第08講 橢圓-【寒假自學(xué)課】2023年高二數(shù)學(xué)寒假精品課（滬教版2020選修第一冊(cè)）（原卷版）

第08講橢圓【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.能正熟練使用直接法、待定系數(shù)法、定義法求橢圓的方程；2.能熟練運(yùn)用幾何性質(zhì)（如范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率）解決相關(guān)問(wèn)題；3.能夠把直線與橢圓的位置關(guān)系的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程組解的問(wèn)題，判斷位置關(guān)系及解決相關(guān)問(wèn)題.【基礎(chǔ)知識(shí)】一．橢圓的定義【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的第一定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和等于常數(shù)2a（2a＞|F1F2|）的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡叫做橢圓，其中，這兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做焦距．2．橢圓的第二定義平面內(nèi)到一個(gè)定點(diǎn)的距離和到一條定直線的距離之比是常數(shù)e＝（0＜e＜1，其中a是半長(zhǎng)軸，c是半焦距）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，定點(diǎn)是橢圓的焦點(diǎn)，定直線叫橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e叫橢圓的離心率．3．注意要點(diǎn)橢圓第一定義中，橢圓動(dòng)點(diǎn)P滿足{P||PF1|+|PF2|＝2a}．（1）當(dāng)2a＞|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓；（2）當(dāng)2a＝|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段F1F2；（3）當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P沒(méi)有運(yùn)動(dòng)軌跡．【命題方向】利用定義判斷動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡，需注意橢圓定義中的限制條件：只有當(dāng)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2的距離的和2a＞|F1F2|時(shí)，其軌跡才為橢圓．1．根據(jù)定義判斷動(dòng)點(diǎn)軌跡例：如圖，一圓形紙片的圓心為O，F(xiàn)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，M是圓周上一動(dòng)點(diǎn)，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD，設(shè)CD與OM交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡是（）A．橢圓B．雙曲線C．拋物線D．圓分析：根據(jù)CD是線段MF的垂直平分線．可推斷出|MP|＝|PF|，進(jìn)而可知|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|結(jié)果為定值，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義推斷出點(diǎn)P的軌跡．解答：由題意知，CD是線段MF的垂直平分線．∴|MP|＝|PF|，∴|PF|+|PO|＝|PM|+|PO|＝|MO|（定值），又顯然|MO|＞|FO|，∴根據(jù)橢圓的定義可推斷出點(diǎn)P軌跡是以F、O兩點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓．故選A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的定義的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)橢圓基礎(chǔ)知識(shí)的理解和應(yīng)用．2．與定義有關(guān)的計(jì)算例：已知橢圓上的一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為（）A．2B．2C．5D．3分析：先由橢圓的第一定義求出點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離，再用第二定義求出點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d．解答：由橢圓的第一定義得點(diǎn)P到右焦點(diǎn)的距離等于4﹣＝，離心率e＝，再由橢圓的第二定義得＝e＝，∴點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離d＝5，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的第一定義和第二定義，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種形式：（1）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；（2）（a＞b＞0），焦點(diǎn)在y軸上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．兩種形式相同點(diǎn)：形狀、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2兩種形式不同點(diǎn)：位置不同；焦點(diǎn)坐標(biāo)不同．標(biāo)準(zhǔn)方程（a＞b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上（a＞b＞0）中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上圖形頂點(diǎn)A（a，0），A′（﹣a，0）B（0，b），B′（0，﹣b）A（b，0），A′（﹣b，0）B（0，a），B′（0，﹣a）對(duì)稱軸x軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上x(chóng)軸、y軸，長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b焦點(diǎn)在長(zhǎng)軸長(zhǎng)上焦點(diǎn)F1（﹣c，0），F(xiàn)2（c，0）F1（0，﹣c），F(xiàn)2（0，c）焦距|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2|F1F2|＝2c（c＞0）c2＝a2﹣b2離心率e＝（0＜e＜1）e＝（0＜e＜1）準(zhǔn)線x＝±y＝±三．橢圓的性質(zhì)【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1．橢圓的范圍2．橢圓的對(duì)稱性3．橢圓的頂點(diǎn)頂點(diǎn)：橢圓與對(duì)稱軸的交點(diǎn)叫做橢圓的頂點(diǎn)．頂點(diǎn)坐標(biāo)（如上圖）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）其中，線段A1A2，B1B2分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸，它們的長(zhǎng)分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)．4．橢圓的離心率①離心率：橢圓的焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比叫做橢圓的離心率，用e表示，即：e＝，且0＜e＜1．②離心率的意義：刻畫(huà)橢圓的扁平程度，如下面兩個(gè)橢圓的扁平程度不一樣：e越大越接近1，橢圓越扁平，相反，e越小越接近0，橢圓越圓．當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，c＝0，橢圓變?yōu)閳A，方程為x2+y2＝a2．5．橢圓中的關(guān)系：a2＝b2+c2．【考點(diǎn)剖析】一．橢圓的定義（共3小題）1．