數(shù)學(xué)人教A版高中必修二（2019新編）6-2平面向量的數(shù)乘運(yùn)算（學(xué)案）

第03講平面向量的數(shù)乘運(yùn)算目標(biāo)導(dǎo)航目標(biāo)導(dǎo)航課程標(biāo)準(zhǔn)課標(biāo)解讀1．掌握向量數(shù)乘的定義．2．了解向量數(shù)乘的運(yùn)算律．3．理解向量數(shù)乘的幾何意義．4.掌握向量的共線定理.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)要求熟練地進(jìn)行實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算，利用向量數(shù)乘的幾何意義判斷兩向量共線，能在深刻理解向量數(shù)乘運(yùn)算的基礎(chǔ)上綜合運(yùn)用．知識(shí)精講知識(shí)精講知識(shí)點(diǎn)1．向量的數(shù)乘一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作．它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1）；（2）時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，與的方向相反；時(shí)，．【微點(diǎn)撥】（1）對(duì)于：①?gòu)拇鷶?shù)角度看，是實(shí)數(shù)，是向量，它們的積仍然是向量．的條件是或．②從幾何的角度看，對(duì)于長(zhǎng)度來(lái)說(shuō)，當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線段在原方向或相反方向上伸長(zhǎng)了倍；當(dāng)時(shí)，意味著表示向量的有向線段在原方向或反方向上縮短了倍．（2）實(shí)數(shù)與向量可以求積，但不能進(jìn)行加減運(yùn)算，如，都無(wú)意義．2．向量數(shù)乘的運(yùn)算律實(shí)數(shù)與向量的積滿足下面的運(yùn)算律：設(shè)、是實(shí)數(shù)，、是向量，則：結(jié)合律：；第一分配律：；③第二分配律：．3．向量共線定理（1）內(nèi)容：向量與非零向量共線，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使．（2）向量共線定理的注意問(wèn)題：①定理的運(yùn)用過(guò)程中要特別注意．特別地，若，實(shí)數(shù)仍存在，但不唯一．②定理的實(shí)質(zhì)是向量相等，應(yīng)從大小和方向兩個(gè)方面理解，借助于實(shí)數(shù)溝通了兩個(gè)向量與的關(guān)系．③定理為解決三點(diǎn)共線和兩直線平行問(wèn)題提供了一種方法．要證三點(diǎn)共線或兩直線平行，任取兩點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使向量相等即可．【即學(xué)即練1】化簡(jiǎn)的結(jié)果是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】.本題正確選項(xiàng)為B.【名師點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算法則的應(yīng)用，根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算法則直接化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.【即學(xué)即練2】已知AD、BE分別是△ABC的邊BC，AC上的中線，且，，則=（）A．+ B．+ C．+ D．+【答案】C【解析】∵，，，．∴，解得．故選C．【即學(xué)即練3】設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．與的方向相同 B．與的方向相反C．與的方向相同 D．【答案】C【解析】只有當(dāng)時(shí)，才有與的方向相同，與的方向相反，且.因?yàn)?，所以與的方向相同.故選C.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)乘，熟記概念即可，屬于基礎(chǔ)題型.根據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算，可直接得出結(jié)果.【即學(xué)即練4】已知平行四邊形的對(duì)角線與交于點(diǎn)，設(shè)，，則（）A． B．C． D．【答案】B【解析】如圖，，.本題正確選項(xiàng)為B.【名師點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，涉及到向量的減法和數(shù)乘運(yùn)算的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.根據(jù)向量減法的三角形法則和數(shù)乘運(yùn)算直接可得結(jié)果.【即學(xué)即練5】在梯形ABCD中，=3，則等于（）A．–+ B．–+ C．–+ D．