（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十四章 系列4選講 14.2 矩陣與變換 理-人教版高三數(shù)學(xué)試題

1．乘法規(guī)則(1)行矩陣[a11a12]與列矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))的乘法規(guī)則：[a11a12]eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11,b21))＝[a11×b11＋a12×b21]．(2)二階矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))與列向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))的乘法規(guī)則：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×x0＋a12×y0,a21×x0＋a22×y0)).(3)兩個(gè)二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個(gè)矩陣，其乘法法則如下：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11a12,a21a22))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(b11b12,b21b22))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a11×b11＋a12×b21a11×b12＋a12×b22,a21×b11＋a22×b21a21×b12＋a22×b22)).(4)兩個(gè)二階矩陣的乘法滿足結(jié)合律，但不滿足交換律和消去律．即(AB)C＝A(BC)，AB≠BA，由AB＝AC不一定能推出B＝C.一般地，兩個(gè)矩陣只有當(dāng)前一個(gè)矩陣的列數(shù)與后一個(gè)矩陣的行數(shù)相等時(shí)才能進(jìn)行乘法運(yùn)算．2．常見的平面變換(1)恒等變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))；(2)伸壓變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,2)))；(3)反射變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0－1))；(4)旋轉(zhuǎn)變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cosθ－sinθ,sinθcosθ))，其中θ為旋轉(zhuǎn)角度；(5)投影變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,00))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,10))；(6)切變變換：如eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1k,01))(k∈R，且k≠0)．3．逆變換與逆矩陣(1)對(duì)于二階矩陣A、B，若有AB＝BA＝E，則稱A是可逆的，B稱為A的逆矩陣；(2)若二階矩陣A、B均存在逆矩陣，則AB也存在逆矩陣，且(AB)－1＝B－1A－1.4．特征值與特征向量設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果對(duì)于實(shí)數(shù)λ，存在一個(gè)非零向量α，使Aα＝λα，那么λ稱為A的一個(gè)特征值，而α稱為A的屬于特征值λ的一個(gè)特征向量．5．特征多項(xiàng)式設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))是一個(gè)二階矩陣，λ∈R，我們把行列式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc，稱為A的特征多項(xiàng)式．1．已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))，求AB.解AB＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\f(1,2),\f(1,2)\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2),－\f(1,2)\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×－\f(1,2)\f(1,2)×－\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2),\f(1,2)×\f(1,2)＋\f(1,2)×－\f(1,2)\f(1,2)×－\f(1,2)＋\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(00,00)).2．設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0－1,10))，求AB的逆矩陣．解∵A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))，B－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))，∴(AB)－1＝B－1A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,－10))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,01))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(01,10)).3．求矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(6－3,6－3))的特征值．解f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－63,－6λ＋3))＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0.∴λ1＝0，λ2＝3.∴M的特征值為0和3.題型一矩陣與變換例1已知a，b是實(shí)數(shù)，如果矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))所對(duì)應(yīng)的變換將直線x－y＝1變換成x＋2y＝1，求a，b的值．解設(shè)點(diǎn)(x，y)是直線x－y＝1上任意一點(diǎn)，在矩陣M的作用下變成點(diǎn)(x′，y′)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2a,b1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝2x＋ay，,y′＝bx＋y.))因?yàn)辄c(diǎn)(x′，y′)在直線x＋2y＝1上，所以(2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋2b＝1，,a＋2＝－1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝－\f(1,2).))思維升華已知變換前后的坐標(biāo)，求變換對(duì)應(yīng)的矩陣時(shí)，通常用待定系數(shù)法求解．二階矩陣M對(duì)應(yīng)的變換將點(diǎn)(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(diǎn)(－1，－1)與(0，－2)．(1)求矩陣M；(2)設(shè)直線l在變換作用下得到了直線m：x－y＝4，求l的方程．解(1)設(shè)M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1,－1))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－2))，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b＝－1，,c－d＝－1，))且eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝0，,－2c＋d＝－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝2，,c＝3，,d＝4，))所以M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34)).(2)因?yàn)閑q\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x＋2y,3x＋4y))，且m：x′－y′＝4，所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4，整理得x＋y＋2＝0，所以直線l的方程為x＋y＋2＝0.題型二求逆矩陣?yán)?(2015·福建)已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(21),\s\do5(43))))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\o(\s\up7(11),\s\do5(0－1)))).(1)求A的逆矩陣A－1；(2)求矩陣C，使得AC＝B.解(1)因?yàn)閨A|＝2×3－1×4＝2，所以A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－\f(4,2)\f(2,2)))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－21)).(2)由AC＝B得(A－1A)C＝A－1B，故C＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－\f(1,2),－21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(11,0－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)2,－2－3)).思維升華求逆矩陣的方法：(1)待定系數(shù)法設(shè)A是一個(gè)二階可逆矩陣eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，AB＝BA＝E；(2)公式法|A|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝ad－bc≠0，有A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(d,|A|)\f(－b,|A|),\f(－c,|A|)\f(a,|A|))).已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))，求矩陣A－1B.解設(shè)矩陣A的逆矩陣為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－a－b,2c2d))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,01))故a＝－1，b＝0，c＝0，d＝eq\f(1,2)，從而A的逆矩陣為A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))，所以A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－10,0\f(1,2)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,06))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1－2,03)).題型三特征值與特征向量例3已知矩陣A的逆矩陣A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,12)).(1)求矩陣A；(2)求矩陣A－1的特征值以及屬于每個(gè)特征值的一個(gè)特征向量．解(1)因?yàn)榫仃嘇是矩陣A－1的逆矩陣，且|A－1|＝2×2－1×1＝3≠0，所以A＝eq\f(1,3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,3)－\f(1,3),－\f(1,3)\f(2,3))).(2)矩陣A－1的特征多項(xiàng)式為f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－2－1,－1λ－2))＝λ2－4λ＋3＝(λ－1)(λ－3)，令f(λ)＝0，得矩陣A－1的特征值為λ1＝1或λ2＝3，所以ξ1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩陣A－1的屬于特征值λ1＝1的一個(gè)特征向量，ξ2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))是矩陣A－1的屬于特征值λ2＝3的一個(gè)特征向量．