熱學(xué)李椿+章立源+錢尚武習(xí)題解答-第三章氣體分子熱運(yùn)動速率與能量的統(tǒng)計分布律

./第三章氣體分子熱運(yùn)動速率和能量的統(tǒng)計分布律3-1設(shè)有一群粒子按速率分布如下：粒子數(shù)Ni24682速率Vi〔m/s1.002.003.004.005.00試求<1>平均速率V；〔2方均根速率〔3最可幾速率Vp解：〔1平均速率：<m/s><2>方均根速率<m/s>3-2計算300K時,氧分子的最可幾速率、平均速率和方均根速率。解：3-3計算氧分子的最可幾速率,設(shè)氧氣的溫度為100K、1000K和10000K。解：代入數(shù)據(jù)則分別為：T=100K時T=1000K時T=10000K時3-4某種氣體分子在溫度T1時的方均根速率等于溫度T2時的平均速率,求T2/T1。解：因由題意得：∴T2/T1=3-5求0℃時1.0cm3氮?dú)庵兴俾试?00m/s到501m/s之間的分子數(shù)〔在計算中可將dv近似地取為△v=1m解：設(shè)1.0cm3氮?dú)庵蟹肿訑?shù)為N,速率在500~501m/s之間內(nèi)的分子數(shù)為△N,由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑篘=∵Vp2=EQ\F<2KT,m>,代入上式△N=因500到501相差很小,故在該速率區(qū)間取分子速率V =500m/s,又△V=1m/s〔EQ\F<v,vp>=1.24代入計算得：△N=1.86×10－3N個3-6設(shè)氮?dú)獾臏囟葹?00℃,求速率在3000m/s到3010m/s之間的分子數(shù)△N1與速率在1500m/s到1510m/s之間的分子數(shù)△N2解：取分子速率為V1=3000m/sV2=1500m/s,△V1=△V2=10m/s由5題計算過程可得：△V1=△N2=∴△N/△N2=其中VP=m/sEQ\F<v1,vp>=1.375,EQ\F<v2,vp>=0.687∴解法2：若考慮△V1=△V2=10m/s比較大,可不用近似法,用積分法求△N1,△N2dN=△N1=△N2=令Xi=EQ\F<vi,vp>i=1、2、3、4利用16題結(jié)果:∴△N1=〔1△N2=〔２其中VP=查誤差函數(shù)表得：erf<x1>=0.9482erf<x2>=0.9489erf<x3>=0.6687erf<x4>=0.6722將數(shù)字代入〔１、〔２計算,再求得：3-7試就下列幾種情況,求氣體分子數(shù)占總分子數(shù)的比率：速率在區(qū)間vp～1.0vp1內(nèi)速度分量vx在區(qū)間vp～1.0vp1內(nèi)速度分量vp、vp、vp同時在區(qū)間vp～1.0vp1內(nèi)解：設(shè)氣體分子總數(shù)為N,在三種情況下的分子數(shù)分別為△N1、△N2、△N3由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑篘=令v2=1.01vp,vi=vp,,則,,利用16題結(jié)果可得；查誤差函數(shù)表：erf〔x1=0.8427erf〔x2=0.8468∴由麥?zhǔn)纤俾史植悸桑骸嗔?,∴利用誤差函數(shù)：〔3令,由麥?zhǔn)纤俣确植悸傻茫?-8根據(jù)麥克斯韋速率分布函數(shù),計算足夠多的點(diǎn),以dN/dv為縱坐標(biāo),v為橫坐標(biāo),作1摩爾氧氣在100K和400K時的分子速率分布曲線。解：由麥?zhǔn)纤俾史植悸傻茫簩ⅵ?3.14,N=NA=6.02×1023T=100Km=32×10-3代入上式得到常數(shù)：A=∴〔1為了避免麻煩和突出分析問題方法,我們只做如下討論：由麥?zhǔn)纤俾史植悸晌覀冎?單位速率區(qū)間分布的分子數(shù)隨速率的變化,必然在最可幾速率處取極大值,極大值為：令則得又在V=0時,y=0,V→∞時,y→0又∵T1=100K＜T2=400K∴＜由此作出草圖3-9根據(jù)麥克斯韋速率分布律,求速率倒數(shù)的平均值。