5．6 函數(shù) y=Asin(ωx+φ)（八大題型）（原卷版）

5．6函數(shù)【題型歸納目錄】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式題型二：同名函數(shù)圖象的變換題型三：異名函數(shù)圖象的變換題型四：變換的重合問題題型五：求圖象變換前、后的解析式題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質題型七：三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用題型八：用五點法作函數(shù)的圖象【知識點梳理】知識點一：用五點法作函數(shù)的圖象用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設，由z取來求出相應的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．知識點二：函數(shù)中有關概念表示一個振動量時，A叫做振幅，叫做周期，叫做頻率，叫做相位，x=0時的相位稱為初相．知識點三：由得圖象通過變換得到的圖象1、振幅變換：，（且）的圖象可以看作把正弦曲線上的所有點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍得到的（橫坐標不變），它的值域，最大值是，最小值是．若可先作的圖象，再以軸為對稱軸翻折，稱為振幅．2、周期變換：函數(shù)，（且）的圖象，可看作把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）．若則可用誘導公式將符號“提出”再作圖．決定了函數(shù)的周期．3、相位變換：函數(shù)，（其中）的圖象，可以看作把正弦曲線上所有點向左（當時）或向右（當時）平行移動個單位長度而得到．（用平移法注意講清方向：“左加右減”）．4、函數(shù)的圖象經(jīng)變換得到的圖象的兩種途徑知識點詮釋：一般地，函數(shù)，的圖象可以看作是用下面的方法得到的：（1）先把y=sinx的圖象上所有的點向左（）或右（）平行移動個單位；（2）再把所得各點的橫坐標縮短或伸長到原來的倍（縱坐標不變）；（3）再把所得各點的縱坐標伸長（）或縮短（）到原來的倍（橫坐標不變）．【典型例題】題型一：根據(jù)函數(shù)圖象求解析式例1．函數(shù)在一個周期內的圖象如圖所示，此函數(shù)的解析式為（

）

A． B．C． D．例2．（多選題）如圖是函數(shù)的部分圖像，若圖象經(jīng)過點，則=（

）

A． B． C． D．例3．函數(shù)在一個周期內的圖象如圖，此函數(shù)的解析式為.

變式1．函數(shù)是常數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的值是.

變式2．如圖所示為函數(shù)的部分圖象，其中，則此函數(shù)的解析式為．

變式3．已知，若函數(shù)的圖像如圖所示，則．變式4．已知函數(shù)的部分圖像如圖所示，則函數(shù)的解析式為．

變式5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，則．變式6．如圖是函數(shù)的部分圖象，則函數(shù)的一個解析式為.【方法技巧與總結】確定函數(shù)（）的解析式的步驟（1）求A，B，確定函數(shù)的最大值M和最小值m，則，．（2）求，確定函數(shù)的周期，則．（3）求，常用方法有①代入法：把圖象上的一個已知點代入（此時要注意該點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上）或把圖象的最高點或最低點代入．②五點法：確定值時，往往以尋找“五點法”中的特殊點作為突破口．題型二：同名函數(shù)圖象的變換例4．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上各點（）．A．橫坐標伸長為原來的倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變C．縱坐標伸長為原來的倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變例5．為了得到函數(shù)的圖象，只需將余弦函數(shù)圖象上各點（）．A．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變B．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變C．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變D．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變例6．由的圖象怎樣得到的圖象？變式7．將函數(shù)的圖象作怎樣的變換可以得到函數(shù)的圖象？變式8．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的每個點（

）A．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變B．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變C．橫坐標向左平移個單位長度，縱坐標不變D．橫坐標向右平移個單位長度，縱坐標不變變式9．為了得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象上的每個點（

）A．橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變B．橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變C．縱坐標伸長為原來的2倍，橫坐標不變D．縱坐標縮短為原來的，橫坐標不變變式10．已知曲線C1：，C2：，則錯誤的是（

