1.4 空間向量應(yīng)用（精練）（解析版）

1.4空間向量應(yīng)用（精練）1．（2022秋·高二單元測(cè)試）已知直線的一個(gè)方向向量，且直線過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，則（）A．0 B．1 C． D．3【答案】D【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)和兩點(diǎn)，所以，又直線的一個(gè)方向向量，所以，所以，所以，所以，解得，所以.故選：D2．（2023江西）已知平面α內(nèi)兩向量，且.若為平面α的法向量，則m，n的值分別為（）A．-1，2 B．1，-2C．1，2 D．-1，-2【答案】A【解析】，由為平面α的法向量，得,即解得故選：A.3．（2023浙江）已知，則下列向量是平面法向量的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，設(shè)平面的一個(gè)單位法向量為，則，可得，經(jīng)檢驗(yàn)，僅符合題意．故選：C．4．（2023山西）若平面，則下面選項(xiàng)中可以是這兩個(gè)平面法向量的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因?yàn)槠矫?，所以兩個(gè)平面的法向量應(yīng)該平行，即存在，，只有D項(xiàng)符合.故選：D.5．（2023·湖南婁底·高二湖南省新化縣第一中學(xué)?？计谀┤鐖D，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F(xiàn)分別為PD，PB的中點(diǎn)，點(diǎn)G在線段AP上，AC與BD交于點(diǎn)O，，若平面，則（

）A． B． C． D．1【答案】C【解析】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由題意可得,，則,所以，設(shè)平面EFC的法向量為，則，解得，令，則，所以平面EFC的一個(gè)法向量為.因?yàn)槠矫鍱FC，則，設(shè)，則，所以，解得，所以，即.故選：C6．（2023春·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末）在長(zhǎng)方體中，底面為正方形，平面，E為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A． B．C．平面 D．平面平面【答案】D【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，A正確；連接，設(shè)，則為的中點(diǎn)，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，所以，B正確；因?yàn)?，又平面，平面，所?/平面，C正確；由已知兩兩垂直，以為原點(diǎn)，為的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，因?yàn)榈酌鏋檎叫?，所以，由長(zhǎng)方體性質(zhì)可得四邊形為矩形，又，所以四邊形為正方形，故，所以，所以，因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的法向量為，則，所以，取，則，所以為平面的一個(gè)法向量，因?yàn)?，所以向量不垂直，所以平面，平面不垂直，D錯(cuò)誤；故選：D.7．（2023春·四川樂(lè)山·高二期末）如圖，在正方體中，為底面的中心，為所在棱的中點(diǎn)，為正方體的頂點(diǎn)．則滿足的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】如圖建立以A為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為.A選項(xiàng)，，則，則，故A錯(cuò)誤；

B選項(xiàng)，，，則，故B錯(cuò)誤；

C選項(xiàng)，，，則，即，故C正確；

D選項(xiàng)，，則，故D錯(cuò)誤.

故選：C8．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）下列利用方向向量、法向量判斷線、面位置關(guān)系的結(jié)論中，正確的是（

）A．兩條不重合直線l1，l2的方向向量分別是，，則l1∥l2B．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l⊥αC．兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是，，則α⊥βD．直線l的方向向量，平面α的法向量是，則l∥α【答案】C【解析】對(duì)于A，直線l1，l2的方向向量分別是，，因?yàn)?，所以與不平行，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，直線l的方向向量，平面α的法向量是，且，所以l∥α或l?α，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，兩個(gè)不同的平面α，β的法向量分別是，，且，所以α⊥β，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，直線l的方向向量，平面α的法向量是，且，所以l⊥α，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C28．（2022秋·廣東江門·高二江門市培英高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎本€l的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，若，則＝（）A．﹣3 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】根據(jù)線面垂直的向量表示即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，所?故選：B9．（2023春·江蘇宿遷）如圖所示，正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)分別是中點(diǎn)，則二面角的正切值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線分別為，，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，，，，2，，，0，，，2，，則，2，，，2，，設(shè)平面的法向量，，，則，令，則，1，，又因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量，，設(shè)的大小為，有圖可知為銳角，則，故選：A.

