吉林省長春市2023年九年級二模數(shù)學(xué)綜合模擬試卷（含答案）

九年級數(shù)學(xué)綜合模擬試卷

考試時間：120分鐘試卷分值：120分

一、選擇題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）

1.如圖是由六個棱長為1的小正方體搭成的幾何體，其俯視圖的面積為

A.3B.4C.5D.6

2.據(jù)初步統(tǒng)計，截至2023年1月21日，《2023年春節(jié)聯(lián)歡晚會》推出的豎屏看春晚累計觀看規(guī)模約達179000000

人，將數(shù)字179000000用科學(xué)記數(shù)法表示為

A.179×IO6B.17.9×107C.1.79×108D.0.179×IO9

3.如圖，數(shù)軸上點A表示的有理數(shù)為m下列各數(shù)中在0,1之間的是

A

A.aB.-aC.M-1D.a+}I?I------1--------1-------L>

a

4.下列各式中，錯誤的是-2-1O12

A.一(+5)=+(-5)B.l-5-5l=F5I+I+5I（第3題）

-5<二

C.-5÷|-5∣<0D.

5

5.如圖，在離鐵塔100米的A處，用測傾儀測得塔頂?shù)难鼋菫棣?測傾儀高AQ為1.4米，則鐵塔的高BC為

1,4÷1∞

A.(1.4+10Otana)米B.米

tana

1.4÷≡

C.米D.(1.4+100Sina)米

Sina

6.如圖，AB是。。的直徑，ZACD=ZCABfAD=2,AC=4,則。。的半徑為

A.2√3B.3√2C.2√5D.√5

主視方向

（第1題）（第5題）

7.在△ACB中，ZABC=90°,用直尺和圓規(guī)在AC上確定點。，使△8ADS∕?CBO,根據(jù)作圖痕跡判斷，正確的

8.如圖，在平面直角坐標系中，矩形ABCO的頂點A,C分別在X軸，y軸的正半軸上，點。（-2,3）,AD=5,

若反比例函數(shù)y=K（?>0,x>0）的圖象經(jīng)過點B,則上的值為

X

16

A.—

3

B.8

C.10

r32

D.—

3

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）

9.分解因式：2a2-Sab+Sb2=.

10.若f+8x+13=（x-α）~+力貝∣JQ6=.

11.《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架，其中方程術(shù)是重要的數(shù)學(xué)成就.

書中有一個方程問題：今有醇酒一斗，直錢五十；行酒一斗，直錢一十.今將錢三十，得酒二斗.問醇、行酒各

得幾何？意思是：今有美酒一斗，價格是50錢；普通酒一斗，價格是10錢.現(xiàn)在買兩種酒2斗共付30錢，問

買美酒、普通酒各多少？設(shè)買美酒X斗，買普通酒y斗，則可列方程組為.

12.如圖，已知AB是。。的直徑，AB=2,C、。是圓周上的點，且NCDB=30。，則BC的長為.

13.如圖，正方形ABCO的四個頂點分別在扇形OM的半徑OE,OF和如上，且點A是線段OB的中點，若EF

的長為&,則OD長為.

14.如圖，把拋物線產(chǎn)平移得到拋物線相，拋物線機經(jīng)過點A（-6,0）和原點。（0,0）,它的頂點為P,

它的對稱軸與拋物線y=gx2交于點Q,則圖中陰影部分的面積為

三、解答題（本大題共10小題，共78分）

15.(6分)先化簡，再求值：(α+2b)~+2(α+S(α-b)-α(α+46),其中a=-1,b-2.

16.（6分）小紅的爸爸積極參加社區(qū)抗疫志愿服務(wù)工作.根據(jù)社區(qū)的安排，志愿者被隨機分到A組（體溫檢測）、B

組（便民代購）、C組（環(huán)境消殺）.

(1)小紅的爸爸被分到B組的概率是；

(2)某中學(xué)王老師也參加了該社區(qū)的志愿者隊伍，他和小紅爸爸被分到同一組的概率是多少？(請用畫樹狀圖

或列表的方法寫出分析過程)

17.(6分)在6x6的正方形網(wǎng)格中，AABC的頂點均在格點上，請用無刻度直尺畫圖.(保留必要的畫圖痕跡)

也

圖2圖3

(第17題)

(1)在圖1中，畫一個與NBAC相等的NBQC,且點。在格點上.

