第3課（A基礎）數(shù)列（解析版）-【名校沖刺】2021-2022學年高二數(shù)學同步精講教案（數(shù)列篇）（滬教版2020選擇性必修第一冊）

第3課：數(shù)列教學目標1、理解數(shù)列、遞增遞減數(shù)列概念，結合數(shù)列單調性解答相關最值項問題；2、能根據(jù)題意找出數(shù)列遞推關系式，再求數(shù)列通項公式，能根據(jù)數(shù)列遞推關系式的特點，選擇合適的方法；3、掌握錯位相減法、裂項相消法、分組求和和倒序相加法求數(shù)列前項和的方法，會結合通項公式特點判斷用什么求和方法；重點1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式2、數(shù)列中函數(shù)的思想3、錯位相減法、裂項相消法、分組求求數(shù)列前項和的方法難點數(shù)列求通項、數(shù)列求和方法的靈活運用（一）知識梳理1、數(shù)列及其相關概念1）定義：按一定順序排成的一列數(shù)叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項，數(shù)列中的每一項都和項的序數(shù)有關，各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，…，第項，…注：數(shù)列與數(shù)集的區(qū)別：數(shù)集中的元素具有無序性和互異性，而數(shù)列的主要特征是有序性，而且數(shù)列的項可以重復出現(xiàn)。2）數(shù)列的一般形式可以寫成：其中是數(shù)列的第項，是的序數(shù)，上面的數(shù)列可簡單記作。3）函數(shù)思想：數(shù)列可以看成是定義在自然數(shù)集或其子集上的函數(shù)函數(shù)與數(shù)列的聯(lián)系與區(qū)別一方面，數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在解決數(shù)列問題時，要善于利用函數(shù)的知識、函數(shù)的觀點、函數(shù)的思想方法來解題，即用共性來解決特殊問題．另一方面，還要注意數(shù)列的特殊性(離散型)，由于它的定義域是,因而它的圖象是一系列孤立的點，而不像我們前面所研究過的初等函數(shù)一般都是連續(xù)的曲線，因此在解決問題時，要充分利用這一特殊性，如研究單調性時，由數(shù)列的圖象可知，只要這些點每個比它前面相鄰的一個高(即)，則圖象呈上升趨勢，即數(shù)列遞增，即遞增?對任意的都成立．類似地，有遞減?對任意的都成立.2、數(shù)列的表示方法解析法、圖像法、列舉法、遞推法.3、數(shù)列的分類有窮數(shù)列，無窮數(shù)列；遞增數(shù)列，遞減數(shù)列,擺動數(shù)列，常數(shù)數(shù)列；1.有窮數(shù)列:項數(shù)有限.2.無窮數(shù)列：項數(shù)無限.3.遞增數(shù)列:對于任何,均有；其中嚴格遞增數(shù)列為，對于任何,均有；4.遞減數(shù)列:對于任何,均有；其中嚴格遞減數(shù)列為，對于任何,均有.5.擺動數(shù)列:例如:-1,1,-1,1,-1,1,…….6.常數(shù)數(shù)列:對于任何,均有；例如:6,6,6,6,…….4、數(shù)列的通項公式定義：如果數(shù)列的第項與之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式.注：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如數(shù)列1，1.4，1.41，1.414，….；⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…；它的通項公式可以是，也可以是.例題精講【例1】（1）下列說法正確的是（）A．數(shù)列，2，5，8可以表示為B．數(shù)列2，4，6，8與8，6，4，2是相同的數(shù)列C．等比數(shù)列1，3，，，…的通項公式為D．1，0，1，0，…是常數(shù)列【難度】★★【答案】C【解析】A錯誤，數(shù)列不能寫成集合的形式；B錯誤，數(shù)列中的數(shù)是有順序的，數(shù)相同但順序不同的數(shù)列不相同；C正確，歸納遞推可得該數(shù)列的通項公式為；D錯誤，此數(shù)列為擺動數(shù)列，不是常數(shù)列.故選：C。（2）給出以下數(shù)列：①1，－1，1，－1，…；②2，4，6，8，…，1000；③8，8，8，8，…；④.