（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第八章 立體幾何 第2講 空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系練習(xí) 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：40分鐘)一、填空題1.若空間三條直線a，b，c滿足a⊥b，b⊥c，則直線a與c________(填位置關(guān)系).解析當(dāng)a，b，c共面時(shí)，a∥c；當(dāng)a，b，c不共面時(shí)，a與c可能異面也可能相交.答案平行、相交、異面都有可能2.(2016·江西七校聯(lián)考)已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是________.解析依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面.答案相交、平行或異面3.平面α，β相交，在α，β內(nèi)各取兩點(diǎn)，這四點(diǎn)都不在交線上，這四點(diǎn)能確定________個(gè)平面.解析若過四點(diǎn)中任意兩點(diǎn)的連線與另外兩點(diǎn)的連線相交或平行，則確定一個(gè)平面；否則確定四個(gè)平面.答案1或44.如果兩條異面直線稱為“一對(duì)”，那么在正方體的十二條棱中共有異面直線________對(duì).解析如圖所示，與AB異面的直線有B1C1，CC1，A1D1，DD1四條，因?yàn)楦骼饩哂胁煌奈恢?，且正方體共有12條棱，排除兩棱的重復(fù)計(jì)算，共有異面直線eq\f(12×4,2)＝24(對(duì)).答案245.(2016·哈爾濱一模)如圖，在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為________.解析如圖，過點(diǎn)B作直線BE∥CD，交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接PE.∴∠PBE(或其補(bǔ)角)是異面直線CD與PB所成角.∵△PAB和△PAD都是等邊三角形，∴∠PAD＝60°，DA＝PA＝AB＝PB＝AE，∴∠PAE＝120°.設(shè)PA＝AB＝PB＝AE＝a，則PE＝eq\r(3)a.又∠ABC＝∠BAD＝90°，∴∠BAE＝90°，∴BE＝eq\r(2)a，∴在△PBE中，PB2＋BE2＝PE2，∴∠PBE＝90°.即異面直線CD與PB所成角為90°.答案90°6.如圖所示，平面α，β，γ兩兩相交，a，b，c為三條交線，且a∥b，則a與c，b與c的位置關(guān)系是________.解析∵a∥b，a?α，b?α，∴b∥α.又∵b?β，α∩β＝c，∴b∥c.∴a∥b∥c.答案a∥b∥c7.如圖，正方體的底面與正四面體的底面在同一平面α上，且AB∥CD，則直線EF與正方體的六個(gè)面所在的平面相交的平面?zhèn)€數(shù)為________.解析取CD的中點(diǎn)H，連接EH，F(xiàn)H.在正四面體CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，所以CD⊥平面EFH，所以AB⊥平面EFH，則平面EFH與正方體的左右兩側(cè)面平行，則EF也與之平行，與其余四個(gè)平面相交.答案48.(2016·南京、鹽城調(diào)研)如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn)，有以下四個(gè)結(jié)論：①直線AM與CC1是相交直線；②直線AM與BN是平行直線；③直線BN與MB1是異面直線；④直線AM與DD1是異面直線.其中正確的結(jié)論為________(寫出所有正確結(jié)論的程序).解析A，M，C1三點(diǎn)共面，且在平面AD1C1B中，但C?平面AD1C1B，C1?AM，因此直線AM與CC1是異面直線，同理AM與BN也是異面直線，AM與DD1也是異面直線，①②錯(cuò)，④正確；M，B，B1三點(diǎn)共面，且在平面MBB1中，但N?平面MBB1，B?MB1，因此直線BN與MB1是異面直線，③正確.答案③④二、解答題9.如圖所示，已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，E1，F(xiàn)分別是棱AD，A1D1，BC的中點(diǎn).求證：(1)E1C1綊AF；(2)∠BEC＝∠B1E1C1.證明(1)因?yàn)镕為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，所以AE綊FC，所以四邊形AECF為平行四邊形，所以AF綊EC.連接EE1，因?yàn)镋1為A1D1的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，所以EE1綊DD1，又DD1綊CC1，所以EE1綊CC1，所以四邊形ECC1E1為平行四邊形，所以E1C1綊EC，所以E1C1綊AF.