10．（2023春·陜西漢中）如圖，在正方體中，為體對(duì)角線上一點(diǎn)，且，則異面直線和所成角的余弦值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【解析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則、、、、，，，所以，，因此，異面直線和所成角的余弦值為.故選：A.11．（2023·浙江溫州）四面體滿足，點(diǎn)在棱上，且，點(diǎn)為的重心，則點(diǎn)到直線的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】四面體滿足，即兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，以射線的正方向分別為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，因?yàn)?，，則，于是，，所以點(diǎn)到直線的距離.故選：A12．（2022·北京石景山）如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為（）

A．1 B． C． D．【答案】C【解析】正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為線段BC1上的動(dòng)點(diǎn)，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA、DC、所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），設(shè)P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），，設(shè)異面直線的公共法向量為，則，取x＝1，得，∴點(diǎn)P到直線AC的距離為：，點(diǎn)P到直線AC的距離的最小值為.故選：C.

13．（2023春·河南南陽(yáng)）（多選）已知向量是平面的一個(gè)法向量，點(diǎn)在平面內(nèi)，則下列點(diǎn)也在平面內(nèi)的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】記選項(xiàng)中的四個(gè)點(diǎn)依次為A，B，C，D，則，，，，又，，故與不垂直，故A錯(cuò)誤；，故與垂直，故B正確；，故與垂直，故C正確；，故與垂直，故D正確；故選：BCD.14．（2023河北）（多選）在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系中，為棱長(zhǎng)是1的正方體，下列結(jié)論正確的是（）A．直線的一個(gè)方向向量為B．直線的一個(gè)方向向量為C．平面的一個(gè)法向量為D．平面的一個(gè)法向量為【答案】ABC【解析】依題意，，，，，，，所以，所以直線的一個(gè)方向向量為，故A正確；，所以直線的一個(gè)方向向量為，故B正確；，又平面，所以平面的一個(gè)法向量為，故C正確；又，，因?yàn)?，所以，所以向量不是平面的法向量，故D錯(cuò)誤；故選：ABC15．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）（多選）已知空間中三個(gè)向量，，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與是共線向量 B．與同向的單位向量是C．在方向上的投影向量是 D．平面ABC的一個(gè)法向量是【答案】BCD【解析】】A：若與共線，存在使，則無(wú)解，故不共線，錯(cuò)誤；B：與同向的單位向量是，正確；C：由，則在方向上的投影向量是，正確；D：若是面ABC的一個(gè)法向量，則，令，則，正確.故選：BCD15．（2022秋·海南）（多選）如圖，在正方體中，，，，均是所在棱的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A． B．平面C．平面平面 D．【答案】ABC【解析】依題意，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示

不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，則所以，所以，即，亦即，故A正確；所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，又平面，所以平面，故B正確；所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，所以，所以，即，所以平面平面，故C正確；所以,所以和不平行，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.16．（2023·遼寧朝陽(yáng)）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為【答案】ABD【解析】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如下圖所示坐標(biāo)系：則：，，設(shè)，則有：，又，解得，，，，同理可得；對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，，，即，又,故是異面直線與的公垂線段，正確；對(duì)于C，設(shè)與所成的角為，則，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知是與的公垂線段，，正確；故選：ABD.17．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC．【答案】證明過(guò)程見(jiàn)詳解【解析】因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0)．所以，，，，設(shè)是平面EFG的法向量，則，，即，得，令，則，，所以，設(shè)是平面PBC的法向量，由，，即，得，令，則，，所以，所以，所以平面EFG∥平面PBC．18．（2023春·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，點(diǎn)分別在上，且，，求證：平面.【答案】證明見(jiàn)解析【解析】因?yàn)榫匦魏途匦嗡谄矫婊ハ啻怪?，所以互相垂直．不妨設(shè)的長(zhǎng)分別為，以為正交基底，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，，所以.因?yàn)?，，所?又平面的一個(gè)法向量是由,得.因?yàn)槠矫?，所以平?19．（2023春·陜西漢中·高二校聯(lián)考期末）如圖，在四棱錐中，平面，底面為直角梯形，，，為的中點(diǎn).

(1)證明：.(2)求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫?，平面，所?又，所以.由，平面，得平面.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以.由，平面，得平面.因?yàn)槠矫?，所?（2）解：因?yàn)槠矫?，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以所在的直線為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得..由圖可知，二面角為銳角，所以二面角的余弘值為.20．（2023·北京）如圖所示，在直四棱柱中，，，，，.(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)樵谥彼睦庵?，面，又面，所以，又因?yàn)?，所以，即兩兩垂直，故以方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，.（2）因?yàn)椋?，設(shè)平面的法向量為，則由得，令，則，故，設(shè)直線與平面所成角為，因?yàn)?，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.21．（2023春·山東青島）如圖，在正四梭柱中，已知，三棱錐的體積為．

(1)求點(diǎn)到平面的距離；(2)求與平面所成角的正弦值．【答案】(1)(2)【解析】（1）因?yàn)闉檎睦庵云矫?，，所以，所以，如圖以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，可取，則點(diǎn)到平面的距離；（2）因?yàn)榍?，所以為平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，又平面，所以平面平面，所以是平面的法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以與平面所成角的正弦值為.