其中，有窮數(shù)列為______；無窮數(shù)列為______；嚴格遞增數(shù)列為______；嚴格遞減數(shù)列為_____；擺動數(shù)列為_____；常數(shù)列為______．(填序號)【難度】★★【答案】②④①③②④①③【解析】有窮數(shù)列為②④；無窮數(shù)列為①③；遞嚴格增數(shù)列為②；嚴格遞減數(shù)列為④；擺動數(shù)列為①；常數(shù)列為③.故答案為：②④；①③；②；④；①；③【例2】設數(shù)列中，（且），則（）A． B． C．2 D．【難度】★★【答案】A【解析】由已知得：，可求，∴數(shù)列周期為3，，故選：A．【例3】已知數(shù)列.（1）求這個數(shù)列的第10項；（2）是不是該數(shù)列中的項，為什么？（3）求證：數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0，1)內．【難度】★★【答案】（1）；（2）不是，答案見解析；（3）證明見解析．【解析】設f(n)＝＝＝.(1)令n＝10，得第10項a10＝f(10)＝．(2)令＝，得9n＝300.此方程無正整數(shù)解，所以不是該數(shù)列中的項．(3)證明：∵an＝＝＝1－，又n∈N*，∴0<<1，∴0<an<1.即數(shù)列中的各項都在區(qū)間(0，1)內．鞏固訓練1、觀察下列數(shù)的特點，，，，，，，，，…，其中為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】觀察下列數(shù)的特點，，，，，，，，，…，可知：，，，，得．故選：．2、在數(shù)列1，2，，中，是這個數(shù)列的A．第16項 B．第24項 C．第26項 D．第28項【答案】C【解析】數(shù)列可化為，所以，所以，解得，所以是這個數(shù)列的第項，故選C。3、已知，則數(shù)列的圖象是（）A．一條直線 B．一條拋物線C．一個圓 D．一群孤立的點【答案】D【解析】數(shù)列的通項公式為，可以看作為關于n的一次函數(shù)，變量，數(shù)列若用圖象表示，從圖象上看是一群孤立的點.故選：D．聲明：試（二）單調性與最值項問題知識梳理1、判斷數(shù)列單調性：數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列；；數(shù)列是嚴格遞減數(shù)列；嚴格遞增數(shù)列嚴格遞減數(shù)列常數(shù)列嚴格遞減數(shù)列嚴格遞增數(shù)列常數(shù)列2、數(shù)列單調性的應用：求數(shù)列最大項和最小項方法一：利用判斷函數(shù)增減性的方法，先判斷數(shù)列的增減情況，再求數(shù)列的最大項或最小項。方法二：設是最大項，則有對任意的且均成立，解不等式組即可。方法三：利用做差（或作商），研究相鄰項間的關系，進而求得數(shù)列的最大項或最小項。例題精講【例4】（1）已知數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列，且，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【難度】★★★【答案】A【解析】∵數(shù)列為嚴格遞增數(shù)列，∴對任意的，，即，即恒成立，∴，故選：A.（2）設，數(shù)列從首項到第m項的和最大，則m的值是________．【難度】★★★【答案】10或11【解析】，由得，解得，又，所以數(shù)列從首項到第10或第11項的和最大，即或.故答案為：或【例5】已知數(shù)列中，，則下列說法正確的是（）A．此數(shù)列沒有最大項 B．此數(shù)列的最大項是C．此數(shù)列沒有最小項 D．此數(shù)列的最小項是【難度】★★★【答案】B【解析】，令，解得，又，即當時，，故；令，解得且，則有，綜上所述，數(shù)列最大項是，最小項為首項.故選：B【例6】已知數(shù)列的首項為，且，則的最小值是（）A． B． C． D．【難度】★★★【答案】B【解析】因為，設，則，所以，，即，則，則數(shù)列單調遞增，故的最小值為.故選：B.鞏固訓練1、已知等差數(shù)列的前n項和為，且，，則的最小值是______．【答案】【解析】設等差數(shù)列的公差為d，由得，解得，因此，，令，解得，于是得數(shù)列是遞增等差數(shù)列，其前6項為負，第7項為0，從第8項開始為正，所以或最小，最小值為．故答案為：2、已知數(shù)列的通項公式為.（1）0.98是不是這個數(shù)列中的一項？（2）判斷此數(shù)列的單調性，并求最小項.【答案】（1）是第7項（2）遞增數(shù)列，【解析】（1）令,即,,可解得,故為第7項（2）由題,是嚴格遞增數(shù)列,的最小項為。