(2)在圖2中，畫一個與AABC面積相等，且以BC為邊的平行四邊形BCOE,D、E均在格點上.

(3)在圖3中，在AC上找一點。，連接B。，使AABO的面積是△BCO面積的4倍.

18.(7分)甲工程隊新建公路，每名工人每天工作8小時，則甲工程隊每天可完成800米新建公路.乙工程隊比

甲工程隊少15名工人，每名工人每天工作12小時，則乙工程隊每天可完成600米新建公路，假定甲、乙兩工

程隊的每名工人每小時完成的工作量相同，求乙工程隊的工人有多少名？

19.(7分)如圖，在四邊形ABCD中，AD/∕BC,NBAD=NBCD.

(1)求證：四邊形ABCo是平行四邊形；

(2)連接AC、8。相交于點。，BC=ZBD=10,AC=6,則AAOD的周長等于

(第19題)

20.(7分)某學(xué)校在暑假期間開展“心懷感恩，孝敬父母”的實踐活動，倡導(dǎo)學(xué)生在假期中幫助父母干家務(wù).開學(xué)

以后，校學(xué)生會隨機抽取了部分學(xué)生，就暑假“平均每天幫助父母干家務(wù)所用時長”進行了調(diào)查，以下是根據(jù)

相關(guān)數(shù)據(jù)繪制的統(tǒng)計圖的一部分：

平均每天幫助父母干家務(wù)所用時長平均每天幫助父母干家務(wù)所用時長

分布統(tǒng)計圖分布統(tǒng)計圖

根據(jù)上述信息，回答下列問題：

(1)在本次隨機抽取的樣本中，調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是—人；

(2)m=,n=；

(3)補全頻數(shù)分布直方圖；

(4)如果該校共有學(xué)生2000人，請你估計“平均每天幫助父母干家務(wù)的時長不少于30分鐘''的學(xué)生大約有多少

人？

21.(8分)已知A、B兩地之間有一條270千米的公路，甲、乙兩車同時出發(fā)，甲車以60千米/時的速度沿此公路

從A地勻速開往B地，乙車從B地沿此公路勻速開往A地，兩車分別到達目的地后停止.甲、乙兩車相距的路

程y(千米)與甲車的行駛時間X(時)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示.

(1)乙車的速度為千米/時，α=,b=.

(2)求甲、乙兩車相遇后y與X之間的函數(shù)關(guān)系式.

(3)當甲車到達距B地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程.

22.(9分)【教材呈現(xiàn)】下圖是華師版九年級上冊數(shù)學(xué)教材102-103頁的部分內(nèi)容.

性質(zhì)：直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半給出上述性質(zhì)證明中的部分演繹推理的過程如下：己知：如圖1，在

△ABC中，NACB=90。，Co為斜邊AB上的中線.求證：CL>=4B證明：如圖2,延長CD至點E,使。E=C￡),

連接AE,BE.

(第22題)

【問題解決】請結(jié)合圖3將證明過程補充完整.

【應(yīng)用探究】

(1)如圖4,在AABC中，AO是高，CE是中線，點尸是CE的中點，DFVCE,點F為垂足，ZAEC=78°,

則NBCE為度.

(2)如圖5,在線段AC上有一點B,A8=4,AC=Il,分別以AB和BC為邊作正方形ABE。和正方形BCFG,

點E落在邊BG上，連接QF,點”為OF的中點，連接GH,則G”的長為.

23.(10分)如圖，在RtAABC中，NB=90。，4B=4,BC=2,點P在AC上以每秒有個單位長度的速度向終

點C運動.點Q沿BA方向以每秒1個單位長度的速度運動，當點尸不與點A重合時，連接P。，以P。，BQ

為鄰邊作。尸QBM.當點尸停止運動時，點Q也隨之停止運動，設(shè)點P的運動時間為"s),DPQBM與4ABC

重疊部分的圖形面積為S.

(1)點P到邊AB的距離=,點P到邊BC的距離=；(用含1的代數(shù)式表示)

(2)當點”落在線段BC上時，求r的值；

(3)求S與f之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)連接M。，當MQ與AABC的一邊平行或垂直時，直接寫出/的值.

(第23題)

24.(12分)平面直角坐標系中，拋物線y=∕+bx+c經(jīng)過(1,0)、(0,5)兩點，點4、C在這條拋物線上，它們的

橫坐標分別為機和，*+2.

(1)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式.