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平面α內(nèi)運(yùn)動(dòng)，使得△ABP的面積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是（）A．圓 B．橢圓 C．一條直線 D．兩條平行直線2．（2021春?奉賢區(qū)校級(jí)月考）已知F1、F2是定點(diǎn)，|F1F2|＝6．若動(dòng)點(diǎn)M滿足|MF1|+|MF2|＝6，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（）A．直線 B．線段 C．圓 D．橢圓3．（2019秋?浦東新區(qū)校級(jí)期末）若方程表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則k的取值范圍是．二．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（共5小題）4．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）若方程表示的曲線是橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為．5．（2021秋?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍，它的一個(gè)焦點(diǎn)是F1（0，﹣3），則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．6．（2022秋?嘉定區(qū)校級(jí)期中）若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．7．（2022秋?楊浦區(qū)校級(jí)期中）一個(gè)圓經(jīng)過(guò)橢圓＝1的三個(gè)頂點(diǎn)．且圓心在x軸的正半軸上．則該圓標(biāo)準(zhǔn)方程為．8．（2021秋?崇明區(qū)期末）若橢圓C的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)分別是雙曲線的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)，則橢圓C的方程是．三．橢圓的性質(zhì)（共20小題）9．（2022春?金山區(qū)期中）已知F1，F(xiàn)2是橢圓＝1的兩個(gè)焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線交此橢圓于A，B兩點(diǎn)，若|AF2|+|BF2|＝8，則|AB|＝．10．（2021秋?楊浦區(qū)校級(jí)期末）2021年12月29日19時(shí)13分，長(zhǎng)征二號(hào)丁遙四十一運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，成功將天繪﹣4衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功．已知天繪﹣4衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為焦點(diǎn)的橢圓，距地球表面最近點(diǎn)的距離為m千米，距地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為n千米，地球可近似地看作一個(gè)半徑為R千米的球體，則天繪﹣4衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道的短軸長(zhǎng)為（）千米．A．m+n+2R B． C． D．11．（2022春?徐匯區(qū)期末）設(shè)橢圓的焦距為2c，若b2＝ac，則橢圓的離心率為．12．（2022春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)期末）若P（x，y）為橢圓C：上的一點(diǎn)，則x+y的最大值為．13．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）設(shè)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓C上，且滿足，則＝．14．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）與橢圓有相等的焦距，且過(guò)圓x2+y2﹣6x﹣8y＝0的圓心的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．15．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．16．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為（﹣1，1），則直線l的斜率為．17．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）已知橢圓+＝1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A是橢圓上位于x軸上方的一點(diǎn)，若直線AF1的斜率為，且|AF1|＝|F1F2|，則橢圓的離心率為．18．（2022?迎澤區(qū)校級(jí)模擬）國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)A和短軸一端點(diǎn)B分別向內(nèi)層橢圓引切線AC，BD，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（）A． B． C． D．19．（2022春?閔行區(qū)校級(jí)期末）設(shè)F1、F2分別是橢圓E：x2+＝1（0＜b＜1）的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l與橢圓E相交于A、B兩點(diǎn)，且2|AB|＝|AF2|+|BF2|，則|AB|的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．20．（2022春?虹口區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓的焦點(diǎn)分別F1（﹣3，0）、F2（3，0），點(diǎn)A為橢圓Γ的上頂點(diǎn)，直線AF2，與橢圓Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為B．若|BF1|＝5|BF2|，則橢圓Γ的方程為．21．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）已知橢圓滿足，長(zhǎng)軸AB上2021個(gè)等分點(diǎn)從左至右依次為點(diǎn)M1，M2，?，M2021，過(guò)點(diǎn)M1作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓于P1、P2兩點(diǎn)，P1點(diǎn)在x軸上方；過(guò)M2點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓于P3、P4兩點(diǎn)，P3點(diǎn)在x軸上方；以此類推，過(guò)M2021點(diǎn)作斜率為k（k≠0）的直線，交橢圓于P4041、P4042兩點(diǎn)，P4041點(diǎn)在x軸上方；則4042條直線AP1，AP2，?，AP4042的斜率乘積為．22．（2022春?徐匯區(qū)校級(jí)期末）設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，點(diǎn)P在該橢圓上，則使得△F1F2P為等腰三角形的個(gè)數(shù)是．23．（2022春?徐匯區(qū)期末）已知定點(diǎn)A（a，0）（a＞0）到橢圓上的點(diǎn)的距離的最小值為1，則a的值為．24．（2022春?寶山區(qū)校級(jí)期中）設(shè)F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，則|AF2|+|BF2|的最大值為．25．（2022春?黃浦區(qū)校級(jí)期中）已知直線l：2x﹣y+2＝0與x軸的交點(diǎn)為F1，與y軸的交點(diǎn)為B．（1）將直線l繞著點(diǎn)F1按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)45°得到直線l'，則直線l'的斜率為；（2）若F1、B是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)和一個(gè)頂點(diǎn)，F(xiàn)2是橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)，則cos∠F1BF2＝．