O為坐標原點，建立空間直角坐標系如圖所示，則O（0，0，0），A（0，-2，0），B（4，-2，0），C（4，2，0），，所以，設平面EFG的法相向量為，則，即，令z=1，則，故，又平面ABCD的法向量為，所以，所以平面EFG與平面ABCD所成二面角的夾角的余弦值為；（3）設，因為，故，所以，因為直線GM與平面EFG所成角為，故，化簡可得2t2-3t+3=0，故方程無解，所以在線段PD上不存在一個動點M，使得直線GM與平面EFG所成角為．18．(1)，(2)【分析】（1）列出公差和公比的方程組求解；（2）利用裂項相消和錯位相減分組求和即可.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，依題意，得，解得或（舍去）故，，所以，的通項公式為，的通項公式為；（2）設前n項和為，設的前n項和為，所以，兩式相減可得：

所以．19．(1)(2)(3)共線，證明見解析【分析】（1）根據(jù)條件列a,b,c關(guān)系式求解；（2）設直線方程，與橢圓聯(lián)立，得面積表達式，換元利用對勾函數(shù)單調(diào)性求最值；（3）設直線方程為：，求出，通過證明求解.【詳解】（1）設橢圓的半焦距為由題意可得：，解得，，，所以橢圓方程為．（2）設直線的方程為，，，由，整理得，易知,，，令()，則，設，由對勾函數(shù)性質(zhì)易知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，知，即當，即時，面積取到最大值．（3）易知橢圓的左?右頂點分別為，，直線方程為：，它與直線交于點，則，由于，都存在，且，故,于是B，Q，N三點共線．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓位置關(guān)系，第三問證明三點共線注意斜率的應用及韋達定理的代入計算.20．（Ⅰ）1；（Ⅱ）答案見解析；（Ⅲ）.【分析】（I）時，利用導數(shù)的幾何意義，求得切線斜率，切點坐標，即可求解切線的方程，進而求解得值；（II）求得函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)在單調(diào)遞增，轉(zhuǎn)化為，分類討論，即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）由得：，得，由已知，設為在區(qū)間內(nèi)的一個零點，則由可知在區(qū)間上至少有三個單調(diào)區(qū)間，得到在區(qū)間內(nèi)存在零點，在區(qū)間內(nèi)也存