(2)當—2≤x≤f時，y的取值范圍是-2r+3≤y≤21,求r的值.

(3)拋物線上A、C兩點和它們之間的部分記作圖象G,設(shè)G的最高點縱坐標與最低點縱坐標之差為正當點

C在對稱軸右側(cè)時，求∕ι與俄之間的函數(shù)關(guān)系式.

(4)以線段AC為對角線做矩形ABef>,AB_Ly軸.當矩形ABCO與拋物線有且只有三個公共點時，設(shè)第三

個公共點為尸，若AAb與矩形ABCD的面積之比為1:4,請直接寫出，"的值.

九年級數(shù)學(xué)綜合模擬試卷參考答案

1.【答案】B

【分析】

主視圖、左視圖、俯視圖是分別從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形，看分別得到幾個面，據(jù)此解答即

可.

【詳解】

從上面看，可以看到4個正方形，面積為4.

故選：B.

2.【答案】C

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為。χlθ”的形式，其中l(wèi)≤∣α∣<10,〃為整數(shù).確定"的值時，要看把原數(shù)變成”時,

小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.

【詳解】解：179000000用科學(xué)記數(shù)法表示為1.79x10、

故選：C.

3.【答案】C

【分析】

由數(shù)軸可知-2<α<-1,再逐個選項分析即可解題.

【詳解】

解：A、,—2<cι<—1,

.?.1<H<2,故A不符合題意；

B、-2<a<-?,

.,?2>—ci>1,故B不符合題意；

C、.—2VaV—11

.?.1<∣Λ∣<2

.?.0<∣"∣T<l故C符合題意；

D、■.-2<a<-l,

.?.-l<α+l<O?D不符合題意；

故選C.

4.【答案】C

【分析】

根據(jù)絕對值的意義、有理數(shù)的加減運算及有理數(shù)的大小比較可直接進行排除選項.

【詳解】

解：A、-(+5)=+(-5),正確，不符合題意；

B、Vj-5-5∣=∣-10∣=10,∣-5∣+∣+5∣=5+5=10,Λ∣-5-5∣=∣-5∣+∣+5∣,故不符合題意;

C、-5+∣-5∣=-5+5=0,原選項錯誤，故符合題意；

D.?.?∣-5∣>∣-1,.?.-5<-∣,故不符合題意；

故選C.

5.【答案】A

【分析】過點A作AELBC,E為垂足，由銳角三角函數(shù)的定義求出BE的長，再由8C=CE+8E即可得出結(jié)論.

【詳解】解：過點A作BC,E為垂足，如圖所示：

B

C10咪D

則四邊形4)CE為矩形，A石=Cr)=IOO米,

.?.CE=AD=I.4米，

*.CL.BEBE

在，他￡中，tan?=-=-.

.?.BE=IOOlana,

.?.^C=C￡+BE=(1.4+IOOtana)(米)，

故選：A.

【點睛】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，正確作出輔助線，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造出直角三角形.

6.【答案】D

【分析】

連接CO并延長C。交Θ于點E,連接AE,根據(jù)OA=OC,可得NACC=NACE,從而得到AE=A。=2,然后根據(jù)勾

股定理，即可求解.

【詳解】

解：如圖，連接CO并延長CO交。于點E,連接AE,

,.?OA=OC,

：.ZACE=ZCAB,

'：ZACD=ZCAB,

：.ZACD=ZACE,

??AD=AE，

：.AE=AD=I,

YCE是直徑，

???NCAE=90。,

CE=y∣AE2+AC2=√22+42=2√5，

???。。的半徑為√L

7.【答案】C

【分析】如果△BADs∕?CBD,可得NADB=NBDC=90。，即BD是AC的垂線，根據(jù)作圖痕跡判斷即可.

【詳解】當BD是AC的垂線時，aBADs∕^CBD?

VBD±AC,

ΛZADB=ZBDC=90o,

?/ZABC=90o,

.,.ZA+ZABD=ZABD+ZCBD=90o,

ΛZA=ZCBD,

Λ?BAD∞?CBD.

根據(jù)作圖痕跡可知，

A選項中，BD是/ABC的角平分線，不與AC垂直，不符合題意；

B選項中，BD是AC邊的中線，不與AC垂直，不符合題意；

C選項中，BD是AC的垂線，符合題意；

D選項中，BD不與AC垂直，不符合題意；

故選：C.

