萬有引力與航天【講解】【解析版】-2023年高考物理二輪復習（新教材新高考）

第一部分力與運動

專題04萬有引力與航天【講】

目錄

講高考真題——感悟核心素養(yǎng)....................................................................1

【考情研判】...................................................................................1

【考題分析】...................................................................................1

【題后總結(jié)】...................................................................................8

二.講核心問題——提煉主干必備知識................................................................9

核心問題一天體質(zhì)量、密度的計算問題..........................................................9

核心問題二天體運動參量的分析問題...........................................................11

核心問題三衛(wèi)星變軌問題問題..................................................................12

核心問題四同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的比較問題........................................15

Ξ.講重點模型物理模型構(gòu)建——多星模型..........................................................17

（-）雙星模型...............................................................................17

（二）多星模型構(gòu)建...........................................................................18

一.講高考真題感悟核心素養(yǎng)

【考情研判】

1.對于天體問題近幾年有關(guān)萬有引力定律及其應用的題目在高考中通常以選擇題的形式出現(xiàn)，難度一般中等;

在考查內(nèi)容上一般考查天體運動參量間的關(guān)系、天體質(zhì)量（密度）的估算、萬有引力定律等基本概念和基本規(guī)律

的理解與應用，有時還會涉及能量知識，同時還會考查運用控制變量法進行定性判斷或定量計算的能力.

2.從命題趨勢上看，分析人造衛(wèi)星的運行規(guī)律仍是考試中的熱點，以近幾年中國及世界空間技術(shù)和宇宙探索為

背景的題目備受青睞，會形成新情景的物理題.

【考題分析】

【例1】（2022?全國高考真題）科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994年到2002

年間S2的位置如圖所示。科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為IoOoAU（太陽到地球的距離為IAU）的橢

圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞。這項研究工作獲得了2020年諾貝爾物理學獎。若認為S2所受的作用

力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為可以推測出該黑洞質(zhì)量約為（）

A.4×104MB.4×IO6MC.4×10sΛ∕D.4x10K)M

【試題情境】本題以科學家對銀河系中心附近的恒星的持續(xù)觀測為素材創(chuàng)設生活實踐問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于基礎性、應用性。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律。

【關(guān)鍵能力】(1)理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義，理解描述圓周運動的物理量。

(2)推理論證能力：根據(jù)萬有引力提供向心力推導出太陽的質(zhì)量及黑洞的質(zhì)量。

(3)模型構(gòu)建能力：建立S2繞黑洞球做圓周運動的模型。

【學科素養(yǎng)】(1)考查物理觀念：①物質(zhì)觀，黑洞、太陽；②相互作用觀，掌握萬有引力定律公式。③運動觀,

圓周運動(2)科學思維：合理地建立圓周運動模型，通過計算得出結(jié)論。(3)科學態(tài)度與責任：客觀認識航天技

術(shù)的應用。

【答案】B

【解析】可以近似把S2看成勻速圓周運動，由圖可知，S2繞黑洞的周期T=16年，地球的公轉(zhuǎn)周期八=1年，

S2繞黑洞做圓周運動的半徑r與地球繞太陽做圓周運動的半徑R關(guān)系是

r=IOOOR

地球繞太陽的向心力由太陽對地球的引力提供，由向心力公式可知

CMm.2Λ?

G-R、-=mRco2=D2

解得太陽的質(zhì)量為

4"尸

M=

同理S2繞黑洞的向心力由黑洞對它的萬有引力提供，由向心力公式可知

m,,2冗、2

G—y—=mrω2=mr(—)*

解得黑洞的質(zhì)量為

4萬，3

M=

vGT2

綜上可得

Mr=3.90X10"M

故選Bo

【例2】（2022?廣東高考真題）2022年4月，我國自主研發(fā)的空間站“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行，若核

心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知引力常量，由下列物理量能計算出地球質(zhì)量的是（）

A.核心艙的質(zhì)量和繞地半徑

B.核心艙的質(zhì)量和繞地周期

C.核心艙的繞地角速度和繞地周期

D.核心艙的繞地線速度和繞地半徑

【試題情境】本題以“天和”核心艙成功發(fā)射并入軌運行為素材創(chuàng)設生活實踐問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于基礎性、應用性。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義。

（2）推理論證能力：根據(jù)萬有引力提供向心力推導出地球的質(zhì)量。

（3）模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，建立勻速圓周運動。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物理觀念：①物質(zhì)觀，核心艙、地球；②相互作用觀，萬有引力。③運動觀，勻速圓周運

動（2）科學思維：通過信息加工和分析合理地建立勻速圓周運動模型，通過計算得出結(jié)論。

【答案】D

【解析】根據(jù)核心艙做圓周運動的向心力由地球的萬有引力提供，可得

_MmV24/

G——=m—=tnω2r=m-^-r

可得

V2rOTri4π^2r3

M=-——=-----=—

GGGT2

可知已知核心艙的質(zhì)量和繞地半徑、已知核心艙的質(zhì)量和繞地周期以及已知核心艙的角速度和繞地周期，都不

能求解地球的質(zhì)量；若已知核心艙的繞地線速度和繞地半徑可求解地球的質(zhì)量。

故選D。

【例3】（2022?全國高考真題）2022年2月，執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實施三次近火

制動后，進入運行周期約為1.8x105s的橢圓形停泊軌道，軌道與火星表面的最近距離約為2.8x105m。己知火星

半徑約為3.4×106m,火星表面處自由落體的加速度大小約為3.7m∕s2,則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最

遠距離約為（）

A.6×105mB.6×106mC.6×107mD.6×10?