–【答案】A【解析】∵在梯形ABCD中，=3，∴+，故選A．【即學(xué)即練6】已知M為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，△ABC所在平面內(nèi)有一個(gè)點(diǎn)P，滿足，若，則λ的值為（）A．2 B．1 C． D．4【答案】A【解析】由題意滿足，可得四邊形PACB是平行四邊形，又M為△ABC的邊AB的中點(diǎn)，∴PC=2PM，，∴λ=2．故選A．【即學(xué)即練7】已知實(shí)數(shù)和向量有下列說(shuō)法：①；②；③若，則；④若，則.其中，正確的說(shuō)法是（）A．①②③ B．①②④C．①③④ D．②③④【答案】B【解析】①和②屬于向量數(shù)乘運(yùn)算的分配律，正確；③中，當(dāng)時(shí)，，但與不一定相等，故③不正確；④正確，因?yàn)橛?，得，又因?yàn)?，所以，?故選B.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查向量的數(shù)乘，熟記向量數(shù)乘運(yùn)算的法則即可，屬于?？碱}型.求解時(shí)，根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算判斷①②；根據(jù)特殊值，判斷③；根據(jù)向量數(shù)乘運(yùn)算，可判斷④.【即學(xué)即練8】設(shè)是兩個(gè)不共線的向量，若向量（）與向量共線，則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄浚ǎ┡c向量共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，所以有，因此，解得.故選D．【名師點(diǎn)睛】本題主要考查由向量共線求參數(shù)的問(wèn)題，熟記向量的共線定理即可，屬于常考題型.求解時(shí)，根據(jù)向量的共線定理，結(jié)合題意得到，存在實(shí)數(shù)，使得，根據(jù)題中數(shù)據(jù)，列出方程組求解，即可得出結(jié)果.【即學(xué)即練9】化簡(jiǎn)：_________.【答案】【分析】通過(guò)合并同類項(xiàng)將式子化簡(jiǎn)即可．【詳解】原式．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．【即學(xué)即練10】若向量,則________.【答案】【分析】首先計(jì)算出再代入計(jì)算可得.【詳解】解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.能力拓展能力拓展考法011．向量的數(shù)乘運(yùn)算【典例1】等于()A． B．C． D．【答案】B【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】原式.故選：B.考法02用向量證明三線共點(diǎn)與三點(diǎn)共線問(wèn)題實(shí)數(shù)與向量的積的定義我們可以看作是數(shù)與數(shù)的積的推廣，學(xué)習(xí)實(shí)數(shù)與向量的積及運(yùn)算律時(shí)，應(yīng)聯(lián)想數(shù)與數(shù)的積的定義及運(yùn)算律，加深理解，并注意到實(shí)數(shù)與向量的積仍是一個(gè)向量，化簡(jiǎn)向量代數(shù)式時(shí)可類比多項(xiàng)式的合并同類項(xiàng)．【典例2】設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，，則（）A．P、A、C三點(diǎn)共線 B．P、A、B三點(diǎn)共線C．P、B、C三點(diǎn)共線 D．以上均不正確【答案】A【解析】如圖，取AC中點(diǎn)D，則，∴，∴D和P重合，∴P，A，C三點(diǎn)共線．故選A．【典例3】如圖所示，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)N是BD上一點(diǎn)，BN=BD，求證：M，N，C三點(diǎn)共線．

【答案】證明詳見(jiàn)解析．【解析】設(shè)，，∴，=3，∴，又，有公共點(diǎn)M，∴M，N，C三點(diǎn)共線．【名師點(diǎn)睛】?jī)上蛄抗簿€是我們研究向量間一種比較重要的位置關(guān)系，應(yīng)掌握常見(jiàn)的向量共線的判定方法．用解釋；用解釋或與共線．證明三點(diǎn)共線，可先在三點(diǎn)中選擇起點(diǎn)和終點(diǎn)確定兩個(gè)向量，看能否找到唯一的實(shí)數(shù)使兩向量相等．把向量共線問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尋求實(shí)數(shù)使向量相等的問(wèn)題．【即學(xué)即練11】已知向量，.求證：與是共線向量．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】由平面向量共線定理即可證明問(wèn)題.【詳解】由題意，，，則，由向量共線定理知與是共線向量．考法033.