北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題匯編-平面向量、空間向量與立體幾何

北京市朝陽區(qū)高考數(shù)學(xué)三年（2021-2023）模擬題知識點分類匯

編-平面向量、空間向量與立體幾何

一、單選題

1.（2022?北京朝陽?統(tǒng)考二模）已知M為ASC所在平面內(nèi)的一點，IMBI=IMCl=1,且

_1,uuUii

AB=MB+MC,MB?MC=,則CACB=（）

A.0B.?C.√3D.3

2.（2022?北京朝陽?統(tǒng)考一模）已知平面向量。滿足W=2,W=I,且α與b的夾角為暮,

則卜+?=（）

A.GB.√5C.√7D.3

3.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）如圖，圓M為的外接圓，AB=4,AC=6,N為邊

8C的中點，則AN?AM=（）

4.（2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模）在長方體ABCo-ABCa中，4G與平面4萬。相交于點M,

則下列結(jié)論一定成立的是（）

A.AMYBDB.AiM1BD

C.AM=^MClD.MB=MD

5.（2022?北京朝陽?統(tǒng)考二模）己知/,，〃是兩條不同的直線，名夕是兩個不同的平面，下

面正確的結(jié)論是（）

A.箱Illa,mlIa,則/〃機B.若ml/β,a1.β,則w_La

C.若∕?Lα,∕J?5，則加//ɑD.若/1?夕_L⑸m_La,則/_La

6.（2022?北京朝陽?統(tǒng)考一模）在通用技術(shù)教室里有一個三棱錐木塊如圖所示，?4,VBfVC

兩兩垂直，VA=VB=VC=I（單位：dm）,小明同學(xué)計劃通過側(cè)面V?C內(nèi)任意一點P將木

塊鋸開，使截面平行于直線VB和AC,則該截面面積（單位：dm2）的最大值是（）

A.-B.也C.呈D.-

4444

7.（2021?北京朝陽?統(tǒng)考二模）某四棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長

為1,則該四棱錐的5個面的面積中，最大的是（）

A.2B.√5C.√6D.3

8.（2021?北京朝陽.統(tǒng)考一模）在棱長為1的正方體ABCO-A耳GA中，P是線段BG上的

點，過A的平面α與直線Pf）垂直，當P在線段8C∣上運動時?，平面α截正方體

ABCO-AACA所得的截面面積的最小值是（）

A.1B.-C.如D.夜

42

9.（2021?北京朝陽?統(tǒng)考一模）某三棱錐的三視圖如圖所示，已知網(wǎng)格紙上小正方形的邊長

為1,則該三棱錐最長的棱長為（）

答案第2頁，共18頁

C.瓜D.2√2

二、填空題

10.(2021.北京朝陽.統(tǒng)考一模)已知向量α=(6,l),力=(x,y)(%y≠0),且忖=1,a-b<0,

則向量b的坐標可以是.(寫出一個即可)

11.(2021.北京朝陽?統(tǒng)考二模)已知向量α=(2,w),fc=(-l,2),且」+2。=6，貝IJ

12.(2022.北京朝陽.統(tǒng)考二模)如圖，在正方體4?CZ)-AAGA，中，E,F,G分別為棱

AA,A穌AA上的點(與正方體頂點不重合)，過4作平面EFG,垂足為，.設(shè)正方

體ABCO-A耳CQl的棱長為1，給出以下四個結(jié)論:

①若E,F,G分別是AAAq,AR的中點，則A"=Y1;

6

②若區(qū)F,G分別是AA,A4,AR的中點，則用平行于平面EFG的平面去截正方體

ABCD-AtBlClDl,得到的截面圖形一定是等邊三角形;

③*EFG可能為直角三角形；

_1111

2222

A1EA1FAfiA1H'

其中所有正確結(jié)論的序號是

三、解答題

13.(2023?北京朝陽?統(tǒng)考一模)如圖，在三棱柱ABC-A中，/?，平面ABC,D,E

分別為AC,AG的中點，AB=BC=5AC=AA1=2.