【試題情境】本題以“天問1號”火星探測器制動變軌為素材創(chuàng)設生活實踐問題情境。

【考核要求】本題考核要求屬于綜合性、應用性、發(fā)散性。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律、開普勒第三定律及其應用。

【關(guān)鍵能力】(1)理解能力：準確理解萬有引力定律、開普勒第三定律的準確含義及表達式。

(2)推理論證能力：以萬有引力為依據(jù)結(jié)合開普勒第三定律推理運算。

(3)模型構(gòu)建能力：根據(jù)問題情境，建立“天間1號''火星探測器制動變軌過程中的圓周運動及橢圓運動模型。

【學科素養(yǎng)】(1)考查物理觀念：①物質(zhì)觀，天問L號、火星；②相互作用觀，萬有引力、重力。③運動觀，平

圓周運動及橢圓運動

(2)科學思維：合理地建立圓周及橢圓運動模型，通過計算進行合理的推理。。

【答案】C

【解析】忽略火星自轉(zhuǎn)則

可知

GM=gR2

設與為1.8×105S的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為r,由萬引力提供向心力可知

GMm4π2G

——--=m—尸,②

r2T2

設近火點到火星中心為

Rl=R+4③

設遠火點到火星中心為

R2=R+4④

由開普勒第三定律可知

/?,+/?

史=匚五23⑤

7272

由以上分析可得

7

d1≈6×10m

故選C。

【例4】.(2020?全國卷ΠI,16)“嫦娥四號”探測器于2019年1月在月球背面成功著陸，著陸前曾繞月球飛行，某

段時間可認為繞月做勻速圓周運動，圓周半徑為月球半徑的K倍。已知地球半徑R是月球半徑的尸倍，地球質(zhì)

量是月球質(zhì)量的。倍，地球表面重力加速度大小為g。則“嫦娥四號”繞月球做圓周運動的速率為（）

,RPKg

A.-B/

Q

D.

【試題情境】本題以嫦娥四號繞月球做勻速圓周運動為素材創(chuàng)設生活實踐問題情境。

【考核要求】本題屬于基礎性題目。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律，描述圓周運動的物理量，萬有引力和重力的關(guān)系。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義，理解描述圓周運動的物理量，萬有引力和重

力的關(guān)系。（2）推理論證能力：根據(jù)萬有引力提供向心力推導出嫦娥四號的線速度。（3）模型構(gòu)建能力：建立

嫦娥四號繞月球做勻速圓周運動的模型。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物質(zhì)觀念：相互作用的觀點，掌握萬有引力定律公式。（2）科學思維：合理地建立圓周

運動模型，通過計算得出結(jié)論。（3）科學態(tài)度與責任：客觀認識航天技術(shù)的應用，增強人類命運共同體構(gòu)建的

責任擔當。

【答案】D

【解析】由題意可知"嫦娥四號'’繞月球做勻速圓周運動的軌道半徑為r=,，設月球的質(zhì)量為M，地球的質(zhì)

量為QM,“嫦娥四號'’繞月球做勻速圓周運動的速率為I，，“嫦娥四號”的質(zhì)量為"?，則一質(zhì)量為M的物體在地球

表面滿足G2鬻=，心，而“嫦娥四號”繞月球做勻速圓周運動滿足畔1=，*，解得v=y懾,選項D正確。

【例5】（2020?全國卷∏,15）若一均勻球形星體的密度為0引力常量為G,則在該星體表面附近沿圓軌道繞其

運動的衛(wèi)星的周期是（）

D

A噫B噩c??∕i5Λ∕S

【試題情境】本題以萬有引力定律為素材創(chuàng)設學習探索問題情境。

【考核要求】本題屬于基礎性題目。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義。（2）推理論證能力：根據(jù)火星與地球的質(zhì)量

比與半徑比推理萬有引力之比。

【學科素養(yǎng)】考查物質(zhì)觀念：相互作用的觀點，掌握萬有引力定律公式。

【答案】A

【解析】根據(jù)萬有引力定律有裁="警，又M=P寫,解得信，B、C、D項錯誤，A項正確。

【例6】（2020?全國卷I,15）火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的七，半徑約為地球半徑的看則同一物體在火星表面與

在地球表面受到的引力的比值約為（）

A.0.2B.0.4C.2.0D,2.5

【試題情境】本題以衛(wèi)星繞中心天體做圓周運動為素材創(chuàng)設學習探索問題情境。

【考核要求】本題屬于基礎性題目。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律，描述圓周運動的物理量，用周期T和半徑R表示向心加速度。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義，理解描述圓周運動的物理量。（2）推理論證

能力：根據(jù)萬有引力提供向心力推導出衛(wèi)星的周期。（3）模型構(gòu)建能力：建立衛(wèi)星勻速圓周運動的模型。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物質(zhì)觀念：相互作用的觀點，掌握萬有引力定律公式。（2）科學思維：合理地建立圓周