）A．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平行移動個單位長度，得到曲線B．把上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平行移動個單位長度，得到曲線C．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線D．把向左平行移動個單位長度，再把得到的曲線上各點的橫坐標縮短到原來的倍，縱坐標不變，得到曲線變式11．已知函數(shù)，為了得到函數(shù)的圖象，只需（

）A．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位B．將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位C．將函數(shù)圖象上所有的點向左平移個單位D．將函數(shù)圖象上所有的點向右平移個單位變式12．為了得到的圖象，則需將的圖象（

）A．橫坐標縮短到原來的，再向右平移個單位B．橫坐標縮短到原來的，再向左平移個單位C．橫坐標伸長到原來的2倍，再向右平移個單位D．橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位【方法技巧與總結】對，，的三點說明（1）越大，函數(shù)圖象的最大值越大，最大值與是正比例關系．（2）越大，函數(shù)圖象的周期越小，越小，周期越大，周期與為反比例關系．（3）大于0時，函數(shù)圖象向左平移，小于0時，函數(shù)圖象向右平移，即“加左減右”．題型三：異名函數(shù)圖象的變換例7．已知函數(shù)的圖象，問需要經(jīng)過怎樣的變換得到函數(shù)的圖象，并且平移路程最短？例8．要得到函數(shù)的圖象，只需將的圖象上所有的點（

）A．橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）再向左平移個單位長度B．橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變）再向左平移個單位長度C．橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）再向左平移個單位長度D．橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍（縱坐標不變）再向左平移個單位長度例9．把函數(shù)的圖像適當變動就可以得到圖像，這種變動可以是（

）A．向右平移 B．向左平移 C．向右平移 D．向左平移變式13．要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位變式14．已知曲線，則下面結論正確的是（

）A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度C2D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2變式15．為得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)圖象上的所有點的（

）A．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度B．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度C．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度D．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度【方法技巧與總結】變?yōu)橥僮儞Q．題型四：變換的重合問題例10．函數(shù)的圖象向右平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則下列結論中正確的是（

）①的一個周期為；②的圖象關于對稱；③是的一個零點；④在單調遞減.A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④例11．已知函數(shù)，，將函數(shù)的圖象經(jīng)過下列變換可以與的圖象重合的是（

）A．向左平移個單位 B．向左平移個單位C．向右平移個單位 D．向右平移個單位例12．函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后與函數(shù)的圖像重合，則的最小值為（

）A． B． C． D．變式16．將函數(shù)的圖象向左平移個單位后與的圖象重合，則（

）A． B．C． D．變式17．已知函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，若所得圖像與原圖像重合，則的最小值等于（

）A． B． C． D．變式18．的圖象向左平移個單位，恰與的圖象重合，則的取值可能是（

）A． B． C． D．變式19．將函數(shù)的圖像向左平移2個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值等于（

）A． B．1 C． D．2題型五：求圖象變換前、后的解析式例13．已知函數(shù)的最小正周期為，其圖像向左平移個單位長度后所得圖像關于軸對稱，則．例14．將函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位，再把所得到的曲線上的所有點縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，得到函?shù)的圖象，則.例15．將函數(shù)的圖象向左平移1個單位長度后，再將所得圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，求出圖象的一個對稱中心的坐標．變式20．函數(shù)的部分圖像如圖所示，現(xiàn)將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像，則．

