湖北省宜荊荊隨恩高三上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023年宜荊荊隨恩高三12月聯(lián)考高三數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先解一元二次不等式得集合；再根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可求解.【詳解】由，得.因?yàn)樗裕蔬x：B2.若復(fù)數(shù)z與復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)，是z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A6 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依題意設(shè)，然后根據(jù)為純虛數(shù)可得b，然后可得答案.【詳解】由復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，可設(shè)，所以，因?yàn)槭羌兲摂?shù)，所以，解得，所以.故選：A3.若的展開式中的的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（）A.8 B.7 C.9 D.10【答案】B【解析】【分析】求出展開式的通項(xiàng)公式，進(jìn)而根據(jù)的系數(shù)得到方程，求出答案.【詳解】由題意知，展開式的通項(xiàng)公式為，故的系數(shù)為，解得.故選：B．4.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，滿足．當(dāng)時(shí)，則的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的奇偶性，及特殊位置結(jié)合排除法即可判定選項(xiàng).【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，滿足，所以是偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，故排除A；當(dāng)時(shí)，，所以，故排除B，C．故選:D5.已知為橢圓的右焦點(diǎn)，直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)等于，則橢圓E的離心率等于（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義及條件求出a,c的關(guān)系，由橢圓離心率的定義可得結(jié)果.【詳解】不妨設(shè)A在第一象限，由，得，所以，所以，記橢圓E的左焦點(diǎn)為，由對(duì)稱性可知四邊形為等腰梯形，所以,由橢圓定義知，，所以的周長(zhǎng)等于，所以橢圓E的離心率等于，故選：A．6.己知函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)區(qū)間單調(diào)性得對(duì)任意恒成立，即，利用導(dǎo)數(shù)研究右側(cè)單調(diào)性，進(jìn)而求參數(shù)a的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，所以對(duì)任意恒成立，所以，令，則，所以在內(nèi)為減函數(shù)，所以，則．故選：C7.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由正弦展開式結(jié)合化簡(jiǎn)求值解得.【詳解】因?yàn)?，所以，化?jiǎn)得，所以，又，所以，故．故選：D8.已知數(shù)列為等比數(shù)列，公比為q（），前n項(xiàng)和為，則“”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可.【詳解】解法一：通項(xiàng)法：若，則，所以或，．①若，當(dāng)時(shí)，是遞增數(shù)列，所以是遞增數(shù)列；當(dāng)時(shí)，是遞減數(shù)列，所以是遞增數(shù)列．②若是遞減數(shù)列，所以是遞增數(shù)列．所以“”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列的充分條件．若是單調(diào)遞增數(shù)列，則，所以，因?yàn)?，所以，所以“”是“?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的必要條件．由上可知：“”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充要條件．解法二：定義法，若是單調(diào)遞增數(shù)列，則，所以．若，則所以“”是“數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列”的充要條件故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，則下列關(guān)于該圓錐的結(jié)論正確的是（）A.體積等于 B.過頂點(diǎn)的截面面積最大值等于2C.外接球的體積等于 D.內(nèi)切球的表面積等于【答案】AC【解析】【分析】A項(xiàng)，求出圓錐的底面半徑和高，即可求出體積；B項(xiàng)，寫出過頂點(diǎn)的截面面積表達(dá)式即可得出最大值；C項(xiàng)，求出外接球半徑，即可得出外接球體積；D項(xiàng)，求出內(nèi)切球半徑，即可得出內(nèi)切球表面積.【詳解】由題意，設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長(zhǎng)為l，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開圖是半徑為2的半圓，所以，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積，A正確．設(shè)過頂點(diǎn)的截面三角形頂角為，則，則截面面積，B錯(cuò)誤．記圓錐的軸截面為，則是邊長(zhǎng)為2等邊三角形，圓錐外接球和內(nèi)切球的半徑分別是外接圓和內(nèi)切圓的半徑，依次為：、，所以外接球體積等于，C正確．內(nèi)切球的表面積等于，D錯(cuò)誤．故選：AC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐的體積，外接球體積，內(nèi)切球表面積，考查學(xué)生的作圖能力，分析理解題意的能力，具有較強(qiáng)的綜合性.10.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)，點(diǎn)P到點(diǎn)Q和到y(tǒng)軸的距離分別為，則（）A.拋物線C的準(zhǔn)線方程為B.若，則周長(zhǎng)的最小值等于3C.若，則的最小值等于2D.若，則的最小值等于【答案】BD【解析】【分析】由準(zhǔn)線方程直接判斷A；由拋物線的幾何性質(zhì)得到B；因?yàn)辄c(diǎn)在圓上，由，設(shè)，則判斷C；在直線上，轉(zhuǎn)化為得到D.