北師大版九年級上《相似圖形》教學(xué)案

./第三章相似圖形1．成比例線段一、目標(biāo)導(dǎo)航1．了解兩條線段的比的概念；※1.如果選用同一個(gè)長度單位量得兩條線段AB,CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n,或?qū)懗?2．若線段,則線段叫做成比例線段<或比例線段>；3．與在指定條件下可以互相轉(zhuǎn)化,即比例式與等積式可以互相轉(zhuǎn)化．二、基礎(chǔ)過關(guān)1．若2x－5y=0,則y∶x=________,=________．2．如果,那么=________．3．若a=,b=3,c=3,則a、b、c的第四比例項(xiàng)d為________．4．若,則=________．5．在一張地圖上,甲、乙兩地的圖上距離是3cm,而兩地的實(shí)際距離為1500m,那么這張地圖的比例尺為________．三、能力提升6．若,且AB=12,AC=3,AD=5,則AE=________．7．已知O點(diǎn)是正方形ABCD的兩條對角線的交點(diǎn),則AO∶AB∶AC=________．8．已知,那么下列式子成立的是<>A．3x=2yB．xy=6C．D．9．把a(bǔ)b=cd寫成比例式,不正確的寫法是<>A． B．C． D．10．已知線段x,y滿足<x+y>∶<x－y>=3∶1,那么x∶y等于<>A．3∶1 B．2∶3C．2∶1 D．3∶211．已知直角三角形的兩條直角邊長的比為a∶b=1∶2,其斜邊長為4cm,那么這個(gè)三角形的面積是<>cm2．A．32B．16C．8D．412．等腰梯形ABCD的周長是104cm,AD∥BC,且AD∶AB∶BC=2∶3∶5,則這個(gè)梯形的中位線的長是<>cm．A．72．8 B．51C．36．4 D．2813．已知四條線段a、b、c、d的長度,試判斷它們是否成比例?<1>a=16cmb=8cmc=5cmd=10cm<2>a=8cmb=5cmc=6cmd=10cm四、聚沙成塔在△ABC中,D是BC上一點(diǎn),若AB=15cm,AC=10cm,且BD∶DC=AB∶AC,BD－DC=2cm,求BC的長．4．1線段的比<2>一、目標(biāo)導(dǎo)航1．合比性質(zhì)：如果,那么；2．等比性質(zhì)：如果<>,那么．二、基礎(chǔ)過關(guān)1．若=3<b+d≠0>,則=________．2．已知<b+f≠0>,則=___________．3．已知,=．三、能力提升4．已知,則下列式子中正確的是<>A．a(chǎn)∶b=c2∶d2B．a(chǎn)∶d=c∶bC．a(chǎn)∶b=<a+c>∶<b+d>D．a(chǎn)∶b=<a－d>∶<b－d>5．若ac=bd<>,則下列各式一定成立的是<>A．B．C． D．6．已知,則的值為<>A．B．C．2D．7．若,且3a－2b+c=3,則2a+4b－3c的值是<>A．14 B．42C．7 D．8．若,設(shè)A=,B=,C=,則A,B,C的大小順序?yàn)?lt;>A．A＞B＞C

B．A＜B＜CC．C＞A＞B

D．A＜C＜B9．若點(diǎn)P在線段AB上,點(diǎn)Q在線段AB的延長線上,AB=10,．求線段PQ的長．10．已知：==．求：⑴的值；⑵的值．11．已知：x∶y∶z=2∶3∶4．求：⑴；⑵；⑶．12．若,且2a－b+3c=21．試求a∶b∶c．四、聚沙成塔13．已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足,求的值．2．平行線分線段成比例<1>如圖,任意畫兩條直線l1、l2,再畫三條與l1、l2相交的平行線l3、l4、l5,分別量度l3、l4、l5在l1上截得的兩條線段AB、BC和在l2上截得的兩條線段DE、EF的長度,AB︰BC與DE︰EF相等嗎?任意平移l5,再量度AB、BC、DE、EF的長度,AB︰BC與DE︰EF相等嗎?<2>問題,AB︰AC=DE︰<>,BC︰AC=<>︰DF．<3>歸納總結(jié)：平行線分線段成比例定理三條_________截兩條直線,所得的________線段的比________。例1如圖,若AB=3cm,BC=5cm,EK=_____=______。求FK的長?平行線分線段成比例定理推論思考：1、如果把圖中l(wèi)1、l2兩條直線相交,交點(diǎn)A剛好落到l3上,如圖<1>,所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎?2、如果把圖中l(wèi)1、l2兩條直線相交,交點(diǎn)A剛好落到l4上,如圖<2>,所得的對應(yīng)線段的比會相等嗎?3、歸納總結(jié)：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊<或兩邊延長線>,所得的________線段的比_____。