第4講 數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)（導(dǎo)數(shù)部分）中的應(yīng)用（解析版）

第4講數(shù)形結(jié)合思想在函數(shù)（導(dǎo)數(shù)部分）中的應(yīng)用數(shù)學(xué)結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法。運用數(shù)學(xué)結(jié)合的方法，許多問題迎刃而解，且解法簡潔。所謂數(shù)形結(jié)合，就是依據(jù)數(shù)與形之間的對應(yīng)關(guān)系，通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學(xué)問。問題的一種重要思想方法，數(shù)形結(jié)合思想，通過以形助數(shù)，以數(shù)解形，使困難問題簡潔化、抽象問題詳細化。能夠變抽象思維為形象思維，有助于數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性和敏捷性的有機結(jié)合。我們在解決函數(shù)問題的過程中，經(jīng)常會遇到這樣的一種困境：做題時總是感覺看到的式子比較抽象，不容易理解，想來想去總是沒有頭緒。此時便需要我們將其具象化，而具體化最好的途徑便是借助圖象?！緫?yīng)用一】利用數(shù)形結(jié)合，解決函數(shù)不等關(guān)系的問題在做題的過程中，我們經(jīng)常會遇到比大小問題，遇到這類題，我們的想法往往是先算出所有數(shù)的大小，然后放在一起比較，但有的時候，題目中出現(xiàn)的數(shù)字我們難以計算，這種情況下我們一般借助于函數(shù)的圖像，若函數(shù)的解析式不是基本函數(shù)可以運用求導(dǎo)的方法，做出函數(shù)的圖像?！纠?.1】（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）（多選題）若正實數(shù)，滿足，則下列不等式中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【解析】因為，所以，因為，所以，則，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，可得，令，則，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，則，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，當(dāng)時或，結(jié)合與的圖象也可得到所以或.故選：AC【思維提升】借助于函數(shù)的圖像比較大小，最主要的是做出函數(shù)的圖像，有些情況下要對函數(shù)進行適當(dāng)?shù)淖冃危兂沙Ｒ姷暮瘮?shù)，或者比較容易進行求導(dǎo)做出函數(shù)的圖像。然后借助于函數(shù)的圖像進行比較大小或者不等關(guān)系。【變式1.1】（2022?江蘇二模）已知實數(shù)，，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則A． B． C． D．【答案】【詳解】實數(shù)，，且，變形為，令，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，即．①令，；令，，時，，，當(dāng)時，，即．②令，（a）；令，，時，，，當(dāng)（a）時，，即．綜上，可得．故選：【變式1.2】【2021年新高考1卷】若過點可以作曲線的兩條切線，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】【分析】解法一：根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義求得切線方程，再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖象，結(jié)合圖形確定結(jié)果；解法二：畫出曲線的圖象，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數(shù)求導(dǎo)得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，則.當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，作出函數(shù)的圖象如下圖所示：由圖可知，當(dāng)時，直線與曲線的圖象有兩個交點.故選：D.解法二：畫出函數(shù)曲線的圖象如圖所示，根據(jù)直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.故選：D.【點睛】解法一是嚴(yán)格的證明求解方法，其中的極限處理在中學(xué)知識范圍內(nèi)需要用到指數(shù)函數(shù)的增長特性進行估計，解法二是根據(jù)基于對指數(shù)函數(shù)的圖象的清晰的理解與認(rèn)識的基礎(chǔ)上，直觀解決問題的有效方法.【應(yīng)用二】利用數(shù)形結(jié)合，研究函數(shù)的零點問題函數(shù)零點問題是我們在做題過程中常見的問題，但是往往在解決函數(shù)零點問題時會發(fā)現(xiàn)，函數(shù)解析式總是十分復(fù)雜，所以為了研究較復(fù)雜函數(shù)的零點問題，我們一般會通過函數(shù)的單調(diào)性、極值、圖象的變化趨勢等求解；根據(jù)題目要求畫出函數(shù)圖象，通過數(shù)形結(jié)合思想分析問題?！纠?】（（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)有5個零點，則實數(shù)k的取值范圍為______．【答案】【分析】先分析函數(shù)的奇偶性，再轉(zhuǎn)化為有兩個不同的正實數(shù)解，令，求出函數(shù)的最小值即得解.【詳解】解：因為，所以，所以函數(shù)為偶函數(shù)，又，所以在上有兩個零點，即有兩個不同的正實數(shù)解，即，令，則，；.故在上遞減，上遞增，故．畫出圖像如圖所示從而.故答案為：．【思維提升】函數(shù)的零點問題，就是指兩個函數(shù)的交點問題，在解決這類問題要構(gòu)造恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，以便更好的做出函數(shù)的圖像，能從圖像中更直接的解決問題?！