8.【答案】D

【分析】

先由。(-2,3),AD=5,求得A(2,0),即得A0=2；設(shè)與y軸交于E,求得E(0,1.5),即得Eo=I.5；

IQQ

作BF垂直于X軸于凡求證AAOEs∕?CDE,可得BA=C￡>=不，求證AAOESABEA,可得AF=2,BF=-,進

QQL

而可求得B(4,?)；將8(4,?)代入反比例函數(shù)y=*,即可求得人的值.

33X

【詳解】

解：如圖，過。作?！贝怪盭軸于“，設(shè)AO與y軸交于E,過B作BF垂直于X軸于F,

?點。(-2,3),AD=S,

.?DH=3,

AH=√AD2-E>H2=√52-32=4>

ΛA(2,O),BPA0=2,

VD(-2,3),A(2,0),

33

??.A。所在直線方程為：y=~x+^

：.E(0,1.5),即EO=1.5,

???AE=y∣AO2+EO2=J22+β=I

：.ED-AD-AE=5--=-,

22

VZAOE=ZCDE,ZAEO=ZCED,

????AOE^?CDE,

.￡0_AO

??而-cF,

ΛCD=AO?——,

EO3

???在矩形ABCO中，BA=CD=y,

VZEAO+ZBAF=90o,

又NEAO+/AEo=90。,

ΛZAEO=ZBAF,

XVZAOE=ZBFA,

Λ?BE4^?AOE,

?BA_AF_BF

"ΛE^EO^茄’

Q

???代入數(shù)值，可得Ab=2,BF=-1

：.0F=AF+A0=4,

Q

AB(4,-),

3

將B(4,《)代入反比例函數(shù)y=&,得&=竽，

3X3

故選：D,

9.【答案】2(a-2bY

【詳解】

原式二2(6Z2—4t∕?+4?2)=2(a-2b)2.

故答案為2(a—2b)2.

10.【答案】12

【分析】根據(jù)配方法將等式的左邊配方，即可求解.

【詳解】解：VX2+8X÷13=(X+4)2-3=(x-tz)2+/?,

.*.a=-4,h=-3,

：.ah=n.

故答案為：12.

n【答案】［x+y=2

α*∣50x+10y=30

【分析】

設(shè)買美酒X斗，買普通酒y斗，根據(jù)“美酒一斗的價格是50錢、買兩種酒2斗共付30錢”列出方程組.

【詳解】

x+y=2

依題意得:

50x+10y=30

故答案為K二藍Lb

12.【答案】1

【分析】根據(jù)同弧或等弧所對的圓周角相等可得NA=NCDB=30。，再根據(jù)AB是。。的直徑，得出NACB=90。，則

BC=∣AB,從而得出結(jié)論.

【詳解】解：?.?AB是。。的直徑，

ΛZACB=90o,

VZA=ZCDB=30o,

BC=-AB=-×2=1,

22

故答案為1.

13.【答案】4√2

【分析】

連接OC,由正方形的性質(zhì)求出NOQ4=45°,根據(jù)弧長公式求出扇形。律的半徑，在Rt△C中利用勾股定理求

出。4,進而求解.

【詳解】

連接OC,?.?在正方形ABa)中，且點A是線段08的中點，

ΛOA=AD=AB=BC,ZOAD=ZOBC=90°,

ZDOA=45°,

,?^EF的長為有乃>

.45萬OF/T

..-------=>J5π,

180

解得，OF=4下,

在RtZiOBC中，由勾股定理知，(2OA)2+BC2=(4√5)?

解得，OA=A,

，由勾股定理知，OZ)=4√∑,

故答案為：4&.

【分析】根據(jù)點O與點A的坐標求出平移后的拋物線的對稱軸，然后求出點尸的坐標，過點尸作PMLy軸于點M,

根據(jù)拋物線的對稱性可知陰影部分的面積等于四邊形NPMO的面積，然后求解即可.

【詳解】過點尸作尸MLV軸于點設(shè)P0交X軸于點N,

；拋物線平移后經(jīng)過原點O和點A(-6,0),

???平移后的拋物線對稱軸為4-3.

...平移后的二次函數(shù)解析式為：y=g(X+3)2+h,

I9

將(-6,0)代入得出：0=5(-6+3)2+∕ι,解得：h—--,

9

?二點P的坐標是(-3,-E).

