（江蘇專用）高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 考點14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用必刷題（含解析）-人教版高三數(shù)學(xué)試題

考點14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查二）已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的圖像恒在直線上方，則實數(shù)的取值范圍為_______．【答案】【解析】因為函數(shù)的圖像恒在直線上方，所以，恒成立，即：恒成立.當(dāng)時，若，，，不滿足恒成立.當(dāng)時，恒成立.當(dāng)時，不等式恒成立等價于：，記，則，此時，在上遞減，在上遞增，在上遞減，其簡圖如下：所以，所以，又，解得：.綜上所述：．2．（江蘇省蘇州市2019屆高三下學(xué)期階段測試）若函數(shù)在其定義域上恰有兩個零點，則正實數(shù)a的值為_____.【答案】【解析】當(dāng)x≤0時，f（x）＝x+2x，單調(diào)遞增，f（﹣1）＝﹣1+2﹣1＜0，f（0）＝1＞0，由零點存在定理，可得f（x）在（﹣1，0）有且只有一個零點；則由題意可得x＞0時，f（x）＝ax﹣lnx有且只有一個零點，即有a有且只有一個實根．令g（x），g′（x），當(dāng)x＞e時，g′（x）＜0，g（x）遞減；當(dāng)0＜x＜e時，g′（x）＞0，g（x）遞增．即有x＝e處取得極大值，也為最大值，且為，當(dāng)x如圖g（x）的圖象，當(dāng)直線y＝a（a＞0）與g（x）的圖象只有一個交點時，則a．故答案為：．3．（江蘇省揚州市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測試）若存在正實數(shù)x，y，z滿足，且，則的最小值為_______．【答案】【解析】【分析】由?，又lnln（）＝lnlneln，令，則lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，利用函數(shù)求導(dǎo)求最值．【詳解】∵正實數(shù)x，y，z滿足3y2+3z2≤10yz，∴?，∵，∴l(xiāng)ne，lnln（）＝lnlneln，令，則lnelnet﹣lnt，t，f（t）＝et﹣lnt，f′（t）＝e0，則t，可得f（t）在（）遞減，在（）遞增，∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，即（ln）min＝2，∴的最小值為e2，故答案為：e2．4．（江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港))2019屆高三年級第一次質(zhì)量檢測）已知，，，且，則的最小值為_________．【答案】【解析】令，，，，在上遞減，在上遞增，所以，當(dāng)時，有最小值：所以，的最小值為故答案為：．5．（江蘇省七市(南通、泰州、揚州、徐州、淮安、宿遷、連云港)2019屆高三第三次調(diào)研考試）已知數(shù)列滿足（），（）．（1）若，證明：是等比數(shù)列；（2）若存在，使得，，成等差數(shù)列．①求數(shù)列的通項公式；②證明：．【答案】（1）見解析；（2）①，②見解析【解析】（1）由，得，得，即，因為，所以，所以（），所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）①設(shè)，由（1）知，，所以，即，所以．因為，，成等差數(shù)列，則，所以，所以，所以，即．②要證，即證，即證．設(shè)，則，且，從而只需證，當(dāng)時，．設(shè)（），則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，因為，所以，所以，原不等式得證．6．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查二）已知數(shù)列，，且對任意n恒成立．（1）求證：(n)；（2）求證：(n)．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】（1）①當(dāng)時，滿足成立.②假設(shè)當(dāng)時，結(jié)論成立.即：成立下證：當(dāng)時，成立。因為即：當(dāng)時，成立由①、②可知，(n)成立。（2）（?。┊?dāng)時，成立，當(dāng)時，成立，（ⅱ）假設(shè)時（），結(jié)論正確，即：成立下證：當(dāng)時，成立.因為要證，只需證只需證：，只需證：即證：（）記當(dāng)時，所以在上遞增，又所以，當(dāng)時，恒成立。