⑴求證：AC，平面8OE；

(2)求直線OE與平面ABE所成角的正弦值;

⑶求點D到平面ABE的距離.

14.(2022.北京朝陽.統(tǒng)考二模)如圖，在長方體ABCD-ABCR中，底面ABCD是邊長為

2的正方形，DR=4,E,尸分別是CG，BQ的中點.

⑴求證：A廣〃平面AER；

(2)設(shè)”在棱BBl上，且84=；8用，N為Co的中點，求證：心/_1平面4￡2；并求直線4V

與平面AEA所成角的正弦值.

答案第4頁，共18頁

15.(2022?北京朝陽?統(tǒng)考一模)如圖1,在四邊形ABC。中，AClBD,ACBD=O,

OD=OB=?,OC=2,E,F分別是A8,AO上的點，EFHBD,ACoEF=H,AH=2,

"0=1.將4AEr沿"'折起到AE尸的位置，得到五棱錐A-BCDfE,如圖2.

圖1圖2

(1)求證：EFl平面AHC；

(2)若平面AEF，平面BCDFE,

(i)求二面角。-AC-〃的余弦值；

(ii)對線段AF上任意一點N,求證：直線BN與平面AQe相交.

參考答案：

1.D

【分析】由向量加減、數(shù)乘的幾何意義知”為AC中點，根據(jù)已知求得NC=g、BC=R

O

AC=2,由向量數(shù)量積的定義求為.炭即可.

【詳解】由AB=M8+MC，則AB+BM=AM=MC，

所以A,",C共線，即M為AC中點，如下圖：

A

又IMBl=IMCl=I且MB?MC=-g,即cos∠BMC=-g,而ZBMCe(O,萬)，

所以NBMC=—,故NC=m，則BC=G,AC=2,

36

所以CA?CB=∣CA∣∣C8∣cosC=3.

故選：D

2.A

【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及運算性質(zhì)即得.

【詳解】?.[α∣=2,W=1,且〃與6的夾角為與，

.-24

????￡>=2×l1×cos——=-1,

3

.∣2...2.2

4+q=(a+b)2=a+2a?b+b=22—2×1+12=3?

Λ∣α+6∣=√3.

故選：A.

3.C

【分析】由三角形中線性質(zhì)可知AN=；(AB+AC),再由外接圓圓心為三角形三邊中垂線交

答案第6頁，共18頁

[f]f

點可知IAMICOSNBAM=〈IAB∣,同理可得IAMICoSNCAM=—|AC∣,再由數(shù)量積運算即

22

可得解.

【詳解】N是BC中點、,

:.AN=-(AB+AC),

2

M為..ΛBC的外接圓的圓心，即三角形三邊中垂線交點，

1,1,

.?.AMAB=IAMUAB∣cosZBAM=一∣ABF=-X4-=8,

22

同理可得A"?AC=∕∣AC∣2=18,

.?.AMAD=AM-(AB+AC)=-AM-AB+-AM-AC=-×S+-×IS=?3.

22222

故選：C

4.C

【分析】根據(jù)平面交線的性質(zhì)可知ANACt=M,又平行線分線段成比例即可得出正確答

案，對于ABD可根據(jù)長方體說明不一定成立.

【詳解】如圖，連接4C,8。，交于N,連接AG,A1N,

在長方體中，平面ACGA與平面AB。的交線為AN,

而AGU平面ACGA,且AGC平面ABD=M,

所以MeAN,

又AN∕M1C∣,AN=^AtCt,

所以AM=；MG，故C正確.

對于A,因為長方體中AC與30不一定垂直，故推不出AA/_LM,故A錯誤;

對于B,因為長方體中4。與AB不一定相等，故推不出AMLBO,故B錯誤;

對于D,由B知，不能推出AN與BO垂直，而AN是中線，所以推不出MB=MD,故D

錯誤.

故選：C

5.D

【分析】根據(jù)線面、面面的位置關(guān)系，由平面的基本性質(zhì)判斷線線、線面關(guān)系.