3、已知函數(shù)，數(shù)列滿足，且數(shù)列是嚴格遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是．【答案】【解析】因為，所以依題意可得.4、已知等比數(shù)列的前項和．（1）求的值；（2）若且，問取何值時，取得最小值，并求此最小值．【答案】（1）；（2）或5時，取得最小值，最小值為．【解析】解：（1）當時，，∴．（*）則．當時，，因為為等比數(shù)列，所以．由（*）式可知，，∴，解得；（2）時，．∵，∴，．，即，．于是，所以或5時，取得最小值，最小值為．（三）遞推公式與求數(shù)列通項公式知識梳理遞推公式：數(shù)列中的任一項可用前一項（或前幾項）通過一個公式來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的一個遞推公式．例題精講【例7】（1）下列給出的圖形中，星星的個數(shù)構成一個數(shù)列，則該數(shù)列的一個遞推公式可以是（）A． B．C． D．【難度】★★【答案】B【解析】結合圖象易知，，，，，故選：B.（2）“綠水青山就是金山銀山”是時任浙江省委書記習近平同志于2005年8月15日在浙江湖州安吉考察時提出的科學論斷，2017年10月18日，該理論寫入中共19大報告，為響應總書記號召，我國某西部地區(qū)進行沙漠治理，該地區(qū)有土地1萬平方公里，其中是沙漠（其余為綠洲），從今年起，該地區(qū)進行綠化改造，每年把原有沙漠的改造為綠洲，同時原有綠洲的被沙漠所侵蝕又變成沙漠，設從今年起第n年綠洲面積為萬平方公里．=1\*GB3①求第n年綠洲面積與上一年綠洲面積的關系；=2\*GB3②判斷是否是等比數(shù)列，并說明理由；=3\*GB3③至少經過幾年，綠洲面積可超過？【難度】★★★【答案】(1)(2)是等比數(shù)列，理由見解析.(3)至少經過6年，綠洲面積可超過60%．【解析】（1）由題意得，所以；（2）由（1）得，∴，所以是等比數(shù)列.（3）由（2）有，又，所以，∴，即；，即，兩邊取常用對數(shù)得：，所以，∴．∴至少經過6年，綠洲面積可超過60%．【例8】若數(shù)列由，確定，求通項公式．【難度】★★【答案】【解析】解：由，，可得．故答案為．【例9】在數(shù)列中，，，則為A．B．C．D．【難度】★★【答案】【解析】解：在數(shù)列中，由，，得，，，累積得：，，驗證適合上式，．故選：．【例10】（1）數(shù)列中，，，求通項公式．【難度】★★★【答案】【解析】解：由，得．令，則，有．．，．．．（2）在數(shù)列中，設．求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項公式；【難度】★★★【答案】【解析】解：證明：在數(shù)列中，，可得，設，可得，可得數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列，即有；鞏固訓練1、如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”“三角垛”的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數(shù)構成一個數(shù)列．（1）寫出數(shù)列的一個遞推公式；（2）根據(jù)（1）中的遞推公式，寫出數(shù)列的一個通項公式．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意可知，，，，，；所以數(shù)列的一個遞推公式為；（2）由題意，，故，所以數(shù)列的一個通項公式為.2、已知數(shù)列滿足，，求該數(shù)列的通項公式．【答案】【解析】解：數(shù)列滿足，，整理得，所以，，，所以，所以（首項符合通項），故．3、已知在數(shù)列中，，，求通項．【答案】【解析】解：在數(shù)列中，，，，又，數(shù)列是首項為5，公比為2的等比數(shù)列，，通項．4、已知數(shù)列中，，，求通項．【答案】【解析】解：，，又，數(shù)列是以1為首項、為公差的等差數(shù)列，，．5、數(shù)列滿足：，則通項公式是：．【答案】【解析】解：時，，當時，，，兩式相比得，故答案為：．（四）知識梳理一、利用常用公式求和等差數(shù)列求和公式：2、等比數(shù)列求和公式：公式法求和注意事項：（1）弄準求和項數(shù)的值；（2）等比數(shù)列公比未知時，運用前項和公式要分類二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.