(2)由(1)知EE1綊DD1，又DD1綊B1B，所以E1E綊B1B，所以四邊形E1EBB1是平行四邊形，所以E1B1∥EB.同理，E1C1∥EC.又∠B1E1C1與∠BEC的兩邊方向都相同，所以∠BEC＝∠B1E1C1.10.如圖，在四棱錐O－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M為OA的中點(diǎn).(1)求四棱錐O－ABCD的體積；(2)求異面直線OC與MD所成角的正切值的大小.解(1)由已知可求得正方形ABCD的面積S＝4，所以四棱錐O－ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×4×2＝eq\f(8,3).(2)如圖，連接AC，設(shè)線段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，DE，又M為OA的中點(diǎn)，所以ME∥OC，則∠EMD(或其補(bǔ)角)為異面直線OC與MD所成的角，由已知可得DE＝eq\r(2)，EM＝eq\r(3)，MD＝eq\r(5)，∵(eq\r(2))2＋(eq\r(3))2＝(eq\r(5))2，∴△DEM為直角三角形，即∠MED＝90°，∴tan∠EMD＝eq\f(DE,EM)＝eq\f(\r(2),\r(3))＝eq\f(\r(6),3).∴異面直線OC與MD所成角的正切值為eq\f(\r(6),3).能力提升題組(建議用時(shí)：20分鐘)11.給出以下命題：①不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線；②若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面；③若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面；④依次首尾相接的四條線段必共面.則以上命題正確的是________(填序號(hào)).解析①假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面.這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，所以①正確.②從條件看出兩平面有三個(gè)公共點(diǎn)A、B、C，但是若A、B、C共線，則結(jié)論不正確；③不正確；④不正確，因?yàn)榇藭r(shí)所得的四邊形的四條邊可以不在一個(gè)平面上，如空間四邊形.答案①12.四棱錐P－ABCD的所有側(cè)棱長(zhǎng)都為eq\r(5)，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，則CD與PA所成角的余弦值為________.解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，故CD∥AB，則CD與PA所成的角即為AB與PA所成的角，即為∠PAB.在△PAB內(nèi)，PB＝PA＝eq\r(5)，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝eq\f(PA2＋AB2－PB2,2×PA×AB)＝eq\f(5＋4－5,2×\r(5)×2)＝eq\f(\r(5),5).答案eq\f(\r(5),5)13.對(duì)于四面體ABCD，下列命題①相對(duì)棱AB與CD所在直線異面；②由頂點(diǎn)A作四面體的高，其垂足是△BCD三條高線的交點(diǎn)；③若分別作△ABC和△ABD的邊AB上的高，則這兩條高所在的直線異面；④分別作三組相對(duì)棱中點(diǎn)的連線，所得的三條線段相交于一點(diǎn).其中正確的是________(填序號(hào)).解析對(duì)于①，由四面體的概念可知，AB與CD所在的直線為異面直線，故①正確；對(duì)于②，由頂點(diǎn)A作四面體的高，當(dāng)四面體ABCD的對(duì)棱互相垂直時(shí)，其垂足是△BCD的三條高線的交點(diǎn)，故②錯(cuò)誤；對(duì)于③，當(dāng)DA＝DB，CA＝CB時(shí)，這兩條高線共面，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)依次為E、F、M、N，易證四邊形EFMN為平行四邊形，所以EM與FN相交于一點(diǎn)，易證另一組對(duì)棱中點(diǎn)連線也過它們的交點(diǎn)，故④正確.答案①④14.如圖，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)，G分別在AB，BC，CD上，且滿足AE∶EB＝CF∶FB＝2∶1，CG∶GD＝3∶1，過E，F(xiàn)，G的平面交AD于點(diǎn)H.(1)求AH∶HD；(2)求證：EH、FG、BD三線共點(diǎn).(1)解∵eq\f(AE,EB)＝eq\f(CF,FB)＝2，∴EF∥AC，∴EF∥平面ACD，而EF?平面EFGH，平面EFGH∩平面ACD＝GH，∴EF∥GH，∴AC∥GH.∴eq\f(AH,HD)＝eq\f