“姐妹式”巧解向量問(wèn)題我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣一些基本圖形：兩條相交直線及兩條直線外的點(diǎn)（作為多條向量的起點(diǎn)）（如下例1中的圖）．解與此相關(guān)的向量分解、計(jì)算、證明等問(wèn)題的核心往往是抓住交點(diǎn)分其所在線段（直線）被從同一起點(diǎn)出發(fā)的向量所截得兩線段的比．兩次應(yīng)用上述結(jié)論得到一對(duì)“姐妹式”，“殊途同歸”后利用共線向量定理得到一個(gè)方程組，最后或解方程組或設(shè)而不求整體消元，則問(wèn)題可迎刃而解．【典例4】如圖，在△AOB的邊，上分別有，，已知，，連接，，設(shè)它們交點(diǎn)為，若，，試用，表示．【答案】【解析】不妨設(shè)，，則，且，故，解得，所以．【名師點(diǎn)睛】“姐妹式”在處理兩直線相交且與這兩條直線外點(diǎn)有關(guān)的向量分解、計(jì)算、證明等問(wèn)題時(shí)有著廣泛的應(yīng)用．【即學(xué)即練12】在△中，點(diǎn)是上一點(diǎn)，且，是中點(diǎn)，與交點(diǎn)為，又，則的值為()A． B． C． D．【答案】D【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以可設(shè)，又，所以，，將它們代入，即有，由于不共線，從而有，解得，故選擇D.【考點(diǎn)】向量的基本運(yùn)算及向量共線基本定理.分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1．下列運(yùn)算正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③．A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用平面向量的加法，減法，數(shù)乘運(yùn)算及其運(yùn)算律判斷.【詳解】①，由數(shù)乘運(yùn)算知正確；②，由向量的運(yùn)算律知正確；③，向量的加法，減法和數(shù)乘運(yùn)算結(jié)果是向量，故錯(cuò)誤.故選：C2．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量與向量共線，由求解.【詳解】因?yàn)?，是兩個(gè)不共線的向量，且向量與向量共線，所以，即，所以，解得，故選：D3．已知，是不共線向量，則下列各組向量中，是共線向量的有（）①，；②，；③，．A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】A【分析】根據(jù)平面向量共線定理得到，對(duì)于①，故兩向量共線；對(duì)于②，故兩向量共線；對(duì)于③不存在實(shí)數(shù)滿足，故不共線.【詳解】對(duì)于①，，，故兩向量共線；對(duì)于②，，，故兩向量共線；對(duì)于③，，假設(shè)存在，因?yàn)椋遣还簿€向量，故得到無(wú)解.故選：A.4．如圖所示，在中，．若，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)．且，，利用平面向量的加法,減法和數(shù)乘運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)椋?，，所?故選：C5．在中，點(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且，則等于（）A．0 B． C． D．3【答案】C【分析】根據(jù)，利用平面向量的基本定理求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)D在CB的延長(zhǎng)線上，且，所以，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C6．若，則下列各式中不正確的是（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘的定義判斷．【詳解】如圖，由知在延長(zhǎng)線上，且，因此由向量數(shù)乘定義知ABC三個(gè)選項(xiàng)均正確，D錯(cuò)誤．故選：D．7．已知，設(shè)，則（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘定義求解．【詳解】由得是線段上的點(diǎn)，且，如圖，因此，，．故選：D．8．已知向量，且，則一定共線的三點(diǎn)是（）A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D【答案】A【分析】根據(jù)三點(diǎn)共線的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】依題意，，所以共線，即三點(diǎn)共線，A正確.，則不共線、不共線，BD錯(cuò)誤.，則不共線，C錯(cuò)誤.故選：A9．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可；【詳解】由題意,，故選：D10．已知向量，(為單位向量)，則向量與向量（）A．不共線 B．方向相反C．