思維升華已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，求特征值和特征向量的步驟：(1)令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－a－b,－cλ－d))＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值λ；(2)列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ－ax－by＝0，,－cx＋λ－dy＝0；))(3)賦值法求特征向量，一般取x＝1或者y＝1，寫出相應(yīng)的向量．已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))，其中a∈R，若點(diǎn)P(1,1)在矩陣A的變換下得到點(diǎn)P′(0，－3)．(1)求實(shí)數(shù)a的值；(2)求矩陣A的特征值及特征向量．解(1)由題意得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,a1))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，所以a＋1＝－3，所以a＝－4.(2)由(1)知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－1,－41))，令f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－11,4λ－1))＝(λ－1)2－4＝0.解得A的特征值為λ＝－1或3.當(dāng)λ＝－1時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x＋y＝0，,4x－2y＝0))得矩陣A的屬于特征值－1的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，當(dāng)λ＝3時(shí)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0，,4x＋2y＝0))得矩陣A的屬于特征值3的一個(gè)特征向量為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－2)).1．二階矩陣與平面列向量乘法：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ac,bd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ax＋cy,bx＋dy))，這是所有變換的基礎(chǔ)．2．證明兩個(gè)矩陣互為逆矩陣時(shí)，切記從兩個(gè)方向進(jìn)行，即AB＝E＝BA.3．二元一次方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1x＋b1y＝c1，,a2x＋b2y＝c2))相應(yīng)的矩陣方程為AX＝B，其中A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(a1b1,a2b2))為系數(shù)矩陣，X為未知數(shù)向量eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(c1,c2))為常數(shù)向量．4．若某一向量在矩陣變換作用下的像與原像共線，則稱這個(gè)向量是屬于該變換矩陣的特征向量，相應(yīng)共線系數(shù)為屬于該特征向量的特征值．A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：40分鐘)1．已知A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(15,62))，求A的特征值．解A的特征多項(xiàng)式f(λ)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(λ－1－5,－6λ－2))＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)，∴A的特征值為λ1＝7，λ2＝－4.故A的特征值為7和－4.2．已知矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2－1,－43))，B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))，求滿足AX＝B的二階矩陣X.解由題意，得A－1＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\f(1,2),21))，∵AX＝B，∴X＝A－1B＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)\f(1,2),21))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(4－1,－31))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－1,5－1)).3．已知矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))，α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,2))，β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－3))，求M(2α＋4β)．解2α＋4β＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,4))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0,－12))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))，M(2α＋4β)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,34))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,－8))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－14,－26)).4．已知矩陣A將點(diǎn)(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值3的一個(gè)特征向量是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))，求矩陣A.解設(shè)A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))，由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2,3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,c＝3.))由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(ab,cd))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3,3))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝3，,c＋d＝3.))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,d＝0.))所以A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(21,30)).5．曲線C1：x2＋2y2＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))的作用下變換為曲線C2，求C2的方程．解設(shè)P(x，y)為曲線C2上任意一點(diǎn)，P′(x′，y′)為曲線x2＋2y2＝1上與P對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(12,01))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x,y))，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝x′＋2y′，,y＝y(tǒng)′))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x－2y，,y′＝y(tǒng).))因?yàn)镻′是曲線C1上的點(diǎn)，所以C2的方程為(x－2y)2＋2y2＝1.6．(2015·江蘇)已知x，y∈R，向量α＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))是矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y0))的屬于特征值－2的一個(gè)特征向量，求矩陣A以及它的另一個(gè)特征值．解由已知，得Aα＝－2α，即eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x1,y0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1,－1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x－1,y))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2,2))，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1＝－2，,y＝2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以矩陣A＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－11,20)).從而矩陣A的特征多項(xiàng)式f(λ)＝(λ＋2)(λ－1)，所以矩陣A的另一個(gè)特征值為1.B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：30分鐘)7．設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果A是可逆的，證明A的逆矩陣是唯一的．證明設(shè)B1，B2都是A的逆矩陣，則B1A＝AB1＝E2，B2A＝AB2＝E2，從而B1＝E2B1＝(B2A)B1＝B2(AB1)＝B2E2＝B2.即B1＝B2.故A的逆矩陣是唯一的．8．求曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線所圍成圖形的面積．解設(shè)點(diǎn)(x0，y0)為曲線|x|＋|y|＝1上的任一點(diǎn)，在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的點(diǎn)為(x′，y′)，則由eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x0,y0))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x′,y′))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x′＝x0,y′＝\f(1,3)y0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝x′,y0＝3y′，))所以曲線|x|＋|y|＝1在矩陣M＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(10,0\f(1,3)))對(duì)應(yīng)的變換作用下得到的曲線為|x|＋3|y|＝1，所以圍成的圖形為菱形，其面積為eq\f(1,2)×2×eq\f(2,3)＝eq\f(2,3).9．設(shè)數(shù)列{an}，{bn}滿足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且滿足eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an＋4,bn＋4))＝Meq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an,bn))，求二階矩陣M.解依題設(shè)有eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an＋1,bn＋1))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,02))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(an,bn))，令A(yù)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,02))，則M＝A4，A2＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(23,