數學-專項9.2 乘法公式【九大題型】（舉一反三）（蘇科版）（原版）

專題9.2乘法公式【九大題型】【蘇科版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1乘法公式的基本運算】 1【題型2利用完全平方式確定系數】 2【題型3乘法公式的運算】 2【題型4利用乘法公式求值】 3【題型5利用面積法驗證乘法公式】 3【題型6乘法公式的應用】 4【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】 5【題型8整式乘法中的新定義問題】 8【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】 9【知識點1乘法公式】平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。兩個數的和與這兩個數的差的積，等于這兩個數的平方差。這個公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。兩個數的和(或差)的平方，等于它們的平方和，加上(或減去)它們積的2倍。這兩個公式叫做完全平方公式?！绢}型1乘法公式的基本運算】【例1】（2022春?青川縣期末）下列各式中計算正確的是（）A．（a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣2b2 B．（﹣a+2b）（a﹣2b）＝a2﹣4b2 C．（﹣a﹣2b）（a﹣2b）＝﹣a2+4b2 D．（﹣a﹣2b）（a+2b）＝a2﹣4b2【變式1-1】（2022春?六盤水期中）下列各式中能用平方差公式計算的是（）A．（﹣x+2y）（x﹣2y） B．（3x﹣5y）（﹣3x﹣5y） C．（1﹣5m）（5m﹣1） D．（a+b）（b+a）【變式1-2】（2022春?巴中期末）下列運算正確的是（）A．（x+y）（y﹣x）＝x2﹣y2 B．（﹣x+y）2＝﹣x2+2xy+y2

C．（﹣x﹣y）2＝﹣x2﹣2xy﹣y2 D．（x+y）（﹣y+x）＝x2﹣y2【變式1-3】（2022秋?天心區(qū)校級期中）下列各式中，能用完全平方公式計算的是（）A．（a﹣b）（﹣b﹣a） B．（﹣n2﹣m2）（m2+n2） C．(?12p+q)(q+12p) D．（2x﹣3【題型2利用完全平方式確定系數】【例2】（2022秋?望城區(qū)期末）若二項式x2+4加上一個單項式后成為一個完全平方式，則這樣的單項式共有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．5個【變式2-1】（2022?南通模擬）如果多項式x2+2x+k是完全平方式，則常數k的值為（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【變式2-2】（2022秋?青縣期末）若9x2﹣（K﹣1）x+1是關于x的完全平方式，則常數K的值為（）A．0 B．﹣5或7 C．7 D．9【變式2-3】（2022秋?崇川區(qū)校級月考）（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式，則a，b，c的關系可以寫成（）A．a＜b＜c B．（a﹣b）2+（b﹣c）2＝0 C．c＜a＜b D．a＝b≠c【題型3乘法公式的運算】【例3】（2022春?龍勝縣期中）計算：（1?152）×（1?162）×（1A．101200 B．101125 C．101100【變式3-1】（2022秋?碾子山區(qū)期末）先化簡，再求值：（2x﹣y）（y+2x）﹣（2y+x）（2y﹣x），其中x＝1，y＝2．【變式3-2】（2022春?乳山市期末）用乘法公式進行計算：（1）20192﹣2018×2020；（2）112+13×66+392．【變式3-3】（2022春?順德區(qū)校級月考）計算：（2+1）（22+1）（24+1）…（264+1）

【題型4利用乘法公式求值】【例4】（2022秋?九龍坡區(qū)校級期中）若a2﹣b2＝16，（a+b）2＝8，則ab的值為（）A．?32 B．32 【變式4-1】（2022春?姜堰區(qū)校級月考）已知4m+n＝90，2m﹣3n＝10，求（m+2n）2﹣（3m﹣n）2的值．【變式4-2】（2022春?雙峰縣期中）若x、y滿足x2+y2=54，xy（1）（x+y）2（2）x4+y4．【變式4-3】（2022春?包河區(qū)期中）已知（2022﹣m）（2022﹣m）＝2021，那么（2022﹣m）2+（2022﹣m）2的值為（）A．4046 B．2023 C．4042 D．4043【題型5利用面積法驗證乘法公式】【例5】（2022春?新泰市期末）將圖甲中陰影部分的小長方形變換到圖乙位置，你能根據兩個圖形的面積關系得到的數學公式是（）A．（a﹣b）（a+b）＝a2﹣b2 B．（a+b）2＝a2+2ab+b2 C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 D．（2a﹣b）2＝4a2﹣4ab+b2【變式5-1】（2022春?樂平市期末）如圖所示，兩次用不同的方法計算這個圖的面積，可驗證整式乘法公式是（）A．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 B．（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2

