數(shù)學(xué)-第十二講 二次函數(shù)與幾何綜合（原卷版）

第十二講二次函數(shù)與幾何綜合命題點1二次函數(shù)中線段與面積問題1．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣3（a≠0）與x軸交于點A（﹣1，0），點B（3，0），與y軸交于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）在對稱軸上找一點Q，使△ACQ的周長最小，求點Q的坐標(biāo)；（3）點P是拋物線對稱軸上的一點，點M是對稱軸左側(cè)拋物線上的一點，當(dāng)△PMB是以PB為腰的等腰直角三角形時，請直接寫出所有點M的坐標(biāo)．

2．如圖，已知拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（0，3）和B（，﹣）兩點，直線AB與x軸相交于點C，P是直線AB上方的拋物線上的一個動點，PD⊥x軸交AB于點D．（1）求該拋物線的表達式；（2）若PE∥x軸交AB于點E，求PD+PE的最大值；（3）若以A，P，D為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P，點D的坐標(biāo)．3．如圖，拋物線y＝ax2+x+c經(jīng)過B（3，0），D（﹣2，﹣）兩點，與x軸的另一個交點為A，與y軸相交于點C．（1）求拋物線的解析式和點C的坐標(biāo)；（2）若點M在直線BC上方的拋物線上運動（與點B，C不重合），求使△MBC面積最大時M點的坐標(biāo)，并求最大面積；（請在圖1中探索）（3）設(shè)點Q在y軸上，點P在拋物線上，要使以點A，B，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求所有滿足條件的點P的坐標(biāo)．（請在圖2中探索）

4．如圖，已知拋物線過點O（0，0），A（5，5），且它的對稱軸為x＝2，點B是拋物線對稱軸上的一點，且點B在第一象限．（1）求此拋物線的解析式；（2）當(dāng)△OAB的面積為15時，求B的坐標(biāo)；（3）在（2）的條件下，P是拋物線上的動點，當(dāng)PA﹣PB的值最大時，求P的坐標(biāo)以及PA﹣PB的最大值．命題點2二次函數(shù)中的特殊角5．如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）與x軸交于A（﹣2，0）、B（8，0）兩點，與y軸交于點C（0，4），連接AC、BC．（1）求拋物線的表達式；（2）將△ABC沿AC所在直線折疊，得到△ADC，點B的對應(yīng)點為D，直接寫出點D的坐標(biāo)，并求出四邊形OADC的面積；（3）點P是拋物線上的一動點，當(dāng)∠PCB＝∠ABC時，求點P的坐標(biāo)．

6．如圖，拋物線y＝ax2+bx+3交x軸于點A（3，0）和點B（﹣1，0），交y軸于點C．（1）求拋物線的表達式；（2）D是直線AC上方拋物線上一動點，連接OD交AC于點N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標(biāo)；（3）P為拋物線上一點，連接CP，過點P作PQ⊥CP交拋物線對稱軸于點Q，當(dāng)tan∠PCQ＝時，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)．

7．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+bx+2經(jīng)過A（，0），B（3，）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P在拋物線上，過P作PD⊥x軸，交直線BC于點D，若以P、D、O、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的橫坐標(biāo)；（3）拋物線上是否存在點Q，使∠QCB＝45°？若存在，請直接寫出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．命題點3二次函數(shù)與三角形的存在性7．已知拋物線經(jīng)過A（﹣1，0）、B（0，3）、C（3，0）三點，O為坐標(biāo)原點，拋物線交正方形OBDC的邊BD于點E，點M為射線BD上一動點，連接OM，交BC于點F．（1）求拋物線的表達式；（2）求證：∠BOF＝∠BDF；（3）是否存在點M，使△MDF為等腰三角形？若不存在，請說明理由；若存在，求ME的長．

8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+x+m（a≠0）的圖象與x軸交于A、C兩點，與y軸交于點B，其中點B坐標(biāo)為（0，﹣4），點C坐標(biāo)為（2，0）．（1）求此拋物線的函數(shù)解析式．（2）點D是直線AB下方拋物線上一個動點，連接AD、BD，探究是否存在點D，使得△ABD的面積最大？若存在，請求出點D的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．（3）點P為該拋物線對稱軸上的動點，使得△PAB為直角三角形，請求出點P的坐標(biāo)．9．如圖，拋物線y＝﹣x2+3x+4與x軸交于A，B兩點（點A位于點B

的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸l與x軸交于點N，長為1的線段PQ（點P位于點Q的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運動．（1）直接寫出A，B，C三點的坐標(biāo)；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）過點P作PM⊥y軸于點M，當(dāng)△CPM和△QBN相似時，求點Q的坐標(biāo)．命題點4二次函數(shù)與四邊形的存在性10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2+2x+c與x軸分別交于點A（1，0）和點B，與y軸交于點C（0，﹣3），連接BC．（1）求拋物線的解析式及點B的坐標(biāo)．（2）如圖，點P為線段BC上的一個動點（點P不與點B，C重合），過點P作y軸的平行線交拋物線于點Q，求線段PQ長度的最大值．（3）動點P以每秒個單位長度的速度在線段BC上由點C向點B運動，同時動點M以每秒1個單位長度的速度在線段BO上由點B向點O運動，在平面內(nèi)是否存在點N，使得以點P，M，B，N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出符合條件的點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

11．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點A（4，0）的直線AB與y軸交于點B（0，4）．經(jīng)過原點O的拋物線y＝﹣x2+bx+c交直線AB于點A，C，拋物線的頂點為D．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；（2