《第二章 一元二次函數(shù)、方程和不等式》導學案

《第二章一元二次函數(shù)、方程和不等式》導學案《§2．1等式性質與不等式性質》導學案一、導學目標：梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質．二、學習過程（預習教材P37~P42，回答下列問題）情景1：右圖是一大型超市的食品專柜，假如你是顧客，需要購買一些食品：請問你最關心所購食品的哪些方面？你又如何作出選擇呢？情景2：右圖是限速40km/h的路標，指示司機在前方路段行駛時，應使汽車的速度不超過40km/h，寫成不等式是：_________．情景3：的兩邊之和大于第三邊，寫成不等式是：_________．【知識點一】實數(shù)大小比較1．文字敘述如果a－b是正數(shù)，那么a>b；如果a－b等于0，那么a＝b；如果a－b是負數(shù)，那么a<b，反之也成立．2．符號表示a－b>0?a>b；a－b＝0?a＝b；a－b<0?a<b．自我檢測1：設M＝x2，N＝－x－1，則M與N的大小關系是()A．M>NB．M＝NC．M<ND．與x有關【知識點二】不等式的性質性質別名性質內容注意1對稱性a>b?b<a可逆2傳遞性a>b，b>c?a>c3可加性a>b?a＋c>b＋c可逆4可乘性c的符號5同向可加性同向6同向同正可乘性同向7可乘方性()同正8取倒數(shù)同號自我檢測2：（1）若1≤a≤5，－1≤b≤2，則a－b的取值范圍為________．（2）已知x<a<0，則一定成立的不等式是()A．x2<a2<0B．x2>ax>a2C．x2<ax<0D．x2>a2>ax題型一用不等式表示不等關系【例1】某鋼鐵廠要把長度為4000mm的鋼管截成500mm和600mm的兩種規(guī)格．按照生產的要求，600mm的鋼管的數(shù)量不能超過500mm鋼管的3倍．怎樣寫出滿足上述所有不等關系的不等式呢？題型二比較大小【例2-1】比較下列代數(shù)式的大小（1）比較(x＋2)(x＋3)和(x＋1)(x＋4)的大?。?）已知a>2，b>2，試比較a＋b與ab的大?。纠?-2】已知都是正數(shù)，且，求證：．題型三不等式的性質【例3-1】下面的推理過程eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b?ac>bc,c>d?bc>bd))?ac>bd?eq\f(a,d)>eq\f(b,c)，其中錯誤之處的個數(shù)是()A．0B．1C．2D．3【例3-2】已知，求證：題型四利用不等式性質求范圍【例4-1】已知－2<a≤3,1≤b<2，試求下列代數(shù)式的取值范圍：(1)|a|；(2)a＋b；(3)a－b；(4)2a－3b【例4-2】已知－1<x＋y<4且2<x－y<3，則z＝2x－3y的取值范圍為_____．三、課后練習1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關系是()A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．隨x值變化而變化2．已知a<b，那么下列式子中，錯誤的是()A．4a<4bB．－4a<－4C．a＋4<b＋4D．a－4<b－43．對于任意實數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是()A．若a>b，c≠0，則ac>bcB．若a>b，則ac2>bc2C．若ac2>bc2，則a>bD．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)4．若a>b>0，則下列不等式中恒成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)5．鹽水溶液的濃度公式為，向鹽水中再加入克鹽，那么鹽水將變得更咸，下面哪一個式子可以說明這一事實（）A． B． C． D．6．對于實數(shù)a、b、c，有下列說法：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；⑤若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0．其中正確命題的序號是．【參考答案】學后反思鞏固提高學后反思鞏固提高情景1：生產日期、選擇最新日期的購買．情景2：．情景3：．【自我檢測1】A【自我檢測2】（1）－1≤a－b≤6（2）B【例1】【解析】題中三個不等關系，是“且”的關系，要同時滿足的話，可以用下面的不等式組來表示．【例2-1】比較下列代數(shù)式的大小（1）【解析】因為(x＋2)(x＋3)－(x＋1)(x＋4)＝(x2＋5x＋6)－(x2＋5x＋4)＝2>0，所以(x＋2)(x＋3)>(x＋1)(x＋4)．（2）【解析】因為由，可得，可得，所以．【例2-2】【解析】利用即可．