【詳解】A：〃/α,m∕∕α,貝∣J∕,〃?可能平行、相交或異面，錯誤；

B：m〃6,a，￡,則相以可能相交、平行或MUα,錯誤；

C：l±a,l±m(xù),則-a平行或ZnUa,錯誤；

D：IVβ,mVβ,貝1]/〃加，又/n_L(z,故/_LC,正確.

故選：D

6.B

【分析】根據(jù)題意，在平面四C內(nèi)，過點尸作所〃AC分別交幺WC于居￡,在平面VBC內(nèi),

過E作EQ//K8交BC于。，在平面V48內(nèi)，過F作FD//VB交BC于D,連接QQ,進而

?7p?7Γ,FF

根據(jù)題意，NEFSNCA,設(shè)其相似比為女，則子=展=￡=M再證明四邊形EEQD

是矩形，再結(jié)合相似比和二次函數(shù)性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，在平面V?c內(nèi)，過點P作瓦'〃AC分別交3WC于F,E,

在平面VBC內(nèi)，過E作EQ〃丫8交BC于。，

在平面WIB內(nèi)，過F作㈤//VE交BC于。，連接。。，作圖如下,

因為EF〃AC,則NVEF=NUC4,NVFE=NVAC,

所以△在萬SAVZe4,設(shè)其相似比為3

,VFVEEF,

貝nIlJ===k,

VAVCAC

因為VΛJ?VC,所以在R∕Z?V?C中，AC2=VA2+UC2,

因為UA=VB=VC=I,所以4C=&，即EF=0Z,

答案第8頁，共18頁

因為FD//V3,則NAFQ=NAVB,NA。尸=NA3V,

A尸ADFr)

所以，XAFDSXNB、即M=M=第，

VABAVB

因為MAF=VEA產(chǎn)-VF=1

VAVA

FDAF

所以"=蕓=1_左，即FD=I-%,

VBVA

同理VCEQSevβ,即4=絲=絲=I-Z,

VCBCVB

因為Vβ,VCW8LV?,V4cVC=V,V?u平面V?C,VCU平面V?C,

所以VBL平面l?C,

因為FD"VB,EQUVB,

所以，平面V4C,EQJ_平面E4C,

因為EFU平面V?C,

所以FOL所,EQLFE,

BD=AB-AD=BQ=CB-CQ=

BAABCBCB

所以強=也

BCBA

因為NB=NB,所以ABOQs,BAC,

所以Q2〃AC,

因為瓦V/AC,所以EF//DQ,

因為尸。，防,E0LFE,所以尸￡>LOQ,EQ_L￡>Q,

所以四邊形FEQD是矩形，即S矩形FEQD=EF?FD=Q—k)?母k=-6也一手+專,

所以，由二次函數(shù)的性質(zhì)知，當〃=J時，S矩吩E能有最大值變.

故選：B

7.D

【分析】根據(jù)三視圖判斷出四棱錐的結(jié)構(gòu)，計算出5個面的面積，由此確定正確選項.

【詳解】由三視圖可畫出幾何體的直觀圖如下圖所示，

SABEADE=—×2×2=2,

J1÷2)×2

口BCDE—2-?*

22

AD=y∣2+2=2√2>Sacd=→1×2√2=√2,

AB=√22÷22=2√2,BC=√l2+22=√5,AC=Jl2÷(2√2V=3,

cosZABC=-*J9L=-^=,sinZABC=Vl-cos2ZABC=-^=,

2×2√2×√5√10√10

所以SA5c=gx20x石x?^?=3.

故最大面積是3.

故選：D

8.C

【分析】以點A為坐標原點，AB.AD,4A所在直線分別為X、)，、Z軸建立所示的空間

直角坐標系，設(shè)點P(l∕")(0≤f≤l),分f=0、f=l、O<f<l三種情況討論，確定截面α與

各棱的交點，求出截面面積關(guān)于/的表達式，由此可解得截面面積的最小值.