解：3-10一容器的器壁上開有一直徑為0.20mm的小圓孔,容器貯有100℃求容器內(nèi)水銀蒸汽分子的平均速率。每小時有多少克水銀從小孔逸出？解：〔1〔2逸出分子數(shù)就是與小孔處應(yīng)相碰的分子數(shù),所以每小時從小孔逸出的分子數(shù)為：其中是每秒和器壁單位面積碰撞的分子數(shù),是小孔面積,t=3600s,故,代入數(shù)據(jù)得：N=4.05×1019〔個∴3-11如圖3-11,一容器被一隔板分成兩部分,其中氣體的壓強(qiáng),分子數(shù)密度分別為p1、n1、p2、n2。兩部分氣體的溫度相同,都等于T。摩爾質(zhì)量也相同,均為μ。試證明：如隔板上有一面積為A的小孔,則每秒通過小孔的氣體質(zhì)量為：證明：設(shè)p1＞p2,通過小孔的分子數(shù)相當(dāng)于和面積為A的器壁碰撞的分子數(shù)。從1跑到2的分子數(shù)：從2跑到1的分子數(shù)：實(shí)際通過小孔的分子數(shù)：〔從1轉(zhuǎn)移到2因t=1秒,,T1=T2=T∴若P2＞P1,則M＜0,表示分子實(shí)際是從2向1轉(zhuǎn)移。3-12有N個粒子,其速率分布函數(shù)為作速率分布曲線。由N和v0求常數(shù)C。求粒子的平均速率。解：〔1得速率分布曲線如圖示〔2∵∴即〔33-13N個假想的氣體分子,其速率分布如圖3-13所示〔當(dāng)v＞v0時,粒子數(shù)為零。〔1由N和V0求a。〔2求速率在1.5V0到2.0V0之間的分子數(shù)。求分子的平均速率。解：由圖得分子的速率分布函數(shù)：<><>f<v>=<>∵∴速率在1.5V0到2.0V0之間的分子數(shù)3-14證明：麥克斯韋速率分布函數(shù)可以寫作：其中證明：∴3-15設(shè)氣體分子的總數(shù)為N,試證明速度的x分量大于某一給定值vx的分子數(shù)為：〔提示：速度的x分量在0到之間的分子數(shù)為證明：由于速度的x分量在區(qū)間vx～vx+dvx內(nèi)的分子數(shù)為：故在vx～范圍內(nèi)的分子數(shù)為：由題意：令利用誤差函數(shù)得：∴3-16設(shè)氣體分子的總數(shù)為N,試證明速率在0到任一給定值v之間的分子數(shù)為：其中,vp為最可幾速率。[提示：]證明：令,則∴由提示得：∴3-17求速度分量vx大于2vp的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率。解：設(shè)總分子數(shù)N,速度分量vx大于2vp的分子數(shù)由15題結(jié)果得：其中可直接查誤差函數(shù)表得：erf〔2=0.9952也可由誤差函數(shù)：erf〔z=將z=2代入計算得：erf〔2=0.9752∴3-18設(shè)氣體分子的總數(shù)為N,求速率大于某一給定值的分子數(shù),設(shè)〔1v=vp〔2v=2vp,具體算出結(jié)果來。解：〔1v=vp時,速率大于vp的分子數(shù)：利用16題結(jié)果：這里∴〔2v=2vp時,,則速率大于2vp的分子數(shù)為：3-19求速率大于任一給定值v的氣體分子每秒與單位面積器壁的碰撞次數(shù)。解：由18題結(jié)果可得單位體積中速率大于v的分子數(shù)為：在垂直x軸向取器壁面積dA,則速率大于v能與dA相碰的分子,其vx仍在0～間,由《熱學(xué)》P30例題,每秒與單位面積器壁碰撞的速率大于v的分子數(shù)為：3-20在圖3-20所示的實(shí)驗(yàn)裝置中,設(shè)鉍蒸汽的溫度為T=827K,轉(zhuǎn)筒的直徑為D=10cm,轉(zhuǎn)速為ω=200πl(wèi)/s,試求鉍原子Bi和Bi2分子的沉積點(diǎn)P′到P點(diǎn)〔正對著狹縫s3的距離s,設(shè)鉍原子Bi和Bi2分子都以平均速率運(yùn)動。