【例3-1】【解析】D【例3-2】綜合法或分析法【例4-1】【解析】(1)|a|∈[0,3]；(2)－1<a＋b<5；(3)依題意得－2<a≤3，－2<－b≤－1，相加得－4<a－b≤2；(4)由－2<a≤3得－4<2a≤6①由1≤b<2得－6<－3b≤－3②，由①②得，－10<2a－3b【例4-2】【解析】．1．若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，則f(x)與g(x)的大小關系是()A．f(x)<g(x)B．f(x)＝g(x)C．f(x)>g(x)D．隨x值變化而變化【解析】C2．已知a<b，那么下列式子中，錯誤的是()A．4a<4bB．－4a<－4C．a＋4<b＋4D．a－4<b－4【解析】B3．對于任意實數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是()A．若a>b，c≠0，則ac>bcB．若a>b，則ac2>bc2C．若ac2>bc2，則a>bD．若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)【解析】B4．若a>b>0，則下列不等式中恒成立的是()A．eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1) B．a＋eq\f(1,a)>b＋eq\f(1,b)C．a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) D．eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)【解析】C5．鹽水溶液的濃度公式為，向鹽水中再加入克鹽，那么鹽水將變得更咸，下面哪一個式子可以說明這一事實（）A． B． C． D．【解析】A6．對于實數(shù)a、b、c，有下列說法：①若a>b，則ac<bc；②若ac2>bc2，則a>b；③若a<b<0，則a2>ab>b2；④若c>a>b>0，則eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)；⑤若a>b，eq\f(1,a)>eq\f(1,b)，則a>0，b<0．其中正確命題的序號是．【解析】②③④⑤《§2．2．1基本不等式》導學案（第一課時）一、導學目標：掌握基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)．結合具體實例，能用基本不等式解決簡單的最大值或最小值問題．二、學習過程（預習教材P44~P46，回答下列問題）思考：你能否在這個圖案中找出一些相等關系或不等關系？1、正方形ABCD的面積S=＿＿＿＿＿2、四個直角三角形的面積和S’=＿＿3、S與S’有什么樣的不等關系？【知識點一】重要不等式對于任意實數(shù)a、b，都有a2＋b2≥2ab，當且僅當a＝b時，等號成立．自我檢測1：你能給出不等式a2＋b2≥2ab的證明嗎？【知識點二】基本不等式對于任意實數(shù)，都有eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)，當且僅當a＝b時，等號成立．其中eq\f(a＋b,2)和eq\r(ab)分別叫做正數(shù)a，b的算術平均數(shù)和幾何平均數(shù)．自我檢測2：你能給出不等式（）的證明嗎？【知識點三】利用基本不等式求最值問題已知x>0，y>0，則如果積xy是定值p，那么當且僅當________時，x＋y有最____值是________(簡記：積定和最小)．如果和x＋y是定值p，那么當且僅當________時，xy有最____值是__________(簡記：和定積最大)．自我檢測3：利用基本不等式求最值時應注意什么呢？題型一對基本不等式的理解【例1】正確辨別不等式的使用條件(1)下列不等式中，不正確的是()A．a2＋b2≥2|a||b|B．eq\f(a2,b)≥2a－b(b≠0)C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))2≥eq\f(2a,b)－1(b≠0)D．2(a2＋b2)≥(a＋b)2(2)給出下列命題：①若x∈R，則x＋eq\f(1,x)≥2；②若a<0，b<0，則ab＋eq\f(1,ab)≥2；③不等式eq\f(y,x)＋eq\f(x,y)≥2成立的條件是x>0且y>0．其中正確命題的序號是________．題型二利用基本不等式求最值【例2-1】已知，求的最小值和此時x的取值．（或）【例2-2】求下列代數(shù)式的最值（1）已知，求的最小值；（2）若，求的最大值；（3）已知，且滿足，求的最小值；（4）求的最小值；（5）若且，求的最小值；（6）若且，求的最小值．題型三恒成立問題與存在問題【例3】若對任意，恒成立，則a的取值范圍為_______．三、課后練習1．