醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教案第一章

醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教案第一章醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教案第一章醫(yī)用高等數(shù)學(xué)教案第一章一、函數(shù)的概念1．常量與變量注意一個量究竟是常量還是變量,不是絕對的,要根據(jù)具體過程和條件來確定.例如：人的身高,在研究少兒發(fā)育成長的過程中是常量；而在研究成人的健康狀況時通常是變量．人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。第一頁，共80頁。一、函數(shù)的概念1．常量與變量

注意一個量究竟是常量還是變量,不是絕對的,要根據(jù)具體過程和條件來確定.而在過程中可取不同數(shù)值的量稱為變量.在某過程中始終保持同一數(shù)值的量稱為常量,例如：人的身高,在研究少兒發(fā)育成長的過程中是常量；而在研究成人的健康狀況時通常是變量．第二頁，共80頁。２．函數(shù)的概念因變量自變量是自變量的所有允許值的集合，稱為函數(shù)的定義域．而因變量的所有對應(yīng)值的集合則稱為函數(shù)的值域.定義1-1設(shè)和是同一變化過程中的兩個變量，如果對于變量的每一允許的取值，按照一定的規(guī)律，變量總有一個確定值與之對應(yīng)，則稱變量是變量的函數(shù)．變量稱為自變量，變量稱為因變量.記為注意1在實際問題中,定義域是由實際問題決定的.第三頁，共80頁。注意2函數(shù)的兩要素為：定義域與對應(yīng)規(guī)律

注意3函數(shù)的表示法有:公式法、圖像法和表格法,這三種表述各有特點并可以相互轉(zhuǎn)化．

因此,兩個函數(shù)只有當(dāng)它們的對應(yīng)規(guī)律和定義域都完全相同時,才認(rèn)為是兩個相同的函數(shù).

例1-1在出生后1～6個月期間內(nèi),正常嬰兒的體重近似滿足以下關(guān)系:公式法第四頁，共80頁。37

例1-2監(jiān)護儀自動記錄了某患者一段時間內(nèi)體溫T的變化曲線,如下圖示:

例1-3某地區(qū)統(tǒng)計了某年1~12月中當(dāng)?shù)亓餍行猿鲅獰岬陌l(fā)病率,見下表

(月份)(‰)12345678910111216.68.37.16.57.010.02.53.55.710.017.17.0ty第五頁，共80頁。（5）三角函數(shù)（4）對數(shù)函數(shù)（3）指數(shù)函數(shù)（2）冪函數(shù)（1）常函數(shù)二、初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)（6）反三角函數(shù)等.第六頁，共80頁。

變量稱為復(fù)合函數(shù)的中間變量．復(fù)合函數(shù)的概念可以推廣到多個函數(shù)的情形，此時復(fù)合函數(shù)是通過多個中間變量的傳遞而構(gòu)成的．

例1-4設(shè)求關(guān)于的復(fù)合函數(shù)．2.復(fù)合函數(shù)

定義1-2設(shè)變量是變量的函數(shù),變量又是變量的函數(shù),即

如果變量的某些值通過變量可以確定變量的值,則稱是的復(fù)合函數(shù),記為第七頁，共80頁。例1-5設(shè)試求解

解這里，變量傳遞順序是規(guī)定好了的，是的中間變量，是的中間變量，故依次代入可得第八頁，共80頁。

可見，復(fù)合順序是關(guān)鍵．另外，要注意：若經(jīng)過變量代入后，復(fù)合函數(shù)的定義域為空集，則此復(fù)合函數(shù)無意義，或者說它們不能復(fù)合．例如，就不能復(fù)合．因為的定義域為空集,即函數(shù)無意義.例1-6將下列復(fù)合函數(shù)“分解”為簡單函數(shù)第九頁，共80頁。解

注意簡單函數(shù)是指基本初等函數(shù)或由基本初等函數(shù)經(jīng)過四則運算而得到的函數(shù).

定義1-3由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算以及函數(shù)復(fù)合所得到的僅用一個解析式表達(dá)的函數(shù)，稱為初等函數(shù)．3.初等函數(shù)第十頁，共80頁。

在不同的區(qū)間上用不同的解析式子表示的函數(shù)，稱為分段函數(shù)．例1-7三、分段函數(shù)第十一頁，共80頁。這是一個分段函數(shù)，如圖

例1-8設(shè)某藥物的每天劑量為y(單位:毫克),對于16歲以上的成年人用藥劑量是一常數(shù),設(shè)為2mg.而對于16歲以下的未成年人,則每天用藥劑量y成比于年齡x,比例常數(shù)為0.125mg/歲,其函數(shù)關(guān)系為o162第十二頁，共80頁。1-1xyo

定義為：當(dāng)時，，例1-9設(shè)當(dāng)時，則第十三頁，共80頁。1.有界性四、函數(shù)的幾種簡單性質(zhì)有界M-Myxoy=f(x)bay無界M-Mxoba第十四頁，共80頁。2.單調(diào)性xyoabxyoba增函數(shù)減函數(shù)

設(shè)、是函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的任意兩點,且.若,則稱在內(nèi)是單調(diào)遞增的;若,則稱在內(nèi)是單調(diào)遞減的.第十五頁，共80頁。3.奇偶性偶函數(shù)yxox-xyxox-x奇函數(shù)

如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意點,恒有,則稱是偶函數(shù);如果對于函數(shù)定義域內(nèi)的任意點,恒有,則稱是奇函數(shù).第十六頁，共80頁。4.函數(shù)的周期性

對于函數(shù),如果存在正的常數(shù)T,使得恒成立,則稱為周期函數(shù),滿足這個等式的最小正數(shù)T,稱為函數(shù)的周期.