運動模型，通過計算得出結(jié)論。

【答案】B

【解析】由萬有引力定律可得，質(zhì)量為m的物體在地球表面上時，受到的萬有引力大小為產(chǎn)地=G竽，質(zhì)

R鳧

量為〃，的物體在火星表面上時，受到的萬有引力大小為"火=G組三，二者的比值售=等魯=04,B正確，A、

R泉F?Mj∣?∕＜l

C、D錯誤。

【例7】（2019?全國卷O,15）金星、地球和火星繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運動，它們的向心加速度大小

分別為α金、。地、a火,它們沿軌道運行的速率分別為V金、V也、丫火。已知它們的軌道半徑R令＜/?也＜R火，由此

可以判定（）

A.??＞α?＞α-AB.α?＞α?

Cw地＞v火＞v金DW火＞丫地＞v金

【試題情境】本題以金星、地球、火星繞地球公轉(zhuǎn)為素材創(chuàng)設生活實踐問題情境。

【考核要求】本題屬于基礎性題目。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律及其應用，描述圓周運動的物理量線速度、。

【關(guān)鍵能力】（1）推理論證能力：應用萬有引力提供向心力來推導論證線速度、向心加速度的大小。（2）模型

構(gòu)建能力：根據(jù)行星的運動構(gòu)建勻速圓周運動運動模型。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物質(zhì)觀念：①運動觀，勻速圓周運動運動；②相互作用觀，火星、地球與金星與太陽的

萬有引力作用。（2）科學思維：根據(jù)萬有引力提供向心力，通過對比、歸納分析、推理得出線速度與向心加速

度的關(guān)系。

【答案】A

【解析】行星繞太陽做勻速圓周運動，由牛頓第二定律和圓周運動知識可知

（j^-=nιa,得向心加速度

由G^-=nτ^,得速度v????

由于R"<R?<∕?火

所以“金>”∣∣?>“火，Vfc>v?>v*,選項A正確。

【例8】（多選）（2018?全國卷I,20）2017年，人類第一次直接探測到來自雙中子星合并的引力波。根據(jù)科學家

們復原的過程，在兩顆中子星合并前約IOOS時，它們相距約400km,繞二者連線上的某點每秒轉(zhuǎn)動12圈。將

兩顆中子星都看做是質(zhì)量均勻分布的球體，由這些數(shù)據(jù)、萬有引力常量并利用牛頓力學知識，可以估算出這一

時刻兩顆中子星（）

A.質(zhì)量之積B.質(zhì)量之和

C.速率之和D.各自的自轉(zhuǎn)角速度

【試題情境】本題以兩顆中子星的運動為素材創(chuàng)設學習探索問題情境。

【考核要求】本題屬于基礎性題目。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律，描述圓周運動的物理量，線速度、角速度、周期。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義，線速度、角速度、周期。（2）推理論證能力：

根據(jù)萬有引力提供向心力推導兩顆中子星的運動物理量。（3）模型構(gòu)建能力：建立兩顆中子星在萬有引力作用

下做勻速圓周運動的模型。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物質(zhì)觀念：①運動觀，勻速圓周運動；②相互作用的觀點，萬有引力定律。（2）科學思

維：合理地建立圓周運動模型，通過計算進行合理的推理。

【解題關(guān)鍵】：情境轉(zhuǎn)化——模型建構(gòu)（如圖所示）

<…=、

/、

/'

;.、、\

ALYEB；

\?

\/

、、…一J

【答案】BC

【解析】由題意可知，合并前兩中子星繞連線上某點每秒轉(zhuǎn)動12圈，則兩中子星的周期相等，且均為7=上

s,兩中子星的角速度均為G=半，兩中子星構(gòu)成了雙星模型，假設兩中子星的質(zhì)量分別為如、巾，軌道半徑

分別為夕、Γ2,速率分別為力、V2，則有辛=〃?⑷2門、G粗詈=加2小r2，又門+u2=L=400km,解得加ι+

/I??==—，A錯誤，B正確；又由也=①門、V2=ωn,則也+吸=/S+/*2）=G￡,CiE確；由題中的條件不能求

解兩中子星自轉(zhuǎn)的角速度，D錯誤。

【例9】（2018?全國卷∏,16）2018年2月，我國50Om口徑射電望遠鏡（天眼）發(fā)現(xiàn)毫秒脈沖星“J0318+0253”，

其自轉(zhuǎn)周期T=5.19ms。假設星體為質(zhì)量均勻分布的球體，已知萬有引力常量為6.67x10uNτ∏2∕kg2°以周期T

穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的星體的密度最小值約為（）

A.5×109kg∕m3B.5×1012kg∕m3

C.5×10'5kg∕m3D.5×10l8kg∕m3

【試題情境】本題以脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)為素材創(chuàng)設學習探索問題情境。

【考核要求】本題屬于基礎性題目。

【必備知識】本題考查的知識點為萬有引力定律，描述圓周運動的物理量，周期、密度公式。

【關(guān)鍵能力】（1）理解能力：準確理解萬有引力定律的準確含義，周期、密度公式。（2）推理論證能力：根據(jù)