即：當(dāng)時，成立。即：當(dāng)時，恒成立.所以當(dāng)，恒成立.由（ⅰ）（ⅱ）可得：對任意的正整數(shù)，不等式恒成立，命題得證.7．（江蘇省蘇錫常鎮(zhèn)四市2019屆高三教學(xué)情況調(diào)查二）已知函數(shù)，其中R．（1）如果曲線在x＝1處的切線斜率為1，求實數(shù)的值；（2）若函數(shù)的極小值不超過，求實數(shù)的最小值；（3）對任意[1，2]，總存在[4，8]，使得＝成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）2；（3）【解析】（1）由題可得：，所以又曲線在處的切線斜率為1，所以，解得：（2）因為函數(shù)的極小值不超過，說明函數(shù)有極小值則，其極小值即：記：，上述不等式可轉(zhuǎn)化成當(dāng)時，，要使得，則因為恒成立，所以在上遞減，所以實數(shù)的最小值為（3）記在的值域為，在的值域為對任意，總存在，使得成立，則成立（Ⅰ）當(dāng)時，在遞增，不滿足（Ⅱ）當(dāng)時，在遞減，在遞增，不滿足（Ⅲ）當(dāng)時，在遞減，在遞增，要使得，則即：整理得：（Ⅳ）當(dāng)時，在遞減，在遞增，要使得，則即：整理得：（Ⅴ）當(dāng)時，在遞減，，不滿足.綜上所述：．8．（江蘇省南通市基地學(xué)校2019屆高三3月聯(lián)考）某鮮花小鎮(zhèn)圈定一塊半徑為1百米的圓形荒地，準(zhǔn)備建成各種不同鮮花景觀帶．為了便于游客觀賞，準(zhǔn)備修建三條道路AB，BC，CA，其中A，B，C分別為圓上的三個進出口，且A，B分別在圓心O的正東方向與正北方向上，C在圓心O南偏西某一方向上．在道路AC與BC之間修建一條直線型水渠MN種植水生觀賞植物黃鳶尾（其中點M，N分別在BC和CA上，且M在圓心O的正西方向上，N在圓心O的正南方向上），并在區(qū)域MNC內(nèi)種植柳葉馬鞭草．（1）求水渠MN長度的最小值；（2）求種植柳葉馬鞭草區(qū)域MNC面積的最大值（水渠寬度忽略不計）．【答案】（1）百米；（2）平方米.【解析】（1）以圓心為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，則圓的方程為設(shè)點，直線的方程為，令，得直線的方程為，令，得所以令，即，則令，得當(dāng)時，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時，，則單調(diào)遞增；所以當(dāng)時，所以水渠長度的最小值為百米（2）由（1）可知，，，且則設(shè)，因為，所以所以，所以當(dāng)時，種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米另法：（2）因為，所以由所以設(shè)，因為，所以所以，所以當(dāng)時，種植柳葉馬鞭草區(qū)域面積的最大值為平方百米．9．（江蘇省南通、揚州、泰州、蘇北四市七市2019屆高三第一次（2月)模擬）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若有兩個不相同的零點．①求實數(shù)的取值范圍；②證明：．【答案】（1）見解析（2）①，②見解析【解析】（1）的定義域為，且．當(dāng)時，成立，所以在為增函數(shù)；當(dāng)時，（i）當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)；（ii）當(dāng)時，，所以在上為減函數(shù)．（2）①由（1）知，當(dāng)時，至多一個零點，不合題意；當(dāng)時，的最小值為，依題意知，解得．一方面，由于，，在為增函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷．所以在上有唯一的一個零點．另一方面，因為，所以．，令，當(dāng)時，，所以又，在為減函數(shù)，且函數(shù)的圖象在上不間斷．所以在有唯一的一個零點．綜上，實數(shù)的取值范圍是．②設(shè)．又則．下面證明．不妨設(shè)，由①知．要證，即證．因為，在上為減函數(shù)，所以只要證．又，即證．設(shè)函數(shù)．所以，所以在為增函數(shù).所以，所以成立．從而成立.所以，即成立.10．（江蘇省徐州市（蘇北三市（徐州、淮安、連云港))2019屆高三年級第一次質(zhì)量檢測）如圖，某公園內(nèi)有兩條道路，，現(xiàn)計劃在上選擇一點，新建道路，并把所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域．已知，．（1）若綠化區(qū)域的面積為1，求道路的長度；（2）若綠化區(qū)域改造成本為10萬元/，新建道路成本為10萬元/．