三、裂項相消法求和裂項法的實質是將數(shù)列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的，如：（1）；（2）（3）（4）（5）四、倒序相加法求和這是推導等差數(shù)列的前項和公式時所用的方法，就是將一個數(shù)列倒過來排列（倒序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到個五、分組求和分組求和有兩種情況，一種是將數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可；另一種是將數(shù)列相鄰的兩項(或若干項)并成一項(或一組)得到一個新數(shù)列(容易求和).例題精講【例11】在等差數(shù)列中,,.在等比數(shù)列中,,公比.（1）求數(shù)列和的通項公式;（2）若,求數(shù)列的前項和?！倦y度】★★★【答案】（1）,（2）【解析】（1）等差數(shù)列中,,解得:，等比數(shù)列中,,公比.（2）由（1）和，①可得②由①②得:?！纠?2】定義在上的函數(shù)滿足，則.【難度】★★★【答案】7【解析】因為函數(shù)變量和為1，則函數(shù)值和為2，因此可知首項和末項的函數(shù)值和為2，第二項和倒數(shù)第二項函數(shù)值和為2，依次類推得到，其和式為7?！纠?3】（1）數(shù)列滿足=，則數(shù)列的前項和為（）A． B． C． D．【難度】★★★【答案】B【解析】，所以數(shù)列的前項和為,。（2）數(shù)列的通項公式為,若的前項和為9,則的值為_____?！倦y度】★★★【答案】99【解析】依題意得,所以,又因為,所以解得:?！纠?4】（1）數(shù)列的前項和等于__________。【難度】★★★【答案】【解析】因,故。（2）設數(shù)列的前項和為，則等于（）A． B．C． D．【答案】D【解析】令,則,,,在中,令得,不符合題意,故排除,在中,令得不符合題意,故排除;在中,令得不符合題意,故排除.故選:D。鞏固訓練1、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，故，則，故該數(shù)列是一個首項為-14，公差為3的等差數(shù)列，設數(shù)列的前項和為令，解得，故該數(shù)列的前5項都是負數(shù)，從第6項開始都為正數(shù).若，則若，則；故答案為：。2、已知函數(shù)，則_____?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗椋?，所以，記，則，所以，故。3、數(shù)列對任意，滿足.（1）求數(shù)列通項公式；（2）若，求的通項公式及前項和.【答案】（1）（2）【解析】（1）由已知得，故數(shù)列是等差數(shù)列，且公差.又，得，所以.（2）由（１）得，，所以.。4、已知等差數(shù)列的公差，其前項和為，且，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和?！敬鸢浮?1)；(2).【解析】（1）因為，即，，即，①因為為等比數(shù)列，即，所以，化簡得：②聯(lián)立①和②得：，，所以（2）因為所以。實戰(zhàn)演練實戰(zhàn)演練一、填空題1、已知數(shù)列6，9，14，21，30，…，對于任意的正整數(shù)與之間滿足關系式：_______.【答案】【解析】因為所以，故答案為：2、在數(shù)列中，，，則【答案】【解析】解：，，，，，，累加得：，，，故答案為：．3、已知數(shù)列中，，且時，，求通項．．【答案】【解析】解：，，，，，，，，．4、設是數(shù)列的前項和且，，則．【答案】【解析】解：根據(jù)題意，數(shù)列滿足，即，變形可得：，即，又由，即；故數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，則，故；故答案為：．5、已知數(shù)列中，，其前項和為，且滿足，則．【答案】【解析】解：：數(shù)列中，，其前項和為，且滿足，所以：，兩式相減得：①，所以②，②①得：（常數(shù)）當時，，所以，則：．故答案為：．6、在等比數(shù)列中，，若，求數(shù)列的前項和___________?！敬鸢浮俊窘馕觥恳驗?，所以解得故的通項公式為.所以可得，則，①，②①-②得.所以，，故。二、選擇題7、數(shù)列，，，，…的第10項是()A．B．C．D．【答案】C【解析】由數(shù)列，可知，奇數(shù)項的符號為正號，偶數(shù)項的符號為負號，而分子為偶數(shù)為項數(shù)），分母比分子大，故可得到通項公式，，故選C。8、下列說法錯誤的是（）A．給出數(shù)列的有限項一定能唯一確定這個數(shù)列的通項公式B．若等差數(shù)列的公差，