方向相同 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩者之間的數(shù)乘關(guān)系可判斷兩者之間的關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，所以，故向量與向量共線反向.故選：B.11.設(shè)向量，，若與不共線，且點(diǎn)在線段上，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量線性關(guān)系的幾何意義得到的線性關(guān)系，即可知正確選項(xiàng).【詳解】由，∴.故選：C12.已知，，，用，表示，則（）A． B． C． D．【答案】D【分析】結(jié)合平面圖形的幾何性質(zhì)以及平面向量的線性運(yùn)算即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，，所以，故選：D.13.的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)分別是，，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】運(yùn)用向量加法法則及數(shù)乘法的法則計(jì)算．【詳解】如圖，的三邊，，的中點(diǎn)分別是，，；.故選：C.14.如圖，是⊙的直徑，點(diǎn)、是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，，則等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、、，分析出四邊形為平行四邊形，利用平面向量加法的平行四邊形法則可得出結(jié)果.【詳解】連接、、，如圖．

由于點(diǎn)、是半圓弧上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則，，則、均為等邊三角形，，，，同理可知，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于分析出四邊形為平行四邊形，進(jìn)而利用平面向量加法的平行四邊形法則求解.15.如圖，設(shè)為內(nèi)一點(diǎn)，且，則與的面積之比為A． B．C． D．【答案】A【分析】作交于點(diǎn)，根據(jù)向量比例，利用三角形面積公式，得出與的比例，再由與的比例，可得到結(jié)果.【詳解】如圖，作交于點(diǎn)，則，由題意，，，且，所以又，所以，，即，所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)與向量的結(jié)合，三角形面積公式，屬基礎(chǔ)題，作出合適的輔助線是本題的關(guān)鍵.16.如圖，在中，，，若，則的值為A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量線性運(yùn)算，可利用和表示出，從而可根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系求得結(jié)果.【詳解】由題意得：又，可知：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算問(wèn)題，涉及到向量的數(shù)乘運(yùn)算、加法運(yùn)算、減法運(yùn)算，屬于常規(guī)題型.題組B能力提升練1.已知O是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，若，則點(diǎn)O是△ABC的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】C【分析】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點(diǎn)G,可得，又=-，則有=-，即AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上,即可得出結(jié)果.【詳解】作BD∥OC，CD∥OB，連接OD，OD與BC相交于點(diǎn)G，則BG=CG(平行四邊形對(duì)角線互相平分)，∴，又，可得=-，∴=-，∴A，O，G在一條直線上，可得AG是BC邊上的中線，同理，BO，CO也在△ABC的中線上.∴點(diǎn)O為三角形ABC的重心.故選：C.2.已知是平面上的一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若動(dòng)點(diǎn)滿足，，則點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的（）A．內(nèi)心 B．外心C．重心 D．垂心【答案】C【分析】取的中點(diǎn)，由已知條件可知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足，，易得，則點(diǎn)三點(diǎn)共線，進(jìn)而得到點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心.【詳解】解：設(shè)為的中點(diǎn)，則，則，即，三點(diǎn)共線，又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以是邊的中線，所以點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心.