復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算及其幾何意義 課件

數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入復數(shù)的概念(1)復數(shù)的概念是學習復數(shù)的基礎，是考試的重要的考查內(nèi)容之一，一般以選擇題或填空題形式出現(xiàn)，難度較小．(2)解答此類問題的關鍵是明確復數(shù)相關概念．eq\a\vs4\al([考點精要])1．復數(shù)是實數(shù)的充要條件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)∈R?b＝0.(2)z∈R?z＝eq\x\to(z).(3)z∈R?z2≥0.2．復數(shù)是純虛數(shù)的充要條件(1)z＝a＋bi(a，b∈R)是純虛數(shù)?a＝0，且b≠0.(2)z是純虛數(shù)?z＋eq\x\to(z)＝0(z≠0)．(3)z是純虛數(shù)?z2<0.3．復數(shù)相等的充要條件a＋bi＝c＋di?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝c，,b＝d))(a，b，c，d∈R)．[典例](1)(2017·全國卷Ⅰ)設有下面四個命題：p1：若復數(shù)z滿足eq\f(1,z)∈R，則z∈R；p2：若復數(shù)z滿足z2∈R，則z∈R；p3：若復數(shù)z1，z2滿足z1z2∈R，則z1＝eq\x\to(z)2；p4：若復數(shù)z∈R，則eq\x\to(z)∈R.其中的真命題為()A．p1，p3 B．p1，p4C．p2，p3 D．p2，p4(2)(2017·天津高考)已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若eq\f(a－i,2＋i)為實數(shù)，則a的值為________．[解析](1)設復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，對于p1，∵eq\f(1,z)＝eq\f(1,a＋bi)＝eq\f(a－bi,a2＋b2)∈R，∴b＝0，∴z∈R，∴p1是真命題；對于p2，∵z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi∈R，∴ab＝0，∴a＝0或b＝0，∴p2不是真命題；對于p3，設z1＝x＋yi(x，y∈R)，z2＝c＋di(c，d∈R)，則z1z2＝(x＋yi)(c＋di)＝cx－dy＋(dx＋cy)i∈R，∴dx＋cy＝0，取z1＝1＋2i，z2＝－1＋2i，z1≠eq\x\to(z)2，∴p3不是真命題；對于p4，∵z＝a＋bi∈R，∴b＝0，∴eq\x\to(z)＝a－bi＝a∈R，∴p4是真命題．(2)由eq\f(a－i,2＋i)＝eq\f(a－i2－i,2＋i2－i)＝eq\f(2a－1,5)－eq\f(2＋a,5)i是實數(shù)，得－eq\f(2＋a,5)＝0，所以a＝－2.[答案](1)B(2)－2處理復數(shù)概念問題的兩個注意點(1)當復數(shù)不是a＋bi(a，b∈R)的形式時，要通過變形化為a＋bi的形式，以便確定其實部和虛部．(2)求解時，要注意實復數(shù)加、減法的幾何意義(1)復數(shù)運算與復數(shù)幾何意義的綜合是高考常見的考查題型，以選擇題或填空題形式考查，難度較?。?2)解答此類問題的關鍵是利用復數(shù)運算將復數(shù)化為代數(shù)形式，再利用復數(shù)的幾何意義解題．eq\a\vs4\al([考點精要])1．復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應點的坐標為(a，b)，而不是(a，bi)；(2)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應向量eq\o(OZ,\s\up7(→))是以原點O為起點的，否則就談不上一一對應，因為復平面上與eq\o(OZ,\s\up7(→))相等的向量有無數(shù)個．2．復數(shù)的模(1)復數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模|z|＝eq\r(a2＋b2)；(2)從幾何意義上理解，復數(shù)z的模表示復數(shù)z對應的點z和原點間的距離．[典例](1)(2017·全國卷Ⅲ)設復數(shù)z滿足(1＋i)z＝2i，則|z|＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C.eq\r(2) D.2(2)復數(shù)z＝eq\f(m－2i,1＋2i)(m∈R，i為虛數(shù)單位)在復平面上對應的點不可能位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限[解析](1)因為z＝eq\f(2i,1＋i)＝eq\f(2i1－i,1＋i1－i)＝i(1－i)＝1＋i，所以|z|＝eq\r(2).(2)z＝eq\f(m－2i,1＋2i)＝eq\f(m－2i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq\f(1,5)[(m－4)－2(m＋1)i]，其實部為eq\f(1,5)(m－4)，虛部為－eq\f(2,5)(m＋1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－4>0，,－2m＋1>0.))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m>4，,m<－1.))此時無解．故復數(shù)在復平面上對應的點不可能位于第一象限．[答案](1)C(2)A[類題通法]在復平面內(nèi)確定復數(shù)對應點的步驟(1)由復數(shù)確定有序?qū)崝?shù)對，即z＝a＋bi(a，b∈R)確定有序?qū)崝?shù)對(a，b)．(2)由有序?qū)崝?shù)對(a，b)確定復平面內(nèi)的點Z(a，b)．復數(shù)的代數(shù)運算(1)復數(shù)運算是本章的重要內(nèi)容，是高考的考查的重點和熱點，每年高考都有考查，一般以復數(shù)的乘法和除法運算為主．(2)解答此類問題的關鍵是熟記并靈活運用復數(shù)的四則運算法則，用好復數(shù)相等的充要條件這一重要工具，將復數(shù)問題實數(shù)化求解．eq\a\vs4\al([考點精要])復數(shù)運算中常見的結(jié)論(1)(1±i)2＝±2i，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1－i,1＋i)＝－i；(2)－b＋ai＝i(a＋bi)；(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i；(4)i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0.[典例](1)若z＝1＋2i，則eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝()A．1 B．－1C．i D．－i(2)計算：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝________.[解析](1)因為z＝1＋2i，則eq\x\to(z)＝1－2i，所以zeq\x\to(z)＝(1＋2i)(1－2i)＝5，則eq\f(4i,z\x\to(z)－1)＝eq\f(4i,4)＝i.故選C.(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋2i·i100＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))5))2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,\r(2))))20＝[(1＋2i)＋(－i)5]2－i10＝(1＋i)2－i2＝1＋2i.[答案](1)C(2)1＋2i[類題通法]進行復數(shù)代數(shù)運算的策略(1)復數(shù)代數(shù)形式的運算的基本思路就是應用運算法則進行計算．①復數(shù)的加減運算類似于實數(shù)中的多項式加減運算(合并同類項)．②復數(shù)的乘除運算是復數(shù)運算的難點，在乘法運算中要注意i的冪的性質(zhì)，區(qū)分(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2與(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2；在除法運算中，關鍵