萬有引力提供向心力推導密度公式。（3）模型構(gòu)建能力：恰好穩(wěn)定自轉(zhuǎn)的條件星體表面出物體只受萬有引力做

勻速圓周運動。

【學科素養(yǎng)】（1）考查物質(zhì)觀念：①運動觀，勻速圓周運動；②相互作用的觀點，萬有引力定律。（2）科學思

維：合理地建立圓周運動模型，通過計算進行論證。

【答案】C

【解析】毫秒脈沖星穩(wěn)定自轉(zhuǎn)時由萬有引力提供其表面物體做圓周運動的向心力，根據(jù)G器Mm=〃爺4?τr~∕?,M=PW4

πR?得O=券，代入數(shù)據(jù)解得片5xlO∣5kg∕nq3,C正確。

【題后總結(jié)】

1.重力和萬有引力的關(guān)系

（1）不考慮自轉(zhuǎn)時，星球表面附近物體的重力等于物體與星球間萬有引力，即有筆=∕ng,其中g(shù)為星球表面

的重力加速度.

（2）考慮自轉(zhuǎn)時，在兩極上才有筆m=〃取，而赤道上則有爺㈣一”?=〃?爺-R.

2.一個重要公式：黃金代換式GM=gR2,應用于題目中沒有給出引力常量G或天體質(zhì)量而提供了天體表

面重力加速度g的信息的情況.

3.萬有引力提供衛(wèi)星做勻速圓周運動的向心力

（1）列出五個連等式：G^^-=ιna=nr^=mω2r=nr^r.

（2）導出四個表達式：“=岑，

（3）定性結(jié)論：r越大，向心加速度八線速度丫、角速度3均越小，而周期T越大.同一衛(wèi)星萬有引力，動能

Ek越小，引力勢能EP越大.

4.三類天體

(1)近地衛(wèi)星：(j^=mg=nr^.

Λ∕∕∕ιj9TT

(2)同步衛(wèi)星：G-(飛‘卜/=,"(R+∕0(亍)2(T=24h).

Gmlfn2??.

(3)雙星b：-/-=∕"1W√1=機2口-2，Γ?-rΓ2=L.

5.衛(wèi)星變軌問題：當衛(wèi)星速度減小時，F(xiàn)向小于尸方，衛(wèi)星做近心運動而軌道下降，此時/方做正功，使衛(wèi)星速

度增大，變軌成功后可在低軌道上穩(wěn)定運動；當衛(wèi)星速度增大時，與此過程相反.

二.講核心問題-■■一提煉主干必備知識

核心問題一天體質(zhì)量、密度的計算問題

估算中心天體的質(zhì)量和密度的兩條思路

(1)利用中心天體的半徑和表面的重力加速度g計算.由聾=mg求出M=喘進而求得O=第=產(chǎn)=J??

式?3

(2)利用環(huán)繞天體的軌道半徑r和周期T計算.由

華=〃將,可得出M=霖.0=詈-=意亮.若環(huán)繞天體繞中心天體表面做勻速圓周運動，軌道半徑，=R,

'‘鏟及3

,3π

則πl(wèi)P=GE

【例D侈選)(2022?遼寧省1月適應性測試?8)“嫦娥五號，探測器繞月球做勻速圓周運動時，軌道半徑為r,速

度大小為上已知月球半徑為R,引力常量為G,忽略月球自轉(zhuǎn)的影響.下列選項正確的是()

A.月球平均密度為焉I

B.月球平均密度為盛會

2

C.月球表面重力加速度為三

D.月球表面重力加速度為肩

【答案】BD

【解析】由萬有引力提供向心力G饕=4得Λ∕=?,

月球體積V=%R3,所以月球平均密度/=,=霽右，故B項正確，A項錯誤；由G%fg且M=2得g=

宗，故D項正確，C項錯誤.

【技巧方法歸納總結(jié)】估算天體質(zhì)量和密度時要注意兩點

(1)利用G罩1=〃筆r只能計算中心天體的質(zhì)量，不能計算繞行天體的質(zhì)量.

(2)注意區(qū)分軌道半徑r和中心天體的半徑R,計算中心天體密度時應用P=產(chǎn)而不是P=產(chǎn).

【變式訓練D(2022?山東省等級考試第二次模擬)科學家麥耶(MMayor)和奎洛茲(DQueIoz)對系外行星的研究

而獲得2019年諾貝爾物理學獎。他們發(fā)現(xiàn)恒星”飛馬座51”附近存在一較大的行星，兩星在相互引力的作用下，

圍繞兩者連線上的某點做周期相同的勻速圓周運動。已知恒星與行星之間的距離為L,恒星做圓周運動的半徑

為R、周期為7,引力常量為G。據(jù)此可得，行星的質(zhì)量為()

A篇ζR2LB.^j^RL2

4兀24兀2

C.^j^L2(L~R)D.R2(L-R)

【答案】B

【解析】由題意可知，恒星與行星的周期、角速度相同，對恒星有G零L=婚R,解得行星的質(zhì)量〃?=嚅4

故B正確，A、C、D錯誤。

【變式訓練2](多選)2019年4月10日，“事件視界望遠鏡”項目(EHT)正式公布了人類歷史上第一張黑洞照片，

引起了人們探索太空的極大熱情.星球表面的物體脫離星球束縛能達到無窮遠的最小速度稱為該星球的逃逸速

度，可表示為V=/饕,其中〃表示星球質(zhì)量，R表示星球半徑，G為萬有引力常量.如果某天體的逃逸速

度超過光速c,說明即便是光也不能擺脫其束縛，這種天體稱為黑洞，下列說法正確的是()

A.若某天體最后演變成黑洞時質(zhì)量為M),其最大半徑為誓

B.若某天體最后演變成黑洞時質(zhì)量為M),其最大半徑為華

C.若某黑洞的平均密度為p,其最小半徑為?j?