例如都是周期函數(shù),周期為.第十七頁，共80頁。主要內(nèi)容１.常量變量函數(shù)的概念２.基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)分段函數(shù)初等函數(shù)３.函數(shù)的性質(zhì)：有界性單調(diào)性奇偶性周期性第十八頁，共80頁。一、極限的概念二、無窮小量及其性質(zhì)三、極限的四則運算四、兩個重要極限第二節(jié)極限第十九頁，共80頁。一、極限的概念1.函數(shù)的極限連續(xù)型的變化xy01第二十頁，共80頁。通過上面的觀察可知

定義1-4當(dāng)自變量的絕對值無限增大時，如果函數(shù)無限趨于某一個常數(shù)A，就稱當(dāng)趨于無窮大時，函數(shù)以A為極限.記為或

注意若時,不趨于某一常數(shù),則稱時,的極限不存在;若,趨于無窮大,為方便起見,常記為

或第二十一頁，共80頁。單側(cè)極限

當(dāng)自變量的變化沿軸的正方向無限增大(或沿軸的負(fù)方向絕對值無限增大)時,函數(shù)無限趨近于某一個常數(shù)A,就稱A為函數(shù)單側(cè)極限,記為

例1-10求當(dāng)時的單側(cè)極限解第二十二頁，共80頁。0242、時函數(shù)的極限當(dāng)時,考察函數(shù)當(dāng)時,函數(shù)的變化趨勢.第二十三頁，共80頁。

定義1-5設(shè)函數(shù)在點的附近有定義(但在這一點可以沒有定義),當(dāng)自變量以任意方式無限趨近定點時,若函數(shù)無限趨近于一個常數(shù)A,就稱當(dāng)趨于時，函數(shù)以A為極限,記為左極限從左邊趨于,記為右極限從右邊趨于,記為注意第二十四頁，共80頁。例1-11討論函數(shù)當(dāng)時的極限.解因為左右極限不相等,所以時,的極限不存在.第二十五頁，共80頁。例1-12討論函數(shù)當(dāng)時的極限.解左右極限相等,所以第二十六頁，共80頁。3．?dāng)?shù)列極限以下給出幾個數(shù)列的例子數(shù)列按自然數(shù)順序依次排列的一串?dāng)?shù)數(shù)列中的每一個數(shù)稱為數(shù)列的項,其中稱為數(shù)列的第項,亦稱通項,簡記為數(shù)列也可看作定義在自然數(shù)集上的函數(shù):第二十七頁，共80頁。觀察數(shù)列的變化趨勢：0x1第二十八頁，共80頁。通過上面演示實驗的觀察所以有：

一般地,當(dāng)時,若無限趨于一個常數(shù)A,則稱當(dāng)時,以A為極限,記為或解

例1-13判斷極限是否存在？由于,所以的極限不存在.第二十九頁，共80頁。4．判別極限存在的準(zhǔn)則

法則1(夾逼法則)若在同一極限過程中,三個函數(shù)、及有如下關(guān)系:且則法則2(單調(diào)有界法則)單調(diào)有界數(shù)列一定有極限

對數(shù)列而言,若有(遞減)或(遞增),且對一切,有,則必有極限.第三十頁，共80頁。例如注意：無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆定義1-6定義1-7二、無窮小量及其性質(zhì)1.無窮小量和無窮大量第三十一頁，共80頁。2．無窮小定理與性質(zhì)定理1-1

即:若函數(shù)以為A極限,則函數(shù)是無窮小;反之,若是無窮小,則以A為極限.因此,通常將表達(dá)為.性質(zhì)1有限個無窮小的代數(shù)和或乘積還是無窮小.性質(zhì)2有界變量或常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.即：性質(zhì)3在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.第三十二頁，共80頁。例1-14求例1-15求解,由無窮小與無窮大的關(guān)系可知解,由性質(zhì)1-2可知第三十三頁，共80頁。例1-16證明證明對任何實數(shù),有由夾逼法則第三十四頁，共80頁。在自變量的同一變化過程中，兩個無窮小趨于零的快慢可能會有所不同．于是兩個無窮小的商是否會有極限，完全取決于兩個無窮小趨于零的快慢．反過來，兩個無窮小量的商是否有極限，以及有什么樣的極限，可以提示兩個無窮小的差異．例如3．無窮小量的比較與階第三十五頁，共80頁。定義1-8第三十六頁，共80頁。所以：與為同階無窮小解因為