故選：C.3.如圖，已知四邊形是梯形，，，，，分別是，，，的中點(diǎn)，則等于（）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用向量的線性運(yùn)算直接計(jì)算.【詳解】如圖，連接交于，連接，，則四邊形和四邊形都是平行四邊形，所以，，則，故選：C.4.已知O是所在平面內(nèi)的一定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡一定通過(guò)的（）A．內(nèi)心 B．外心 C．重心 D．垂心【答案】A【分析】表示的是方向上的單位向量，畫(huà)圖象，根據(jù)圖象可知點(diǎn)在的角平分線上，故動(dòng)點(diǎn)必過(guò)三角形的內(nèi)心.【詳解】如圖，設(shè)，，已知均為單位向量，故四邊形為菱形，所以平分，由得，又與有公共點(diǎn)，故三點(diǎn)共線，所以點(diǎn)在的角平分線上，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡經(jīng)過(guò)的內(nèi)心.故選：A.5.已知點(diǎn)是所在平面上的一點(diǎn)，的三邊為，若，則點(diǎn)是的（）A．外心 B．內(nèi)心 C．重心 D．垂心【答案】B【分析】在，上分別取單位向量，作，則平分，用表示出代入條件式，用表示出，則可證明，，三點(diǎn)共線，即平分．【詳解】在，上分別取點(diǎn)，，使得，，則．以，為鄰邊作平行四邊形，如圖，則四邊形是菱形，且．為的平分線．，即，．，，三點(diǎn)共線，即在的平分線上．同理可得在其他兩角的平分線上，是的內(nèi)心．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)心的向量表示，向量的線性運(yùn)算，屬于中檔題.6.已知O為所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的面積與的面積的比值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，可得為內(nèi)部一點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使于是四邊形是平行四邊形，由條件和共線向量定理，即可得到為中線，同理延長(zhǎng)交于，則也為中點(diǎn)，即可得到是重心．【詳解】解：由得，故在△內(nèi)部，如圖，取中點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)至，使得，則四邊形為平行四邊形．則，又因?yàn)椋?、、三點(diǎn)共線且，即為的重心．所以，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的運(yùn)用，考查向量加法的平行四邊形法則，同時(shí)考查三角形的重心定義，屬于中檔題．7.（多選）已知向量，不共線，若，，且A，B，C三點(diǎn)共線，則關(guān)于實(shí)數(shù)，的值可以是（）A．2， B．?3，C．2， D．?3，【答案】AB【分析】利用平面向量共線基本定理即可求解.【詳解】因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)，使得，即，即，所以，又因?yàn)橄蛄?，不共線，所以，解得，所以實(shí)數(shù)，的值互為倒數(shù)即可求解.故選：AB8.（多選）已知，則下列結(jié)論正確的是（）A．A，B，C，D四點(diǎn)共線 B．C，B，D三點(diǎn)共線C． D．【答案】BD【分析】由可得，從而可對(duì)ABD進(jìn)行判斷，再對(duì)變形化簡(jiǎn)可對(duì)C進(jìn)行判斷【詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)橛泄捕它c(diǎn)，所以C，B，D三點(diǎn)共線，且，所以BD正確，A錯(cuò)誤，由，得，所以，所以C錯(cuò)誤，故選：BD9.（多選題）等邊三角形中，，AD與BE交于F，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．【答案】AC【分析】可畫(huà)出圖形，根據(jù)條件可得出為邊的中點(diǎn)，從而得出選項(xiàng)A正確；由可得出，進(jìn)而可得出，從而得出選擇B錯(cuò)誤；可設(shè)，進(jìn)而得出，從而得出，進(jìn)而得出選項(xiàng)C正確；由即可得出，從而得出選項(xiàng)D錯(cuò)誤．【詳解】如圖，，為的中點(diǎn)，，A正確；，，，B錯(cuò)誤；設(shè)，且，，三點(diǎn)共線，，解得，，C正確；，D錯(cuò)誤.故選：AC10.（多選題）Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB，BC=1，，以下正確的是（）A．∠APB=120° B．∠BPC=120°C．2BP=PC D．