2023年上海市高考數(shù)學(xué)考前20天復(fù)習(xí)-14 導(dǎo)數(shù)大題綜合學(xué)生版

14導(dǎo)數(shù)大題綜合

1.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)已知函數(shù)/(x)=:χ2-(α+l)x+αlnx.(其中。為常數(shù))

⑴若。=一2,求曲線y=∕(χ)在點(diǎn)(2J(2))處的切線方程；

⑵當(dāng)即0時(shí)，求函數(shù)y=∕(χ)的最小值；

(3)當(dāng)0≤α<l時(shí)，試討論函數(shù)y=∕(χ)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由.

22

2.(2023?上海靜安?統(tǒng)考一模)已知函數(shù)於)=-2HnX—一，g(x)=ax~(2a+l)ln%——,

XX

其中o∈R.

(1)若x=2是函數(shù)/5)的駐點(diǎn)，求實(shí)數(shù)Q的值；

(2)當(dāng)a>0時(shí),求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;

⑶若存在XeJ,e2](e為自然對(duì)數(shù)的底)，使得不等式火x)4g(x)成立，求實(shí)數(shù)"的取

e

值范圍.

3.(2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模)設(shè)函數(shù)y=∕(x)的定義域是R,它的導(dǎo)數(shù)是/'(x).若存

在常數(shù)m(meR),使得/(x+m)=-∕'(x)對(duì)一切X恒成立，那么稱函數(shù)y=∕(x)具有性

質(zhì)p(%)?

(1)求證：函數(shù)y=e'不具有性質(zhì)P(W)；

(2)判別函數(shù)y=sinx是否具有性質(zhì)P(m).若具有求出機(jī)的取值集合；若不具有請(qǐng)說(shuō)明

理由.

4.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知S為正比例系數(shù)，定義：S=今,用為建筑物暴露在

空氣中的面積(單位：平方米)，KO為建筑物的體積(單位：立方米).

(1)若有一個(gè)圓柱體建筑的底面半徑為R，高度為H,求該建筑體的S(用尺”表示)；

(2)現(xiàn)有一個(gè)建筑體，側(cè)面皆垂直于地面，設(shè)A為底面面積，C為建筑底面周長(zhǎng).已知/

T2

為正比例系數(shù)，Z?與A成正比，定義：f=J建筑面積即為每一層的底面面積，總

A

建筑面積即為每層建筑面積之和，值為T?已知該建筑體推導(dǎo)得出S=、叵+',"為

VT3”

層數(shù)，層高為3米，其中/=18,7=10000,試求當(dāng)取第幾層時(shí)，該建筑體S最小？

5.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))函數(shù)"x)=α'+x(α>0),且"l)=e+∣.

(1)判斷/(X)在R上的單調(diào)性，并利用單調(diào)性的定義證明；

(2)g(x)=∕(x)-芥，且g(x)在(0,+8)上有零點(diǎn)，求彳的取值范圍.

6.(2023?上海長(zhǎng)寧?統(tǒng)考二模)(1)求簡(jiǎn)諧振動(dòng)y=sinx+cosx的振幅、周期和初相位

e(9∈[0,2τr));

(2)若函數(shù)y=singx+gcosx在區(qū)間(0,附上有唯一的極大值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)小的取值范

圍；

(3)設(shè)α>0,F(X)=SinaX-αsinx,若函數(shù)y=∕(x)在區(qū)間(0,π)上是嚴(yán)格增函數(shù),求實(shí)

數(shù)α的取值范圍.

7.(2023?上海金山?統(tǒng)考二模)若函數(shù)y=∕(x)在x=%處取得極值，且“Λ))=∕?(常

數(shù)/UR),則稱X(I是函數(shù)y=∕(x)的“2相關(guān)點(diǎn)”.

(1)若函數(shù)y=V+2x+2存在“相關(guān)點(diǎn)”，求；I的值;

(2)若函數(shù)y=?√-2Inx(常數(shù)左eR)存在力相關(guān)點(diǎn)”,求％的值:

⑶設(shè)函數(shù)y=∕(x)的表達(dá)式為〃X)=加+/+u(常數(shù)。、b、ceRRa≠0),若函數(shù)

y=∕(χ)有兩個(gè)不相等且均不為零的“2相關(guān)點(diǎn)”，過(guò)點(diǎn)P(l,2)存在3條直線與曲線

y=∕(x)相切，求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

8.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)已知x>0,記/(x)=e*,g(x)=x*,h(x)=Ing(x).

