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文檔簡(jiǎn)介
專(zhuān)題03平行線(xiàn)四大模型(能力提升)1.將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小為()A.25° B.20° C.15° D.10°2.如圖,l1∥l2,將一副直角三角板作如下擺放,圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上,∠1=80°,則∠2的度數(shù)為()A.100° B.120° C.130° D.150°3.如圖,AB與HN交于點(diǎn)E,點(diǎn)G在直線(xiàn)CD上,GF交AB于點(diǎn)M,∠FMA=∠FGC,∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC,下列四個(gè)結(jié)論:①AB∥CD;②∠EHG=2∠EFM;③∠EHG+∠EFM=90°;④3∠EHG﹣∠EFM=180°.其中正確的結(jié)論是()A.①②③ B.②④ C.①②④ D.①④4.如圖,AB∥EF,∠C=90°,則α、β、γ的關(guān)系為()A.β=α+γ B.α+β﹣γ=90° C.α+β+γ=180° D.β+γ﹣α=90°5.如圖,AB∥EF,∠C=90°,則α、β、y的關(guān)系是()A.β+γ﹣α=90° B.α+β+γ=180° C.α+β﹣γ=90° D.β=α+γ6.如圖,AB∥CD,EMNF是直線(xiàn)AB、CD間的一條折線(xiàn).若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,則∠4的度數(shù)為()A.55° B.50° C.40° D.30°7.為了落實(shí)“雙減”政策,促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng),各學(xué)校積極推行“5+2”模式,立足學(xué)生的認(rèn)知成長(zhǎng)規(guī)律,滿(mǎn)足學(xué)生多樣化的需求,打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容.晉中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽(yáng)光體育一小時(shí)活動(dòng),如圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一個(gè)瞬間,小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題:已知AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,則∠E的度數(shù)是30°.8.如圖,直線(xiàn)PQ∥MN,直角三角尺ABC的∠BAC=30°,∠ACB=90°.(1)若把三角尺按圖甲方式放置,則∠MAC+∠PBC=90°;(2)若把三角尺按圖乙方式放置,點(diǎn)D,E,F(xiàn)是三角尺的邊與平行線(xiàn)的交點(diǎn),若∠AEN=∠A,求∠BDF的值;(3)如圖丙,三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線(xiàn)之間,點(diǎn)G在線(xiàn)段CD上,連接EG,適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺,使得CE恰好平分∠MEG,求的值.9.如圖,AB∥CD,點(diǎn)E為兩直線(xiàn)之間的一點(diǎn).(1)如圖1,若∠BAE=35°,∠DCE=20°,則∠AEC=;(2)如圖2,試說(shuō)明,∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;(3)①如圖3,若∠BAE的平分線(xiàn)與∠DCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F,判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;②如圖4,若設(shè)∠E=m,∠BAF=∠FAE,∠DCF=∠FCE,請(qǐng)直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù).10.已知AM∥CN,點(diǎn)B在直線(xiàn)AM、CN之間,AB⊥BC于點(diǎn)B.(1)如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系:.(2)如圖2,∠A和∠C滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE與CH交于點(diǎn)G,則∠AGH的度數(shù)為.11.已知直線(xiàn)EF分別與直線(xiàn)AB,CD相交于點(diǎn)G,M,并且∠AGE+∠CHF=180°.