2024年中考數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練 專題03 平行線四大模型（能力提升）（原卷版+解析）

專題03平行線四大模型（能力提升）1．將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小為（）A．25° B．20° C．15° D．10°2．如圖，l1∥l2，將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，∠1＝80°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．130° D．150°3．如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④4．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、γ的關(guān)系為（）A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°5．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、y的關(guān)系是（）A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ6．如圖，AB∥CD，EMNF是直線AB、CD間的一條折線．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，則∠4的度數(shù)為（）A．55° B．50° C．40° D．30°7．為了落實(shí)“雙減”政策，促進(jìn)學(xué)生健康成長，各學(xué)校積極推行“5+2”模式，立足學(xué)生的認(rèn)知成長規(guī)律，滿足學(xué)生多樣化的需求，打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容．晉中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時(shí)活動(dòng)，如圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一個(gè)瞬間，小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，則∠E的度數(shù)是30°．8．如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．9．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝；（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．10．已知AM∥CN，點(diǎn)B在直線AM、CN之間，AB⊥BC于點(diǎn)B．（1）如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點(diǎn)G，則∠AGH的度數(shù)為．11．已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，若射線GH恰好是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是（直接寫答案）．12．問題情境我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．問題初探（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點(diǎn)M，AB⊥DE于點(diǎn)N，求∠EMC的度數(shù)．分析：過點(diǎn)C作CH∥GF．則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)．由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為，∠EMC的度數(shù)為．類比再探（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．13．已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)G為落在直線AB和直線CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點(diǎn)，則∠EGF＝；（2）若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點(diǎn)，有如下結(jié)論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．（3）進(jìn)一步探索，若EF⊥CD，且點(diǎn)G不在線段EF上，記∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點(diǎn)Pn，是否存在某一正整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°？