22．（2023春·福建寧德·高二校聯(lián)考期中）如圖，四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，，.

(1)證明：平面平面；(2)若，且與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)E在線段上滿足，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】】（1）證明：由題知且，所以為等邊三角形，則，又由四邊形為梯形，，則，在中，，所以，即，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：若O為中點(diǎn)，，則，由（1）得平面平面，平面平面，平面，則平面，連接，則，且平面，所以，，所以，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，分別為為軸、軸和軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，設(shè)且，則，由平面的一個(gè)法向量為，可得，解得，因?yàn)?，所以，可得，所以，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，可得，所以則，由圖形可得的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.

23．（2023·浙江麗水·高二統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形ABCD中（如圖1），，，，，F(xiàn)分別是邊BD，CD上的點(diǎn)，將沿BC翻折，將沿EF翻折，使得點(diǎn)與點(diǎn)重合（記為點(diǎn)），且平面平面BCFE（如圖2）

(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：∵平面平面，平面平面BCFE，又∵平面BCFE，且∴平面PBC，且平面，∴（2）取BC中點(diǎn)，連接PO，∵，∴∵平面平面，平面平面，平面∴平面BCFE以為原點(diǎn)，CB，CF所在直線分別為軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則，，，設(shè)，由得，解得，所以，設(shè)，由得，解得，∴，則，，平面BEF的一個(gè)法向量，設(shè)平面PEF的一個(gè)法向量，，令，得，設(shè)二面角的平面角為，易知為銳角，則，∴二面角的余弦值為．24（2023·廣東佛山）如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面平面，，，，分別為，的中點(diǎn).

(1)求證：平面；(2)若，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）如圖（1），設(shè)中點(diǎn)為，連接、，底面為正方形，，分別為，的中點(diǎn)．，且，又，，且，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.（2）連結(jié)，，過(guò)作交于點(diǎn)，∵，∴點(diǎn)也是中點(diǎn)，連接，，為的中點(diǎn)，∴，又底面為正方形，，，，平面平面，，平面平面，平面，平面，又平面，，∴在中，，如圖（2）以為原點(diǎn)，所在直線分別作軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，∴，，平面，是平面的一個(gè)法向量，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，，設(shè)二面角為，顯然二面角為銳角，，故二面角的余弦值為．25．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）如圖，內(nèi)接于⊙O，為⊙O的直徑，，，，為的中點(diǎn)，且平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，求二面角的正弦值．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）因?yàn)槭恰袿的直徑，所以，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，又因?yàn)槠矫鍭CD，，所以平面（2）因?yàn)?，，，所以，所以，因?yàn)槠矫?，平面，所以，以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，

則，，，．顯然，是平面的一個(gè)法向量，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則令，則，所以，設(shè)二面角所成角為，，則，所以二面角的正弦值為26．（2023春·高二單元測(cè)試）如圖，四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面為正三角形，,，平面平面，為棱上一點(diǎn)（不與重合），平面交棱于點(diǎn).

(1)求證：；(2)若二面角的余弦值為，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】1）因?yàn)闉榫匦?，所以，又平面，平面，所以平面，又平面平面，AD在面AEFD內(nèi)，所以.（2）取的中點(diǎn)，連，取的中點(diǎn)，連，則，因?yàn)閭?cè)面為正三角形，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，所以兩兩垂直，以為原點(diǎn)，所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)?且側(cè)面為正三角形，所以，又，所以，，，，，設(shè)，顯然，所以，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，，則，取平面的一個(gè)法向量為，則，得，解得.所以，所以，，所以點(diǎn)到平面的距離為.

27．（2022秋·高二課時(shí)練習(xí)）如圖，在四棱錐中，，底面ABCD為菱形，邊長(zhǎng)為2，，，且，異面直線PB與CD所成的角為.