(1)如圖1,求證:AB∥CD;(2)如圖2,點(diǎn)M在直線(xiàn)AB,CD之間,連接GM,HM,求證:∠M=∠AGM+∠CHM;(3)如圖3,在(2)的條件下,若射線(xiàn)GH恰好是∠BGM的平分線(xiàn),在MH的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)N,連接GN,若∠N=∠AGM,則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是(直接寫(xiě)答案).12.問(wèn)題情境我們知道,“兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”,所以在某些探究性問(wèn)題中通過(guò)“構(gòu)造平行線(xiàn)”可以起到轉(zhuǎn)化的作用.已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°,長(zhǎng)方形DEFG中,DE∥GF.問(wèn)題初探(1)如圖(1),若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊GF上,BC與DE相交于點(diǎn)M,AB⊥DE于點(diǎn)N,求∠EMC的度數(shù).分析:過(guò)點(diǎn)C作CH∥GF.則有CH∥DE,從而得∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠MCH,從而可以求得∠EMC的度數(shù).由分析得,請(qǐng)你直接寫(xiě)出:∠CAF的度數(shù)為,∠EMC的度數(shù)為.類(lèi)比再探(2)若將三角板ABC按圖(2)所示方式擺放(AB與DE不垂直),請(qǐng)你猜想寫(xiě)∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(3)請(qǐng)你總結(jié)(1),(2)解決問(wèn)題的思路,在圖(3)中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.13.已知AB∥CD,直線(xiàn)EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)G為落在直線(xiàn)AB和直線(xiàn)CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如圖1,點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線(xiàn)的交點(diǎn),則∠EGF=;(2)若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線(xiàn)的交點(diǎn),有如下結(jié)論:①∠EGF一定為鈍角;②∠EGF可能為60°;③若∠EGF為直角,則EF⊥CD.其中正確結(jié)論的序號(hào)為.(3)進(jìn)一步探索,若EF⊥CD,且點(diǎn)G不在線(xiàn)段EF上,記∠AEG=α,∠CFG=β,EM為∠AEG最接近EG的n等分線(xiàn),F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線(xiàn)(其中n≥2).直線(xiàn)EM、FN交于點(diǎn)Pn,是否存在某一正整數(shù)n,使得∠EPnF=90°?說(shuō)明理由.專(zhuān)題03平行線(xiàn)四大模型(能力提升)1.將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置,如果∠CDE=40°,那么∠BAF的大小為()A.25° B.20° C.15° D.10°【答案】D【解答】解:由題意知:∠CAB=60°,∠C=90°.∵∠CDE=40°,∴∠CED=50°.∵DE∥AF,∴∠FAE=∠CED=50°.∴∠BAF=∠CAB﹣FAE=60°﹣50°=10°.故選:D.2.如圖,l1∥l2,將一副直角三角板作如下擺放,圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線(xiàn)上,∠1=80°,則∠2的度數(shù)為()A.100° B.120° C.130° D.150°【答案】C【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)A作AD∥l1,∵l1∥l2,∴AD∥l2,∴∠FNA+∠NAD=180°,∵AD∥l1,∴∠EMA+∠MAD=180°,∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF=180°+180°=360°,∵∠EMA=∠EMC+∠CMA=80°+60°=140°,∠MAD+∠DAN=90°,∴∠FNA=360°﹣140°﹣90°=130°,即∠2=130°,故選:C.3.如圖,AB與HN交于點(diǎn)E,點(diǎn)G在直線(xiàn)CD上,GF交AB于點(diǎn)M,∠FMA=∠FGC,∠FEN=2∠NEB,∠FGH=2∠HGC,下列四個(gè)結(jié)論:①AB∥CD;②∠EHG=2∠EFM;③∠EHG+∠EFM=90°;④3∠EHG﹣∠EFM=180°.