說明理由．專題03平行線四大模型（能力提升）1．將一把直尺和一塊含30°和60°角的三角板ABC按如圖所示的位置放置，如果∠CDE＝40°，那么∠BAF的大小為（）A．25° B．20° C．15° D．10°【答案】D【解答】解：由題意知：∠CAB＝60°，∠C＝90°．∵∠CDE＝40°，∴∠CED＝50°．∵DE∥AF，∴∠FAE＝∠CED＝50°．∴∠BAF＝∠CAB﹣FAE＝60°﹣50°＝10°．故選：D．2．如圖，l1∥l2，將一副直角三角板作如下擺放，圖中點(diǎn)A、B、C在同一直線上，∠1＝80°，則∠2的度數(shù)為（）A．100° B．120° C．130° D．150°【答案】C【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD∥l1，∵l1∥l2，∴AD∥l2，∴∠FNA+∠NAD＝180°，∵AD∥l1，∴∠EMA+∠MAD＝180°，∴∠EMA+∠MAD+∠DAN+∠ANF＝180°+180°＝360°，∵∠EMA＝∠EMC+∠CMA＝80°+60°＝140°，∠MAD+∠DAN＝90°，∴∠FNA＝360°﹣140°﹣90°＝130°，即∠2＝130°，故選：C．3．如圖，AB與HN交于點(diǎn)E，點(diǎn)G在直線CD上，GF交AB于點(diǎn)M，∠FMA＝∠FGC，∠FEN＝2∠NEB，∠FGH＝2∠HGC，下列四個(gè)結(jié)論：①AB∥CD；②∠EHG＝2∠EFM；③∠EHG+∠EFM＝90°；④3∠EHG﹣∠EFM＝180°．其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．②④ C．①②④ D．①④【答案】D【解答】解：∵∠FMA＝∠FGC∴AB∥CD∴①正確；過點(diǎn)F作FP∥AB，HQ∥AB，∵AB∥CD，∴FP∥AB∥HQ∥CD，設(shè)∠NEB＝x，∠HGC＝y(tǒng)，則∠FEN＝2x，∠FGH＝2y∴∠EHG＝∠EHQ+∠GHQ＝∠AEH+∠HGC＝∠NEB+∠HGC＝x+y，∠EFM＝∠BEF﹣∠FME＝∠BEF﹣∠AMG＝∠BEF﹣（180°﹣∠FGC）＝x+2x﹣（180°﹣y﹣y）＝3x+3y﹣180°，∴2∠EFM＝6x+6y﹣360°，∴∠EHG≠2∠EFM∴②錯(cuò)誤；∴∠EHG+∠EFM＝x+y+3x+3y﹣180°＝4x+4y﹣180°≠90°，∴③錯(cuò)誤；∴3∠EHG﹣∠EFM＝3（x+y）﹣（3x+3y﹣180°）＝180°，∴④正確．綜上所述，正確答案為①④．故選：D．4．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、γ的關(guān)系為（）A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝90° C．α+β+γ＝180° D．β+γ﹣α＝90°【答案】B【解答】解：延長DC交AB于G，延長CD交EF于H．直角△BGC中，∠1＝90°﹣α；△EHD中，∠2＝β﹣γ，∵AB∥EF，∴∠1＝∠2，∴90°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝90°．故選：B．5．如圖，AB∥EF，∠C＝90°，則α、β、y的關(guān)系是（）A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β＝α+γ【答案】C【解答】解：如圖，過點(diǎn)C、D分別作AB的平行線CG、DH，∵AB∥EF，∴AB∥CG∥DH∥EF，∴∠1＝∠α，∠2＝∠3，∠4＝∠γ，∵∠2＝90°﹣∠1＝90°﹣∠α，∠3＝∠β﹣∠4＝∠β﹣∠γ，∴90°﹣∠α＝∠β﹣∠γ，∴α+β﹣γ＝90°．故選：C．6．如圖，AB∥CD，EMNF是直線AB、CD間的一條折線．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，則∠4的度數(shù)為（）A．55° B．50° C．40° D．30°【答案】B【解答】解：如圖2，過M作OM∥AB，PN∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥OM∥PN∥CD，∴∠1＝∠EMO，∠4＝∠PNF，∠OMN＝∠PNM，∴∠EMN﹣∠MNF＝（∠1+∠MNP）﹣（∠MNP+∠4）＝∠1﹣∠4，∴60°﹣70°＝40°﹣∠4，∴∠4＝50°．故選：B．7．為了落實(shí)“雙減”政策，促進(jìn)學(xué)生健康成長，各學(xué)校積極推行“5+2”模式，立足學(xué)生的認(rèn)知成長規(guī)律，滿足學(xué)生多樣化的需求，打造特色突出、切實(shí)可行的體育鍛煉內(nèi)容．晉中市的某學(xué)校將“抖空竹”引入陽光體育一小時(shí)活動(dòng)，如圖1是一位同學(xué)抖空竹時(shí)的一個(gè)瞬間，小麗把它抽象成圖2的數(shù)學(xué)問題：已知AB∥CD，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°，則∠E的度數(shù)是30°．