【詳解】A：由拋物線方程可知拋物線準(zhǔn)線是，A錯(cuò)誤．B：當(dāng)時(shí)，的周長(zhǎng)，B正確．C：因?yàn)?，所以在圓上，圓心為，所以，設(shè)，則，所以，所以的最小值等于，C錯(cuò)誤．D：若，則在直線上，，D正確．故選：BD11.定義在上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，若，且，則下列不等式一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】對(duì)于AB：由題意可知在上單調(diào)遞增，根據(jù)單調(diào)性分析判斷；對(duì)于CD：令，分析可知在上單調(diào)遞增，可得，進(jìn)而分析判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)：因?yàn)?，可知在上單調(diào)遞增，且，則，所以，A正確；B選項(xiàng)：因?yàn)?，且，則，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，B正確；C選項(xiàng)：令，則，可知上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，則，可得，所以，C正確；D選項(xiàng)：由C可知，且，則，取，此時(shí)，，所以，D錯(cuò)誤．故選：ABC.12.投擲一枚質(zhì)地不均勻的硬幣，己知出現(xiàn)正面向上的概率為p，記表示事件“在n次投擲中，硬幣正面向上出現(xiàn)偶數(shù)次”，則下列結(jié)論正確的是（）A.與是互斥事件 B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A根據(jù)對(duì)立事件和互斥事件的關(guān)系即可判斷；對(duì)B，直接計(jì)算即可；對(duì)C，利用全概率公式即可；對(duì)D，構(gòu)造結(jié)合等比數(shù)列和函數(shù)單調(diào)性即可判斷.【詳解】對(duì)A，因?yàn)閷?duì)立事件是互斥事件，所以A正確；對(duì)B，，所以B錯(cuò)；對(duì)C，由全概率公式可知，所以C正確；對(duì)D，由C可知，因?yàn)椋允且詾槭醉?xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以，因?yàn)榍?，所以，所以，所以是關(guān)于n的遞減數(shù)列，所以，D正確．故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題D選項(xiàng)的關(guān)鍵是結(jié)合等比數(shù)列定義變形化簡(jiǎn)得到，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性分析數(shù)列單調(diào)性即可.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在答題卡中的橫線上．13.已知平面向量，的夾角為，則________．【答案】【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)表示可得，將平方代入計(jì)算即可求出.【詳解】由得，由的夾角為，得，又，所以，所以．故答案為：14.已知圓，過點(diǎn)直線l與圓O交于P、Q兩點(diǎn)，則的最小值等于__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)分析出為中點(diǎn)時(shí)最短，再根據(jù)勾股定理求解出的最小值.【詳解】由圓的性質(zhì)可知，當(dāng)點(diǎn)A是弦PQ的中點(diǎn)時(shí)，最短，此時(shí)，所以，故答案為：.15.在學(xué)校組織的數(shù)學(xué)建模大賽活動(dòng)中，某興趣小組的同學(xué)準(zhǔn)備將一個(gè)直徑為的實(shí)心球形木料鋸成一個(gè)四棱錐模型，為節(jié)約資源，使損失的木料最少，則制作出來的四棱錐的體積等于__________．【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意作出圖形，將棱錐體積寫成函數(shù)形式，消去變量，求導(dǎo)得出最值即可.【詳解】如圖所示，記四棱錐為外接球球心為O，半徑為R，底面ABCD的外接圓半徑為r，圓心為E，P到底面的距離為d，因?yàn)椋ㄆ渲惺茿C、BD的夾角），，所以，等號(hào)成立時(shí)，ABCD為正方形且P、O、E共線，即為正四棱錐．由題可知，，所以的體積，因?yàn)榈?，時(shí)，時(shí)，，所以V在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，．，故答案為;16.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，若在上恰好有3個(gè)不同實(shí)數(shù)使得對(duì)任意x都滿足，且對(duì)任意，使得在上不是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是__________．【答案】【解析】【分析】求出函數(shù)表達(dá)式，結(jié)合零點(diǎn)個(gè)數(shù)和區(qū)間上不單調(diào)，即可求出的取值范圍.【詳解】由題意，的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，∴，即．因?yàn)?，所以，由可得的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以．即．當(dāng)時(shí)，，根據(jù)在上的前4個(gè)零點(diǎn)依次為，可得，解得，對(duì)任意，使得在上不是單調(diào)函數(shù)，則，解得．綜上，．故答案為：.四、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，已知．（1）求角C；（2）若的平分線交AB于點(diǎn)D，且，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用正弦定理進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化；再利用三角恒等式進(jìn)行變形化簡(jiǎn)，得出；最后根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及特殊角三角函數(shù)值即可求解.（2）先根據(jù)題意及三角形面積公式列出等式，得出；再利用余弦定理建立方程組即可求出的三邊長(zhǎng)度；最后根據(jù)三角形面積公式即可求解.【小問1詳解】由題意及正弦定理得．又因?yàn)椋裕瑒t，所以.又因?yàn)樗?，所以，則．又，所以．【小問2詳解】因?yàn)镃D平分，.所以，則.設(shè)點(diǎn)到邊的距離為.則.又因?yàn)?，所以，且?則在中，在中，由以上兩個(gè)式子得：或.當(dāng)，時(shí)，，不符合題意．當(dāng)時(shí)，滿足三角形三邊關(guān)系，符合題意，此時(shí).所以.18.