D.若某黑洞的平均密度為p,其最小半徑為???

【答案】BD

【解析】黑洞V=C則由得R=翠魚，B正確；最小半徑時，A=翠魚=§優(yōu)飆3,

得"4藕,故D正確?

核心問題二天體運動參量的分析問題

3.周期：=m岸FQT—2：

4.向心加速度：

結(jié)論：廠越大，Vy①、〃越小，T越大。

【例2】（2022?l月重慶市學業(yè)水平選擇性考試適應性測試，6）近地衛(wèi)星繞地球的運動可視為勻速圓周運動，若

其軌道半徑近似等于地球半徑H,運行周期為T,地球質(zhì)量為引力常量為G,貝∣J（）

A.近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大小近似為竿

B.近地衛(wèi)星繞地球運動的線速度大小近似為、鳥

C.地球表面的重力加速度大小近似為備

3Jr

D.地球的平均密度近似為券

【答案】D

2

【解析】由向心加速度公式可知，近地衛(wèi)星繞地球運動的向心加速度大小詼=o2R=（與）R=爺,故A錯

誤；近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得隼=誓，解得近地衛(wèi)星繞地球運動的

線速度大小v=γ肉,故B錯誤；地球表面的重力等于萬有引力，所以有Mg=G愕，地球表面的重力加速

度大小為g=罌,故C錯誤；近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力由萬有引力提供，由向心力公式得G攀=mm/=

2

〃求（爺），解得地球的質(zhì)量為M=凜，地球的平均密度為p=§=券，故D正確。

【方法技巧歸納總結(jié)】分析衛(wèi)星運行參量的“一模型”“兩思路”

（1）一種模型：無論是自然天體（如地球、月亮）還是人造天體（如宇宙飛船、人造衛(wèi)星）都可以看作質(zhì)點，圍繞中心

天體（視為靜止）做勻速圓周運動.

（2）兩條思路

①萬有引力提供向心力，即（j^-=ma=nrγ=mω2r=nr^-r.

GMm

②天體對其表面物體的萬有引力近似等于重力，即臂=，咫或GM=gR2（.g分別是天體的半徑、表面重力

加速度），公式GM=gR2應用廣泛，被稱為“黃金代換式”.

【變式訓練】（2020?浙江7月選考?7）火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示.若火星和地球繞太陽的運動均

可視為勻速圓周運動，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3：2,則火星與地球繞太陽運動的（）

中國行星探測

Mar≡

A.軌道周長之比為2：3

B.線速度大小之比為?。盒?/p>

C.角速度大小之比為2/：3√5

D.向心加速度大小之比為9:4

【答案】C

【解析】軌道周長C=2πr,與半徑成正比，故軌道周長之比為3：2,故A錯誤；根據(jù)萬有引力提供向心力

有Gym=吟,得v=y∣^?,則葭=、括=晉,故B錯誤；由萬有引力提供向心力,°雪=ZH“2〃得（O=

則如=、巧=笑，故C正確；由華=M得α=誓，則”=嗎=/故D錯誤.

【變式訓練2］國務院批復，自2016年起將4月24日設立為“中國航天日”.1970年4月24日我國首次成功發(fā)

射的人造衛(wèi)星東方紅一號，目前仍然在橢圓軌道上運行，其軌道近地點高度約為440km,遠地點高度約為2060

km；1984年4月8日成功發(fā)射的東方紅二號衛(wèi)星運行在赤道上空35786km的地球同步軌道上.設東方紅一號

在遠地點的加速度為“1，東方紅二號的加速度為C12,固定在地球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的加速度為?3,則41、

"2、”3的大小關(guān)系為（）

A.ci2>a?>a3B.ai>ai>a?C.a-i>a?>aιD.a?>a2>a3

【答案】：D

n

【解析】：衛(wèi)星圍繞地球運行時，萬有引力提供向心力，對于東方紅一號，在遠地點時有G,^'1=mtai,

（R十加）/

即"∣=1（R牌［）2'對于東方紅二號，有G（黑）2=02。2,即42=（R；Z）2,由于〃2>人1，故東方

紅二號衛(wèi)星與地球自轉(zhuǎn)的角速度相等，由于東方紅二號做圓周運動的軌道半徑大于地球赤道上物體做圓周運動

的半徑，根據(jù)4=3%故42>“3，所以4|>。2>a3，選項D正確，選項A、B、C錯誤.