【詳解】以點A為坐標原點，AB.AD.AA所在直線分別為k、y、Z軸建立如下圖所示

的空間直角坐標系，

則A(0,0,0)?4(。，0,1)、8(l,0,0),4(1,0,1)、C(l,l,0),C1(1,1,1),￡>(0,1,0)、D1(0,1,1),

答案第10頁，共18頁

設(shè)點P(l",r),其中O≤t≤l.

①當f=0時，點尸與點8重合，BD=(-1,1,0),AC=(1,1,0),A41=(0,0,1),

所以，BDAC=O,BD-AAx=0,則3Z)LAC,BolΛ4),

ACCA41=4,.?.8Q,平面AAIGC,此時平面ɑ即為平面AAGC，

截面面積為S=AVAC=0；

②當f=l時，同①可知截面面積為S=

③當0<f<l時，DP=(?,t-?,t),AC=(1,1,-1),

DPAxC=?+t-?-t=G,.-.A1CYPD,則AeUa,

設(shè)平面α交棱。。于點E(OJz),CE=(-l,0,z),

DPCE=-I+fz=。，可得z=l>l,不合乎題意.

t

設(shè)平面α交棱AB于點M(X0,0),CM=(X—1,—1,0),

DP?CM=x-l-(f-l)=0,可得X=/,合乎題意，即MaO,0),

同理可知，平面α交棱GR于點N(IT,1,1),

AN=(I—4L0)=MC,且AN與Λ∕C不重合，故四邊形AMCN為平行四邊形,

AC?A∣N2-f

AC=(LLT),AN=(IT,1,0),COSZCATV=

1,CHANl√3?√f2-2r+2,

,-----------------.∣2(t2-t+?)

貝IJsinNCAlN=Jl-cos^NCAlN=—,

y∣3("2t+2)

所以，截面面積為

S=25"AN=IACHAMSinNCAN=J2Q∕+l)=J2D+?=^<√2.

綜上所述，截面面積的最小值為".

2

故選：C

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查正方體截面面積最值的求解，解題的關(guān)鍵在于確定截面與各

棱交點的位置，這里可以利用空間向量法，將線線垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積為零來處理，

確定點的位置，進而將截面面積的最值利用函數(shù)的最值來求解.

9.C

【分析】畫出該三棱錐的直觀圖，分別求得各棱長的長度比較即可得結(jié)果.

【詳解】該三棱錐的直觀圖如圖所示：Di-BCE

依題意得BC=CE=LEB=JhF=◎，

2222222

DIE=√1+1=√2,DIC=√1+2=√5,DIB=√1+2+1=√6

則該三棱錐最長的棱長為指

故選：C.

?o.卜乎，-乎］（答案不唯一）

【分析】根據(jù)已知條件列關(guān)于X,y的方程組，解方程組即可求解.

【詳解】向量"=（"l）,b=（x,y）（胡力。），且W=I,“包＜0,

Jx2+/=1

所以屈+）YO,取X=y=_也符合題意，

八

xy≠02

所以向量匕的坐標可以是-#，-*），

故答案為：（答案不唯一）

11.-4

【分析】利用向量的坐標運算及零向量的意義求解而得.

【詳解】因α=(2,m),?=(-1,2),則￡+21=(2,m)+2?(-l,2)=(2,m)+(-2,4)=(0,加+4)

而α+2b=0,所以m+4=0,m=-4.

故答案為：-4

答案第12頁，共18頁

12.

【分析】①等體積法=匕FFC判斷；②根據(jù)正方體的性質(zhì)畫出平行于平面EFG的可能

截面情況；③由正方體性質(zhì)，通過定兩點，移動另一點判斷二EFG的內(nèi)角變化趨勢即可；④

設(shè)"=AES=A尸,C=AGS=AH,利用等體積法，結(jié)合正余弦定理、三角形面積公式、錐

體體積公式化簡即可判斷.