C．（a+b）2＝a2+2ab+b2 D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2【變式5-2】（2022春?錦州期末）如圖1，在邊長為a的大正方形中，剪去一個邊長為3的小正方形，將余下的部分按圖中的虛線剪開后，拼成如圖2所示的長方形，根據兩個圖形陰影部分面積相等的關系，可驗證的等式為（）A．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 B．（a+3）2＝a2+6a+9 C．a（a+3）＝a2+3a D．（a+3）（a﹣3）＝a2﹣9【變式5-3】（2022?郫都區(qū)模擬）如圖，在邊長為（x+a）的正方形中，剪去一個邊長為a的小正方形，將余下部分對稱剪開，拼成一個平行四邊形，由左右兩個陰影部分面積，可以得到一個恒等式是（）A．（x+a）2﹣a2＝x（x+2a） B．x2+2ax＝x（x+2a） C．（x+a）2﹣x2＝a（a+2x） D．x2﹣a2＝（x+a）（x﹣a）【題型6乘法公式的應用】【例6】（2022春?榆次區(qū)期中）如圖1，從邊長為（a+5）cm的大正方形紙片中剪去一個邊長為（a+2）cm的小正方形，剩余部分（如圖2）沿虛線剪開，按圖3方式拼接成一個長方形（無縫隙不重合）則該長方形的面積為（）

A．9cm2 B．（6a﹣9）cm2 C．（6a+9）cm2 D．（6a+21）cm2【變式6-1】（2022秋?西峰區(qū)期末）如圖，正方形ABCD和正方形和MFNP重疊，其重疊部分是一個長方形，分別延長AD、CD，交NP和MP于H、Q兩點，構成的四邊形NGDH和MEDQ都是正方形，四邊形PQDH是長方形．若正方形ABCD的邊長為x，AE＝10，CG＝20，長方形EFGD的面積為200．求正方形MFNP的面積（結果必須是一個具體數值）．【變式6-2】（2022春?湖州期末）如圖，把一塊面積為100的大長方形木板被分割成2個大小一樣的大正方形①，1個小正方形②和2個大小一樣的長方形③后，如圖擺放，且每個小長方形③的面積為16，則標號為②的正方形的面積是（）A．16 B．14 C．12 D．10【變式6-3】（2022秋?香坊區(qū)校級期中）如圖，我校一塊邊長為2x米的正方形空地是八年級1﹣4班的衛(wèi)生區(qū)，學校把它分成大小不同的四塊，采用抽簽的方式安排衛(wèi)生區(qū)，下圖是四個班級所抽到的衛(wèi)生區(qū)情況，其中1班的衛(wèi)生區(qū)是一塊邊長為（x﹣2y）米的正方形，其中0＜2y＜x．（1）分別用x、y的式子表示八年3班和八年4班的衛(wèi)生區(qū)的面積；（2）求2班的衛(wèi)生區(qū)的面積比1班的衛(wèi)生區(qū)的面積多多少平方米？【題型7平方差公式、完全平方公式的幾何背景】【例7】

（2008秋?上海校級期中）我們已經知道利用圖形中面積的等量關系可以得到某些數學公式，如圖一，我們可以得到兩數差的完全平方公式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2（1）請你在圖二中，標上相應的字母，使其能夠得到兩數和的完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2，（2）圖三是邊長為a的正方形中剪去一個邊長為b的小正方形，剩下部分拼成圖四的形狀，利用這兩幅圖形中面積的等量關系，能驗證公式；（3）除了拼成圖四的圖形外還能拼成其他的圖形能驗證公式成立，請試畫出一個這樣的圖形，并標上相應的字母．【變式7-1】（2022春?西城區(qū)校級期中）閱讀學習：數學中有很多恒等式可以用圖形的面積來得到．如圖1，可以求出陰影部分的面積是a2﹣b2；如圖2，若將陰影部分裁剪下來，重新拼成一個矩形，它的長是a+b，寬是a﹣b，比較圖1，圖2陰影部分的面積，可以得到恒等式（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2．（1）觀察圖3，請你寫出（a+b）2，（a﹣b）2，ab之間的一個恒等式．（2）觀察圖4，請寫出圖4所表示的代數恒等式：．（3）現有若干塊長方形和正方形硬紙片如圖5所示，請你用拼圖的方法推出一個恒等式（a+b）2＝a2+2ab+b2，仿照圖4畫出你的拼圖并標出相關數據．