根據(jù)拋物線的對稱性可知，陰影部分的面積等于矩形NPMO的面積,

C927

.?S=3×——=—,

22

故答案為：%77

15.【答案】202+2Z>210

【分析】

先通過乘法公式展開，再合并同類項化簡，最后代入求值即可；

【詳解】

原式=/+4"+4?2+2a--2b2-a2-Aah,

=2/+2/;

把a=-1,h=2代入上式得：

原式=2χl+2x4=2+8=10；

16.【答案】解：（1）共有3種等可能出現(xiàn)的結(jié)果，小紅的爸爸被分到B組的有1種,

因此小紅的爸爸被分到B組的概率為今故答案為;.

（2）用列表法表示所有等可能出現(xiàn)的結(jié)果如下：

小紅爸爸

ABC

王老師

A(A,A)(A,B)(A1C)

B(B,A)(B,B)(B,C)

C(C,A)(C,B)(C,C)

：共有9種等可能的結(jié)果，其中王老師與小紅的爸爸被分到同一組的有3種,

.?.P（王老師與小紅的爸爸被分到同一組）與3，1

17.【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）見解析

【分析】（1）如圖，根據(jù)網(wǎng)格的特點以及對稱性找到點。，連接8ROC,則/加C=NB4C：

（2）根據(jù)題意，與AABC面積相等，且以BC為邊的平行四邊形8Cf>E,則平行四邊形BC邊上的高等于ABC中,

BC邊上高的一半，根據(jù)網(wǎng)格的特點，在格點上找到點￡）,￡,連接CROE,EB即可；

（3）根據(jù)勾股定理求得AC=5,找到FC=5,根據(jù)網(wǎng)格的特點作G”〃AF,根據(jù)平行線分線段成比例可得

CD1

即找到符合題意的點。.

DA4

（1）

如圖所示，N8OC=N84C且。在格點上，

ΛC=√32+42=5

作AF〃GH

.CDCH_1

"~DA~~FH~4

■■■ΔABD的面積是4BCD面積的4倍.

則點。即為所求.

【點睛】本題考查了作軸對稱圖形，作平行四邊形，平行線分線段成比例，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵.

18.【答案】15名

【分析】設(shè)乙工程隊的工人有X名，則甲工程隊的工人有(x+15)名，根據(jù)甲、乙兩工程隊的每名工人每小時完成的

____800600

工作量相同列分式方程8χ(χ+i5)=可，計算求解即可.

【詳解】.解：設(shè)乙工程隊的工人有X名，則甲工程隊的工人有(x+15)名,

80060021

由題意得，由一回=K化簡得，F(xiàn)ri

兩邊同時乘x(x+15)得，2x=x+15,

移項合并得，x=15,

經(jīng)檢驗，x=15是原分式方程的解且符合題意，

答：乙工程隊的工人有15名.

【點睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的列分式方程.

19.【答案】(1)見解析

⑵15

【分析】(1)證明AB〃。即可；

(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得BC=AQ=7,OD=!80=5,OA=LAC=3,即可得到的周長.

22

【詳解】(1)?.?AO"8C,

，NBAD+ZADC=180°,

,/NBAD=NBCD,

：.ZBCD+ZADC=?80o,

：.AB//CD,

??.四邊形ABCD是平行四邊形；

(2)；四邊形ABCo是平行四邊形，

.?.BC=AD,OD=-BD,OA=-AC,

22

VBC=I,BD=IO,AC=6,

：.BC=AD=J,OD=-BD=5,OA=-AC=3,

22

.?.AAOO的周長為A。+Or>+OA=7+5+3=15,

故答案為：15.

20.【答案】(1)200；(2)20,25；(3)圖見解析；(4)“平均每天幫助父母干家務(wù)的時長不少于30分鐘”的

學(xué)生大約有600人.

【分析】

(1)根據(jù)“0-10分鐘''的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖信息即可得；

(2)根據(jù)頻數(shù)分布直方圖和題(1)的結(jié)論即可得；

(3)先求出“20-30分鐘”學(xué)生人數(shù)，再補全頻數(shù)分布直方圖即可；

(4)先求出“平均每天幫助父母干家務(wù)的時長不少于30分鐘”的學(xué)生占比，再乘以2000即可得.

