蘇科版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第1章《全等三角形》單元知識(shí)點(diǎn)

第1章全等三角形一、全等形形狀、大小相同的圖形放在一起能夠完全重合．能夠完全重合的兩個(gè)圖形叫做全等形．要點(diǎn)詮釋：一個(gè)圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等．兩個(gè)全等形的周長相等，面積相等．二、全等三角形能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫全等三角形．三、對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角1．對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角定義兩個(gè)全等三角形重合在一起，重合的頂點(diǎn)叫對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，重合的邊叫對(duì)應(yīng)邊，重合的角叫對(duì)應(yīng)角．要點(diǎn)詮釋：在寫兩個(gè)三角形全等時(shí)，通常把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣容易找出對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角．如下圖，△ABC與△DEF全等，記作△ABC≌△DEF，其中點(diǎn)A和點(diǎn)D，點(diǎn)B和點(diǎn)E，點(diǎn)C和點(diǎn)F是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；AB和DE，BC和EF，AC和DF是對(duì)應(yīng)邊；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是對(duì)應(yīng)角．2．找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角的方法（1）全等三角形對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，兩個(gè)對(duì)應(yīng)角所夾的邊是對(duì)應(yīng)邊；（2）全等三角形對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角，兩條對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角；（3）有公共邊的，公共邊是對(duì)應(yīng)邊；（4）有公共角的，公共角是對(duì)應(yīng)角；（5）有對(duì)頂角的，對(duì)頂角一定是對(duì)應(yīng)角；（6）兩個(gè)全等三角形中一對(duì)最長的邊（或最大的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），一對(duì)最短的邊（或最小的角）是對(duì)應(yīng)邊（或角），等等．四、全等三角形的性質(zhì)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等；全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等．要點(diǎn)詮釋：全等三角形對(duì)應(yīng)邊上的高相等，對(duì)應(yīng)邊上的中線相等，周長相等，面積相等．全等三角形的性質(zhì)是今后研究其它全等圖形的重要工具．五、全等三角形的判定六、全等三角形的證明思路七、全等三角形證明方法全等三角形是平面幾何內(nèi)容的基礎(chǔ)，這是因?yàn)槿热切问茄芯刻厥馊切巍⑺倪呅?、相似圖形、圓等圖形性質(zhì)的有力工具，是解決與線段、角相關(guān)問題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn)．運(yùn)用全等三角形，可以證明線段相等、線段的和差倍分關(guān)系、角相等、兩直線位置關(guān)系等常見的幾何問題．可以適當(dāng)總結(jié)證明方法．1．證明線段相等的方法：(1)證明兩條線段所在的兩個(gè)三角形全等．(2)利用角平分線的性質(zhì)證明角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．(3)等式性質(zhì)．2．證明角相等的方法：(1)利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明．(2)證明兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形全等．(3)利用角平分線的判定進(jìn)行證明．(4)同角（等角）的余角（補(bǔ)角）相等．(5)對(duì)頂角相等．3．證明兩條線段的位置關(guān)系（平行、垂直）的方法；可通過證明兩個(gè)三角形全等，得到對(duì)應(yīng)角相等，再利用平行線的判定或垂直定義證明．4．輔助線的添加:(1)作公共邊可構(gòu)造全等三角形；(2)倍長中線法；(3)作以角平分線為對(duì)稱軸的翻折變換全等三角形；(4)利用截長(或補(bǔ)短)法作旋轉(zhuǎn)變換的全等三角形．5．證明三角形全等的思維方法:（1）直接利用全等三角形判定和證明兩條線段或兩個(gè)角相等，需要我們敏捷、快速地發(fā)現(xiàn)兩條線段和兩個(gè)角所在的兩個(gè)三角形及它們?nèi)鹊臈l件．（2）如果要證明相等的兩條線段或兩個(gè)角所在的三角形全等的條件不充分時(shí)，則應(yīng)根據(jù)圖形的其它性質(zhì)或先證明其他的兩個(gè)三角形全等以補(bǔ)足條件．（3）如果現(xiàn)有圖形中的任何兩個(gè)三角形之間不存在全等關(guān)系，此時(shí)應(yīng)添置輔助線，使之出現(xiàn)全等三角形，通過構(gòu)造出全等三角形來研究平面圖形的性質(zhì)．八、三角形的穩(wěn)定性三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性．要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長不改變．

（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門不變形．大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理．

（3）四邊形沒有穩(wěn)定性，也就是說，四邊形的四條邊長確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變．四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如活動(dòng)掛架，伸縮尺．有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門框未安好之前，先在門框上斜著釘一根木板，使它不變形．九、用尺規(guī)作三角形一、已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個(gè)三角形已知：線段a，c和∠α，如圖4－4－16所示．圖4－4－16求作：△ABC，使BC＝a，AB＝c，∠ABC＝∠α．作法：(1)作一條線段BC＝a(如圖4－4－17)；圖4－4－17(2)以B為頂點(diǎn)，以BC為一邊，作∠DBC＝∠α(如圖4－4－18)；圖4－4－18(3)在射線BD上截取線段BA＝c(如圖4－4－19)；圖4－4－19圖4－4－20(4)連接AC(如圖4－4－20)．△ABC就是所求作的三角形．[點(diǎn)析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等．二、已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個(gè)三角形已知：∠α，∠β和線段c，如圖4－4－21所示．圖4－4－21求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．作法：(1)作∠DAF＝∠α；圖4－4－22圖4－4－23(2)在射線AF上截取線段AB＝c；圖4－4－24(3)以B為頂點(diǎn)，以BA為一邊，在AB的同側(cè)作∠ABE＝∠β，BE交AD于點(diǎn)C．△ABC就是所求作的三角形．[點(diǎn)析]我們這樣作出的三角形是唯一的，依據(jù)是兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等．三、已知三角形的三條邊，求作這個(gè)三角形已知：線段a，b，c，如圖4－4－25所示．圖4－4－25求作：△ABC，使AB＝c，AC＝b，BC＝a．作法：(1)作一條線段BC＝a；圖