其中正確的結(jié)論是()A.①②③ B.②④ C.①②④ D.①④【答案】D【解答】解:∵∠FMA=∠FGC∴AB∥CD∴①正確;過(guò)點(diǎn)F作FP∥AB,HQ∥AB,∵AB∥CD,∴FP∥AB∥HQ∥CD,設(shè)∠NEB=x,∠HGC=y(tǒng),則∠FEN=2x,∠FGH=2y∴∠EHG=∠EHQ+∠GHQ=∠AEH+∠HGC=∠NEB+∠HGC=x+y,∠EFM=∠BEF﹣∠FME=∠BEF﹣∠AMG=∠BEF﹣(180°﹣∠FGC)=x+2x﹣(180°﹣y﹣y)=3x+3y﹣180°,∴2∠EFM=6x+6y﹣360°,∴∠EHG≠2∠EFM∴②錯(cuò)誤;∴∠EHG+∠EFM=x+y+3x+3y﹣180°=4x+4y﹣180°≠90°,∴③錯(cuò)誤;∴3∠EHG﹣∠EFM=3(x+y)﹣(3x+3y﹣180°)=180°,∴④正確.綜上所述,正確答案為①④.故選:D.4.如圖,AB∥EF,∠C=90°,則α、β、γ的關(guān)系為()A.β=α+γ B.α+β﹣γ=90° C.α+β+γ=180° D.β+γ﹣α=90°【答案】B【解答】解:延長(zhǎng)DC交AB于G,延長(zhǎng)CD交EF于H.直角△BGC中,∠1=90°﹣α;△EHD中,∠2=β﹣γ,∵AB∥EF,∴∠1=∠2,∴90°﹣α=β﹣γ,即α+β﹣γ=90°.故選:B.5.如圖,AB∥EF,∠C=90°,則α、β、y的關(guān)系是()A.β+γ﹣α=90° B.α+β+γ=180° C.α+β﹣γ=90° D.β=α+γ【答案】C【解答】解:如圖,過(guò)點(diǎn)C、D分別作AB的平行線(xiàn)CG、DH,∵AB∥EF,∴AB∥CG∥DH∥EF,∴∠1=∠α,∠2=∠3,∠4=∠γ,∵∠2=90°﹣∠1=90°﹣∠α,∠3=∠β﹣∠4=∠β﹣∠γ,∴90°﹣∠α=∠β﹣∠γ,∴α+β﹣γ=90°.故選:C.6.如圖,AB∥CD,EMNF是直線(xiàn)AB、CD間的一條折線(xiàn).若∠1=40°,∠2=60°,∠3=70°,則∠4的度數(shù)為()A.55° B.50° C.40° D.30°【答案】B【解答】解:如圖2,過(guò)M作OM∥AB,PN∥AB,∵AB∥CD,∴AB∥OM∥PN∥CD,∴∠1=∠EMO,∠4=∠PNF,∠OMN=∠PNM,∴∠EMN﹣∠MNF=(∠1+∠MNP)﹣(∠MNP+∠4)=∠1﹣∠4,∴60°﹣70°=40°﹣∠4,∴∠4=50°.故選:B.7.為了落實(shí)“雙減”政策,促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng),各學(xué)校積極推行“5+2”模式,立足學(xué)生的認(rèn)知成長(zhǎng)規(guī)律,滿(mǎn)足學(xué)生多樣化的需求,打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容.晉中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽(yáng)光體育一小時(shí)活動(dòng),如圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一個(gè)瞬間,小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問(wèn)題:已知AB∥CD,∠EAB=80°,∠ECD=110°,則∠E的度數(shù)是30°.【答案】30°【解答】解:延長(zhǎng)DC交AE于點(diǎn)F,∵AB∥CD,∴∠EFC=∠A=80°,由外角的性質(zhì)得,∠DCE=∠E+∠EFC,∴∠E=110°﹣80°=30°.故答案為:30°.8.如圖,直線(xiàn)PQ∥MN,直角三角尺ABC的∠BAC=30°,∠ACB=90°.(1)若把三角尺按圖甲方式放置,則∠MAC+∠PBC=90°;(2)若把三角尺按圖乙方式放置,點(diǎn)D,E,F(xiàn)是三角尺的邊與平行線(xiàn)的交點(diǎn),若∠AEN=∠A,求∠BDF的值;(3)如圖丙,三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線(xiàn)之間,點(diǎn)G在線(xiàn)段CD上,連接EG,適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺,使得CE恰好平分∠MEG,求的值.