變式21．將函數(shù)的圖像向左平移個單位后得到函數(shù)，若函數(shù)是上的偶函數(shù)，則．變式22．若函數(shù)的圖像向右平移個單位長度后得到函數(shù)的圖像，若對滿足的，，有的最小值為，則．變式23．把函數(shù)圖象上的所有點向右平移個單位長度，再把橫坐標伸長到原來的2倍，所得圖象的解析式是，則函數(shù)的解析式為．變式24．將函數(shù)的圖像向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖像，若是奇函數(shù)，則的可能取值是（只需填一個值）變式25．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再把所得函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖象，則的單調遞減區(qū)間為.變式26．將函數(shù)且的圖象上各點的橫坐標縮短為原來的倍，再將所得圖象向左平移個單位長度后，得到一個偶函數(shù)圖象，則．【方法技巧與總結】常規(guī)法主要有兩種：先平移后伸縮；先伸縮后平移．值得注意的是，對于三角函數(shù)圖象的平移變換問題，其平移變換規(guī)則是“左加、右減”，并且在變換過程中只變換自變量x，如果x的系數(shù)不是1，那么需把x的系數(shù)提取后再確定平移的單位和方向．題型六：由圖象變換研究函數(shù)的性質例16．將函數(shù)的圖像先向右平移個單位長度，再把所得函數(shù)圖像的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上沒有零點，則的取值范圍是.例17．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)的圖象重合，則的最小值為．例18．函數(shù)的圖象向左平移個單位后與函數(shù)的圖象重合，則．變式27．設函數(shù)，將的圖像向右平移個單位長度后，所得的圖像與原圖像重合，取最小值時，若在區(qū)間上有解，則實數(shù)t的取值范圍為.變式28．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再向上平移一個單位，得到的圖像，若，且，則的最大值為．變式29．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度后得到偶函數(shù)的圖象，則的最小值是.變式30．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后的圖象過原點，則m的最小值是.變式31．將函數(shù)的圖象向右平移個單位，再將圖象上每一點橫坐標縮短到原來的倍，所得圖象關于直線對稱，則的最小正值為__________.變式32．已知函數(shù)（其中為常數(shù)，且）有且僅有三個零點，則的取值范圍是．變式33．已知函數(shù)，將函數(shù)f（x）的圖象上所有點的橫坐標變成原來的倍，縱坐標不變，得到函數(shù)g（x）的圖象，且當x∈時，，則a的取值范圍是.變式34．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，記與的圖象在軸的右側的所有公共點為，則的最小值為.【方法技巧與總結】求函數(shù)周期、最值、單調區(qū)間的方法步驟：①利用公式求周期；②根據(jù)自變量的范圍確定的范圍，根據(jù)相應的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值，另外求最值時，根據(jù)所給關系式的特點，也可換元轉化為求二次函數(shù)的最值；③根據(jù)正、余弦函數(shù)的單調區(qū)間列不等式求函數(shù)或的單調區(qū)間．題型七：三角函數(shù)圖象與性質的綜合應用例19．已知函數(shù)的最大值為．(1)求的最小正周期及單調遞減區(qū)間；(2)將的圖象向右平移個單位長度，再將橫坐標縮短為原來的，得到的圖象，求滿足的x的取值集合．例20．已知函數(shù)，當時，取得最大值2，的圖象上與該最大值點相鄰的一個對稱中心為點．(1)求的解析式；(2)將的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，求在區(qū)間上的值域．例21．已知函數(shù)在一個周期內的圖象經(jīng)過，，且的圖象關于直線對稱．(1)求的解析式；(2)若存在，使得不等式成立，求a的取值范圍．變式35．已知函數(shù)，滿足______．在：①函數(shù)的一個零點為0；②函數(shù)圖象上相鄰兩條對稱軸的距離為；③函數(shù)圖象的一個最低點的坐標為，這三個條件中任選兩個，補充在上面問題中，并給出問題的解答．(1)求的解析式；(2)把的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象，若在區(qū)間上的最大值為2，求實數(shù)的最小值．變式36．已知函數(shù)周期是.(1)求的解析式；(2)將圖像上所有點的橫坐標擴大到原來的2倍，再向左平移個單位，最后將整個函數(shù)圖像向上平移個單位后得到函數(shù)的圖像，若時，恒成立，求m得取值范圍.變式37．已知函數(shù)，．(1)當時，的最大值及相應的x值；(2)將的圖象向左平移個單位后關于原點對稱，，求的所有可能取值．變式38．已知函數(shù)（其中，，）的圖像如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式及其對稱軸方程；(2)將函數(shù)的圖像上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋?，縱坐標不變，得到了函數(shù)的圖像，若函數(shù)在上單調遞增，求的取值范圍.變式39．如圖是函數(shù)的部分圖象，M、N是它與x軸的兩個不同交點，D是M、N之間的最高點且橫坐標為，點是線段DM的中點．(1)求函數(shù)的解析式及上的單調增區(qū)間；(2)若時，函數(shù)的最小值為，求實數(shù)a的值.變式40．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.(1)求的解析式；(2)當時，求的單調遞減區(qū)間；(3)將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，再把橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象，記方程在上的根從小到大依次為，試確定的值，并求的值.變式41．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求的值及函數(shù)的單調遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)的圖象先向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象.若在上至少含有10個零點，求的最小值.變式42．已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求圖象的對稱軸方程；(2)將圖象向右平移個單位長度得到函數(shù)，求函數(shù)在上的值域.【方法技巧與總結】研究函數(shù)性質的基本策略（1）借助周期性：研究函數(shù)的單調區(qū)間、對稱性等問題時，可以先研究在一個周期內的單調區(qū)間、對稱性，再利用周期性推廣到全體實數(shù)．（2）整體思想：研究當時的函數(shù)的值域時，應將看作一個整體，利用求出的范圍，再結合的圖象求值域．題型八：用五點法作函數(shù)的圖象例22．已知函數(shù)