=2o

【詳解】①由^E-AFG=—E-A↑F-AG=—,而SEFG

K?-EFGI?f,=~×(~~)Sin60=>

。H?O22e

所以;ScC=5，可得AH=日，正確；

②根據(jù)正方體的性質(zhì)平行平面EFG的平面有如下情況：

當截面在面ABQ∣與面BQG之間時為六邊形，在面AB∣2左上或面BQG右下時為等邊三角

形，錯誤；

③瓦尸分別在AA,上不為頂點任意點，當G從A到。過程/EGF遞減，即小于90。，

同理知：ZGE￡4FG也小于90。，一EFG不可能為直角三角形，錯誤；

④若〃=A2?=A尸，C=AGM=A",又VA-芯叩=%-AFG,即

Λ1E?A1F?Λ,G=A1HGEGFsinZEGF,

..r.^^?>??.?TT1/Q-+c~+h~+c~-CI—-h~2

所以abc=ft√(α-+C2)0-+c2)-1-(——∣,,,,)一,

?2y](a2+c2)(b2+c2)

貝IJabc=h?∣a2b2+a2c2+b2c2，即a2b2c2=hi(a2b2+a2c2+b2c2)，

Illl1111

所以F=/+3+/'即而+#+苒τ=F,正瑜

故答案為：①④

【點睛】關(guān)鍵點點睛：①④應(yīng)用等體積法計算或轉(zhuǎn)化，②由正方體性質(zhì)及平面的基本性質(zhì)作

出截面判斷；③根據(jù)正方體的性質(zhì)，動點分析三角形的內(nèi)角變化趨勢.

13.（1）證明見解析;

⑵當

6

⑶亞

3

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到DElAC,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得到

AClBD,然后利用線面垂直的判定定理證明即可；

（2）利用空間向量的方法求線面角即可；

（3）利用空間向量的方法求點到面的距離即可.

【詳解】（1）在三棱柱中，D,E為AC,AG的中點，.?.OE"AA,

,.?M1平面ABC,：.DE1平面ABC,

：ACu平面ABC,ΛDElAC,

在三角形ABC中，AB=BC,。為AC中點，ΛAClBD,

,：DECBD=D,DE,BDl平面8OE,ΛACl5FffiBDE.

如圖，以。為原點，分別以。況。E為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

在直角三角形AB。中，AB=5AD=^AC=?,：.BD=2,

O(0,0,0),￡(0,0,2),A(l,0,0),8(0,2,0),

Z)E=(0,0,2),AB=(-l,2,0),AE=(-1,0,2),

設(shè)平面ABE的法向量為“7=(x,y,z),

答案第14頁，共18頁

AB?m=-x+2y=O

,令％=2,則y=i,z=l,所以m=(2,l,l),

AE-m=-x+2z=0

設(shè)直線DE與平面ABE所成角為O,

I/?∣?DE-m?2√6

所以Sine=COS(DEM)=TL仃4=/=?.

I'/I?DE?-?m?2×√4+l+l6

?DE?n?2&

(3)設(shè)點。到平面ABE的距離為d,所以d=F~j=需

14.(1)證明見解析；

(2)證明見解析，直線AN與平面AER所成角的正弦值為我.

10

【分析】(I)如圖所示，以點。為坐標原點，以。AOC,0R分別為χ,y,Z軸建立空間直角

坐標系D-xyz,利用向量法證明;

(2)證明N%〃%即得證，再利用向量法求直線AN與平面AEQ所成角的正弦值.

【詳解】(1)證明：如圖所示，以點。為坐標原點，以D4,OC分別為MXz軸建立空

間直角坐標系。-型,由題得A(2,0,4),F(l,2,4),.?.A>=(-1,2,0)，

由題得A(2,0,0),D1(0,0,4),E(0,2,2),ΛAA=(-2,0,4),AE=(-2,2,2)，

設(shè)平面AED1的法向量為蔡=(χ,y,Z),

m?AD.=-2x+4Z=O

所以,.?."i=(2,1,1).

m?AE=-Ix+2y+2z=O

所以A%?i=-lx2+lx2+0χl=0'

因為AF<X平面AER,所以AF〃平面AER.

(2)證明：由題得V(2,2,1),N(0,1,0),.?.Λ?r=(2,1,1)，

所以質(zhì)/扇，所以NH，平面AER,

由題得