(1)求證:平面ABCD;(2)若E是線段OC的中點(diǎn)，求點(diǎn)E到直線BP的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2).【解析】（1）因?yàn)樗倪呅螢榱庑危?因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)?，為中點(diǎn)，所以，又因?yàn)槠矫?，所以平?（2）以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S方向，建系如圖，

因?yàn)?所以為異面直線所成的角，所以，在菱形中，，因?yàn)?，所?設(shè)，則，在中，由余弦定理得，，所以，解得，所以,,所以,所以點(diǎn)E到直線BP的距離為.28．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高二沈陽(yáng)二十中校聯(lián)考期末）如圖①菱形，．沿著將折起到，使得，如圖②所示．(1)求異面直線與所成的角的余弦值；(2)求異面直線與之間的距離．【答案】(1)(2)【解析】（1）圖①菱形，，由余弦定理得，所以，所以，即，又，所以，在圖②中，，即，又平面所以平面，即平面，又平面，所以，如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，故，則異面直線與所成的角的余弦值為；（2）由（1）得，設(shè)是異面直線與公垂線的方向向量，所以，令，則所以異面直線與之間的距離為.29．（2023·北京）如圖，四棱錐中，平面，底面四邊形為矩形，，，，為中點(diǎn)，為靠近的四等分點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求二面角的余弦值：(3)求點(diǎn)到平面的距離.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【解析】（1）因?yàn)槠矫?，四邊形為矩形，因此兩兩垂直，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，所以，即因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，平面，平面因此平面?）因?yàn)槠矫?，所以為平面的一個(gè)法向量由（1）知為平面的一個(gè)法向量.顯然二面角為銳二面角，所以二面角的余弦值為.（3）點(diǎn)到平面的距離為在平面的一個(gè)法向量上的投影的絕對(duì)值，其中，所以點(diǎn)到平面的距離.30．（2023春·湖南懷化·高二統(tǒng)考期末）如圖，在三棱錐中，，且，，，是的中點(diǎn)，.

(1)求證：平面平面；(2)求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】（1）證明：如圖，取BD的中點(diǎn)O，連CO，EO，得；又，所以；設(shè)，則，，，，所以，所以；又，平面BCD,所以平面BCD，又平面ABD，所以平面平面BCD.

（2）因?yàn)?，O是BD的中點(diǎn)，所以，（1）中已證，，如圖所示，分別以，，所在方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，所以，；設(shè)平面ACD的法向量為，則，取，又平面BCD的一個(gè)法向量為，所以，所以平面ACD與平面BCD的夾角的余弦值為.

1．（2023春·江蘇鹽城）如圖，在正三棱錐D-ABC中，，，O為底面ABC的中心，點(diǎn)P在線段DO上，且，若平面PBC，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題設(shè)，△為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，且，等邊△的高為，在正棱錐中，以為原點(diǎn)，平行為x軸，垂直為y軸，為z軸，如上圖示，則，且，所以，，，若為面PBC的法向量，則，令，則，又平面PBC，則且k為實(shí)數(shù)，，故.故選：D2．（2023春·河南許昌）（多選）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體中，P為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（

）

A．平面平面B．直線與所成的角可能是C．點(diǎn)存在一個(gè)位置，使得三棱錐的體積為D．平面截正方體所得的截面可能是直角三角形【答案】AC【解析】對(duì)于A，因?yàn)樵谡襟w中，面，又面與面是同一個(gè)面，面，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，以D為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，設(shè)，則，，則，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，由于，，所以，即直線與所成的角滿足，又因?yàn)?，故，故直線與所成的角不可能是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，易知到平面的距離，所以三棱錐的體積為，故C正確；對(duì)于D，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接并延長(zhǎng)，若的延長(zhǎng)線交于，如圖，此時(shí)截面為四邊形，

若的延長(zhǎng)線交于，設(shè)交點(diǎn)為，此時(shí)截面為，設(shè)，則，，故，則不為直角三角形，故D錯(cuò)誤.

故選：AC.3．（2023·海南海口）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）

A．不存在點(diǎn)，使得B．存在點(diǎn)，使得C．對(duì)于任意點(diǎn)，到的距離的取值范圍為D．對(duì)于任意點(diǎn)，都是鈍角三角形【答案】ABC【解析】由題知，在正方體中，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，建立以為原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向的空間直角坐標(biāo)系.所以，，，設(shè)，其中，所以，，當(dāng)時(shí)，即，所以，顯然方程組無(wú)解，所以不存在使得，即不存在點(diǎn)，使得，故A項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，解得，故B項(xiàng)正確；因?yàn)?，其中，所以點(diǎn)Q到的距離為，故C項(xiàng)正確；因?yàn)?，，其中，所以，所以三角形為直角三角形或鈍角三角形，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：ABC4．（2023春·福建泉州·高二校聯(lián)考期中）（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正方體中，分別為的中點(diǎn)，點(diǎn)是正方形面內(nèi)（包含邊界）動(dòng)點(diǎn)，則（