已知a，b∈R，且ab>0，則下列結論恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥22．若a>1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．aC．eq\f(2\r(a),a－1)D．33．下列不等式中，正確的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)4．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．65．已知x，y都是正數(shù)．(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________．【參考答案】學后反思鞏固提高學后反思鞏固提高思考：1、；2、；3、【自我檢測1】證明：當時，；當時，．分析法自我檢測2：你能給出不等式（）的證明嗎？分析法【自我檢測2】證明：要證只需證只需證（）只需證顯然成立．當且僅當時，上式“”成立．【自我檢測3】【例1】【解析】（1）B；（2）正確命題的序號是②．【例2-1】【解析】當時，（當且僅當時，“”成立）；當時，“一正”不滿足，所以不能求該函數(shù)的最小值；當時，“三相等”不滿足，所以不能求該函數(shù)的最小值．【例2-2】求下列代數(shù)式的最值（1）【解析】因為，則，所以，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為5．（2）【解析】因為，，所以，當且僅當時，即時取等號，所以的最大值為．（3）【解析】因為x＞0，y＞0，eq\f(8,x)＋eq\f(1,y)＝1，所以x＋2y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)))(x＋2y)＝10＋eq\f(x,y)＋eq\f(16y,x)≥10＋2eq\r(\f(x,y)·\f(16y,x))＝18，當且僅當eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(1,y)＝1，,\f(x,y)＝\f(16y,x)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝12，,y＝3))時，等號成立，所以當x＝12，y＝3時，(x＋2y)min＝18．（4）【解析】因為，所以，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為．（5）【解析】因為（）所以，當且僅當時，即時取等號，所以的最小值為．（6）【解析】因為，所以令（），即或（舍），當且僅當時，“”成立，所以的最小值為．【例3】【解析】因為，，當且僅當時，“”成立．所以只需即可．1．已知a，b∈R，且ab>0，則下列結論恒成立的是()A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2eq\r(ab)C．eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)>eq\f(2,\r(ab))D．eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2解析：D2．若a>1，則a＋eq\f(1,a－1)的最小值是()A．2B．aC．eq\f(2\r(a),a－1)D．3解析：D3．下列不等式中，正確的是()A．a＋eq\f(4,a)≥4B．a2＋b2≥4abC．eq\r(ab)≥eq\f(a＋b,2)D．x2＋eq\f(3,x2)≥2eq\r(3)解析：D4．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5D．6解析：C5．已知x，y都是正數(shù)．(1)如果xy＝15，則x＋y的最小值是________．(2)如果x＋y＝15，則xy的最大值是________．解析：(1)x＋y≥2eq\r(xy)＝2eq\r(15)，即x＋y的最小值是2eq\r(15)；當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\r(15)時取最小值．(2)xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,2)))2＝eq\f(225,4)，即xy的最大值是eq\f(225,4).當且僅當x＝y(tǒng)＝eq\f(15,2)時xy取最大值．《§2．2．2基本不等式》導學案（第二課時）一、導學目標：掌握基本不等式eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a，b≥0)及其湊配過程．結合具體實例，能用基本不等式求最值問題及證明不等式問題．二、學習過程（預習教材P46~P48，回答下列問題）復習：基本不等式：．