⑴試將y=/(x)、y=g(x)、y=∕∣(χ)中的一個(gè)函數(shù)表示為另外兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的復(fù)

合函數(shù)；

(2)借助(1)的結(jié)果，求函數(shù)y=g(2x)的導(dǎo)函數(shù)和最小值；

(3)記〃(X)=也與她+x+a,。是實(shí)常數(shù)，函數(shù)y="(x)的導(dǎo)函數(shù)是y'=H'(χ).已

知函數(shù)y="(χ)?"'(χ)有三個(gè)不相同的零點(diǎn)玉、林W?求證：X1?χ2?χ3<1.

9.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=(x-l)e"-αr(α∈R且α為常數(shù)).

(1)當(dāng)4=0,求函數(shù)F(X)的最小值；

(2)若函數(shù)/(χ)有2個(gè)極值點(diǎn)，求。的取值范圍；

⑶若/(x)≥Inx-e，+1對(duì)任意的Xe(O,+∞)恒成立，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

10?(2023?上海崇明?上海市崇明中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=xTnx-2.

⑴求曲線y=∕(χ)在x=l處的切線方程；

(2)函數(shù)Ax)在區(qū)間伏,Z+l)?wN)上有零點(diǎn)，求人的值；

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⑶記函數(shù)g(X)=3/-樂(lè)-2-/(X),設(shè)X”W(為<々)是函數(shù)g(x)的兩個(gè)極值點(diǎn)，若b≥5,

且g(x∣)-gO?)≥Z恒成立，求實(shí)數(shù)A的取值范圍.

11.(2023春?上海?高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(x)=α√-(α+l)χ2+x,g(x)=Ax+∕n,

其中“≥0,￡機(jī)eR,若任意Xe[0,1]均有/(x)≤g(x),則稱函數(shù)y=g(x)是函數(shù)y=/(x)

的控制函數(shù)”，且對(duì)于所有滿足條件的函數(shù)N=g。)在X處取得的最小值記為7(x).

(1)若α=2,g(x)=X,試問(wèn)y=g(χ)是否為y=/(x)的控制函數(shù)”；

(2)若。=0,使得直線y=〃(x)是曲線y=∕(χ)在X=L處的切線，證明：函數(shù)y=∕∕(χ)為

函數(shù)y=∕(χ)的控制函數(shù)，并求的值；

⑶若曲線y=∕(x)在x=Λo(??∈(0,l))處的切線過(guò)點(diǎn)(L0),且CeN,1],證明：當(dāng)且僅

當(dāng)C=Xo或C=I時(shí)，7(t?)=/(c).

12.(2023?上海普陀?統(tǒng)考二模)已知〃力eR,設(shè)函數(shù)y=f(x)的表達(dá)式為

f(x)=a?x2-b?nx(其中x>0)

(1)設(shè)α=l,b=0,當(dāng)f(x)>χT時(shí),求X的取值范圍;

(2)設(shè)α=2,h>4,集合￡>=(0,1],記g(x)=2cx--j(ceR),若y=g(x)在。上為嚴(yán)

格增函數(shù)且對(duì)。上的任意兩個(gè)變量s,r,均有〃s)≥g(f)成立，求C的取值范圍:

⑶當(dāng)α=0,b<0,0時(shí)‘記"C+看,其中〃為正整數(shù).求證:

πu

[∕√%)]+2>ftπ(x)+2.

13.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)設(shè)P是坐標(biāo)平面Xoy上的一點(diǎn)，曲線r是函數(shù)y=f(X)

的圖像.若過(guò)點(diǎn)P恰能作曲線「的Z條切線(ZeN),則稱尸是函數(shù)y=∕(x)的'〃度

點(diǎn)”.

(1)判斷點(diǎn)O(OQ)與點(diǎn)4(2,0)是否為函數(shù)y=lnx的1度點(diǎn)，不需要說(shuō)明理由；

(2汜知O<m<Jt,g(x)=sinx.證明：點(diǎn)B(0,π)是y=g(x)(0<x<m)的0度點(diǎn);

(3)求函數(shù)y=爐-X的全體2度點(diǎn)構(gòu)成的集合.