AP=2PC【答案】ABCD【分析】根據(jù)條件作幾何圖形，由向量的關(guān)系可得P，G，Q三點(diǎn)共線且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均為等邊三角形，∠APB=∠BPC=∠APC=120°，進(jìn)而可確定P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，利用相似可確定BP、AP、PC之間的數(shù)量關(guān)系.【詳解】在直線PA，PB，PC上分別取點(diǎn)M，N，G，使得||=||=||=1，以PM，PN為鄰邊作平行四邊形PMQN，則，∵，即，即，∴P，G，Q三點(diǎn)共線且PQ=1，故△PMQ和△PNQ均為等邊三角形，∴∠APB=∠BPC=∠APC=120°，故A、B正確；∵AB，BC=1，∠ABC=90°，∴AC=2，∠ACB=60°，在△ABC外部分別以BC?AC為邊作等邊△BCE和等邊△ACD，直線CP繞C旋轉(zhuǎn)60°交PD于P’，∴，即，故，，即，故，∴為等邊三角形，，則B，P，D三點(diǎn)共線，同理有A，P，E三點(diǎn)共線，∴△BPC∽△BCD，即，即PC=2BP，故C正確，同理：△APC∽△ACB，即2，即AP=2PC，故D正確.故選：ABCD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件及向量的數(shù)量關(guān)系確定P為Rt△ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，結(jié)合相似三角形及費(fèi)馬點(diǎn)的性質(zhì)判斷各項(xiàng)的正誤.11.已知D，E，F(xiàn)分別為的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，，．給出下列五個(gè)命題：①；②；③；④；⑤．其中正確的命題是________．（填序號(hào)）【答案】②③④⑤【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，，所以，，，，，即，即正確的有：②③④⑤故答案為：②③④⑤12.在平行四邊形ABCD中，，若=λ+μ，其中λ，μ∈R，則λ+μ=_______.【答案】【分析】利用向量的加減法及數(shù)乘化簡(jiǎn)可得=，又計(jì)算即可.【詳解】由平面向量的加法運(yùn)算，有.因?yàn)?λ+μ=λ()+μ()=λ+μ=.所以，即解得故答案為：或1.213.設(shè)平面內(nèi)四邊形及任一點(diǎn)O，．．若且．則四邊形的形狀是_________．【答案】菱形【分析】由易得，即為平行四邊形，再由即可判斷的形狀.【詳解】由得，即，∴，于是平行且等于，∴四邊形為平行四邊形，又，從而，∴，即四邊形為菱形．故答案為：菱形14.如圖，在等腰三角形中，已知，，分別是邊上的點(diǎn)，且,其中且，若線段的中點(diǎn)分別為，則的最小值是_____.【答案】【分析】根據(jù)條件及向量數(shù)量積運(yùn)算求得,連接,由三角形中線的性質(zhì)表示出.根據(jù)向量的線性運(yùn)算及數(shù)量積公式表示出,結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)即可求得最小值.【詳解】根據(jù)題意,連接,如下圖所示:在等腰三角形中,已知,則由向量數(shù)量積運(yùn)算可知線段的中點(diǎn)分別為則由向量減法的線性運(yùn)算可得所以因?yàn)?代入化簡(jiǎn)可得因?yàn)榍?，所以?dāng)時(shí),取得最小值因而故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的綜合應(yīng)用,向量的線性運(yùn)算及模的求法,二次函數(shù)最值的應(yīng)用,屬于中檔題.15.如圖所示，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④.其中正確結(jié)論的序號(hào)是___________.【答案】①③【分析】根據(jù)向量加減法、數(shù)乘運(yùn)算，用依次表示出各個(gè)向量，從而得到結(jié)果.【詳解】①根據(jù)向量的加法法則，可得，故①正確；②根據(jù)向量的減法法則，可得，故②錯(cuò)誤：③，故③正確；④，故④錯(cuò)誤.本題正確結(jié)果：①③【點(diǎn)睛】本題考查向量線性運(yùn)算中的加減法運(yùn)算和數(shù)乘運(yùn)算，利用已知向量表示未知向量的問(wèn)題，屬于?？碱}型.C培優(yōu)拔尖練1.已知向量，，且，求向量．【答案】【分析】利用向量的線性運(yùn)算化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，可?2.已知P為四邊形ABCD所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且向量，，，滿足等式．試根據(jù)題意作圖，觀察四邊形ABCD的形狀．你發(fā)現(xiàn)四邊形ABCD有什么特殊的性質(zhì)？并說(shuō)明你的依據(jù)．【答案】答案見(jiàn)解析.【分析】根據(jù)已知條件易得或，由平面向量共線定理及數(shù)乘的幾何意義