（1）基本不等式成立的條件：．（2）等號成立的條件，當且僅當時取等號．【知識點一】利用基本不等式求最值（最值使用）已知都是正數(shù)，是常數(shù)．（1）（當且僅當時，“”成立）（2）（當且僅當時，“”成立）自我檢測1：利用基本不等式求最值時應注意什么？【知識點二】利用基本不等式證明有關不等式問題（放縮使用）自我檢測2：你能證明下面兩個常見的放縮不等式嗎？（1）（）．（2）．【知識點三】利用基本不等式解決實際中的問題（1）問題的背景是人們關心的社會熱點問題，如物價、銷售、稅收等．題目往往較長，解題時需認真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學模型，轉化為數(shù)學問題求解；（2）經常建立的函數(shù)模型有正(反)比例函數(shù)、一次函數(shù)、二次函數(shù)、分段函數(shù)以及等．自我檢測3：求函數(shù)的最值，并猜想該函數(shù)的圖像的形狀？題型一利用基本不等式求最值問題【例1】求下列代數(shù)式的最值（1）已知x>0，y>0，且，求的最小值．（2）求函數(shù)的最小值．（3）求函數(shù)的最小值．（4）已知x>0，y>0，x＋3y＋xy=9，求x＋3y的最小值．（5）若正數(shù)a，b滿足，求的最小值．題型二利用基本不等式證明不等式【例2-1】已知a、b、c>0，求證：eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c．【例2-2】已知a，b，c是互不相等的正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9．題型三利用基本不等式解決實際問題【例3】某工廠要建造一個長方體形無蓋貯水池，其容積為4800m3，深為3m三、課后練習1．已知,且，則的最小值為．2．若正實數(shù)x，y滿足2x＋y＋6＝xy，則xy的最小值是______．3．某公司購買一批機器投入生產，據市場分析，每臺機器生產的產品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉時間x(單位：年)的關系為y=?x2＋18x?25(xN*)，則當每臺機器運轉________年時，年平均利潤最大，最大值是________萬元．4．設正實數(shù)x，y，z滿足，則當取得最大值時，的最大值為．5．已知x>0，y>0，z>0．求證：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥8．【參考答案】學后反思鞏固提高復習：基本不等式：學后反思鞏固提高（1）基本不等式成立的條件：．（2）等號成立的條件，當且僅當時取等號．【自我檢測1】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）正確定義（湊配）重要不等式中的，如構造“1”的代換等．（2）使用重要不等式求最值時，一定要檢驗“一正、二定、三相等”缺一不可且檢驗順序不可改變．（3）若一次應用基本不等式不能達到要求，需多次應用基本不等式，但要注意等號成立的條件必須要一致．【自我檢測2】（1）【解析】左邊：由eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，得；右邊：要證，只需證，只需證，顯然成立．所以，原命題得證．（2）【解析】∵a、b、c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac．∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)．即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac．【自我檢測3】函數(shù)圖像的形狀如右圖【例1】求下列代數(shù)式的最值（1）【解析】∵x>0，y>0，且，∴，當且僅當，即時，等號成立．所以函數(shù)的最小值為．（2）【解析】∵，∴，∴．當且僅當，即時，等號成立．所以函數(shù)的最小值為．（3）【解析】，當且僅當，即，顯然，即時，等號成立．所以函數(shù)的最小值為．（4）【解析】因為9=x＋3y＋xy=x＋3y＋·(x·3y)≤x＋3y＋，所以(x＋3y)2＋12(x＋3y)?108≥0．所以x＋3y≥6或x＋3y≤?18(舍去)，當且僅當x=3，y=1時取“=”．（5）【解析】解法一：因為，所以a＋b=ab?(a?1)·(b?1)=1，所以=2×3=6(當且僅當，b=4時取“=”)．解法二：因為，所以a＋b=ab，所以(當且僅當，b=4時取“=”)．【例2-1】【解析】因為a，b，c，eq\f(a2,b)，eq\f(b2,c)，eq\f(c2,a)均大于0，所以eq\f(a2,b)＋b≥2eq\r(\f(a2,b)·b)＝2a．