核心問題三衛(wèi)星變軌問題問題

1.變軌原理

(1)為了節(jié)省能量，在赤道上順著地球自轉(zhuǎn)方向發(fā)射衛(wèi)星到圓軌道I上。如圖所示。

(2)在A點(近地點)點火加速，由于速度變大，萬有引力不足以提供衛(wèi)星在軌道［上做圓周運動的向心力，衛(wèi)星

做離心運動進入橢圓軌道H。

(3)在B點(遠地點)再次點火加速進入圓形軌道山。

2.變軌過程分析

(1)速度：設衛(wèi)星在圓軌道I和HI上運行時的速率分別為也、V3,在軌道∏上過A點和B點時速率分別為VA，vβo

在A點加速，則w>也，在8點加速，則V3>ι?,又因也>吟，故有VA>W>U3>VB0

(2)加速度：因為在A點，衛(wèi)星只受到萬有引力作用，故不論從軌道I還是軌道II上經(jīng)過4點，衛(wèi)星的加速度都

相同；同理，衛(wèi)星在軌道∏或軌道HI上經(jīng)過B點的加速度也相同。

(3)周期：設衛(wèi)星在I、II、川軌道上的運行周期分別為,、4、Ti,軌道半徑分別為打、吆半長軸)、⑶由開

普勒第三定律今=A可知Tι<T2<Ti.

(4)機械能：在一個確定的圓(橢圓)軌道上機械能守恒。若衛(wèi)星在I、II、HI軌道的機械能分別為昂、E2、E3,

則El<E2<E3.

【例3】(2022?廣東省1月適應性測試?2)2020年12月17日，嫦娥五號成功返回地球，創(chuàng)造了我國到月球取土

的偉大歷史.如圖所示，嫦娥五號取土后，在P處由圓形軌道I變軌到橢圓軌道∏,以便返回地球.下列說法

A.嫦娥五號在軌道I和∏運行時均超重

B.嫦娥五號在軌道I和II運行時機械能相等

C.嫦娥五號在軌道I和∏運行至P處時速率相等

D.嫦娥五號在軌道I和II運行至P處時加速度大小相等

【答案】D

【解析】嫦娥五號在軌道I和II運行時均處于失重狀態(tài)，故A錯誤；嫦娥五號在軌道I上經(jīng)過P點時經(jīng)加速

后進入軌道II運行，故嫦娥五號在軌道I上尸處的速率小于在軌道H運行至尸處時速率；加速后勢能不變，動

能增大，則機械能增大，故B、C錯誤；根據(jù)聾=〃.得“=券，可知嫦娥五號在軌道I和∏運行至P處時

加速度大小相等，故D正確.

【方法技巧歸納總結(jié)】衛(wèi)星變軌應注意的四個問題

(1)衛(wèi)星變軌的運動模型是向心運動和離心運動.當由于某種原因衛(wèi)星速度V突然增大時，有聾<，/,萬有

引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將偏離圓軌道做離心運動；當U突然減小時，有G%>"f,衛(wèi)星將做向心運動.

(2)衛(wèi)星變軌時半徑的變化情況，可根據(jù)萬有引力和所需向心力的大小關(guān)系判斷；穩(wěn)定的新軌道上運行速度的變

化情況可由u=?愕判斷.

(3)同一衛(wèi)星在不同軌道上運行時機械能不同，軌道半徑越大，機械能越大.

(4)衛(wèi)星經(jīng)過不同軌道相交的同一點時加速度相等.

【變式訓練1】2018年6月2日，我國成功發(fā)射高分六號遙感衛(wèi)星.如圖所示是衛(wèi)星發(fā)射過程中的某一次變軌

示意圖，衛(wèi)星從橢圓軌道I上的遠地點Q改變速度進入地球同步軌道∏,P點為橢圓軌道的近地點.下列說法

正確的是()

A.衛(wèi)星在橢圓軌道I上運行時，在P點的速度等于在Q點的速度

B.衛(wèi)星在橢圓軌道I上的。點的速度小于在同步軌道∏上的Q點的速度

C.衛(wèi)星在橢圓軌道I上的。點加速度大于在同步軌道II上的。點的加速度

D.衛(wèi)星耗盡燃料后，在微小阻力的作用下，機械能減小，軌道半徑變小，動能變小

【答案】B

【解析】衛(wèi)星在橢圓軌道I上運行時，從P點運動到Q點的過程中，萬有引力對衛(wèi)星做負功，衛(wèi)星動能減小，

所以衛(wèi)星在P點的速度大于在。點的速度，A錯誤；由于從橢圓軌道I上的Q點變軌到同步軌道H,需要點火

加速，所以衛(wèi)星在橢圓軌道I上的Q點的速度小于在同步軌道IJ上的。點的速度，B正確；因為在同一點Q,

根據(jù)“=誓可知加速度相同，C錯誤；由于衛(wèi)星受微小阻力的作用，阻力做負功，故機械能減小，衛(wèi)星做向心

運動，軌道半徑變小，根據(jù)v=、產(chǎn)可知，動能Ek=5"v2=鬻，動能變大，D錯誤.

