（江蘇專用）高考數學一輪復習 加練半小時 專題12 系列4選講 第97練 矩陣與變換 理（含解析）-人教版高三數學試題

第97練矩陣與變換[基礎保分練]1．(2019·徐州期中)已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,0a))，且屬于特征值2的一個特征向量為a＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，在平面直角坐標系xOy中，點A(0,0)，B(1,0)，C(2,3)在矩陣M對應的變換作用下得到的點分別為A′，B′，C′，求△A′B′C′的面積．2．3．(2018·南通模擬)已知在二階矩陣M對應變換的作用下，四邊形ABCD變成四邊形A′B′C′D′，其中A(1,1)，B(－1,1)，C(－1，－1)，A′(3,3)，B′(－1,1)，D′(1，－1)．(1)求矩陣M；(2)求向量eq\o(DC′,\s\up6(→))的坐標．[能力提升練]4．(2019·鹽城東臺中學質檢)設點(x，y)在矩陣M對應變換作用下得到點(2x,3y)．(1)求矩陣M的逆矩陣M－1；(2)若曲線C在矩陣M－1對應變換作用下得到曲線C′：x2＋y2＝1，求曲線C的方程．

答案精析1．解因為Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,1))，所以a＝2，所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,02))，Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,0))，Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,0))，Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4,6))，即A′(0,0)，B′(2,0)，C′(4,6)．故S＝eq\f(1,2)×A′B′×6＝eq\f(1,2)×2×6＝6.2．解設M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝1，,c－d＝－1.))再由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,1))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝1.))聯(lián)立以上方程解得a＝2，b＝1，c＝0，d＝1，故M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,01)).3．解(1)設M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,1))，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3，,－a＋b＝－1，,－c＋d＝1，))解得a＝2，b＝1，c＝1，d＝2，所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12)).(2)由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3,－3))，知C′(－3，－3)，易求M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3)))，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))，得D(1，－1)，所以eq\o(DC′,\s\up6(→))＝(－4，－2)．4．解(1)由題意得M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(20,03))，det(M)＝6，所以M－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,6)0,0\f(2,6)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)0,0\f(1,3))).(2)設曲線C上任意一點(x，y)在矩陣M－1對應變換作用下得到點(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)0,0\f(1,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4