解：鉍蒸汽通過s3到達(dá)P′處的時間為：在此時間里R轉(zhuǎn)過的弧長為：∵∴代入數(shù)據(jù)得：3-21收音機(jī)的起飛前機(jī)艙中的壓力計批示為1.0atm,溫度為270C；起飛后壓力計指示為0.80atm,溫度仍為270C,試計算飛機(jī)距地面的高度。解：根據(jù)等溫氣壓公式：P=P0e-有In=-∴H=-In?其中In=In=-0.223,空氣的平均分子量u=29.∴H=0.223×=2.0×103<m>3-22上升到什么高度處大氣壓強(qiáng)減為地面的75%？設(shè)空氣的溫度為00C.解：由題意知：=0.75故H=-In?代入數(shù)據(jù)得：H=2.3×103<m>3-23設(shè)地球大氣是等溫的,溫度為t=5.00C,海平面上的氣壓為P0=750mmHg,令測得某山頂?shù)臍鈮篜=590mmHg,求山高。已知空氣的平均分子量為28.97.解：H=-In?代入數(shù)據(jù)得：H=2.0×103<m>3-24根據(jù)麥克斯韋速度分布律,求氣體分子速度分量vx的平均值,并由此推出氣體分子每一個平動自由度所具有的平動能。解：〔1x=∫∞-∞vx2f<vx>dvx=2∫∞0vx2<>e-vx2dvx=v-1p∫∞0vx2e-vx2dvx查《熱學(xué)》附錄3-1表得：x=Vp-1<>3/2=同理可得：y=x=<2>分子總的平動能：2=2==mx=同理得：==可見,氣體分子的平均動能按自由度均分,都等于KT.3-25令ε=mv2表示氣體分子的平動能,試根據(jù)麥克斯韋速率分布律證明,平動能在區(qū)間ε～ε+dε內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的比率為：f<ε>dε=<KT>-3/2ε?e-ε/KT?dε根據(jù)上式求分子平動能ε的最可幾值。證明：〔1∵f<v>dv=4∏<>3/2?ev2v2dv=<KT>-3/2?<v2>1/2?e-mv2/2KT?d<>∵ε=mv2故上式可寫作：F<ε>dε=<KT>-3/2?ε?e-ε/KT?dε<2>求ε最可幾值即f<ε>為極大值時對應(yīng)的ε值。=<KT>-3/2[ε?e-ε/KT<->+e-?ε-]=<KT>-3/2e-<ε--ε/KT>=0∴ε--ε=0得:εp=ε=3-26溫度為270C時,一摩爾氧氣具有多少平動動能？多少轉(zhuǎn)動動能？解：氧氣為雙原子氣體,在T=300K下有三個平動自由度,兩個轉(zhuǎn)動自由度。由能均分定理得：ε=RT=×8.31×300=3.74×103<J>=RT=8.31×300=2.49×103<J>3-27在室溫300K下,一摩托車爾氫和一摩爾氮的內(nèi)能各是多少？一克氫和一克氮的內(nèi)能各是多少？解：U氫=RT=6.23×103<J>U氮=RT=6.23×103<J>可見,一摩氣體內(nèi)能只與其自由度〔這里t=3,r=2,s=0和溫度有關(guān)。一克氧和一克氮的內(nèi)能：U=∴U氫===3.12×103<J>U氮===2.23×103<J>3-28求常溫下質(zhì)量為M=3.00g的水蒸氣與M=3.00g的氫氣的混合氣體的定容比熱解：設(shè)Cv1‘、Cv2‘分別為水蒸氣和氫氣的定容比熱,Cv1、Cv2分別為水蒸氣和氫氣的定容摩爾熱容量。在常溫下可忽略振動自由度,則有：Cv1=R=3R∴Cv1’Cv2=R=2.5RCv2’==Cv===<+>=5.9<J/gK>3-29氣體分子的質(zhì)量可以由定容比熱算出來,試推導(dǎo)由定容比熱計算分子質(zhì)量的公式。設(shè)氬的定容比熱Cv=75Cal?Kg-1?K-1,求氬原子的質(zhì)量和氬的原子量.解：〔1一摩爾物質(zhì)定容熱容量為：Cv=ucv,對理想氣體來說：Cv=<t+r+2s>R分子質(zhì)量m==?=<t+r+2s>R?=<t+r+2s>?<Cv=75cal/kg?k><2>氬是單原子分子,故Cv=R=3<Cal/mol?K>故氬的原子量u==4.0×10-2<Kg/mol>分子質(zhì)量m==6.