《統(tǒng)考版》高考數(shù)學(xué)（理科）一輪練習(xí)專練41空間點直線平面之間的位置關(guān)系

專練41空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系命題范圍：空間直線、平面的位置關(guān)系的定義及判斷．[基礎(chǔ)強化]一、選擇題1．“點P在直線m上，m在平面α內(nèi)”可表示為()A．P∈m，m∈α B．P∈m，m?αC．P?m，m∈α D．P?m，m?α2．在空間中，可以確定一個平面的條件是()A．兩兩相交的三條直線B．三條直線，其中一條與另兩條分別相交C．三個點D．三條直線，它們兩兩相交，但不交于同一點3．[2021·全國乙卷]在正方體ABCD－A1B1C1D1中，P為B1D1的中點，則直線PB與AD1所成的角為()A.eq\f(π,2)B.eq\f(π,3)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,6)4．若直線l1與l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題正確的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交5．若P是平面α外一點，則下列命題正確的是()A．過P只能作一條直線與平面α相交B．過P可作無數(shù)條直線與平面α垂直C．過P只能作一條直線與平面α平行D．過P可作無數(shù)條直線與平面α平行6．如圖，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C?l,直線AB∩l＝M，過A，B，C三點的平面記作γ，則γ與β的交線必通過()A．點A B．點BC．點C但不過點M D．點C和點M7．使直線a，b為異面直線的充分不必要條件是()A．a(chǎn)?平面α，b?α，a與b不平行B．a(chǎn)?平面α，b?α，a與b不相交C．a(chǎn)∥直線c，b∩c＝A，b與a不相交D．a(chǎn)?平面α，b?平面β，α∩β＝l，a與b無公共點8．如圖，點N為正方形ABCD的中心，△ECD為正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是線段ED的中點，則()A．BM＝EN，且直線BM，EN是相交直線B．BM≠EN，且直線BM，EN是相交直線C．BM＝EN，且直線BM，EN是異面直線D．BM≠EN，且直線BM，EN是異面直線9．設(shè)α，β為兩個平面，則α∥β的充要條件是()A．α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行B．α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C．α，β平行于同一條直線D．α，β垂直于同一平面10．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點，則異面直線AE與CD所成角的正切值為()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(\r(5),2)D.eq\f(\r(7),2)二、填空題11．在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，既與AB共面，又與CC1共面的棱有________條．12.如圖所示是正四面體的平面展開圖，G、H、M、N分別為DE、BE、EF、EC的中點，在這個正四面體中，①GH與EF平行；②BD與MN為異面直線；③GH與MN成60°角；④DE與MN垂直．以上四個命題中，正確命題的序號是________．專練41空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系1．B2．D當(dāng)三條直線相交于同一點時，可以確定一個或三個平面，故A、B錯；當(dāng)三點共線時，不能確定一個平面，故C錯，故選D.3．D解法一如圖，連接C1P，因為ABCD－A1B1C1D1是正方體，且P為B1D1的中點，所以C1P⊥B1D1，又C1P⊥BB1，所以C1P⊥平面B1BP.又BP?平面B1BP，所以有C1P⊥BP.連接BC1，則AD1∥BC1，所以∠PBC1為直線PB與AD1所成的角．設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則在直角三角形C1PB中，C1P＝eq\f(1,2)B1D1＝eq\r(2)，BC1＝2eq\r(2)，sin∠PBC1＝eq\f(PC1,BC1)＝eq\f(1,2)，所以∠PBC1＝eq\f(π,6)，故選D.解法二以B1為坐標原點，B1C1，B1A1，B1B所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，設(shè)正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，則B(0,0,2)，P(1,1,0)，D1(2,2,0)，A(0,2,2)，eq\o(PB,\s\up6(→))＝(－1，－1,2)，eq\o(AD1,\s\up6(→))＝(2,0，－2)．設(shè)直線PB與AD1所成的角為θ，則cosθ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(\o(PB,\s\up6(→))·\o(AD1,\s\up6(→)),|\o(PB,\s\up6(→))||\o(AD1,\s\up6(→))|)))＝eq\f(|－6|,\r(6)×\r(8))＝eq\f(\r(3),2).因為θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以θ＝eq\f(π,6)，故選D.解法三如圖所示，連接BC1，A1B，A1P，PC1，則易知AD1∥BC1，所以直線PB與AD1所成角等于直線PB與BC1所成角．根據(jù)P為正方形A1B1C1D1的對角線B1D1的中點，易知A1，P，C1三點共線，且P為A1C1的中點．易知A1B＝BC1＝A1C1，所以△A1BC1為等邊三角形，所以∠A1BC1＝eq\f(π,3)，又P為A1C1的中點，所以可得∠PBC1＝eq\f(1,2)∠A1BC1＝eq\f(π,6).故選D.4．D由直線l1和l2是異面直線可知l1與l2不平行，故l1，l2中至少有一條與l相交．5．D過平面α外一點P，可以作無數(shù)條直線與α相交，但垂直α的只有一條，故A、B、C均錯，D正確．6．D∵A、B∈γ，M∈AB，∴M∈γ.又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.根據(jù)公理3可知，M在γ與β的交線上．同理可知，點C也在γ與β的交線上．7．C對A，a與b可能有交點，對于B、D，a與b可能平行，C顯然正確．8．B取CD的中點O，連接ON，EO，因為△ECD為正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.設(shè)正方形ABCD的邊長為2，則EO＝eq\r(3)，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.過M作CD的垂線，垂足為P，連接BP，則MP＝eq\f(\r(3),2)，CP＝eq\f(3,2)，所以BM2＝MP2＋BP2＝(eq\f(\r(3),2))2＋(eq\f(3,2))2＋22＝7，得BM＝eq\r(7)，所以BM≠EN.連接BD，BE，因為四邊形ABCD為正方形，所以N為BD的中點，即EN，MB均在平面BDE內(nèi)，所以直線BM，EN是相交直線，選B.9．B對于A，α內(nèi)有無數(shù)條直線與β平行，當(dāng)這無數(shù)條直線互相平行時，α與β可能相交，所以A不正確；對于B，根據(jù)兩平面平行的判定定理與性質(zhì)知，B正確；對于C，平行于同一條直線的兩個平面可能相交，也可能平行，所以C不正確；對于D，垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，如長方體的相鄰兩個側(cè)面都垂直于底面，但它們是相交的，所以D不正確．綜上可知選B.10.C因為CD∥AB，所以∠BAE即為異面直線AE與CD所成的角．設(shè)正方體的棱長為2，則BE＝eq\r(5).因為AB⊥平面BB1C1C，所以AB⊥BE.在Rt△ABE中，tan∠BAE＝eq\f(BE,AB)＝eq\f(\r(5),2).故選C