【解答】解:(1)延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)D,∵PQ∥MN,∴∠PBC=∠ADC,∵∠ACB是△ACD的一個(gè)外角,∴∠ACB=∠ADC+∠MAC,∴∠ACB=∠PBC+∠MAC=90°,故答案為:90;(2)∵∠AEN=∠A,∠BAC=30°,∴∠AEN=∠A=30°,∴∠CEM=∠AEN=30°,利用(1)的結(jié)論可得:∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴∠PDC=∠ACB﹣∠MEC=60°,∴∠BDF=∠PDC=60°,∴∠BDF的度數(shù)為60°;(3)∵CE平分∠MEG,∴∠CEM=∠CEG,設(shè)∠CEM=∠CEG=x,∴∠GEN=180°﹣∠CEM﹣∠CEG=180°﹣2x,利用(1)的結(jié)論可得:∠ACB=∠PDC+∠MEC,∴∠PDC=∠ACB﹣∠MEC=90°﹣x,∴∠BDF=∠PDC=90°﹣x,∴==2,∴的值為2.9.如圖,AB∥CD,點(diǎn)E為兩直線(xiàn)之間的一點(diǎn).(1)如圖1,若∠BAE=35°,∠DCE=20°,則∠AEC=;(2)如圖2,試說(shuō)明,∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°;(3)①如圖3,若∠BAE的平分線(xiàn)與∠DCE的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)F,判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由;②如圖4,若設(shè)∠E=m,∠BAF=∠FAE,∠DCF=∠FCE,請(qǐng)直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù).【解答】解:(1)55°如圖所示,過(guò)點(diǎn)E作EF∥AB,∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF,∴∠BAE=∠1,∠ECD=∠2,∴∠AEC=∠1+∠2=∠BAE+∠ECD=35°+20°=55°,故答案為55°.(2)如圖所示,過(guò)點(diǎn)E作EG∥AB,∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG,∴∠A+∠1=180°,∠C+∠2=180°,∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°,即∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°.(3)①2∠AFC+∠AEC=360°,理由如下:由(1)可得,∠AFC=∠BAF+∠DCF,∵AF平分∠BAE,CF平分∠DCE,∴∠BAE=2∠BAF,∠DCE=2∠DCF,∴∠BAE+∠DCE=2∠AFC,由(2)可知,∠BAE+∠AEC+∠DCE=360°,∴2∠AFC+∠AEC=360°.②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE=360°,∵∠BAF=∠FAE,∠DCF=∠FCE,∠BAF+∠DCF=∠F,∴∠F=(∠FAE+∠FCE),∴∠FAE+∠FCE=n∠F,∴∠F+∠E+n∠F=360°,∴(n+1)∠F=360°﹣∠E=360°﹣m,∴∠F=.10.已知AM∥CN,點(diǎn)B在直線(xiàn)AM、CN之間,AB⊥BC于點(diǎn)B.(1)如圖1,請(qǐng)直接寫(xiě)出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系:.(2)如圖2,∠A和∠C滿(mǎn)足怎樣的數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)說(shuō)明理由.(3)如圖3,AE平分∠MAB,CH平分∠NCB,AE與CH交于點(diǎn)G,則∠AGH的度數(shù)為45°.【解答】解:(1))過(guò)點(diǎn)B作BE∥AM,如圖,∵BE∥AM,∴∠A=∠ABE.∵BE∥AM,AM∥CN,∴BE∥CN.∴∠C=∠CBE.∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.∴∠A+∠C=∠ABE+∠CBE=∠ABC=90°.故答案為:∠A+∠C=90°;(2)∠A和∠C滿(mǎn)足:∠C﹣∠A=90°.理由:過(guò)點(diǎn)B作BE∥AM,如圖,∵BE∥AM,∴∠A=∠ABE.∵BE∥AM,AM∥CN,∴BE∥CN.∴∠C+∠CBE=180°.∴∠CBE=180°﹣∠C.∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°.∴∠ABE+∠CBE=90°.∴∠A+180°﹣∠C=90°.∴∠C﹣∠A=90°.(3)設(shè)CH與AB交于點(diǎn)F,如圖,∵AE平分∠MAB,∴∠GAF=∠MAB.∵CH平分∠NCB,∴∠BCF=∠BCN.∵∠B=90°,∴∠BFC=90°﹣∠BCF.∵∠AFG=∠BFC,∴∠AFG=90°﹣∠BCF.∵∠AGH=∠GAF+∠AFG,∴∠AGH=∠MAB+90°﹣∠BCN=90°﹣(∠BCN﹣∠MAB).由(2)知:∠BCN﹣∠MAB=90°,∴∠AGH=90°﹣45°=45°.故答案為:45°.11.已知直線(xiàn)EF分別與直線(xiàn)AB,CD相交于點(diǎn)G,M,并且∠AGE+∠CHF=180°.