《5.7 三角函數(shù)的應(yīng)用》課件與練習(xí)課

第5章

三角函數(shù)5.7三角函數(shù)的應(yīng)用5.7三角函數(shù)的應(yīng)用課標(biāo)要求素養(yǎng)要求1.會(huì)用三角函數(shù)解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.2.體會(huì)可以利用三角函數(shù)構(gòu)建刻畫(huà)事物周期變化的數(shù)學(xué)模型.通過(guò)實(shí)際問(wèn)題，構(gòu)建三角函數(shù)數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).【解讀典例】某個(gè)彈簧振子(簡(jiǎn)稱(chēng)振子)在完成一次全振動(dòng)的過(guò)

程中，時(shí)間t(單位：s)與位移y(單位：mm)之間的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)如

下表所示.請(qǐng)根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定振子的位移關(guān)于時(shí)間的函數(shù)解

析式.【分析】根據(jù)振動(dòng)循環(huán)往復(fù)特點(diǎn)，描出五點(diǎn)并作圖t0.000.050.100.150.200.250.300.350.400.450.500.550.60y-20.0-17.8-10.10.110.317.720.017.710.30.1-10.1-17.8-20.0

問(wèn)題【1】問(wèn)題【1】【思考】現(xiàn)實(shí)生活中有大量類(lèi)似彈簧振子的運(yùn)動(dòng)，如鐘擺

的擺動(dòng)，水中浮標(biāo)的上下浮動(dòng)，琴弦的振動(dòng)等等.★A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的振幅，它表示物體離開(kāi)平衡位置的最大位移.這些振動(dòng)都是物體在某一中心位置附近循環(huán)往復(fù)

運(yùn)動(dòng)，在物理學(xué)中，把這樣的運(yùn)動(dòng)成為“簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)”.在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系下，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)

表示.

★這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期是，它表示物體運(yùn)動(dòng)往復(fù)一次需要的時(shí)間

★這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的頻率由公式得到，它是物體單位時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的次數(shù)

★稱(chēng)為相位，時(shí)的相位稱(chēng)為初相.

【分析】由交流電的產(chǎn)生原理可知，電流隨時(shí)

間的變化規(guī)律可用來(lái)刻畫(huà)，

其中表示頻率，A表示振幅，表示初相.問(wèn)題【2】某次實(shí)驗(yàn)測(cè)得的交變電流(單位：A)隨時(shí)間(單位：s)變化的圖像放大之后如圖，求電流隨時(shí)間變化的函數(shù)關(guān)系式

由圖可知，電流最大值為5A，因此A=5；電流變化的周期為s，頻率為50Hz，即，解得；再由初始狀態(tài)(t=0)的電流約為4.33A，可

得，因此約為；所以電流隨時(shí)間

變化的解析式是

問(wèn)題【2】①頻率指的是單位時(shí)間內(nèi)完成周期性變化的次數(shù)，一般是指一秒內(nèi)周期性變化

的次數(shù)，頻率=，單位是赫茲，簡(jiǎn)稱(chēng)“赫”，記為Hz.

②利用圖像確定函數(shù)的解析式，實(shí)質(zhì)上就是確定其中的

參數(shù)、、的值，其中——

★A由最大(小)值決定；★

由最小正周期決定；★

由圖像上的關(guān)鍵點(diǎn)求得，確定時(shí)，要注意它的不唯一性，一般是

求最小時(shí)的值.

【例1】已知某函數(shù)的表達(dá)式為，圖像如圖所示，則當(dāng)t=0.01

時(shí)，y是多少？

【解】由圖像可知A=10，

所以

故

把代入，得，即

因?yàn)?，所以，所?

所以

【例2】彈簧振子以O(shè)點(diǎn)為平衡位置，在B，C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B，C兩點(diǎn)相距20cm，某時(shí)刻振子處在B點(diǎn)，經(jīng)0.5s振子首次到達(dá)C點(diǎn).求：【解】(1)設(shè)振幅為A，則2A=20cm，即A=10cm.設(shè)周期為T(mén)，頻率為f，則(1)振動(dòng)的振幅、周期和頻率.(2)振子在5s內(nèi)通過(guò)的路程及5s時(shí)相對(duì)平衡位置的位移的大小.