【詳解】

(1)調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是60÷3()%=2(X)(人)

故答案為：200；

(2)u30-40分鐘“學(xué)生占比為雙XlO0%=25%

200

“20-30分鐘”學(xué)生占比為1(X)%-30%-5%-25%-20%=20%

則機=20,”=25

故答案為：20,25；

(3)“20-30分鐘”學(xué)生人數(shù)為200x20%=40(人)

則補全頻數(shù)分布直方圖如下所示：

平均每天幫助父母干家務(wù)所用時

長學(xué)生人數(shù)統(tǒng)計圉

(4)“平均每天幫助父母干家務(wù)的時長不少于30分鐘”的學(xué)生占比為25%+5%=30%

貝Ij2000X30%=6∞(人)

答：“平均每天幫助父母干家務(wù)的時長不少于30分鐘”的學(xué)生大約有600人.

∣135x-270(2<x≤3.6)

21.【答案】(1)75；3.6；4.5i(2)y=∣八八，',.八；(3)當甲車到達距B地70千米處時，求甲、

60x(3.6<x≤4.5)

乙兩車之間的路程為180千米.

【分析】

(1)根據(jù)圖象可知兩車2小時后相遇，根據(jù)路程和為270千米即可求出乙車的速度；然后根據(jù)“路程、速度、時間”

的關(guān)系確定a、b的值；

(2)運用待定系數(shù)法解得即可；

(3)求出甲車到達距B地70千米處時行駛的時間，代入(2)的結(jié)論解答即可.

【詳解】

解：(1)乙車的速度為：(270-60x2)÷2=75千米/時,

α=270÷75=3.6,0=270+6()=4.5.

故答案為75；3.6；4.5；

(2)60x3.6=216(千米)，

當2<x≤3.6時，設(shè)y=^x+仇，根據(jù)題意得:

[2k.+?=OCAl=I35

k?,',不，解得/r7n'

[3.OK1+i>l=216[o1=—270

，y=135x-270(2<x≤3.6);

當3.6<x≤4.5時，設(shè)y=60x,

._J135x-270(2<x<3.6)

[60x(3.6CX≤4.5)'

(3)甲車到達距B地70千米處時行駛的時間為：(270-70)÷60=-(小時)，

6

20

此時甲、乙兩車之間的路程為：135χ-—270=180(千米).

6

答：當甲車到達距8地70千米處時，求甲、乙兩車之間的路程為180千米.

22.【答案】問題解決：見解析；應(yīng)用探究：(1)26°；(2)述

2

【分析】問題解決：根據(jù)題意證明.45C”3E即可；

應(yīng)用探究：(1)設(shè)∕BCE=a,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半以及等邊對等角可得，

/EDB=/EBDZDEC=NDCE=a,三角形的外角性質(zhì)求得NAEC=∕B+NECB=3α,即3a=78。；

(2)延長FG至M,使得GM=G尸，過點。作Z)NLMG于點N,根據(jù)正方形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)可得

OMMN得到長，根據(jù)勾股定理即可求得/孫，根據(jù)中位線的性質(zhì)即可求得GH的長.

【詳解】問題解決：如圖3,延長Co至點E,使QE=CZX連接AE,BE

C。為斜邊AB上的中線，

：.AD=BD,

DE=CD,

二四邊形ACBE是平行四邊形

又ZACB=90°

???四邊形AcBE是矩形，

CE=AB

.-.CD=-CE=-AB

22

???直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半

設(shè)NBCE=Ct

AQ是ABe的高

.?AD1.BC

CE是中線

.-.AE=EB

RtABD中，DE=?AB=AE=BE

2

.-.ZEDB=ZEBD

點F是CE的中點，DFLCE,

..DE=DC

:.ZDEC=ADCE=a

NEDB=NDEC+ZDCE=2a

:.NEBD=NEDB=2a

.?.ZAEC=Zfi+ZECB=3α

ZAEC=78。

3a=78o

.?.a=26°

即/3CE=26。

故答案為：26

(2)如圖，延長FG至使得GM=G/，過點。作。NJ.MG于點N,

四邊形A8EZ),8CFG是正方形，AB=4,AC=W,則四邊形。NGE是矩形

.?.尸G=BC=AC-AB=II-4=7

:.MN=MG-NG=I-4=3,DN=EG=BG-BE=1-4=3

RtAMND中DW=√32+32=3√2

MG=GF,HH為。F的中點，

.?.HG=-DM=^-

22

故答案為：逑

2

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的

一半，掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

23.【答案】⑴f；4-2f

4

^27(0<r≤-)

⑶5=

-→2÷2r(^∣<r≤2)