咀兪?.1】（2022·河北衡水中學(xué)一模）已知函數(shù)，，當(dāng)實數(shù)的取值范圍為________時，的零點最多.【答案】【分析】作出函數(shù)的圖象，由得，設(shè)，分，，分別討論與的交點個數(shù)，當(dāng)時，求得與相切時切線的斜率，與相切時切線的斜率，由此可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖：由得，設(shè)，當(dāng)時，與有2個交點；當(dāng)時，與有2個交點；.當(dāng)時，設(shè)與相切，切點為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過點，所以，解得，所以切線的斜率為，當(dāng)時，設(shè)與相切，切點為，則，所以切線的斜率為，其切線方程為：，又因切線恒過點，所以，解得，所以切線的斜率為，所以當(dāng)時，與有1個交點；當(dāng)時，與有2個交點；當(dāng)時，與有3個交點；當(dāng)時，與有4個交點；所以實數(shù)的取值范圍為時，的零點最多，故答案為：.【變式2.2】（2022?玄武區(qū)模擬）已知函數(shù)為自然對數(shù)的底數(shù)）在上有兩個零點，則的范圍是A． B． C． D．【答案】【詳解】由得，當(dāng)時，方程不成立，即，則，設(shè)，且，則，且，由得，當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)，當(dāng)且時，，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)時函數(shù)取得極小值，極小值為（1），當(dāng)時，，且單調(diào)遞減，作出函數(shù)的圖象如圖：要使有兩個不同的根，則即可，即實數(shù)的取值范圍是，方法2：由得，設(shè)，，，當(dāng)時，，則為增函數(shù)，設(shè)與，相切時的切點為，切線斜率，則切線方程為，當(dāng)切線過，時，，即，即，得或（舍，則切線斜率，要使與在上有兩個不同的交點，則，即實數(shù)的取值范圍是故選：．【變式2.3】（2022年徐州市高三月考試卷）設(shè)，若函數(shù)有且只有三個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【詳解】令，則，令，得；令，得；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，又因為對于任意，在總存在，使得，在上由于的增長速率比的增長速率要快得多，所以總存在，使得，所以在與上都趨于無窮大；令，則開口向下，對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，故，.因為函數(shù)有且只有三個零點，而已經(jīng)有唯一零點，所以必須有兩個零點，則，即，解得或，當(dāng)時，，則，即在處取不到零點，故至多只有兩個零點，不滿足題意，當(dāng)時，，則，所以在處取得零點，結(jié)合圖像又知與必有兩個交點，故在與必有兩個零點，所以有且只有三個零點，滿足題意；綜上：，即.故選：C.【應(yīng)用三】利用數(shù)形結(jié)合，研究函數(shù)的極值點問題函數(shù)的極值問題，既是重點題型又是難點題型，遇到此類題，我們一般的想法是進行求導(dǎo)，實際上，對于已知的基本初等函數(shù)求極值的問題，也可以直接做出基本初等函數(shù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象使問題得到解決?！纠?】（【2022年全國乙卷】已知x=x1和x=x2分別是函數(shù)f(x)=2ax-ex2（【答案】1【解析】解：f'因為x1,x所以函數(shù)fx在-∞,x1所以當(dāng)x∈-∞,x1∪x若a>1時，當(dāng)x<0時，2lna?a故a>1不符合題意，若0<a<1時，則方程2lna?a即方程lna?ax即函數(shù)y=lna?a∵0<a<1,∴函數(shù)y=a又∵lna<0,∴y=lna?ax的圖象由指數(shù)函數(shù)設(shè)過原點且與函數(shù)y=gx的圖象相切的直線的切點為x則切線的斜率為g'故切線方程為y-ln則有-lna?a則切線的斜率為ln2因為函數(shù)y=lna?a所以eln2a<又0<a<1，所以1e綜上所述，a的范圍為1e【思維提升】本題由x1,x2分別是函數(shù)fx=2ax-ex2的極小值點和極大值點，可得x∈-∞,x1∪x2,+∞時，因此，對于函數(shù)的極值問題借助于構(gòu)造兩個函數(shù)研究交點問題。【變式3.1】（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學(xué)?？家荒＃┤艉瘮?shù)只有一個極值點，則的取值范圍是___________.【答案】或【分析】對求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，分類討論3是否為極值點，結(jié)合的圖像性質(zhì)即可求得的取值范圍.【詳解】因為，所以，因為只有一個極值點，所以若3是極值點，因為，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，所以；當(dāng)趨向于0時，趨向于1，趨向于0，則趨向于正無窮，當(dāng)趨向正無窮時，趨向正無窮的速率遠遠大于趨向正無窮的速率，則趨向于正無窮，若3不是極值點，則3是即的一個根，且存在另一個根，此時；當(dāng)時，，令，解得；令，解得；所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，滿足題意，綜上：或【變式3.2】已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（） B． C． D．【答案】A【解析】易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，得，即．設(shè)，則，當(dāng)時，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為函數(shù)有且只有一個極值點，所以直線與函數(shù)的圖象有一個交點，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當(dāng)時，恒成立，所以無極值，所以【變式3.3】（2022年福州高級中學(xué)高三月考模擬試卷）（多選題）若函數(shù)有兩個極值點，且，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.