【變式7-2】（2022春?武侯區(qū)校級期中）[知識生成]通常，用兩種不同的方法計算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．例如：如圖①是一個長為2a，寬為2b的長方形，沿圖中虛線用剪刀均分成四個小長方形，然后按圖②的形狀拼成一個正方形．請解答下列問題：（1）觀察圖②，請你寫出（a+b）2、（a﹣b）2、ab之間的等量關系是；（2）根據（1）中的等量關系解決如下問題：若x+y＝6，xy=112，求（x﹣y）（3）根據圖③，寫出一個代數恒等式：；（4）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規(guī)律求a3【變式7-3】（2022春?賀蘭縣期中）在前面的學習中，我們通過對同一面積的不同表達和比較，利用圖①和圖②發(fā)現并驗證了平方差公式和完全平方公式，不僅更清晰地“看到”公式的結構，同時感受到這樣的抽象代數運算也有直觀的背景．這種利用面積關系解決問題的方法，使抽象的數量關系因幾何直觀而形象化．

請你利用上述方法解決下列問題：（1）請寫出圖（1）、圖（2）、圖（3）所表示的代數恒等式（2）試畫出一個幾何圖形，使它的面積能表示（x+y）（x+3y）＝x2+4xy+3y2【拓展應用】提出問題：47×43，56×54，79×71，……是一些十位數字相同，且個位數字之和是10的兩個兩位數相乘的算式，是否可以找到一種速算方法？幾何建模：用矩形的面積表示兩個正數的乘積，以47×43為例：（1）畫長為47，寬為43的矩形，如圖③，將這個47×43的矩形從右邊切下長40，寬3的一條，拼接到原矩形的上面．（2）分析：幾何建模步驟原矩形面積可以有兩種不同的表達方式，47×43的矩形面積或（40+7+3）×40的矩形與右上角3×7的矩形面積之和，即47×43＝（40+10）×40+3×7＝5×4×100+3×7＝2021，用文字表述47×43的速算方法是：十位數字4加1的和與4相乘，再乘以100，加上個位數字3與7的積，構成運算結果．請你參照上述幾何建模步驟，計算57×53．要求畫出示意圖，寫出幾何建模步驟（標注有關線段）歸納提煉：兩個十位數字相同，并且個位數字之和是10的兩位數相乘的速算方法是（用文字表述）：_______________________________________________________________________,證明上述速算方法的正確性．【題型8整式乘法中的新定義問題】【例8】（2022春?嘉興期中）定義：對于三個不是同類項的單項式A，B，C，若A+B+C可以寫成（a+b）2的形式，則稱這三項為“完全搭配項”，若單項式x2，4和m是完全搭配項，則m可能是．（寫出所有情況）【變式8-1】（2022

春?成華區(qū)月考）如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)偶數的平方差，那么稱這個正整數為“神秘數”，如：4＝22﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42，因此4、12、20都是這種“神秘數”．（1）28和2012這兩個數是“神秘數”嗎？試說明理由；（2）試說明神秘數能被4整除；（3）兩個連續(xù)奇數的平方差是神秘數嗎？試說明理由．【變式8-2】（2022春?博山區(qū)期末）定義：如果一個正整數能表示為兩個連續(xù)正奇數的平方差，那么稱這個正整數為：“奇異數”．如8，16，24都是“奇異數”．（1）寫出兩個奇異數（8，16，24除外）；（2）試問偶數6050是不是奇異數？為什么？【變式8-3】（2022?永川區(qū)模擬）如果一個正整數能表示為兩個正整數的平方差，那么稱這個正整數為“智慧數”，否則稱這個正整數為“非智慧數”．例如：22﹣12＝3；32﹣22＝5；32﹣12＝8；42﹣32＝7；42﹣22＝12；42﹣12＝15；…，等等．因此3，5，8，…，都是“智慧數”；而1，2，4，…，都是“非智慧數”．對于“智慧數”，有如下結論：①設k為正整數（k≥2），則k2﹣（k﹣1）2＝2k﹣1．∴除1以外，所有的奇數都是“智慧數”；②設k為正整數（k≥3），則k2﹣（k﹣2）2＝．∴都是“智慧數”．（1）補全結論②中的空缺部分；并求出所有大于5而小于20的“非智慧數”；（2）求出從1開始的正整數中從小到大排列的第103個“智慧數”．【題型9整式乘法中的規(guī)律探究】【例9】（2022春?江陰市期中）觀察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1，（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1，（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1……根據規(guī)律計算：（﹣2）2018+（﹣2）2017+（﹣2）2016+…+（﹣2）3+（﹣2）2+（﹣2）1+1的值為（）A．22019﹣1 B．﹣22019﹣1 C．22019?13【變式9-1】（2022?豐順縣校級開學）解答下列問題．（1）觀察下列各式并填空：32﹣12＝8×1；52﹣32＝8×2；①72﹣52＝8×；②92﹣2＝8×4；③﹣92＝8×5；④132﹣2＝8×6；…（2）通過觀察、歸納，請你用含字母n（n為正整數）的等式表示上述各式所反映的規(guī)律；（3）你能運用平方差公式來說明（2）中你所寫規(guī)律的正確性嗎？【變式9-2】（2022秋?肥城市期中）我