3．相似多邊形圖形的相似例1如圖,下面右邊的四個(gè)圖形中,與左邊的圖形相似的是<>例2一張桌面的長a=1.25m,寬b=0.75m<1>如果a=125cm,b=75<2>如果a=1250mm,b=750mm小結(jié)：上面分別采用m、cm、mm三種不同的長度單位,求得的的值是________的,所以說,兩條線段的比與所采用的長度單位_________,但求比時(shí)兩條線段的長度單位必須________．例3已知：一張地圖的比例尺是1：32000000,量得北京到上海的圖上距離大約為3.5cm,求北京到上海的實(shí)際距離大約是多少分析：根據(jù)比例尺=,可求出北京到上海的實(shí)際距離．[鞏固練習(xí)]1、如圖,從放大鏡里看到的三角尺和原來的三角尺相似嗎?2．如圖,圖形a～f中,哪些是與圖形<1>或<2>相似的?3、下列說法正確的是<>A．小明上幼兒園時(shí)的照片和初中畢業(yè)時(shí)的照片相似.B．商店新買來的一副三角板是相似的.C．所有的課本都是相似的.D．國旗的五角星都是相似的.[能力提升]1、如圖,請測量出右圖中兩個(gè)形似的長方形的長和寬,<1><小>長是_______cm,寬是_______cm；<大>長是_______cm,寬是_______cm；<2><小>；<大>．<3>你由上述的計(jì)算,能得到什么結(jié)論嗎?2、在比例尺是1：8000000的"中國政區(qū)"地圖上,量得XX與上海之間的距離是7.5cm,那么XX與上海之間的實(shí)際距離是多少?3、AB兩地的實(shí)際距離為2500m,在一張平面圖上的距離是5c相似多邊形如圖的左邊格點(diǎn)圖中有一個(gè)四邊形,請?jiān)谟疫叺母顸c(diǎn)圖中畫出一個(gè)與該四邊形相似的圖形．問題：對于圖中兩個(gè)相似的四邊形,它們的對應(yīng)角,對應(yīng)邊的比是否相等．[結(jié)論]：<1>相似多邊形的特征：相似多邊形的對應(yīng)角______,對應(yīng)邊的比_______．反之,如果兩個(gè)多邊形的對應(yīng)角______,對應(yīng)邊的比_______,那么這兩個(gè)多邊形_______．幾何語言：在ABC和A1B1C1中若．則ABC和A1B1C1相似<2>相似比：相似多邊形__________的比稱為相似比．問題：相似比為1時(shí),相似的兩個(gè)圖形有什么關(guān)系?結(jié)論：相似比為1時(shí),相似的兩個(gè)圖形________．例1下列說法正確的是<>A．所有的平行四邊形都相似B．所有的矩形都相似C．所有的菱形都相似D．所有的正方形都相似例2、如圖,四邊形ABCD和EFGH相似,求角的大小和EH的長度．[鞏固練習(xí)]1．在比例尺為1﹕10000000的地圖上,量得甲、乙兩地的距離是30c2．如圖所示的兩個(gè)直角三角形相似嗎?為什么?3．如圖所示的兩個(gè)五邊形相似,求未知邊、、、的長度．[能力提升]1．△ABC與△DEF相似,且相似比是,則△DEF與△ABC與的相似比是<>．A．B．C．D．2．下列所給的條件中,能確定相似的有<><1>兩個(gè)半徑不相等的圓；<2>所有的正方形；<3>所有的等腰三角形；<4>所有的等邊三角形；<5>所有的等腰梯形；<6>所有的正六邊形．A．3個(gè)B．4個(gè)C．5個(gè)D．6個(gè)3．已知四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似,四邊形ABCD的最長邊和最短邊的長分別是10cm和4cm,如果四邊形A1B1C1D1的最短邊的長是6cm,那么四邊形A4．如圖,AB∥EF∥CD,CD=4,AB=9,若梯形CDEF與梯形EFAB相似,求EF的長．4．探索三角形相似的條件四.相似三角形※1.在相似多邊形中,最為簡簡單的就是相似三角形.※2.對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比.※3.全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1.注意:證兩個(gè)相似三角形,與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對應(yīng)的位置上.※4.相似三角形對應(yīng)高的比,對應(yīng)中線的比與對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.