）

A．與所成角為B．平面截正方體所得截面的面積為C．平面D．若，則三棱錐的體積最大值是【答案】BCD【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，，，，∴，，，對(duì)A選項(xiàng)，，則直線與所成角為，故A錯(cuò)誤；對(duì)B選項(xiàng)，由平面在兩平行平面上的交線互相平行，取的中點(diǎn)的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)一定與交于一點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，同理可證四點(diǎn)共面，則過(guò)點(diǎn)作正方體的截面，截面為正六邊形，邊長(zhǎng)為，則正六邊形的面積為，故B正確.由正方體，可得，∵分別為的中點(diǎn)，∴，∴平面平面，∴平面，故C正確；如圖，面，又面，故，同理，

又，根據(jù)題意可得，設(shè)，又，∴，整理得，∴在正方形面內(nèi)(包括邊界)，是以為圓心，半徑的圓上的點(diǎn)，

令，可得，∴當(dāng)為圓與線段的交點(diǎn)時(shí)，到底面的距離最大，最大距離為，∴三棱錐的體積最大值是，故D正確.故選:BCD.5．（2023春·浙江溫州）（多選）在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)為線段上異于端點(diǎn)的任意動(dòng)點(diǎn)，下列命題正確的是（

）

A．若平面，則直線平面B．若平面，則直線與平面所成角小于C．若平面，則直線與平面所成角小于D．若平面，則平面與平面的夾角大于【答案】CD【解析】依題意，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

不妨設(shè)，則，對(duì)于A，，，不妨設(shè)平面的法向量為，則，取，則，故，此時(shí)，所以，則或，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，取，則，故，而，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，不妨設(shè)平面的法向量為，因?yàn)槠矫?，，所以，取，則，故，記直線與平面所成角為，則，又，所以，因?yàn)椋?，則，即，所以，即，故，故C正確；對(duì)于D，易得在正方體中，平面，故平面的法向量為，記平面與平面的夾角為，則，所以，由選項(xiàng)C可知，所以，故D正確.故選：CD.6．（2023·福建福州）如圖，在三棱錐中，底面，，，將繞著逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，得到如圖所示的組合體，為的中點(diǎn).

(1)當(dāng)為何值時(shí)，該組合體的體積最大，并求出最大值；(2)當(dāng)平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)當(dāng)時(shí)，該組合體的體積最大，最大值為；(2)直線與平面所成角的正弦值為或【解析】（1）底面，面，所以則由旋轉(zhuǎn)可得所以底面積，又，故當(dāng)時(shí)，取最大值，則底面積的最大值為，故幾何體體積為，故當(dāng)時(shí)，該組合體的體積最大，最大值為；（2）如圖，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，在平面上作軸，建立空間直角坐標(biāo)系

則，設(shè)，則，，，所以，設(shè)平面的法向量為，又所以，令，則，即因?yàn)槠矫?，所以，則，所以或，因?yàn)椋O(shè)平面的法向量為，①當(dāng)，則，，所以，，則，取，則所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；②當(dāng)，則，，所以，，則，取，則所以，所以直線與平面所成角的正弦值為；綜上，直線與平面所成角的正弦值為或.7．（2023·廣東佛山）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為，，將沿向上翻折，得到如圖所示得三棱錐.

(1)證明：；(2)若，在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，或【解析】（1）取中點(diǎn)，連接，

四邊形為菱形，，，，，，平面，平面，平面，.（2），，，解得：；，，；在平面中，作，交于點(diǎn)，則以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

假設(shè)在線段上存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為，，，，又，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；軸平面，平面的一個(gè)法向量，，解得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)或時(shí)，平面與平面所成角的余弦值為.8．（2023春·江蘇南京·高二統(tǒng)考期末）如圖所示，在三棱錐中，已知平面，平面平面．

(1)證明：平面；(2)若，，在線段上（不含端點(diǎn)），是否存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，若存在，確定點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在；是上靠近的三等分點(diǎn)【解析】（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又平面，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面?/p>

（2）假設(shè)在線段上（不含端點(diǎn)），存在點(diǎn)，使得二面角的余弦值為，以為原點(diǎn)，分別以、為軸，軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，即取，，，所以為平面的一個(gè)法向量