浙江省北斗星盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月階段性聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期浙江北斗星盟階段性聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共4頁，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、學(xué)號和姓名；考場號、座位號寫在指定位置；3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.【詳解】直線變形為所以設(shè)傾斜角為則因?yàn)樗怨蔬x:B【點(diǎn)睛】本題考查了直線方程中傾斜角與斜率的關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.2.雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)的漸近線方程即可知的漸近線方程【詳解】根據(jù)雙曲線的漸近線方程：，知：的漸近線方程為故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線，根據(jù)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程對應(yīng)漸近線方程求題設(shè)給定雙曲線的漸近線方程3.已知空間向量，，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)垂直得到方程，求出，求出模長.【詳解】因?yàn)?，所以，解得，?故選：D4.已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則其公比（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】首先可以得出，其次利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式以及它的前n項(xiàng)和為的基本量的運(yùn)算即可求解.【詳解】注意到，，首先，（否則，矛盾），其次，，兩式相比得，解得.故選：C.5.在平面直角坐標(biāo)系中，，M是上一動(dòng)點(diǎn)，則直線的斜率的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)出直線的方程為，利用點(diǎn)到直線距離公式得到不等式，求出斜率的取值范圍.【詳解】由圖形可知，直線的斜率一定存在，設(shè)出直線的方程為，圓心到直線的距離，解得.故選：D6.正四面體的棱長為4，點(diǎn)M、N分別是棱、的中點(diǎn)，則點(diǎn)A到平面的距離為（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】【分析】作出輔助線，求出，利用等體積法求出點(diǎn)A到平面的距離.【詳解】正四面體中，取的中心為,則⊥平面，故，，其中，由勾股定理得，故點(diǎn)到平面的距離為，又，故，又，，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，則，故，設(shè)點(diǎn)A到平面的距離為，故，即，解得.故選：B7.已知直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且該直線不經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，那么以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.相切 D.與直線l的位置有關(guān)【答案】A【解析】【分析】先設(shè)中點(diǎn)為，過，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，再根據(jù)題意得到，進(jìn)而即可得到答案．【詳解】設(shè)中點(diǎn)為，過，，作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，，又該直線不經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，則，所以線段為直徑的圓與該拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是相離．故選：A．8.正方體的棱長為1，M是面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且，N是棱上一動(dòng)點(diǎn)，則周長的最小值為（）A.2 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用展開方法，以為基準(zhǔn)，將和翻折使其與共面，然后利用余弦定理求解.【詳解】點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)線段在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)線段在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，動(dòng)線段在內(nèi)運(yùn)動(dòng)，以為基準(zhǔn)，將和翻折使其與共面，如圖所示：其中翻折至，翻折至，的周長等于,最小值等于在四邊形，，由余弦定理可求得，所以，故的周長最小值等于，故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說法正確的是（）A.兩異面直線所成角的取值范圍是B.若直線l與平面相交，則該直線l與平面所成角的取值范圍是C.二面角的平面角的取值范圍是D.若，，是空間向量的一組基底，則存在非零實(shí)數(shù)x，y，z，使得【答案】AB【解析】【分析】ABC選項(xiàng)，根據(jù)異面直線，線面角和二面角的概念進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)，根據(jù)空間基底的概念得到，，不共面，故結(jié)論不成立.【詳解】A選項(xiàng)，根據(jù)異面直線的定義可知，兩異面直線所成角的取值范圍是，A正確；B選項(xiàng)，直線與平面的夾角范圍為，但直線l與平面相交，夾角不為0，則該直線l與平面所成角的取值范圍是，B正確；C選項(xiàng)，二面角的平面角可以是鈍角，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若，，是空間向量的一組基底，則，，不共面，不存在非零實(shí)數(shù)x，y，z，使得，，D錯(cuò)誤.