當且僅當eq\f(a2,b)＝b時等號成立．eq\f(b2,c)＋c≥2eq\r(\f(b2,c)·c)＝2b．當且僅當eq\f(b2,c)＝c時等號成立．eq\f(c2,a)＋a≥2eq\r(\f(c2,a)·a)＝2c，當且僅當eq\f(c2,a)＝a時等號成立．相加得eq\f(a2,b)＋b＋eq\f(b2,c)＋c＋eq\f(c2,a)＋a≥2a＋2b＋2c，∴eq\f(a2,b)＋eq\f(b2,c)＋eq\f(c2,a)≥a＋b＋c．【例2-2】【解析】∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)＝eq\f(a＋b＋c,a)＋eq\f(a＋b＋c,b)＋eq\f(a＋b＋c,c)＝3＋eq\f(b,a)＋eq\f(c,a)＋eq\f(a,b)＋eq\f(c,b)＋eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)＝3＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＋\f(a,b)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＋\f(a,c)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,b)＋\f(b,c)))≥3＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＋2eq\r(\f(c,a)·\f(a,c))＋2eq\r(\f(c,b)·\f(b,c))＝3＋2＋2＋2＝9．當且僅當a＝b＝c時取等號，∴eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＋eq\f(1,c)>9．【例3】【解析】設貯水池池底的相鄰兩條邊的邊長分別為xm，ym，水池的總造價為z元．根據題意，有z＝150×eq\f(4800,3)＋120(2×3x＋2×3y)＝240000＋720(x＋y)．由容積為4800m3，可得3xy因此xy＝1600．所以z≥240000＋720×2eq\r(xy)，當x＝y(tǒng)＝40時，上式等號成立，此時z＝297600．所以，將貯水池的池底設計成邊長為40m的正方形時總造價最低，最低總造價是297600元．1．【解析】∵,,∴(當且僅當,即時，取“=”)．又∵,∴，∴當,時，有最小值，為．2．【解析】設eq\r(xy)＝t(t>0)，由xy＝2x＋y＋6≥2eq\r(2xy)＋6，即t2≥2eq\r(2)t＋6，(t－3eq\r(2))(t＋eq\r(2))≥0，∴t≥3eq\r(2)，則xy≥18，當且僅當2x＝y(tǒng),2x＋y＋6＝xy，即x＝3，y＝6時等號成立，∴xy的最小值為18．3．【解析】每臺機器運轉x年的年平均利潤為，而x>0，故，當且僅當x=5時等號成立，此時年平均利潤最大，最大值為8萬元．4．【解析】由題意得，，當且僅當時等號成立，此時，，當且僅當時等號成立，故所求的最大值為1．5．【解析】證明：因為x>0，y>0，z>0，所以eq\f(y,x)＋eq\f(z,x)≥eq\f(2\r(yz),x)>0，eq\f(x,y)＋eq\f(z,y)≥eq\f(2\r(xz),y)>0，eq\f(x,z)＋eq\f(y,z)≥eq\f(2\r(xy),z)>0，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)＋\f(z,x)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,y)＋\f(z,y)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,z)＋\f(y,z)))≥eq\f(8\r(yz)·\r(xz)·\r(xy),xyz)＝8，當且僅當x＝y(tǒng)＝z時等號成立．《§2.3.1二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》導學案（第一課時）一、導學目標：1．從函數(shù)觀點看一元二次方程．會結合一元二次函數(shù)的圖象，求解一元二次方程．2．從函數(shù)觀點看一元二次不等式．會結合一元二次函數(shù)圖像，求解一元二次不等式．3．借助一元二次函數(shù)的圖象，了解一元二次不等式、方程與其相應函數(shù)的聯(lián)系．二、學習過程（預習教材P51~P53，回答下列問題）情景：學校要在長為8，寬為6的一塊長方形地面上進行綠化，計劃四周種花卉，花卉帶的寬度相同，中間種植草坪(圖中陰影部分)為了美觀，現(xiàn)要求草坪的種植面積超過總面積的一半，此時花卉帶的寬度的取值范圍是什么?