Q

(4)r=§或f=1或t=2

【分析】

⑴過點尸作PELA8,根據(jù)勾股定理求出AC,運用三角函數(shù)得出COSNA=SinNA=@，應(yīng)用解直角三角

55

形求出PE,AE即可；

(2)當點M落在線段BC上時，證明四邊形PMB。是矩形，從而得到AB=r+2r=4,求出f即可；

(3)分兩種情況討論：①當θvr≤g時，JPQBM與AABC重疊面積為SPQMγ,根據(jù)已有數(shù)據(jù)計算即可；②當

4

]<f≤2時，設(shè)PM交BC于點N,則nPQBM與AABC重疊面積為S梯物叱，根據(jù)已有數(shù)據(jù)計算即可;

(4)①如圖，當QMJ_AB時，則QM〃BC,證明四邊形EPMQ是矩形，求出f即可；②當。MLAC時，延長QW

交AC于X,利用銳角三角函數(shù)求出PX=當/,再建立方程求解即可；③當QM〃AC時，證明四邊形ACMQ是平

行四邊形，再列方程求解即可.

(1)

解：如圖1,過點P作

由題意可知AP=B,

VZB=90o,AB=4,BC=2,

?*?AC=AB2+BC2=2√5,

?*?cosZA=-----?sinZA=,

55

?P￡=AP?sinZA=√5r×?y^=f,AE=AP?cosNA=后X羋=2f,

：.點P到AB的距離為，，點P到BC距離為4-2f；

故答案為：t；4-2t；

(2)

如圖2,當點M落在線段BC上時，

圖2

T四邊形PMBQ是平行四邊形,

ΛPM//BQ,PMLBC,

???四邊形尸M3。是矩形，

.'.PQLABf

:?PQ=t,AQ=2tf

^BQ=t,

ΛAB=∕+2r=4,

4

解得：［=］；

(3)

①當OVrVg時，PQBM與AABC重疊面積為S,?”，如圖1,

：*S=SPQiIM=PEBQ,

由(1)可知尸E=r,BQ=t,

'.S-12,

設(shè)PM交BC于點M如圖3,

則.PQBM與4ABC重疊面積為??物3N,

,S=S榜臍QaV=TX(尸N+B0)xPE,

?：PE=t,BQ=3PN=4-2t,

.?S^-×C4-2t+t)×t=--t2+2t,

22

,4

r(O≤r<-)

綜上所述，Sh

1,4

--t+2t(-<t≤2)

(4)

①如圖4,當QW_LAB時，則QM〃BC,

圖4

由(1)得：AE=2t,BQ=t,

?：PM//EQ,QMLAB,

四邊形EPMQ是矩形，

：.EQ=PM=BQ=t,

：.AB=AE+EQ+BQ=4t=4,

解得:t=l；

②當。MJ_Ae時，延長QM交AC于X,如圖5,

A?

圖5

u

：ZMPX=ZA9PM=BQ=I,

PX=PMcoSNMPX鳴

5

VAP=√5∕，

.?.AX=%,

?.?AsQ=---A--X----=—7t,

cosZA2

79

.?.AB=AQ+BQ=-t-^t=-t=49

Q

解得：/=1:

③當QM〃AC時，如圖6,

VAQ//CM,AC//QM,

???四邊形ACMQ是平行四邊形,

.'.AQ=CM=QB=tf

.?AB=AQ+BQ=2t=4f

解得：f=2；

8if

綜上所述，當MQ與AABC的一邊平行或垂直時,3或f=l或t=2.

24.【答案】(l)y=f-6x+5

⑵￡=2-0

m^-6m+9(1<m<2)

(3)ft=?m2-2m+1(2<wz≤3)

4m-8(/7?>3)

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可；

(2)將二次函數(shù)化為頂點式，確定最小值及對稱軸，結(jié)合題意得出-2MXVf在對稱軸的左側(cè)，y隨X值的增大而

減小，然后建立方程求解即可；

(3)先求出當A、C兩點恰好關(guān)于x=3對稱時，〃?=2,然后分三種情況分析當l<m≤2時，點A離對稱軸較點C

離對稱軸遠，當2<m≤3時，點C離對稱軸較點A離對稱軸遠，當機>3時，點C離對稱軸較點A離對稱軸遠，依

次求解即可確定函數(shù)解析式；

(4)結(jié)合(3)分三種情況討論：當m≤l及加≥3,