新版高中數(shù)學(xué)北師大版必修5習(xí)題第一章數(shù)列1.3.1.2

第2課時(shí)等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用課時(shí)過(guò)關(guān)·能力提升1.已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù),且a2·a6=9a4,a2=1,則a1的值為()A.3 B.3 C.13 D.解析:{an}是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,設(shè)公比為q,則a2·a6=a42,∴a42=9a4,∴a∵q2=a4a2=9,∴q=3.∴a1答案:D2.在等比數(shù)列{an}中,若a3a5a7a9a11=32,則a92a11的值為A.4 B.2 C.2 D.4解析:由a3a5a7a9a11=32,得a75∴a7=2,∴a92a11=答案:B3.等差數(shù)列{an}的公差不為零,首項(xiàng)a1=1,a2是a1和a5的等比中項(xiàng),則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和是()A.90 B.100 C.145 D.190解析:設(shè)公差為d(d≠0),則由a22=a1·a5,得(1+d)2=1×(1+4d),解得d=2或d=0(舍去),從而可得S10=10a1+10×答案:B4.正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中,a1,a99是方程x210x+16=0的兩個(gè)根,則a40a50a60的值為()A.32 B.64 C.±64 D.256解析:由題意,可知a1·a99=16,∴a50=4,∴a40·a50·a60=a503=43=答案:B5.若互不相等的實(shí)數(shù)a,b,c成等差數(shù)列,c,a,b成等比數(shù)列,且a+3b+c=10,則a等于()A.4 B.2 C.2 D.4解析:由2b=a+c,a∵當(dāng)a=2時(shí),b=2,c=2,與題意不符,∴a=4.答案:D6.已知各項(xiàng)均不為0的等差數(shù)列{an}滿足2a3a72+2a11=0,數(shù)列{bn}為等比數(shù)列,且b7=a7,則b1b13等于(A.16 B.8 C.4 D.2答案:A7.在等比數(shù)列{an}中,an>0,a10a11=e,則lna1+lna2+…+lna20的值為()A.12 B.10 C.8 D.e解析:lna1+lna2+…+lna20=ln[(a1a20)(a2a19)…(a10a11)]=lne10=10.答案:B8.在等比數(shù)列{an}中,a223a224a225=8,則a224=.

解析:∵a223a224a225=a2243=8,∴a224=答案:29.若不等于1的三個(gè)正數(shù)a,b,c成等比數(shù)列,則(2logba)·(1+logca)=.

解析:∵a,b,c成等比數(shù)列,∴b2=ac.又a,b,c∈(0,1)∪(1,+∞),∴b=ac,(2logba)·(1+logca)=2lgb-lg答案:210.在83和272之間插入三個(gè)數(shù),使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列,解析:先求公比q,把三個(gè)數(shù)用a1,q表示或利用性質(zhì)求解.方法一:設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為{an},其公比為q.∵a1=83,a5=272=a1q4=83·q4,∴q4∴q2=94∴a2a3a4=a1q·a1q2·a1q3=a13q6=833·9方法二:設(shè)這個(gè)等比數(shù)列為{an},公比為q,則a1=83,a5=272,加入的三項(xiàng)分別為a2,a3,a∵由題意可知a1,a3,a5也成等比數(shù)列,且a3與a1,a5同號(hào),∴a32=83×272∴a2a3a4=a32·a3=a3答案:216★11.容器A中盛有濃度為a%的農(nóng)藥mL,容器B中盛有濃度為b%的同種農(nóng)藥mL,A,B兩容器中農(nóng)藥的濃度差為20%(a>b),先將A中農(nóng)藥的14倒入B中,混合均勻后,再由B中倒入A中,恰好使A中農(nóng)藥保持mL,則至少經(jīng)過(guò)多少次這樣的操作,可使兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于解:設(shè)第n次操作后,A中農(nóng)藥的濃度為an,B中農(nóng)藥的濃度為bn,則a0=a%,b0=b%.b1=15(a0+4b0),a1=34a0+14b1=15(4ab2=15(a1+4b1),a2=34a1+14b2=15(4a……bn=15(an1+4bn1),an=15(4an1+bn1有anbn=35(an1bn1)=…=35(a0b0)·因?yàn)閍0b0=15,所以anbn=1依題意,得15·35n<1%,n∈N+,故至少經(jīng)過(guò)6次這樣的操作,可使兩容器中農(nóng)藥的濃度差小于1%.★12.如果一個(gè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1,公比為q,那么它的通項(xiàng)公式是an=a1qn1.設(shè)一元二次方程anx2an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩個(gè)根α和β,且滿足6α2αβ+6β=3.(1)試用an表示an+1;(2)求證:數(shù)列an-(3)當(dāng)a1=76時(shí),求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式(1)解:一元二次方程anx2an+1x+1=0(n=1,2,3,…)有兩個(gè)根α和β,由根與系數(shù)的關(guān)系,得α+β=an+1an,∵6α2αβ+6β=3,∴6an+1an-2an=3,即a(2)證明:∵an+1=12an+1∴an+123當(dāng)an23=0,即an=23時(shí),一元二次方程為23x223