【變式訓練2】(2022年唐山三模)(多選)2019年1月3日10時26分,“嫦娥四號”探測器在月球背面成功軟著陸.發(fā)

射后“嫦娥四號”探測器經(jīng)過約110小時奔月飛行，到達月球附近成功實施近月制動，被月球捕獲.其發(fā)射過程

簡化如下：探測器從地球表面發(fā)射后，進入地月轉(zhuǎn)移軌道，經(jīng)過A點時變軌進入距離月球表面2R高的圓形軌

道I,在軌道I上做勻速圓周運動，經(jīng)過8點時再次變軌進入橢圓軌道H,之后將變軌到近月圓軌道HI做勻速

圓周運動，經(jīng)過一段時間最終在C點著陸，已知月球半徑為RF列說法正確的是()

地月轉(zhuǎn)移軌道

A.探測器在軌道I、HI上的加速度之比為1:4

B.探測器在軌道I、∏上運動周期之比為3#:4

C.探測器在軌道I上運行速度大于在軌道II上經(jīng)過B點時的速度

D.探測器在軌道H上運行周期等于在軌道I上運行的周期

【答案】BC

【解析】得

即M=捍=房=5A錯；

由幾何知識，I的軌道半徑，ι=3R,∏軌道的半長軸廠2=2心根據(jù)開普勒第三定律：圣=工,

irr2

代入數(shù)據(jù)得，*=坐B對；

由變軌可知C正確：由開普勒定律可知，D錯.

核心問題四同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體的比較問題

1.相同點

(1)都以地心為圓心做勻速圓周運動。

(2)同步衛(wèi)星與赤道上的物體具有相同的角速度。

2.不同點

(1)向心力不同

同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星均由萬有引力提供向心力，牛=用；而赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的向心力(很

GMmmv2

小)是萬有引力的一個分力,

(2)向心加速度不同

物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度(不局限

比較項目衛(wèi)星繞地球運行的向心加速度

于赤道)

由萬有引力的一個分力(另一分力為重

產(chǎn)生原因由萬有引力產(chǎn)生

力)產(chǎn)生

方向指向地心垂直且指向地軸

4為地面上某點到地軸的距離，

器地面附近?近似等于g）

大小α=

3為地球自轉(zhuǎn)的角速度

特點隨衛(wèi)星到地心的距離的增大而減小從赤道到兩極逐漸減小

【例4】（2022?湖北荊門市上學期1月調(diào)考）有〃、氏c、"四顆地球衛(wèi)星：“還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表

面一起轉(zhuǎn)動；人在地球的近地圓軌道上正常運行；C是地球同步衛(wèi)星；d是高空探測衛(wèi)星。各衛(wèi)星排列位置如圖

1,則下列說法正確的是（）

A.”的向心加速度大于b的向心加速度

B.四顆衛(wèi)星的速度大小關(guān)系是：%>ι?>%>匕/

C.在相同時間內(nèi)d轉(zhuǎn)過的弧長最長

D.d的運動周期可能是30h

【答案】D

【解析】因為。、C的角速度相同，根據(jù)a=ftA?,因4離地心的距離小于C離地心的距離，所以“的向心加

速度小于。；6、C是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力G誓=〃皿，得“=誓，因方的軌道半徑

小于C的軌道半徑，所以。的向心加速度大于c,綜上分析可知，〃的向心加速度小于〃的向心加速度，故A

錯誤；因為a、C的角速度相同，根據(jù)U=GA知〃的速度小于c；b、c、d是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有

引力提供向心力華=〃￥，得u=?”,因〃的軌道半徑最小，d的軌道半徑最大，所以6的速度大于C，

C的速度大于"，則V?>%>m∕,l%>??>?n故B錯誤；因。的速度最大，則在相同時間內(nèi)。轉(zhuǎn)過的弧長最長，

故C錯誤；c、”是圍繞地球公轉(zhuǎn)的衛(wèi)星，根據(jù)萬有引力提供向心力G券=,亭r,得T=2πγ∣^,可知因d

的軌道半徑大于c的軌道半徑，d的周期大于c,而c的周期是24h,則d的運動周期可能是30h,故D正確。

【變式訓練1】（2022?福建三明市5月質(zhì)檢）關(guān)于地球同步衛(wèi)星下列說法正確的是（）

①地球同步衛(wèi)星和地球同步，因此同步衛(wèi)星的高度和線速度大小是一定的

②地球同步衛(wèi)星繞地球的角速度雖被確定，但高度和速度可以選擇，高度增加，速度增大，高度降低，速度減

小

③在赤道上空運行的地球同步衛(wèi)星一定相對地面靜止不動

④為了避免同步通信衛(wèi)星在軌道上相撞，必須讓它們運行在不同軌道上

A.①③B.②④

C.①④D.②③

【答案】A

【解析】地球同步衛(wèi)星相對地面一定靜止，③正確；由于地球自西向東自轉(zhuǎn)，同步衛(wèi)星也繞地球自西向東轉(zhuǎn)

動，由于衛(wèi)星軌道的圓心在地心，因此地球同步衛(wèi)星一定在赤道的正上方，且運動周期為24h,根據(jù)萬有引力

定律和牛頓第二定律牛=，"(竿六，可知，軌道半徑是確定的，而根據(jù)牛=，qJ線速度大小也是確定的，

①正確，②錯誤；由于所有的同步衛(wèi)星轉(zhuǎn)動方向相同，運動速度大小相同，因此不會相撞，④錯誤。因此A正

確，B、C、D錯誤。

【變式訓練2](多選)[2022?蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調(diào)研(一)]我國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)(BDS)已經(jīng)開始提供全球服務，