【答案】30°【解答】解：延長DC交AE于點(diǎn)F，∵AB∥CD，∴∠EFC＝∠A＝80°，由外角的性質(zhì)得，∠DCE＝∠E+∠EFC，∴∠E＝110°﹣80°＝30°．故答案為：30°．8．如圖，直線PQ∥MN，直角三角尺ABC的∠BAC＝30°，∠ACB＝90°．（1）若把三角尺按圖甲方式放置，則∠MAC+∠PBC＝90°；（2）若把三角尺按圖乙方式放置，點(diǎn)D，E，F(xiàn)是三角尺的邊與平行線的交點(diǎn)，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的值；（3）如圖丙，三角尺的直角頂點(diǎn)C始終在兩條平行線之間，點(diǎn)G在線段CD上，連接EG，適當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)三角尺，使得CE恰好平分∠MEG，求的值．【解答】解：（1）延長BC交MN于點(diǎn)D，∵PQ∥MN，∴∠PBC＝∠ADC，∵∠ACB是△ACD的一個(gè)外角，∴∠ACB＝∠ADC+∠MAC，∴∠ACB＝∠PBC+∠MAC＝90°，故答案為：90；（2）∵∠AEN＝∠A，∠BAC＝30°，∴∠AEN＝∠A＝30°，∴∠CEM＝∠AEN＝30°，利用（1）的結(jié)論可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝60°，∴∠BDF＝∠PDC＝60°，∴∠BDF的度數(shù)為60°；（3）∵CE平分∠MEG，∴∠CEM＝∠CEG，設(shè)∠CEM＝∠CEG＝x，∴∠GEN＝180°﹣∠CEM﹣∠CEG＝180°﹣2x，利用（1）的結(jié)論可得：∠ACB＝∠PDC+∠MEC，∴∠PDC＝∠ACB﹣∠MEC＝90°﹣x，∴∠BDF＝∠PDC＝90°﹣x，∴＝＝2，∴的值為2．9．如圖，AB∥CD，點(diǎn)E為兩直線之間的一點(diǎn)．（1）如圖1，若∠BAE＝35°，∠DCE＝20°，則∠AEC＝；（2）如圖2，試說明，∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°；（3）①如圖3，若∠BAE的平分線與∠DCE的平分線相交于點(diǎn)F，判斷∠AEC與∠AFC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②如圖4，若設(shè)∠E＝m，∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，請直接用含m、n的代數(shù)式表示∠F的度數(shù)．【解答】解：（1）55°如圖所示，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EF，∴∠BAE＝∠1，∠ECD＝∠2，∴∠AEC＝∠1+∠2＝∠BAE+∠ECD＝35°+20°＝55°，故答案為55°．（2）如圖所示，過點(diǎn)E作EG∥AB，∵AB∥CD∴AB∥CD∥EG，∴∠A+∠1＝180°，∠C+∠2＝180°，∴∠A+∠1+∠2+∠C＝360°，即∠BAE+∠AEC+∠ECD＝360°．（3）①2∠AFC+∠AEC＝360°，理由如下：由（1）可得，∠AFC＝∠BAF+∠DCF，∵AF平分∠BAE，CF平分∠DCE，∴∠BAE＝2∠BAF，∠DCE＝2∠DCF，∴∠BAE+∠DCE＝2∠AFC，由（2）可知，∠BAE+∠AEC+∠DCE＝360°，∴2∠AFC+∠AEC＝360°．②由①知∠F+∠FAE+∠E+∠FCE＝360°，∵∠BAF＝∠FAE，∠DCF＝∠FCE，∠BAF+∠DCF＝∠F，∴∠F＝（∠FAE+∠FCE），∴∠FAE+∠FCE＝n∠F，∴∠F+∠E+n∠F＝360°，∴（n+1）∠F＝360°﹣∠E＝360°﹣m，∴∠F＝．10．已知AM∥CN，點(diǎn)B在直線AM、CN之間，AB⊥BC于點(diǎn)B．（1）如圖1，請直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系：．（2）如圖2，∠A和∠C滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由．（3）如圖3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE與CH交于點(diǎn)G，則∠AGH的度數(shù)為45°．【解答】解：（1））過點(diǎn)B作BE∥AM，如圖，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C＝∠CBE．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．故答案為：∠A+∠C＝90°；（2）∠A和∠C滿足：∠C﹣∠A＝90°．理由：過點(diǎn)B作BE∥AM，如圖，∵BE∥AM，∴∠A＝∠ABE．∵BE∥AM，AM∥CN，∴BE∥CN．∴∠C+∠CBE＝180°．∴∠CBE＝180°﹣∠C．∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°．