【知識點一】一元二次不等式的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)最高次數(shù)是的不等式叫做一元二次不等式.其一般形式可表示為：或自我檢測1：下列不等式中是一元二次不等式的是()A．B．C．D．【知識點二】一元二次不等式的解法下圖是一元二次函數(shù)的圖像，請根據圖像回答：（1）當取時，當取時，當取時，由上面可知：（2）一元二次不等式的解集為一元二次不等式的解集為有何發(fā)現(xiàn)：（3）一元二次方程的解集為有何發(fā)現(xiàn)：請歸納求解一元二次不等式的解集的步驟？自我檢測2：一元二次不等式的解集是【知識點三】三個二次之間的關系請根據右圖回答：一元二次方程、一元二次不等式與其對應的一元二次函數(shù)圖像的關系？（1）一元二次方程的兩根為是一元二次函數(shù)圖像與軸．（2）一元二次方程的解集的端點是一元二次方程的．（3）一元二次方程的兩根為，則．自我檢測3：不等式的解集為，則a，c的值分別為()A．a＝6，c＝1B．a＝－6，c＝－1C．a＝1，c＝1D．a＝－1，c＝－6【知識點四】一元二次不等式恒成立問題（1）恒成立的充要條件是：且．（2）恒成立的充要條件是：且．自我檢測4：若一元二次不等式對一切實數(shù)x都成立，則k的取值范圍？題型一一元二次不等式的解法【例1】求解下列一元二次不等式(1)求不等式的解集．(2)求不等式的解集．(3)求不等式的解集．題型二三個“二次”之間的關系【例2】已知關于x的不等式的解集為，求關于x的不等式的解集．題型三一元二次不等式恒成立問題【例3-1】要使函數(shù)的值恒為負值，求的取值范圍．【例3-2】當x(1,2)時，不等式x2＋mx＋4<0恒成立，求m的取值范圍．三、課后練習1．一元二次不等式的解集是（）A．{x|x<?1}B．C．D．2．若不等式的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(0,2)3．求解下列一元二次不等式(1)；(2)；(3)；(4)4．一元二次不等式的解集為，求不等式的解集．【參考答案】學后反思鞏固提高情景：設花卉帶的寬為，則依題意可得：學后反思鞏固提高，整理得．【自我檢測1】答案：C（1）或；；或（2）；函數(shù)位于軸上方的圖像對應的的取值即為該函數(shù)所對應的不等式大于0的解集；函數(shù)位于軸下方的圖像對應的的取值即為該函數(shù)所對應的不等式小于0的解集；（3）函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標即為該函數(shù)所對應的方程的解；解一元二次不等式的一般步驟（1）一化：把不等式變形為二次項系數(shù)大于零的標準形式．（2）二判：計算對應方程的判別式．（3）三求：求出對應的一元二次方程的根，或根據判別式說明方程有沒有實根．（4）四寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集．【自我檢測2】答案：（1）一元二次方程的兩根為是一元二次函數(shù)圖像與軸交點的橫坐標．（2）一元二次方程的解集的端點是一元二次方程的兩根．（3）一元二次方程的兩根為，則．【自我檢測3】答案：B（1）恒成立的充要條件是：且．（2）恒成立的充要條件是：且．【自我檢測4】答案：【例1】答案：（1）{x|x<2，或x>3}；（2）eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x≠\f(1,3)))))；（3）．【例2】答案：由不等式ax2＋bx＋c>0的解集為{x|2<x<3}可知，a<0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關系可知eq\f(b,a)＝－5，eq\f(c,a)＝6.由a<0知c<0，eq\f(b,c)＝eq\f(－5,6)，故不等式cx2＋bx＋a<0，即x2＋eq\f(b,c)x＋eq\f(a,c)>0，即x2－eq\f(5,6)x＋eq\f(1,6)>0，解得x<eq\f(1,3)或x>eq\f(1,2)，所以不等式cx2＋bx＋a<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x＜\f(1,3)或x＞\f(1,2)))))．【例3-1】函數(shù)的值恒為負值，即不等式對一切實數(shù)x都成立，于是①當時，恒成立；②當時，要使其恒成立，則有，解得.綜上，的取值范圍為.【例3-2】解法一：∵不等式x2＋mx＋4<0對x(1,2)恒成立，∴mx<?x2?4對x(1,2)恒成立，即m<?對x(1,2)恒成立，令y=，∵函數(shù)y=在x(1,2)上是減函數(shù)，∴4<y<5，∴?5<?<?4，∴m≤?5.解法二：設f(x)=x2＋mx＋4，當x(1,2)時，f(x)<0恒成立?.1．一元二次不等式?2x2＋x＋3<0的解集是（）A．