具有定位、導航、授時、5G傳輸?shù)裙δ?。A、B為“北斗”系統(tǒng)中的兩顆工作衛(wèi)星，其中A是高軌道的地球靜止

同步軌道衛(wèi)星,8是中軌道衛(wèi)星。已知地球表面的重力加速度為g,地球的自轉(zhuǎn)周期為7b，下列判斷正確的是()

A.衛(wèi)星A可能經(jīng)過江蘇上空

B.衛(wèi)星B可能經(jīng)過江蘇上空

C.周期大小TA=ToTB

D.向心加速度大小aΛ<aβ<g

【答案】BCD

【解析】A是高軌道的地球靜止同步軌道衛(wèi)星，靜止在赤道上空，不可能經(jīng)過江蘇上空，故A錯誤；B是中

軌道衛(wèi)星不是靜止同步軌道衛(wèi)星,所以衛(wèi)星B可能經(jīng)過江蘇上空，故B正確;根據(jù)G華=電萼,可得T=?∣^,

半徑越大，周期越大，所以〃=7?>TB,故C正確；根據(jù)萬有引力提供向心力壟=〃"，a=G%半徑越大，

向心加速度越小，所以向心加速度大小〃AVa8<g,故D正確。

三.講重點模型物理模型構(gòu)建-…-多星模型

(-)雙星模型

1.如圖所示，宇宙中有相距較近、質(zhì)量相差不大的兩個星球，它們離其他星球都較遠，其他

星球?qū)λ鼈兊娜f有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞其連線上的某一固定點做

周期相同的勻速圓周運動，通常，我們把這樣的兩個星球稱為“雙星”。

2.特點

(1)兩星圍繞它們之間連線上的某一點做勻速圓周運動，兩星的運行周期、角速度相同。

(2)兩星的向心力大小相等，由它們間的萬有引力提供。

(3)兩星的軌道半徑之和等于兩星之間的距離，即n+∕?2=L軌道半徑與兩星質(zhì)量成反比。

3.處理方法：雙星間的萬有引力提供了它們做圓周運動的向心力，即乂手=如蘇打，G巖=恤”⑵

【例5］（多選）（2020?四川綿陽一中高三期中）某雙星系統(tǒng)由兩顆恒星構(gòu)成，質(zhì)量分別為陽和m2,距中心的距

離分別為n和廠2，且廠1＞r2，則下面的表述正確的是（）

,，、

/、

/、

/、

/J、

叫；/O'W；

TU2.

\---*/

、/

、/

、、、—1

A.它們運轉(zhuǎn)的周期相同

B.它們的線速度大小相同

C.m2＞m?

D.它們的加速度大小相同

【答案】AC

【解析】雙星系統(tǒng)的角速度和周期是相同的，A正確；雙星系統(tǒng)的角速度相等，而根據(jù)v=ro,因為外＞〃,

22

它們的線速度一定不同，B錯誤；設雙星之間的距離為3對加：G^τ=wιr1ω,對"”：G喈=m”2小,

解得機22因為門＞2所以恤＞〃小C正確；設雙星之間的距離為L,對加：G-Lr'=mg，對初：

G券篝=rt22a2,解得矍=管，故加速度大小不同，D錯誤。

LUzt∏?

【變式訓練D（多選）（2022?河北省邯鄲一中高三月考）“食雙星”是一種雙星系統(tǒng)，兩顆恒星互相繞行的軌道幾乎

在視線方向，這兩顆恒星會交互通過對方，造成雙星系統(tǒng)的光度發(fā)生周期性的變化。雙星的光變周期就是它們

的繞轉(zhuǎn)周期。如大熊座UX星，光變周期為4小時43分，該雙星由A星和8星組成，A星為2.3個太陽質(zhì)量，

B星為0.98個太陽質(zhì)量，A星的表面物質(zhì)開始受8星的引力離開A星表面流向B星表面，短時間內(nèi)可認為兩星

之間距離不發(fā)生變化，不考慮因核反應產(chǎn)生的質(zhì)量虧損。關(guān)于該過程描述正確的是（）

A.光變周期將變小B.光變周期不變

C.A星的線速度將增大D.B星的線速度增大

【答案】BC

【解析】雙星系統(tǒng)間的萬有引力提供向心力，對A：詈莘以，對B：G翼j播B,其中，?A+∕?

=d,可計算周期7'=2TΓ?∕F-?-總質(zhì)量不變，則周期不變，選項A錯誤，B正確；根據(jù)上式ΓA=-^~

d,rB=g~d,周期不變，所以角速度不變，“常增大，所以以增大，以=3以，A星的線速度將增大，同理

mA-YmB

可知8星的線速度減小，所以C正確，D錯誤。

（二）多星模型構(gòu)建

【例6】（多選）宇宙中存在一些質(zhì)量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通?？珊雎云渌求w對它

們的引力作用。設四星系統(tǒng)中每個星體的質(zhì)量均為，小