※5.相似三角形周長的比等于相似比.※6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.五.探索三角形相似的條件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊<或兩邊的延長線>相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.①兩角對應(yīng)相等；②兩邊對應(yīng)成比例,且夾角相等；③三邊對應(yīng)成比例.①一個(gè)銳角對應(yīng)相等；②兩條邊對應(yīng)成比例:a.兩直角邊對應(yīng)成比例；b.斜邊和一直角邊對應(yīng)成比例.相似三角形在相似多邊形中,最簡單的就是相似三角形．在△ABC與△A′B′C′中,如果∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,且．我們就說△ABC與△A′B′C′相似,記作△ABC∽△A′B′C′,k就是它們的相似比．反之如果△ABC∽△A′B′C′,則有∠A=_____,∠B=_____,∠C=____,且．問題：如果k=1,這兩個(gè)三角形有怎樣的關(guān)系?[鞏固練習(xí)]如圖,在△ABC中,DE∥BC,AC=4,AB=3,EC=1.求AD和BD.[能力提升]1．如圖,△ABC∽△AED,其中DE∥BC,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式．2．如圖,△ABC∽△AED,其中∠ADE=∠B,找出對應(yīng)角并寫出對應(yīng)邊的比例式．[反思?xì)w納]"三角形相似的預(yù)備定理"．這個(gè)定理揭示了有三角形一邊的平行線,必構(gòu)成相似三角形,因此在三角形相似的解題中,常作平行線構(gòu)造三角形與已知三角形相似．相似比是帶有順序性和對應(yīng)性的：如△ABC∽△A′B′C′的相似比,那么△A′B′C′∽△ABC的相似比就是,它們的關(guān)系是互為倒數(shù)．思考：如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE分別交AB,AC于點(diǎn)D,E。問題：<1>由"DE∥BC"的條件可得到哪些線段的比相等?<2>根據(jù)以前學(xué)習(xí)的知識如何把DE移到BC上去?<作輔助線EF∥AB>你能證明AE：AC=DE：BC嗎?<3>寫出△ABC∽△ADE的證明過程。歸納總結(jié)：判定三角形相似的<預(yù)備>定理：平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所成的三角形與原來三角形相似。例1如圖,在△ABC中,DE∥BC,AD=EC,DB=1cm,AE=4c分析：由DE∥BC,可得△ADE∽△ABC,再由相似三角形的性質(zhì),有,又由AD=EC可求出AD的長,再根據(jù)求出DE的長．[鞏固練習(xí)]1．下列各組三角形一定相似的是<>A．兩個(gè)直角三角形B．兩個(gè)鈍角三角形C．兩個(gè)等腰三角形D．兩個(gè)等邊三角形2．如圖,DE∥BC,EF∥AB,則圖中相似三角形一共有<>A．1對B．2對C．3對D．4對3、如圖,AB∥EF∥CD,圖中共有對相似三角形,寫出來并說明理由。4．如圖,在ABCD中,EF∥AB,DE：EA=2：3,EF=4,求CD的長．[能力提升]1．如圖,DE∥BC,<1>如果AD=2,DB=3,求DE：BC的值；<2>如果AD=8,DB=12,AC=15,DE=7,求AE和BC的長．2、如圖,小明在打網(wǎng)球時(shí),使球恰好能打過網(wǎng),而且落在離網(wǎng)5米的位置上,求球拍擊球的高度h．<設(shè)網(wǎng)球是直線運(yùn)動(dòng)>相似三角形一、選擇題1．如圖所示,在△ABC中,DE∥BC,若AD＝1,DB＝2,則的值為<>A． B． C． D．2．如圖所示,△ABC中DE∥BC,若AD∶DB＝1∶2,則下列結(jié)論中正確的是<>A． B．C． D．3．如圖所示,在△ABC中∠BAC＝90°,D是BC中點(diǎn),AE⊥AD交CB延長線于E點(diǎn),則下列結(jié)論正確的是<>A．△AED∽△ACB B．△AEB∽△ACDC．△BAE∽△ACE D．△AEC∽△DAC4．如圖所示,在△ABC中D為AC邊上一點(diǎn),若∠DBC＝∠A,,AC＝3,則CD長為<>A．1 B． C．2 D．5．