{x|x<?1}B．C．D．答案：D2．若不等式x2＋mx＋eq\f(m,2)>0的解集為R，則實數(shù)m的取值范圍是()A．(2，＋∞)B．(－∞，2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞)D．(0,2)答案：D3．求解下列一元二次不等式(1)x2－7x＋12>0；(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1<0；(4)－2x2＋3x－2<0.答案：(1){x|x＜3或x＞4}．(2){x|－3≤x≤1}．(3)(4)4．一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．答案：因為x2＋px＋q<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，所以x1＝－eq\f(1,2)與x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的兩個實數(shù)根，由根與系數(shù)的關系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))所以不等式qx2＋px＋1>0即為－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集為{x|－2<x<3}．《§2．3．2二次函數(shù)與一元二次方程、不等式》導學案（第二課時）一、導學目標：1．掌握含參數(shù)的一元二次不等式的解法，滲透分類談論的思想．2．通過一元二次不等式的求解過程，了解分式不等式、高次不等式的解法，滲透類比轉化的思想．3．會利用一元二次不等式求解實際問題，體會數(shù)學抽象、數(shù)學建模的學科素養(yǎng)．二、學習過程（預習教材P50~P54，回答下列問題）復習：完成下列“三個二次”之間關系的表格情景：類比一元二次不等式的解法，我們如何得到的解集呢？談談你的想法？【知識點一】含參數(shù)的一元二次不等式的解法形如，除了主元變量以外，還含有其他的變量（參變量）的不等式，我們稱為含參數(shù)的一元二次不等式．規(guī)律方法：在解答含有參數(shù)的一元二次不等式時，往往要對參數(shù)進行分類討論，為了做到分類“不重不漏”，一般從如下三個方面進行考慮：（1）關于不等式類型的討論：二次項的系數(shù)a>0，a=0，a<0；（2）關于不等式對應的方程的根的討論：兩根(>0)，一根(=0)，無根(<0)；在有根的前提下，恰當?shù)氖褂檬窒喑丝捎行Ш喕\算．（3）關于不等式對應的方程根的大小的討論：．自我檢測1：如何得到含參數(shù)的一元二次不等式的解集？【知識點二】分式不等式形如（其中是常數(shù)）的不等式，稱為分式不等式．規(guī)律方法：分式不等式向整式不等式轉化時一定要注意等價轉化，即分母為時的取舍．自我檢測2：求分式不等式的解集．【知識點三】高次不等式不等式的最高次項的次數(shù)高于2的不等式稱為高次不等式，形如、等．規(guī)律方法：（穿針引線）①將不等式化為標準形式，一端為0，另一端為一次因式(因式中x的系數(shù)為正)；②求出各因式的實數(shù)根，并在數(shù)軸上標出；③自最右端上方起，用曲線自右向左依次由各根穿過數(shù)軸，遇奇次重根穿過，遇偶次重根穿而不過(奇過偶不過)；④記數(shù)軸上方為正，下方為負，根據不等式的符號寫出解集（注意端點的取舍）．自我檢測3：求高次不等式、等．的解集．題型一含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例1】解關于x的不等式．題型二分式不等式、高次不等式的解法【例2】解下列不等式：(1)；(2)．題型三一元二次不等式的實際應用【例3】國家原計劃以2400元/噸的價格收購某種農產品m噸．按規(guī)定，農戶向國家納稅為：每收入100元納稅8元(稱作稅率為8個百分點，即8%)．為了減輕農民負擔，制定積極的收購政策．根據市場規(guī)律，稅率降低x個百分點，收購量能增加2x個百分點．試確定x的范圍，使稅率調低后，國家此項稅收總收入不低于原計劃的78%．三、課后作業(yè)1．設，則“”是“”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．不等式的解集為（）A． B．C． D．3．若，則不等式的解集是（)A． B．C． D．4．關于的不等式的解集為，則關于的不等式的解集為_。5．解關于x的不等式2x2＋ax＋2>0．【參考答案】學后反思鞏固提高學后反思鞏固提高復習：完成下列“三個二次”之間關系的表格情景：當時，該不等式的解集為；當時，該不等式的解集為；當時，該不等式的解集為．【自我檢測1】，所以該不等式的解集同上．【自我檢測2】．【自我檢測3】；