14.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)三個(gè)互不相同的函數(shù)y=∕(χ),y=g(χ)與y=∕z(χ)在區(qū)

間D上恒有/(x)≥〃(x)>g(x)或恒有/(?)≤h(x)≤g(x),則稱y=∕z(x)為y=/(x)與

y=g(χ)在區(qū)間。上的“分割函數(shù)

⑴設(shè)似x)=4x,似X)=X+1,試分別判斷y=Λ,(x)?y=Λ2(x)是否是y=2∕+2與

》=+4χ在區(qū)間上的“分割函數(shù)”，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(2)求所有的二次函數(shù)，使得該函數(shù)是y=2f+2與y=4x在區(qū)間(v,E)上的“分割函

數(shù)”；

⑶若［〃?,〃］0一2,2］,且存在實(shí)數(shù)％,b,使得尸區(qū)+。為y=/-與y=4∕-16在區(qū)

間［m,n］上的“分割函數(shù)”，求〃一根的最大值.

15.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)如果曲線)=∕(x)存在相互垂直的兩條切線，稱函數(shù)

y=∕(x)是“正交函數(shù)”.已知/(x)=f+0r+21nx,設(shè)曲線y=∕(x)在點(diǎn)"(??,∕(%))

處的切線為：

⑴當(dāng)了'⑴=O時(shí)，求實(shí)數(shù)”的值：

⑵當(dāng)“=-8,%=8時(shí)，是否存在直線乙滿足4,L且4與曲線y=∕(χ)相切？請(qǐng)說(shuō)明

理由；

(3)當(dāng)α≥-5時(shí)，如果函數(shù)y=∕(x)是“正交函數(shù)”，求滿足要求的實(shí)數(shù)。的集合O；若對(duì)

任意“∈r>,曲線y=∕(χ)都不存在與4垂直的切線4,求工的取值范圍.

16.(2023?上海?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(x)=2x-sinx-αlnx.

(1)當(dāng)α=0時(shí)，VXe(OgJ(X)4吟求實(shí)數(shù)〃?的取值范圍；

2

(2)若馬,七e(0,+oo),χ∣≠%,使得/(Λ?)=∕(Λ?),求證：xlx2<a.

17.(2023?上海?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)/(x)="ln(x-a)-gf+x(a<0).

⑴求〃x)的單調(diào)區(qū)間；

⑵若T<α<2(ln2-1),求證:函數(shù)/(x)只有一個(gè)零點(diǎn)看,且α+l<x°<a+2；

(3)當(dāng)α=-g時(shí)，記函數(shù)/(x)的零點(diǎn)為%,若對(duì)任意看,Λ2W［O,ΛO］且W-%=l,都有

∣∕(x2)-∕(x1)∣≥∕zz,求實(shí)數(shù)，〃的最大值.

18?(2023?上海崇明?統(tǒng)考二模)已知定義域?yàn)?。的函?shù)y=∕(x),其導(dǎo)函數(shù)為y,=f(χ),

滿足對(duì)任意的xe。都有∣∕'(x)∣<L

⑴若"X)=奴+成.，x∈[l,2],求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)證明：方程/(x)-x=O至多只有一個(gè)實(shí)根；

(3)若y=∕(x),XeR是周期為2的周期函數(shù)，證明：對(duì)任意的實(shí)數(shù)為，演，都有

∣∕(^)-∕(x2)∣<ι.

19.(2023?上海青浦?統(tǒng)考二模)設(shè)y=∕(χ)?y=g(χ)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，當(dāng)

g(xjwg(xz)時(shí)，*為,々)=

'g>(x?j-gO(*2')]

⑴已知y=g(x)在區(qū)間/上嚴(yán)格增，且對(duì)任意x∣,We/'X產(chǎn)々，有Sa,Λ2)>0,證明：

函數(shù)y=∕(χ)在區(qū)間/上是嚴(yán)格增函數(shù)：

i2

(2)己知g(x)=gr+0r-3x,且對(duì)任意^,々eR，當(dāng)g(%)#g(%)時(shí)，有Sa,x2)>0,

若當(dāng)x=l時(shí)，函數(shù)y="x)取得極值，求實(shí)數(shù)