高中人教A版數(shù)學(xué)選修1-1測評第三章習(xí)題課利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

習(xí)題課——利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性課后篇鞏固提升1.已知實(shí)數(shù)x,y滿足2x+2x<2y+2y,則()A.x>y B.x=yC.x<y D.x,y大小不確定解析設(shè)f(t)=2t+2t,所以f'(t)=2+2tln2>0,所以函數(shù)f(t)在R上單調(diào)遞增,由題得f(x)<f(y),所以x<y.故選C.答案C2.若函數(shù)f(x)=exex+2sinx,則滿足f(2x21)+f(x)>0的x的取值范圍為()A.-B.(∞,1)∪1C.-D.-∞,-12∪解析函數(shù)f(x)=exex+2sinx,定義域?yàn)镽,且滿足f(x)=exex2sinx=(exex+2sinx)=f(x),∴f(x)為R上的奇函數(shù);又f'(x)=ex+ex+2cosx≥2+2cosx≥0恒成立,∴f(x)為R上的增函數(shù);又f(2x21)+f(x)>0,得f(2x21)>f(x)=f(x),∴2x21>x,即2x2+x1>0,解得x<1或x>12,所以x的取值范圍是(∞,1)∪12,+答案B3.若定義在R上的函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f'(x)>f(x),則f(2020)與e·f(2019)的大小關(guān)系為()A.f(2020)<e·f(2019) B.f(2020)=e·f(2019)C.f(2020)>e·f(2019) D.不能確定解析構(gòu)造函數(shù)g(x)=f(x)ex,則g'(因?yàn)閒'(x)>f(x),所以g'(x)>0,即函數(shù)g(x)在R上為增函數(shù),則f(2020)e2020>f(2019答案C4.已知函數(shù)f(x)=12x2+alnx,若對任意兩個不等的正數(shù)x1,x2,都有f(x1)-f(x2)A.[4,+∞) B.(4,+∞)C.(∞,4] D.(∞,4)解析令g(x)=f(x)4x,因?yàn)閒(x1)-f(x2)x1-x2>4,所以g故g'(x)=x+ax4≥0在(0,+∞)內(nèi)恒成立即a≥4xx2,令h(x)=4xx2,x∈(0,+∞).則h(x)=4xx2≤h(2)=4,h(x)max=4,即a的取值范圍為[4,+∞).故選A.答案A5.定義在R上的偶函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若對任意的實(shí)數(shù)x,都有2f(x)+xf'(x)<2恒成立,則使x2f(x)f(1)<x21成立的實(shí)數(shù)x的集合為()A.{x|x≠±1} B.(∞,1)∪(1,+∞)C.(1,1) D.(1,0)∪(0,1)解析當(dāng)x>0時(shí),在2f(x)+xf'(x)<2兩邊同時(shí)乘以x得,2xf(x)+x2f'(x)2x<0,設(shè)g(x)=x2f(x)x2,則g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)2x<0恒成立,所以g(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.由x2f(x)f(1)<x21得x2f(x)x2<f(1)1,即g(x)<g(1),即x>1.當(dāng)x<0時(shí),函數(shù)g(x)是偶函數(shù),同理可得x<1.綜上可知,實(shí)數(shù)x的取值范圍是(∞,1)∪(1,+∞),故選B.答案B6.已知函數(shù)f(x)=13x3+x2+ax5在(∞,+∞)內(nèi)總是單調(diào)函數(shù),則a的取值范圍是.解析依題意得f'(x)=x22x+a,是一個開口向上的二次函數(shù),由于原函數(shù)總是單調(diào)函數(shù),故導(dǎo)函數(shù)的判別式Δ=(2)24a≤0,解得a≥1.答案[1,+∞)7.若函數(shù)f(x)=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是.

解析法一:由于f'(x)=3ax2+1,當(dāng)a≥0時(shí),顯然有f'(x)>0,即函數(shù)在R上單調(diào)遞增,不符合題意;當(dāng)a<0時(shí),由f'(x)>0,得-13a<x<-13a,由f'(x)<0,得x<-13a或x>-1法二:∵函數(shù)f(x)恰有三個單調(diào)區(qū)間,∴f'(x)=3ax2+1=0有兩個不同實(shí)數(shù)解.∴Δ=4·3a>0,得a<0.答案(∞,0)8.已知f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且當(dāng)x<0時(shí)有f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0,g(4)=0,則不等式f(x)g(x)<0的解集是.

解析若設(shè)h(x)=f(x)g(x),則由f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0得h'(x)>0,因此函數(shù)h(x)在(∞,0)內(nèi)是增函數(shù).又因?yàn)閒(x),g(x)分別是奇函數(shù)和偶函數(shù),所以h(x)是一個奇函數(shù),故h(x)在(0,+∞)上也是增函數(shù),且h(4)=h(4)=0,所以當(dāng)x<4或0<x<4時(shí)h(x)<0,即不等式f(x)g(x)<0的解集是(∞,4)∪(0,4).答案(∞,4)∪(0,4)9.已知函數(shù)f(x)=x3ax1.(1)討論f(x)的單調(diào)性;(2)若f(x)在R上為增函數(shù),求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解(1)f'(x)=3x2a.①當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)≥0且f'(x)=0不恒成立,所以f(x)在(∞,+∞)上為增函數(shù).②當(dāng)a>0時(shí),令3x2a=0得x=±3a當(dāng)x>3a3或x<3a3時(shí),f'(當(dāng)3a3<x<3a3時(shí),f'(x因此f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為∞,3a3,3a3,+∞,單調(diào)遞減區(qū)間為3a3,3a綜上可知,當(dāng)a≤0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為∞,3a3,3