(1)如圖1,求證:AB∥CD;(2)如圖2,點(diǎn)M在直線(xiàn)AB,CD之間,連接GM,HM,求證:∠M=∠AGM+∠CHM;(3)如圖3,在(2)的條件下,若射線(xiàn)GH恰好是∠BGM的平分線(xiàn),在MH的延長(zhǎng)線(xiàn)上取點(diǎn)N,連接GN,若∠N=∠AGM,則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是(直接寫(xiě)答案).【解答】(1)證明:∵∠AGE=∠BGF,∠CHF=∠EHD,又∠AGE+∠CHF=180°,∴∠BGF+∠EHD=180°,∴AB∥CD;(2)證明:過(guò)點(diǎn)M作MK∥CD,則∠KMH=∠CHM,又AB∥CD;∴AB∥MK;∴∠AGM=∠GMK,∵∠GMH=∠AGM+∠KMH∴∠GMH=∠AGM+∠CHM.(3)解:如圖3,令∠AGM=2α,∠CHM=β,則∠N=2α,∠M=2α+β,∵射線(xiàn)GF是∠BGM的平分線(xiàn),∴∠FGM=∠BGM=(180°?∠AGM)=90°?α,∴∠AGH=∠AGM+∠FGM=2α+90°﹣α=90°+α,∵∠GMH=∠N+∠FGN,∴2α+β=2α+∠FGN,∴∠FGN=2β,∴∠M=2α+β=∠N+∠FGN,即:∠M=∠N+∠FGN.12.問(wèn)題情境我們知道,“兩條平行線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截,同位角相等,內(nèi)錯(cuò)角相等,同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)”,所以在某些探究性問(wèn)題中通過(guò)“構(gòu)造平行線(xiàn)”可以起到轉(zhuǎn)化的作用.已知三角板ABC中,∠BAC=60°,∠B=30°,∠C=90°,長(zhǎng)方形DEFG中,DE∥GF.問(wèn)題初探(1)如圖(1),若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長(zhǎng)方形的邊GF上,BC與DE相交于點(diǎn)M,AB⊥DE于點(diǎn)N,求∠EMC的度數(shù).分析:過(guò)點(diǎn)C作CH∥GF.則有CH∥DE,從而得∠CAF=∠HCA,∠EMC=∠MCH,從而可以求得∠EMC的度數(shù).由分析得,請(qǐng)你直接寫(xiě)出:∠CAF的度數(shù)為,∠EMC的度數(shù)為.類(lèi)比再探(2)若將三角板ABC按圖(2)所示方式擺放(AB與DE不垂直),請(qǐng)你猜想寫(xiě)∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.(3)請(qǐng)你總結(jié)(1),(2)解決問(wèn)題的思路,在圖(3)中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系?并說(shuō)明理由.【解答】解:(1)由題可得,∠CAF=∠BAF﹣∠BAC=90°﹣60°=30°,∠EMC=∠BCH=90°﹣30°=60°;故答案為:30°,60°;(2)∠EMC+∠CAF=90°,理由:證明:如圖,過(guò)C作CH∥GF,則∠CAF=∠ACH,∵DE∥GF,CH∥GF,∴CH∥DE,∴∠EMC=∠HCM,∴∠EMC+∠CAF=∠MCH+∠ACH=∠ACB=90°;(3)∠BAG﹣∠BMD=30°,理由:證明:如圖,過(guò)B作BK∥GF,則∠BAG=∠KBA,∵BK∥GF,DE∥GF,∴BK∥DE,∴∠BMD=∠KBM,∴∠BAG﹣∠BMD=∠ABK﹣∠KBM=∠ABC=30°.13.已知AB∥CD,直線(xiàn)EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F,點(diǎn)G為落在直線(xiàn)AB和直線(xiàn)CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).(1)如圖1,點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線(xiàn)的交點(diǎn),則∠EGF=;(2)若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線(xiàn)的交點(diǎn),有如下結(jié)論:①∠EGF一定為鈍角;②∠EGF可能為60°;③若∠EGF為直角,則EF⊥CD.其中正確結(jié)論的序號(hào)為.(3)進(jìn)一步探索,若EF⊥CD,且點(diǎn)G不在線(xiàn)段EF上,記∠AEG=α,∠CFG=β,EM為∠AEG最接近EG的n等分線(xiàn),F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線(xiàn)(其中n≥2).直線(xiàn)EM、FN交于點(diǎn)Pn,是否存在某一正整數(shù)n,使得∠EPnF=90°?說(shuō)明理由.【解答】解:(1)∵AB∥
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