例1-17當(dāng)時,與都是無窮小,試對它們進行階的比較.第三十七頁，共80頁。證(1)由無窮小運算法則,得:三、極限的四則運算只證(1)和(2)定理1-2第三十八頁，共80頁。推論1即:常數(shù)因子可以提到極限記號外面.推論2第三十九頁，共80頁。例1-18求解例1-19求解解第四十頁，共80頁。例1-20求解當(dāng)時,分子、分母都是無窮小．所以先進行分子有理化來消去分子、分母里的無窮小因子第四十一頁，共80頁。解例1-21第四十二頁，共80頁。例1-22解第四十三頁，共80頁。(1)四、兩個重要極限C由上圖可知:第四十四頁，共80頁。即綜合兩者即得第四十五頁，共80頁。例1-23解例1-24解第四十六頁，共80頁。例1-25解第四十七頁，共80頁。(2)先利用單調(diào)有界數(shù)列必有極限證明第四十八頁，共80頁。又因為第四十九頁，共80頁。第五十頁，共80頁。第五十一頁，共80頁。例1-27解解令,當(dāng)時,注意可作為公式來用.例1-26第五十二頁，共80頁。例1-28解法1解法2第五十三頁，共80頁。

４.兩個重要極限（3）夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.

：：主要內(nèi)容1．（1）函數(shù)極限（2）數(shù)列極限2．（1）無窮小量與無窮大量（2）無窮小的性質(zhì)和定理（3）無窮小階的比較3．極限的四則運算法則第五十四頁，共80頁。一、連續(xù)函數(shù)的概念二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)第三節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第五十五頁，共80頁。連續(xù)變化的曲線對應(yīng)的函數(shù)為連續(xù)函數(shù)如同體溫的升降、血液的流動、機體的成長等，在生命科學(xué)范疇里，很多變量的變化都是連續(xù)不斷的．函數(shù)的連續(xù)性正是客觀世界中事物連續(xù)變化現(xiàn)象的反映．0xy第五十六頁，共80頁。1.函數(shù)的增量一、連續(xù)函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)在點附近有定義,把附近的點記為,則稱為自變量由變到的增量.為函數(shù)在點的增量.第五十七頁，共80頁。2．函數(shù)連續(xù)性的定義

定義1-9設(shè)函數(shù)在點及其附近有定義,如果時,也有,即注意故定義中1-9的極限式等價于則稱函數(shù)在點處連續(xù),稱為的連續(xù)點.第五十八頁，共80頁。因此，函數(shù)在一點連續(xù)的充分必要條件是

例1-29討論函數(shù)在的連續(xù)性解所以在連續(xù)．第五十九頁，共80頁。單側(cè)連續(xù)顯然即：第六十頁，共80頁。解

例1-30設(shè)在點處連續(xù),問、應(yīng)滿足什么關(guān)系?第六十一頁，共80頁。連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù).連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.第六十二頁，共80頁。例1-31證明第六十三頁，共80頁。3．函數(shù)的間斷點

函數(shù)的不連續(xù)點稱為函數(shù)的間斷點,即滿足下列三個條件之一的點為函數(shù)的間斷點.第六十四頁，共80頁。跳躍間斷點例1-32解第六十五頁，共80頁?？扇ラg斷點例1-33在的連續(xù)性第六十六頁，共80頁。解

注意可去間斷點只要改變或者補充間斷處函數(shù)的定義,則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.第六十七頁，共80頁。如例1-33中,跳躍間斷點與可去間斷點統(tǒng)稱為第一類間斷點.特點第六十八頁，共80頁。第二類間斷點例1-34解這種情況稱為無窮間斷點．第六十九頁，共80頁。解1-1-0.50.5yx例1-35這種情況稱為振蕩間斷點．第七十頁，共80頁。第一類間斷點:可去型,跳躍型.第二類間斷點:無窮型,振蕩型.間斷點可去型第一類間斷點oyx跳躍型無窮型振蕩型第二類間斷點oyxoyxoyx第七十一頁，共80頁。二、初等函數(shù)的連續(xù)性(1)一切基本初等函數(shù)在其有定義的點都是連續(xù)的.(2)若函數(shù)與在點連續(xù),則函數(shù)在連續(xù).(3)若函數(shù)在點處連續(xù),設(shè),而函數(shù)在點處連續(xù),則復(fù)合函數(shù)在點處連續(xù).由以上可知:初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.第七十二頁，共80頁。故對初等函數(shù),求極限就是求這一點的函數(shù)值．例1-36由于函數(shù)在其連續(xù)點滿足解第七十三頁，共80頁。解例1-38例1-37解,而函數(shù)在點連續(xù),所以第七十四頁，共80頁。三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)ab

定理1-3（最值定理）若函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)，則在閉區(qū)間上必有最