人教A版（2019）必修第二冊 第六章 章末復(fù)習(xí)課（教學(xué)課件）

第六章

平面向量及其應(yīng)用章末復(fù)習(xí)課內(nèi)容索引知識網(wǎng)絡(luò)考點突破真題體驗1知識網(wǎng)絡(luò)PARTONE2考點突破PARTTWO1.向量的線性運算有平面向量及其坐標運算的加法、減法、數(shù)乘運算，以及平面向量的基本定理、共線定理，主要考查向量的線性運算和根據(jù)線性運算求參問題.2.通過向量的線性運算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運算和邏輯推理素養(yǎng).一、向量的線性運算例1

(1)已知向量a＝(2,1)，b＝(－3,4)，則2a－b等于A.(7，－2) B.(1，－2)C.(1，－3) D.(7,2)√解析∵a＝(2,1)，b＝(－3,4)，∴2a－b＝2(2,1)－(－3,4)＝(4,2)－(－3,4)＝(4＋3,2－4)＝(7，－2).A.a＋b

B.b－aC.c－b

D.b－c√反思感悟向量線性運算的基本原則向量的加法、減法和數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算，向量的線性運算的結(jié)果仍是一個向量，因此，對它們的運算法則、運算律的理解和運用要注意向量的大小和方向兩個方面.√二、向量的數(shù)量積運算1.平面向量的數(shù)量積是向量的核心內(nèi)容，重點是數(shù)量積的運算，利用向量的數(shù)量積判斷兩向量平行、垂直，求兩向量的夾角，計算向量的長度等.2.通過向量的數(shù)量積運算，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).例2

(1)(多選)已知a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，α，β∈(0，π)，且a⊥b，則下列結(jié)論正確的是A.α＝β

B.α＝β＋C.(a＋b)⊥(a－b) D.|a＋b|＝|a－b|√√解析∵a⊥b，∴a·b＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝0，∵α，β∈(0,π)，∴α－β＝±，故A，B錯誤.又(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝1－1＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)，故C正確.(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝a2＋b2＝2，故D正確.即cos(α－β)＝0，9反思感悟(1)向量數(shù)量積的兩種計算方法①當(dāng)已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即a·b＝|a||b|cosθ；②當(dāng)已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(2)利用向量數(shù)量積可以解決以下問題①設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a∥b?x1y2－x2y1＝0，a⊥b?x1x2＋y1y2＝0(a，b均為非零向量)；②求向量的夾角和模的問題設(shè)a＝(x1，y1)，則|a|＝

.兩向量夾角的余弦值(0≤θ≤π，a，b為非零向量)三、余弦定理、正弦定理1.主要考查利用余弦定理、正弦定理解三角形，判斷三角形的形狀、求三角形的面積，以及余弦定理、正弦定理簡單的綜合應(yīng)用.2.借助解三角形，培養(yǎng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).例3

在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對邊，2b2＝(b2＋c2－a2)(1－tanA).(1)求角C；解由題意及余弦定理，得2b2＝2bccosA·(1－tanA).∴b＝c(cosA－sinA)，由正弦定理可得sinB＝sinC(cosA－sinA)，∴sin(A＋C)＝sinCcosA－sinCsinA，∴sinAcosC＝－sinCsinA，∴tanC＝－1，又0＜C＜π，又sinA≠0，(2)若c＝2，D為BC的中點，在下列兩個條件中任選一個，求AD的長度.條件①：△ABC的面積S＝4且B＞A；條件②：cosB＝

.注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.在△ABD中，由余弦定理可得AD2＝AB2＋BD2－2AB?BDcosB，答案不唯一.反思感悟(1)通過正弦定理和余弦定理，化邊為角(如a＝2RsinA，a2＋b2－c2＝2abcosC等)，利用三角形變換得出三角形內(nèi)角之間的關(guān)系進行判斷.此時注意一些常見的三角等式所體現(xiàn)的內(nèi)角關(guān)系，如在△ABC中，sinA＝sinB?A＝B；sin(A－B)＝0?A＝B；sin2A＝sin2B?A＝B或A＋B＝

等.(2)利用正弦定理、余弦定理化角為邊，如sinA＝

，cosA＝

等，通過代數(shù)變換.(2)求△ABC面積的最大值.∴由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc，∴bc≤a2＝12，當(dāng)且僅當(dāng)b＝c時取“＝”，四、余弦、正弦定理在實際問題中的應(yīng)用1.余弦定理和正弦定理在實際生活中，有著非常廣泛的應(yīng)用，常見的問題涉及距離、高度、角度以及平面圖形的面積等很多方面.解決這類問題，關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出示意圖，將問題抽象為三角形的模型，然后利用定理求解.注意隱含條件和最后將結(jié)果還原為實際問題進行檢驗.2.將生活中的實際問題轉(zhuǎn)化為三角形模型，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).例4

為了測量兩山頂M，N間的距離，飛機沿水平方向在A，B兩點進行測量.A，B，M，N在同一個鉛垂平面內(nèi)(如圖).飛機能夠測量的數(shù)據(jù)有俯角和A，B間的距離.請設(shè)計一個方案，包括：①指出需要測量的數(shù)據(jù)(用字母表示，并在圖中標出)；②用文字和公式寫出計算M，N間的距離的步驟.解①需要測量的數(shù)據(jù)有：A觀測M，N的俯角α1，β1，B觀測M，N的俯角α2，β2；A，B間的距離d(如圖所示).②方法一第一步：計算AM.第二步：計算AN.在△ABN中，由正弦定理得，第三步：計算MN.在△AMN中，由余弦定理得，方法二第一步：計算BM.在△ABM中，由正弦定理得，第二步：計算BN.在△ABN中，由正弦定理得，第三步：計算MN.在△BMN中，由余弦定理得，反思感悟

正弦、余弦定理在實際應(yīng)用中應(yīng)注意的問題(1)分析題意，弄清已知元素和未知元素，根據(jù)題意畫出示意圖.(2)明確題目中的一些名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、方向角、方位角等.(3)將實際問題中的數(shù)量關(guān)系歸結(jié)為數(shù)學(xué)問題，利用學(xué)過的幾何知識，作出輔助線，將已知與未知元素歸結(jié)到同一個三角形中，然后解此三角形.(4)在選擇關(guān)系時，一是力求簡便，二是要盡可能使用題目中的原有數(shù)據(jù)，盡量減少計算中誤差的積累.跟蹤訓(xùn)練4

已知海島A周圍8海里內(nèi)有暗礁，有一貨輪由西向東航行，望見島A在北偏東75°方向，航行20海里后，見此島在北偏東30°方向，若貨輪不改變航向繼續(xù)前進，有無觸礁危險？解如圖所示，在△ABC中，∠ABC＝90°－75°＝15°，∠BAC＝60°－∠ABC＝45°.過點A作AD⊥BC于點D.所以貨輪無觸礁危險.3真題體驗PARTTHREE√解析如圖所示，∵D為△ABC的邊AB的中點，12345A.－3B.－2C.2D.3√12345√∴sinC＝cosC，即tanC＝1.123454.(2020·全國Ⅰ)設(shè)a，b為單位向量，且|a＋b|＝1，則|a－b|＝_____.解析將|a＋b|＝1兩邊平方，得a2＋2a·b＋b2＝1.∵a2＝b2＝1，∴1＋2a·b＋1＝1，即2a·b＝－1.1234512