(1)用“五點作圖法”在給定坐標系中畫出函數(shù)在上的圖像；(2)結合第（1）圖象寫出函數(shù)在上單調遞增區(qū)間；(3)當時，的取值范圍為，求的取值范圍.例23．已知函數(shù).(1)用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求在上的取值范圍.例24．已知函數(shù)．(1)用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；(2)先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)y=g(x)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍變式43．已知函數(shù)．（1）用“五點作圖法”在給定的坐標系中，畫出函數(shù)在上的圖像，并寫出圖像的對稱中心；（2）先將函數(shù)的圖像向右平移個單位后，再將得到的圖像上各點的橫坐標伸長為原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，若在上的值域為，求的取值范圍．變式44．某同學用“五點作圖法”畫函數(shù)在某一個周期的圖像時，列表并填入的部分數(shù)據(jù)如下表：00200（1）求，，的值及函數(shù)的表達式；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位可得到函數(shù)的圖像，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.變式45．某同學用“五點作圖法”畫函數(shù)在某一個周期內的圖像時，列表并填入了部分數(shù)據(jù)，如表：0020（1）請將上表數(shù)據(jù)補充完整，并直接寫出函數(shù)的解析式；（2）將函數(shù)的圖像向左平移個單位后，再將得到圖像上各點的橫坐標伸長到原來的4倍，縱坐標不變，得到函數(shù)的圖像，求的單調遞減區(qū)間.【方法技巧與總結】用“五點法”作的簡圖，主要是通過變量代換，設，由取來求出相應的，通過列表，計算得出五點坐標，描點后得出圖象．【過關測試】一、單選題1．把函數(shù)的圖象向左平移個單位后，得到一個偶函數(shù)的圖像，則（

）A． B． C． D．2．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，為了得到函數(shù)的圖象，只需要將的圖象（

）

A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度3．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在時的值域為（

）A． B．C． D．4．已知函數(shù)，則下列結論中錯誤的是（

）A．的最小正周期為 B．的圖象關于直線對稱C．在區(qū)間上單調遞減 D．的一個零點為5．若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，所得圖象關于y軸對稱，則的最小正值是（

）A． B． C． D．6．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（

）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度7．將函數(shù)的圖象上各點向右平移個單位長度，再把橫坐標縮短為原來的一半，縱坐標伸長為原來的4倍，則所得到的圖象的函數(shù)解析式是（）.A． B．C． D．8．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法正確的是（

）

A．B．直線是圖象的一條對稱軸C．圖象的對稱中心為D．將的圖象向左平移個單位長度后，得到函數(shù)的圖象二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結論中錯誤的是（

）A．的圖象縱坐標不變，橫坐標伸長到原來2倍可以得到的圖象B．的圖象關于直線對稱C．的最大值為D．在區(qū)間上單調遞減10．若函數(shù)在一個周期內的圖象如圖所示，則正確的結論是（

）A．B．的圖象的一個對稱中心為C．的單