若P是Rt△ABC的斜邊BC上異于B,C的一點(diǎn),過點(diǎn)P作直線截△ABC,截得的三角形與原△ABC相似,滿足這樣條件的直線共有<>A．1條 B．2條 C．3條 D．4條6．如圖所示,△ABC中若DE∥BC,EF∥AB,則下列比例式正確的是<>A． B．C． D．8．如圖所示,△ABC中,AD⊥BC于D,對于下列中的每一個(gè)條件：①∠B＋∠DAC＝90°；②∠B＝∠DAC；③CD：AD＝AC：AB；④AB2＝BD·BC其中一定能判定△ABC是直角三角形的共有<>A．3個(gè) B．2個(gè) C．1個(gè) D．0個(gè)二、填空題9．如圖9所示,身高1.6m的小華站在距路燈桿5m的C點(diǎn)處,測得她在燈光下的影長CD為2.5m,則路燈的高度AB為______．10．如圖所示,△ABC中,AD是BC邊上的中線,F是AD邊上一點(diǎn),且,射線CF交AB于E點(diǎn),則等于______．11．如圖所示,△ABC中,DE∥BC,AE∶EB＝2∶3,若△AED的面積是4m2則四邊形DEBC的面積為______．12．若兩個(gè)相似多邊形的對應(yīng)邊的比是5∶4,則這兩個(gè)多邊形的周長比是______．三、解答題13．已知,如圖,△ABC中,AB＝2,BC＝4,D為BC邊上一點(diǎn),BD＝1．<1>求證：△ABD∽△CBA；<2>作DE∥AB交AC于點(diǎn)E,請?jiān)賹懗隽硪粋€(gè)與△ABD相似的三角形,并直接寫出DE的長．15．如圖所示,在由邊長為1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格上有一個(gè)△ABC,試在這個(gè)網(wǎng)格上畫一個(gè)與△ABC相似,且面積最大的△A1B1C1<A1,B1,C1三點(diǎn)都在格點(diǎn)上>18．已知：如圖,△ABC中,∠BAC＝90°,AB＝AC＝1,點(diǎn)D是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)<不與B,C點(diǎn)重合>,∠ADE＝45°．<1>求證：△ABD∽△DCE；<2>設(shè)BD＝x,AE＝y(tǒng),求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；<3>當(dāng)△ADE是等腰三角形時(shí),求AE的長．19．已知：如圖,△ABC中,AB＝4,D是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),DE∥BC,連結(jié)DC,設(shè)△ABC的面積為S,△DCE的面積為S′．<1>當(dāng)D為AB邊的中點(diǎn)時(shí),求S′∶S的值；<2>若設(shè)試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式及x的取值范圍．5．相似三角形判定定理的證明6．黃金分割4．2黃金分割一、目標(biāo)導(dǎo)航1．黃金分割定義:點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果AC:AB=BC:AC,那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割．點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比．2．．二、基礎(chǔ)過關(guān)1．若點(diǎn)P是AB的黃金分割點(diǎn),則線段AP、PB、AB滿足關(guān)系式．2．黃金矩形的寬與長的比大約為________<精確到0．001>．3．電視節(jié)目主持人在主持節(jié)目時(shí),站在舞臺的黃金分割點(diǎn)處最自然得體,若舞臺AB長為20m,試計(jì)算主持人應(yīng)走到離A點(diǎn)至少m處?如果他向B點(diǎn)再走m,也處在比較得體的位置．<結(jié)果精確到0．1m>三、能力提升4．有以下命題：①如果線段d是線段a,b,c的第四比例項(xiàng),則有；②如果點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn),那么AC是AB、BC的比例中項(xiàng)；③如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn),且AC>BC,那么AC是AB與BC的比例中項(xiàng)；④如果點(diǎn)C是線段AB的黃金分割點(diǎn),AC>BC,且AB=2,則AC=－1．其中正確的判斷有<>A．