即

(2)振子在1個(gè)周期內(nèi)通過(guò)的路程為4A，故在t=5s=5T內(nèi)，通過(guò)的路程為5×4A=20A=20×10=200cm=2m5s時(shí)物體處在B點(diǎn)，所以相對(duì)于平衡位置的位移是10cm【例3】某種商品一年內(nèi)每件出廠價(jià)在7千元的基礎(chǔ)上，按月呈以下模型波動(dòng)：【解】由題意可知當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值9；時(shí)有最小值5，即

已知3月份達(dá)到最高價(jià)9千元，7月份價(jià)格最低為5千元，根據(jù)以上條件，請(qǐng)你確定的解析式.

，解得

，∵函數(shù)的周期T=2(7-3)=8，由

有，∵當(dāng)時(shí)函數(shù)有最大值，即

∵，取，得

∴的解析式為

【例4】如圖所示的是一個(gè)單擺，以平衡位置A為始邊，OB為終邊

的角θ與時(shí)間t(s)滿(mǎn)足函數(shù)解析式，則

當(dāng)t=0時(shí)，角θ的大小及單擺的頻率是多少？【解】當(dāng)t=0時(shí)，

由函數(shù)的解析式可知，函數(shù)的周期為

則函數(shù)的頻率為

【例5】在兩個(gè)彈簧上各掛一個(gè)質(zhì)量分別是M1和M2的小球，它們?cè)谪Q直方向上作

自由振動(dòng)，已知它們?cè)跁r(shí)間t(s)時(shí)離開(kāi)平衡位置的位移S1(cm)和S2(cm)分別是由

下列兩式?jīng)Q定：則在時(shí)間時(shí)，S1與S2的大

小關(guān)系如何？【解】當(dāng)

時(shí)，

所以此時(shí)的關(guān)系是

【例6】商場(chǎng)人流量被定義為每分鐘通過(guò)入口的人數(shù)，元旦期間某商場(chǎng)的人流量

滿(mǎn)足函數(shù)，則下列時(shí)間段內(nèi)人流量增加的是哪個(gè)？【解】由

A.[0，5]B.[5，10]C.[10，15]D.[15，20]

可知函數(shù)的增區(qū)間為

當(dāng)時(shí)，，而

所以本題選C【例7】某城市一年中12個(gè)月的平均氣溫

與月份

的關(guān)系可近似的用函數(shù)

來(lái)表示，已知6月份的平均氣溫最高，為28℃，12月份的月平均氣溫最低，為18℃，則10月份的月平均氣溫是多少度？【解】由題意有

解得

所以

當(dāng)時(shí)，

所以10月份的平均氣溫是20.5℃第5章

三角函數(shù)《5.7三角函數(shù)的應(yīng)用》練習(xí)課教材知識(shí)探究溫州市區(qū)著名景點(diǎn)——江心嶼，江心嶼上面有座寺廟——江心寺，在江心寺中題了一副非常知名的對(duì)聯(lián).上聯(lián)是：云朝朝朝朝朝朝朝朝散；下聯(lián)是：潮長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)長(zhǎng)消.該對(duì)聯(lián)巧妙地運(yùn)用了疊字詩(shī)展現(xiàn)了甌江潮水漲落的壯闊畫(huà)面.下面是甌江江心嶼碼頭在某年某個(gè)季節(jié)每天的時(shí)間與水深的關(guān)系表：江心嶼問(wèn)題1.仔細(xì)觀察表格中的數(shù)據(jù)，你能從中得到一些什么信息？2.以時(shí)間為橫坐標(biāo)，水深為縱坐標(biāo)建立平面直角坐標(biāo)系，將上面表格中的數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)描在直角坐標(biāo)系中，你能得到什么結(jié)論？提示1.水深隨時(shí)間的變化呈周期變化.2.若用平滑的曲線(xiàn)連結(jié)各點(diǎn)，則大致呈正弦曲線(xiàn).時(shí)間0136891215182124水深66.257.552.842.557.552.551.在適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系下，簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可以用函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)，x∈[0，＋∞)表示，其中A>0，ω>0.理清三角函數(shù)模型的物理意義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵(1))A就是這個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的

，它是做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的物體離開(kāi)平衡位置的

；振幅最大距離ωx＋φ初相2.三角函數(shù)作為描述現(xiàn)實(shí)世界中周期現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)模型，在刻畫(huà)周期變化預(yù)測(cè)其未來(lái)等方面發(fā)揮著十分重要的作用.具體地，我們可以利用搜集到的數(shù)據(jù)，先畫(huà)出相應(yīng)的“散點(diǎn)圖”，觀察散點(diǎn)圖，然后進(jìn)行函數(shù)擬合獲得具體的函數(shù)模型，最后利用這個(gè)函數(shù)模型來(lái)解決相應(yīng)的實(shí)際問(wèn)題.√√答案2.5答案3πx－π答案1[微思考]1.現(xiàn)實(shí)世界中的周期現(xiàn)象可以用哪種數(shù)學(xué)模型描述？