故選：AB10.已知圓與圓交于A、B兩點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)在圓內(nèi)B.直線的方程是C.D.四邊形的面積是【答案】BCD【解析】【分析】A選項(xiàng)，求出兩圓的圓心和半徑，根據(jù)，得到答案；B選項(xiàng)，兩圓相減得到直線的方程；C選項(xiàng)，求出圓心到直線的距離，進(jìn)而求出弦長；D選項(xiàng)，根據(jù)⊥，利用求出面積.【詳解】A選項(xiàng)，變形為，故圓心為，半徑為5，變形為，故圓心為，半徑為，因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓外，A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，與相減得，直線的方程是，化簡得，B正確；C選項(xiàng)，圓心到直線距離，故，C正確；D選項(xiàng)，由題意得⊥，其中，故四邊形的面積為，D正確.故選：BCD11.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)連線的斜率的乘積為定值時(shí)，若該定值為正數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)軌跡是雙曲線（兩定點(diǎn)除外）；若該定值是負(fù)數(shù)，則該動(dòng)點(diǎn)軌跡是圓或橢圓（兩定點(diǎn)除外）.如圖，給定的矩形中，，，E、F、G、H分別是矩形四條邊的中點(diǎn)，M、N分別是直線、的動(dòng)點(diǎn)，，，其中，且直線與直線交于點(diǎn)P.下列說法正確的是（）A.若，則P的軌跡是雙曲線的一部分B.若，則P的軌跡是橢圓的一部分C.若，則P的軌跡是雙曲線的一部分D.若，則P的軌跡是橢圓的一部分【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)已知求出的坐標(biāo)，進(jìn)而得出直線與直線的斜率，即可得出.然后根據(jù)已知條件得出的值，結(jié)合定義即可得出答案.【詳解】由已知可得，，，，，則由可得，；由可得，，所以.所以，，所以，.對于A、B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，顯然不是一個(gè)常數(shù)，所以此時(shí)P的軌跡既不是雙曲線，也不是橢圓，A、B均錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，，此時(shí)的結(jié)果為一個(gè)大于0的定值，所以P的軌跡是雙曲線（頂點(diǎn)除外），C對；對于D選項(xiàng)，，此時(shí)的結(jié)果為一個(gè)小于0的定值，所以P的軌跡為橢圓（頂點(diǎn)除外），D對.故選：CD.12.數(shù)學(xué)中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中一類，螺旋線這個(gè)名詞源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏繞”.如圖所示，正六邊形的邊長為，分別取其各條邊的四等分點(diǎn)，連接得到正六邊形，再取其各條邊的四等分點(diǎn)，連接得到正六邊形，依次類推……對于陰影部分，記第一個(gè)陰影的最大邊長為，面積為；第二個(gè)陰影的最大邊長為，面積為，第三個(gè)陰影三角形的最大邊長為，面積為，依次類推……下列說法正確的是（）A.B.數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列C.數(shù)列的前項(xiàng)和小于D.任意兩個(gè)陰影三角形的最大邊都不平行【答案】ACD【解析】【分析】找到規(guī)律，得到，可判斷B選項(xiàng)，推導(dǎo)出為等比數(shù)列，求出的通項(xiàng)公式，用相同的方法得到是等比數(shù)列，計(jì)算以及的前項(xiàng)和，可判斷A和C選項(xiàng)；設(shè)最小角為，假設(shè)存在，求出，，，，發(fā)現(xiàn)不可能使，可判斷D選項(xiàng).【詳解】正六邊形的邊長為，正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，由題知，在中，，，由余弦定理得，則，，易知，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，對于A選項(xiàng)，，故A正確；對于B選項(xiàng)，數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，的前2023項(xiàng)和為，故C正確；對于D選項(xiàng)，記陰影三角形的最小角為，由余弦定理得，若存在兩條最大邊平行，則無限纏繞后，最終最小角頂點(diǎn)無限重合，即存在（其中，為正整數(shù)），使得，由，持續(xù)計(jì)算，可知不可能使，故不存在兩最大邊平行，故D錯(cuò)誤.故選：AC.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知圓心在x軸上的圓經(jīng)過點(diǎn)，，則該圓的半徑是_____________.【答案】2【解析】【分析】設(shè)出圓心，根據(jù)半徑相等得到方程，求出，進(jìn)而求出半徑.【詳解】設(shè)圓心為，由題意得，解得，故半徑為.故答案為：214.如圖，平行六面體各條棱長均為1，，，則線段的長度為_____________.【答案】【解析】【分析】取，，一個(gè)基底，表示，再應(yīng)用數(shù)量積及模長公式計(jì)算即可求解．【詳解】取，，為一個(gè)基底，，，，∴，故答案為：.15.某牧場2015年初牛的存欄數(shù)為1200頭，以后每年存欄數(shù)的增長率為，且在每年年底賣出90頭牛，那么在2024年初牛的存欄數(shù)是多少_____________.（結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】1434【解析】【分析】首項(xiàng)由題意構(gòu)造等比數(shù)列求出第年初牛的存欄數(shù)的通項(xiàng)公式，然后結(jié)合參考數(shù)據(jù)運(yùn)算即可求解.【詳解】記2015年為第一年，2015年初牛的存欄數(shù)為，則2024年為第10年，2024年初牛的存欄數(shù)為，而第年初牛的存欄數(shù)，設(shè)，則，解得，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，.故答案為：1434.16.