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，．（1）求及；（2）判斷是否存在正整m、k使得成等比數(shù)列若存在，求出所有m、k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式以及前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算，即可得到，從而得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，由等比中項(xiàng)的性質(zhì)，列出方程，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d．因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，即．由，解得，所．【小?詳解】由（1）知．假設(shè)存在正整數(shù)m，k，使得成等比數(shù)列，則，即，所以因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以是奇數(shù)，即必為奇數(shù)，所以，則，即，所以當(dāng)時(shí)，成等比數(shù)列．19.聯(lián)合國(guó)教科文組織確定每年的4月23日為“世界讀書日”，以促進(jìn)更多的人去閱讀，享受閱讀的樂趣．為建設(shè)讀書校園，提升校園的讀書氛圍，市教育局準(zhǔn)備在全市義務(wù)教育四年級(jí)至九年級(jí)學(xué)段開展“讀書月”活動(dòng)，活動(dòng)前，為了解學(xué)生的閱讀情況，從四年級(jí)至九年級(jí)在校學(xué)生中隨機(jī)問卷調(diào)查了10000人，得到他們?cè)谶^去一個(gè)月中平均每天課外的閱讀時(shí)間t（單位：分鐘），整理得到如右的頻率分布直方圖，已知這10000人的平均每天課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)是31．（1）求頻率分布直方圖中m、n的值；（2）若為整數(shù)，將本次調(diào)查中平均每天課外閱讀時(shí)間的學(xué)生選為“讀書月”活動(dòng)的宣傳大使，教育局準(zhǔn)備至少選出1500名“讀書月”宣傳大使，求的最大值；（3）為了進(jìn)一步了解學(xué)生的課外閱讀習(xí)慣受電子產(chǎn)品的影響，由頻率分布直方圖中平均閱讀時(shí)間在和兩組學(xué)生中，按人數(shù)比例分配的分層抽樣方法抽取了100名學(xué)生，已知組的學(xué)生平均每天花在電子產(chǎn)品上的時(shí)間為30分鐘，方差為36，組的學(xué)生平均每天花在電子產(chǎn)品上的時(shí)間為20分鐘，方差為16，求抽取的100名學(xué)生每天花在電子產(chǎn)品上的時(shí)間的方差．【答案】（1），；（2）（3）48【解析】【分析】（1）由中位數(shù)31，可得，從而求解；（2）由題意，可知的最大值為第85百分位數(shù)，求解可得；（3）由比例分配的分層抽樣在組和組各抽取40人和60人，由方差公式可求解.【小問1詳解】由題意中位數(shù)是31，則，所以，又．【小問2詳解】通過直方圖可知第85百分位數(shù)落在第組，，解得，因?yàn)?，所以，【小?詳解】按分層抽樣在組抽取40人記為，則，在組抽取60人，記為，同理可得，平均值為，抽取的100名學(xué)生每天花在電子產(chǎn)品上的時(shí)間的方差．20.如圖，在梯形ABCD中，，將沿著BD折起到的位置，使得平面平面．（1）證明：；（2）點(diǎn)M滿足，若二面角的余弦值為，求．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）過D作，根據(jù)面面垂直證明線面垂直，從而可得，再證明平面，由此可證明；（2）建立合適空間直角坐標(biāo)系，利用向量法表示出二面角的余弦值，由此可求的值.【小問1詳解】過D作，垂足為N，因?yàn)槠矫嫫矫鍼BC，平面平面，平面，所以平面PBC，因?yàn)槠矫鍼BC，所以，因?yàn)?，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以．【小?詳解】由（1）可知平面，又，以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，以的方向分別為x軸、y軸、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)平面BCM的一個(gè)法向量，由得，令得，平面BDM的一個(gè)法向量可取，因?yàn)槎娼堑挠嘞抑禐?，所，解得，所以?1.已知函數(shù)．（1）若，判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，證明：對(duì)任意．【答案】（1）在上單調(diào)遞減．（2）證明見解析【解析】【分析】（1）把代入，求導(dǎo)得到，設(shè)分子為，再次求導(dǎo)，得到的最大值小于零，在判斷原函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)找到的最值，然后轉(zhuǎn)化成恒成立問題即，再次求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞增，找到最小值大于零即可證明.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，即，所以在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由，得．令．由得，即．因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，故在上單調(diào)遞減，所以時(shí)，故原不等式轉(zhuǎn)化為，即．設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．【點(diǎn)睛】第一問為求導(dǎo)之后構(gòu)造函數(shù)判斷不含參數(shù)的單調(diào)性問題，直接求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)再求導(dǎo)即可；第二問求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，再求導(dǎo)找到的最值，然后轉(zhuǎn)化成恒成立問題即，再次求導(dǎo)判斷在上單調(diào)遞增，找到最小值大于零即可證明.22.已知圓，點(diǎn)，P是圓M上的動(dòng)點(diǎn)，線段PN的中垂線與直線PM交于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q的軌跡為曲線C．（1）求曲線C的方程；（2），點(diǎn)E、F（不在曲線C上）是直線上關(guān)于x軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，直線、與曲線C分別交于點(diǎn)A、B（不與、重合），證明：直線AB過定點(diǎn)．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)得到曲線C是以M、N為焦點(diǎn)的雙曲線