提示三角函數(shù)模型.2.在建模過(guò)程中，散點(diǎn)圖的作用是什么？

提示利用散點(diǎn)圖可以較為直觀地分析兩個(gè)變量之間的某種關(guān)系，然后利用這種關(guān)系選擇一種合適的函數(shù)去擬合這些散點(diǎn)，從而避免因盲目選擇函數(shù)模型而造成的不必要的失誤.題型一已知三角函數(shù)圖象解決應(yīng)用問(wèn)題∴ω≥300π>942，又ω∈N*，故所求最小正整數(shù)ω＝943.規(guī)律方法已知三角函數(shù)圖象解決應(yīng)用問(wèn)題，首先由圖象確定三角函數(shù)的解析式，其關(guān)鍵是確定參數(shù)A，ω，φ，同時(shí)在解題中注意各個(gè)參數(shù)的取值范圍.【訓(xùn)練1】彈簧振子以O(shè)為平衡位置，在B，C兩點(diǎn)間做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，B，C相距20cm，某時(shí)刻振子處在B點(diǎn)，經(jīng)0.5s振子首次到達(dá)C點(diǎn)，求： (1)振動(dòng)的振幅、周期和頻率； (2)彈簧振子在5s內(nèi)通過(guò)的路程及位移.

解(1)設(shè)振幅為A，則2A＝20cm，

所以A＝10cm.所以f＝1Hz.(2)振子在1s內(nèi)通過(guò)的路程為4A，故在5s內(nèi)通過(guò)的路程s＝5×4A＝20A＝20×10＝200(cm).5s末物體處在B點(diǎn)，所以它的位移為0cm.描點(diǎn)畫(huà)圖：(2)①小球開(kāi)始擺動(dòng)(t＝0)，離開(kāi)平衡位置為3厘米.②小球擺動(dòng)時(shí)離開(kāi)平衡位置的最大距離是6厘米.③小球來(lái)回?cái)[動(dòng)一次需要1秒(即周期).題型三建立確定的三角函數(shù)模型【例3】如圖為一個(gè)觀光纜車(chē)示意圖，該觀光纜車(chē)半徑為4.8m，圓上最低點(diǎn)與地面距離為0.8m，60秒轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，圖中OA與地面垂直，以O(shè)A為始邊，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)θ角到OB，設(shè)點(diǎn)B與地面距離為h.(1)求h與θ間關(guān)系的函數(shù)解析式；(2)設(shè)從OA開(kāi)始轉(zhuǎn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)t秒到達(dá)OB，求h與t間關(guān)系的函數(shù)解析式.解

(1)由題意可作圖如圖.過(guò)點(diǎn)O作地面平行線(xiàn)ON，過(guò)點(diǎn)B作ON的垂線(xiàn)BM交ON于點(diǎn)M.h＝|OA|＋0.8＋|BM|規(guī)律方法面對(duì)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，能夠迅速地建立數(shù)學(xué)模型是一項(xiàng)重要的基本技能，在讀題時(shí)把問(wèn)題提供的“條件”逐條地“翻譯”成“數(shù)學(xué)語(yǔ)言”，這個(gè)過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模的過(guò)程.【訓(xùn)練3】如圖，一個(gè)大風(fēng)車(chē)的半徑為8m，每12min旋轉(zhuǎn)一周，最低點(diǎn)離地面2m.若風(fēng)車(chē)翼片從最低點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蜷_(kāi)始旋轉(zhuǎn)，則該翼片的端點(diǎn)離地面的距離h(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)關(guān)系是(

)解析由T＝12，排除B；當(dāng)t＝0時(shí)，h＝2，排除A，C.答案

D題型四三角函數(shù)模型的擬合【例4】下表是某地某年月平均氣溫(華氏)：月份123456平均氣溫21.426.036.048.859.168.6月份789101112平均氣溫73.071.964.753.539.827.7以月份為x軸(x＝月份－1)，以平均氣溫為y軸.解(1)如圖.(2)最低氣溫為1月份21.4，最高氣溫為7月份