的取值范圍是C. D.【答案】ACD【解析】【詳解】，有兩個極值點，且，∴，有兩個零點，，且在，各自兩邊異號，∴與有兩個交點，，記，則，易知：時，時，∴在上遞增，在上遞減，即在上遞增，在上遞減．∴有最大值，且時；時，又，，由上的圖象如下，∴當(dāng)且僅當(dāng)時與有兩個交點，才符合條件，且，故A正確，B不正確．又，∴，故C正確．令，則，∴，則，，∴要證，只需證，只需證，令，則，∴在上單調(diào)遞減，即時，不等式得證，故D正確．故選：ACD鞏固練習(xí)1、（2022?蘇州模擬）已知為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，其中一個極值點滿足，則的取值范圍是A． B． C． D．【答案】【詳解】，由函數(shù)有兩個極值點，則等價于有兩個解，即與有兩個交點，所以．直線過點由在點處的切線為，顯然直線過點，當(dāng)時，直線與曲線交于不同兩點（如下圖），且，，令，則，所以單調(diào)遞增，，即，故選：．2、（2022·山東省淄博實驗中學(xué)高三期末）已知函數(shù)有三個不同的零點，且，則的值為（）A．3 B．4 C．9 D．16【答案】C【解析】【分析】利用換元法轉(zhuǎn)換，結(jié)合導(dǎo)數(shù)以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系來求得正確答案.【詳解】，，有三個不同的零點.令，在遞增，在上遞減，.時，.令，必有兩個根，，且，有一解，有兩解，且，故.故選：C3、（2022年江蘇泰州市高三月考模擬試卷）已知函數(shù)，其中實數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.必有兩個極值點B.有且僅有3個零點時，的范圍是C.當(dāng)時，點是曲線的對稱中心D.當(dāng)時，過點可以作曲線的3條切線【答案】B【解析】【詳解】對于A，，令，解得：或，因為，所以令，得或，令，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，在處取得極小值,所以A正確；對于B，要使有且僅有3個零點，只需即，所以，所以的范圍是，故B不正確；對于C，當(dāng)時，，，，所以點是曲線的對稱中心，所以C正確；對于D，，設(shè)切點為，所以在點處的切線方程為：，又因為切線過點，所以，解得：，令，所以過點可以作曲線的切線條數(shù)轉(zhuǎn)化為與圖象的交點個數(shù).,令，解得：或，因為，所以令，得或，令，得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，如下圖所示，當(dāng)時，與圖象有3個交點，即過點可以作曲線的3條切線，故正確，故選：B4、（2022年福州八中高三月考模擬試卷）（多選題）已知函數(shù)和，有相同的極小值，若存在，使得成立，則（）A.B.C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，若所有根記為，，，，且，則【答案】ACD【解析】【詳解】，，，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，而，且，在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，在處取得極小值，依據(jù)題意，和有相同的極小值，故，解得，故A正確；作出函數(shù)圖象如下圖所示，若，則與、相交時，或者，故B錯誤.由圖像可知，當(dāng)時，，所以，C正確；若的所有根記為，，且時，則有，，可得，即，又，同理可得，，則，故D正確.故選：ACD.5、（2023·廣東揭陽·校考模擬預(yù)測）（多選題）已知a為常數(shù)，函數(shù)有兩個極值點，（），則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【解析】，，令，則，令，則，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．作出，的大致圖象，當(dāng)時，有兩個根，，且，故A正確；當(dāng)時，，故B錯誤；又函數(shù)在區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，，，故CD正確；故選：ACD6、（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）（多選題）已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．函數(shù)有兩個極值點B．若關(guān)于x的方程恰有1個解，則C．函數(shù)的圖象與直線有且僅有一個交點D．若，且，則無最值【答案】AC【分析】對函數(shù)的解析式進行化簡并畫出函數(shù)圖象，由圖可知函數(shù)有兩個極值點，即A正確；利用函數(shù)與方程的思想可得恰有1個解時或，可知B錯誤；易知和是函數(shù)的兩條切線，分類討論參數(shù)并通過構(gòu)造函數(shù)證明即可得出的圖象與直線有且僅有一個交點，故C正確；分別解出的表達式，代入并構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性可得有最小值，即D錯誤.【詳解】由函數(shù)可得，函數(shù)的圖象如下圖所示：對于A，由圖可知，和是函數(shù)的兩個極值點，故A正確；對于B，若函數(shù)恰有1個零點，即函數(shù)與的圖象僅有一個交點，可得或，故B不正確；對于C，因為函數(shù)在點處的切線為，函數(shù)在處的切線為，如圖中虛線所示，易知當(dāng)，即時，的圖象與直線恰有一個交點；當(dāng)，即時，令，得，令，則，，由二次函數(shù)的圖象及零點存在定理可知，方程有且只有一個實數(shù)根；當(dāng)，即時，令，設(shè)，則（僅當(dāng)時取等號），即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由于，，所以函數(shù)有且僅有一個實數(shù)根；故C正確．對于D，由，則，，，則，設(shè)，則，設(shè)，顯然在上單調(diào)遞增，且，，所以存在，使，且當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以存在最小值，故D不正確；故選：AC7、（2023·湖南邵陽·統(tǒng)