已知F是橢圓的右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，橢圓上有且只有右頂點(diǎn)與點(diǎn)M的距離最近，求該橢圓的離心率的取值范圍_________________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意表示出橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離，根據(jù)右頂點(diǎn)與點(diǎn)M的距離最近，列出不等式關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率的取值范圍.【詳解】由題，橢圓上只有右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離最小，設(shè)是橢圓上的點(diǎn)，，，對稱軸是，定義域是，，解得.故答案為：四、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.符合題目要求.17.已知數(shù)列滿足：，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）記，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題中遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的定義分析證明；（2）由（1）可得，，利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】因?yàn)?，，顯然，則，所以是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知，則，可得，所以.18.已知圓，直線，.（1）判斷直線l是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，請找出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.（2）若直線l與圓C交于A、B兩點(diǎn)，且，求該直線方程.【答案】（1）直線l過定點(diǎn)（2）或.【解析】【分析】（1）直線變形后得到方程組，求出，得到定點(diǎn)；（2）由垂徑定理和點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出的值，得到答案.【小問1詳解】直線l變形得，令，解得，直線l過定點(diǎn)；【小問2詳解】圓，圓心為，半徑為4，設(shè)圓心C到直線l的距離記為d，則，由垂徑定理得，即，解得或，時(shí)，直線l的方程是；時(shí)，直線l的方程是；綜上，直線l的方程是或.19.如圖所示，在四棱錐中，底面是直角梯形，，，，，側(cè)面是等邊三角形.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)M，連接，，由已知可推得.求出的值，根據(jù)勾股定理推得.即可根據(jù)線面垂直以及面面垂直的判定定理得出證明；（2）取中點(diǎn)為N，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面以及的法向量.根據(jù)向量法求解即可得出答案.【小問1詳解】取中點(diǎn)M，連接，在等邊中，有中點(diǎn)M，，所以，，則，.在中，有，.因?yàn)槠矫?，平面，，平?又平面，所以平面平面.【小問2詳解】取中點(diǎn)為N，連接，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、為x、y、z軸正方向，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，，，.設(shè)平面的一個(gè)方向量是，則，取，則平面的一個(gè)方向量是.設(shè)平面的一個(gè)方向量是，則，取，可得平面的一個(gè)方向量是.因?yàn)?，且二面角為銳角，所以，二面角的余弦值是.20.已知拋物線，.（1）Q是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（2）過點(diǎn)A作直線與該拋物線交于M、N兩點(diǎn)，求的值.【答案】（1）（2）0【解析】【分析】（1）設(shè)，表達(dá)出，求出最小值；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即得.【小問1詳解】設(shè)，，當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，最小值為；【小問2詳解】當(dāng)直線斜率為0時(shí)，直線與拋物線只有1個(gè)交點(diǎn)，不合要求，設(shè)直線的方程是，與拋物線聯(lián)立，消x得，設(shè)，，則，，故，故.21.已知函數(shù)的圖象與水平直線交于點(diǎn)，其中，記直線的斜率為，與y軸交于點(diǎn).（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）記，，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求.【答案】（1）（2），.【解析】【分析】（1）令，求出，進(jìn)而求出直線的斜率，得到答案；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求出答案.【小問1詳解】令得，，故，則，所以；【小問2詳解】直線的方程為，令得，故，，①，②，得，，.22.如圖，雙曲線的離心率為，實(shí)軸長為，，分別為雙曲線的左右焦點(diǎn)，過右焦點(diǎn)的直線與雙曲線右支交于A，B兩點(diǎn)，其中點(diǎn)A在第一象限.連接與雙曲線左支交于點(diǎn)C，連接分別與x，y軸交于D，E兩點(diǎn).（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知求出，然后根據(jù)離心率得出，根據(jù)的關(guān)系求出的值，即可得出答案；（2）根據(jù)已知可得，，設(shè)，，求出直線的方程.與雙曲線方程聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理表示出點(diǎn)B坐標(biāo)，同理得出點(diǎn)C的坐標(biāo).表示出直線的方程，求出的坐標(biāo)，得出直線的方程.進(jìn)而表示出面積，換元，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得出答案.【小問1詳解】由已知可得，，所以.又