∴∠ABE+∠CBE＝90°．∴∠A+180°﹣∠C＝90°．∴∠C﹣∠A＝90°．（3）設(shè)CH與AB交于點(diǎn)F，如圖，∵AE平分∠MAB，∴∠GAF＝∠MAB．∵CH平分∠NCB，∴∠BCF＝∠BCN．∵∠B＝90°，∴∠BFC＝90°﹣∠BCF．∵∠AFG＝∠BFC，∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，∴∠AGH＝∠MAB+90°﹣∠BCN＝90°﹣（∠BCN﹣∠MAB）．由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．故答案為：45°．11．已知直線EF分別與直線AB，CD相交于點(diǎn)G，M，并且∠AGE+∠CHF＝180°．（1）如圖1，求證：AB∥CD；（2）如圖2，點(diǎn)M在直線AB，CD之間，連接GM，HM，求證：∠M＝∠AGM+∠CHM；（3）如圖3，在（2）的條件下，若射線GH恰好是∠BGM的平分線，在MH的延長線上取點(diǎn)N，連接GN，若∠N＝∠AGM，則∠M、∠N、∠FGN的數(shù)量關(guān)系是（直接寫答案）．【解答】（1）證明：∵∠AGE＝∠BGF，∠CHF＝∠EHD，又∠AGE+∠CHF＝180°，∴∠BGF+∠EHD＝180°，∴AB∥CD；（2）證明：過點(diǎn)M作MK∥CD，則∠KMH＝∠CHM，又AB∥CD；∴AB∥MK；∴∠AGM＝∠GMK，∵∠GMH＝∠AGM+∠KMH∴∠GMH＝∠AGM+∠CHM．（3）解：如圖3，令∠AGM＝2α，∠CHM＝β，則∠N＝2α，∠M＝2α+β，∵射線GF是∠BGM的平分線，∴∠FGM＝∠BGM＝（180°?∠AGM）＝90°?α，∴∠AGH＝∠AGM+∠FGM＝2α+90°﹣α＝90°+α，∵∠GMH＝∠N+∠FGN，∴2α+β＝2α+∠FGN，∴∠FGN＝2β，∴∠M＝2α+β＝∠N+∠FGN，即：∠M＝∠N+∠FGN．12．問題情境我們知道，“兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”，所以在某些探究性問題中通過“構(gòu)造平行線”可以起到轉(zhuǎn)化的作用．已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，長方形DEFG中，DE∥GF．問題初探（1）如圖（1），若將三角板ABC的頂點(diǎn)A放在長方形的邊GF上，BC與DE相交于點(diǎn)M，AB⊥DE于點(diǎn)N，求∠EMC的度數(shù)．分析：過點(diǎn)C作CH∥GF．則有CH∥DE，從而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，從而可以求得∠EMC的度數(shù)．由分析得，請你直接寫出：∠CAF的度數(shù)為，∠EMC的度數(shù)為．類比再探（2）若將三角板ABC按圖（2）所示方式擺放（AB與DE不垂直），請你猜想寫∠CAF與∠EMC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．（3）請你總結(jié)（1），（2）解決問題的思路，在圖（3）中探究∠BAG與∠BMD的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【解答】解：（1）由題可得，∠CAF＝∠BAF﹣∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∠EMC＝∠BCH＝90°﹣30°＝60°；故答案為：30°，60°；（2）∠EMC+∠CAF＝90°，理由：證明：如圖，過C作CH∥GF，則∠CAF＝∠ACH，∵DE∥GF，CH∥GF，∴CH∥DE，∴∠EMC＝∠HCM，∴∠EMC+∠CAF＝∠MCH+∠ACH＝∠ACB＝90°；（3）∠BAG﹣∠BMD＝30°，理由：證明：如圖，過B作BK∥GF，則∠BAG＝∠KBA，∵BK∥GF，DE∥GF，∴BK∥DE，∴∠BMD＝∠KBM，∴∠BAG﹣∠BMD＝∠ABK﹣∠KBM＝∠ABC＝30°．13．已知AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)G為落在直線AB和直線CD之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）如圖1，點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的角平分線的交點(diǎn)，則∠EGF＝；（2）若點(diǎn)G恰為∠BEF和∠DFE的三等分線的交點(diǎn)，有如下結(jié)論：①∠EGF一定為鈍角；②∠EGF可能為60°；③若∠EGF為直角，則EF⊥CD．其中正確結(jié)論的序號(hào)為．（3）進(jìn)一步探索，若EF⊥CD，且點(diǎn)G不在線段EF上，記∠AEG＝α，∠CFG＝β，EM為∠AEG最接近EG的n等分線，F(xiàn)N是∠CFG最接近CF的n等分線（其中n≥2）．直線EM、FN交于點(diǎn)Pn，是否存在某一正整數(shù)n，使得∠EPnF＝90°？說明理由．【解答】解：（1）∵AB∥