26．（2022春?楊浦區(qū)校級(jí)期中）我國(guó)計(jì)劃發(fā)射火星探測(cè)器天問(wèn)一號(hào)，該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星（其半徑R＝34百公里）的中心F為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓．如圖，已知探測(cè)器的近火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最近的點(diǎn)），A到火星表面的距離為8百公里，遠(yuǎn)火星點(diǎn)（軌道上離火星表面最遠(yuǎn)的點(diǎn)）B到火星表面的距離為800百公里．（1）請(qǐng)求出天問(wèn)一號(hào)運(yùn)行軌道的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）假定該探測(cè)器由近火星點(diǎn)A第一次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心O的距離為百公里時(shí)進(jìn)行變軌，其中a、b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)，求此時(shí)探測(cè)器與火星表面的距離（精確到1百公里）．27．（2022春?金山區(qū)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C過(guò)點(diǎn)（0，2），其焦點(diǎn)為．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)P在橢圓C上，且|PF1|＝4，求△PF1F2的面積．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2022·上海市行知中學(xué)高二階段練習(xí)）“”是“方程表示橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期中）2021年12月29日19時(shí)13分，長(zhǎng)征二號(hào)丁遙四十一運(yùn)載火箭在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心點(diǎn)火升空，成功將天繪-4衛(wèi)星送入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)取得圓滿成功.已知天繪-4衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為焦點(diǎn)的橢圓，距地球表面最近點(diǎn)的距離為m千米，距地球表面最遠(yuǎn)點(diǎn)的距離為n千米，地球可近似地看作一個(gè)半徑為R千米的球體，則天繪-4衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)軌道的短軸長(zhǎng)為（

）千米.A． B． C． D．3．（2022·上?！らh行中學(xué)高二期中）若方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．或4．（2022·上海市嘉定區(qū)第二中學(xué)高二期末）橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，過(guò)焦點(diǎn)的傾斜角為直線交橢圓于兩點(diǎn)，弦長(zhǎng)，若三角形的內(nèi)切圓的面積為，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．5．（2022·上海金山·高二期中）國(guó)家體育場(chǎng)“鳥(niǎo)巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥(niǎo)瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥(niǎo)巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長(zhǎng)軸一端點(diǎn)和短軸一端點(diǎn)分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．二、填空題6．（2022·上海·曹楊二中高二期末）已知?是橢圓的左?右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，以為直徑作圓，直線與圓交于點(diǎn)（點(diǎn)不在橢圓內(nèi)部），則______.7．（2022·上海市向明中學(xué)高二期末）已知橢圓，的上頂點(diǎn)為，兩個(gè)焦點(diǎn)為、，離心率為．過(guò)且垂直于的直線與交于、兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)是_____．8．（2022·上海市嘉定區(qū)第一中學(xué)高二期末）已知橢圓，焦點(diǎn)，．若過(guò)的直線和圓相切，與橢圓的第一象限交于點(diǎn)，且軸，則該直線的斜率是_______．9．（2022·上海市建平中學(xué)高二期中）設(shè)橢圓上一點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離為3，記N為的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則______.10．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）橢圓的焦距為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.11．（2022·上海虹口·高二期末）已知為橢圓上的一點(diǎn)，若，分別是圓和上的點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)_______．12．（2022·上?！とA師大二附中高二期中）已知橢圓：的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為、，過(guò)的直線交橢圓于兩點(diǎn).若是等邊三角形，則的值等于_________.13．（2022·上海市行知中學(xué)高二期中）已知直線交橢圓于兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則直線的斜率為_(kāi)_____.14．（2022·上海崇明·高二期末）參加數(shù)學(xué)興趣小組的小何同學(xué)在打籃球時(shí)，發(fā)現(xiàn)當(dāng)籃球放在地面上時(shí)，籃球的斜上方燈泡照過(guò)來(lái)的光線使得籃球在地面上留下的影子有點(diǎn)像數(shù)學(xué)課堂上學(xué)過(guò)的橢圓，但他自己還是不太確定這個(gè)想法，于是回到家里翻閱了很多參考資料，終于明白自己的猜想是沒(méi)有問(wèn)題的，而且通過(guò)學(xué)習(xí)，他還確定地面和籃球的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)）就是影子橢圓的焦點(diǎn).他在家里做了個(gè)探究實(shí)驗(yàn)：如圖所示，桌面上有一個(gè)籃球，若籃球的半徑為個(gè)單位長(zhǎng)度，在球的右上方有一個(gè)燈泡（當(dāng)成質(zhì)點(diǎn)），燈泡與桌面的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，燈泡垂直照射在平面的點(diǎn)為，影子橢圓的右頂點(diǎn)到點(diǎn)的距離為個(gè)單位長(zhǎng)度，則這個(gè)影子橢圓的離心率______.15．（2022·上海市延安中學(xué)高二期末）若橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)之的2倍，它的一個(gè)焦點(diǎn)是，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)__________.16．（2022·上海市崇明中學(xué)高二期中）圓錐曲線的焦點(diǎn)在軸上，離心率為，則實(shí)數(shù)的值是__________.17．（2022·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期末）已知，是橢圓：的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且若的面積為，則______