設(shè)（），當(dāng)為何值時，該計劃所需總費用最小？【答案】（1）（2）【解析】（1）因為在中，已知，，所以由的面積，解得．在中，由余弦定理得：，所以．（2）由，則，．在中，，，由正弦定理得，所以，．記該計劃所需費用為，則．令，則，由，得．所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增．所以時，該計劃所需費用最?。?1．（江蘇省淮安市淮安區(qū)2019屆高三第一學(xué)期聯(lián)合測試）已知函數(shù)，R．（1）當(dāng)a＝2時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對(0，)，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】（1）遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）【解析】（1）在區(qū)間上，令，則.令，則.從而函數(shù)的遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為.（2）因為函數(shù)在處取得極值，所以，解得.因為對恒成立即對恒成立.令，，易得在上遞減，在上遞增所以，即．12．（江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬）設(shè)區(qū)間，定義在上的函數(shù)集合若，求集合設(shè)常數(shù).①討論的單調(diào)性；②若，求證【答案】（1）（2）①見解析；②見證明【解析】（1）當(dāng)時，，則．由可知恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以集合（2）①由得，因為，則由，得．在上列表如下：＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增（?。┊?dāng)，即時，則，所以在上單調(diào)遞減；（ⅱ）當(dāng)，即時，此時，在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減②（方法一）當(dāng)時，由①可知，（ⅰ）當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，所以，這與恒成立矛盾，故此時實數(shù)不存在；（ⅱ）當(dāng)時，在，上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，所以．若，這與恒成立矛盾，故此時實數(shù)不存在；若，此時，又，則，．下面證明，也即證：．因為，且，則，下證：．令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即．這與恒成立矛盾，故此時實數(shù)不存在．綜上所述，．（方法二）（ⅰ）當(dāng)時，成立；（ⅱ）當(dāng)時，由題意可知恒成立，則，設(shè)，則，令，解得．因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以；（ⅲ）當(dāng)時，由題意可知恒成立，則．設(shè)，則，因為，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以．若，則存在實數(shù)滿足，則成立，即，也即成立，則，這與矛盾，所以．13．（江蘇省南通、揚州、泰州、蘇北四市七市2019屆高三第一次（2月)模擬）如圖1，一藝術(shù)拱門由兩部分組成，下部為矩形，的長分別為和，上部是圓心為的劣弧，．（1）求圖1中拱門最高點到地面的距離；（2）現(xiàn)欲以B點為支點將拱門放倒，放倒過程中矩形所在的平面始終與地面垂直，如圖2、圖3、圖4所示．設(shè)與地面水平線所成的角為．記拱門上的點到地面的最大距離為，試用的函數(shù)表示，并求出的最大值．【答案】（1）拱門最高點到地面的距離為．（2），其最大值為【解析】（1）如圖，過作與地面垂直的直線交于點，交劣弧于點，的長即為拱門最高點到地面的距離．在中，，，所以，圓的半徑．所以．答：拱門最高點到地面的距離為．（2）在拱門放倒過程中，過點作與地面垂直的直線與“拱門外框上沿”相交于點．當(dāng)點在劣弧上時，拱門上的點到地面的最大距離等于圓的半徑長與圓心到地面距離之和；當(dāng)點在線段上時，拱門上的點到地面的最大距離等于點到地面的距離．由（1）知，在中，．以為坐標(biāo)原點，直線為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系．當(dāng)點在劣弧上時，．由，，由三角函數(shù)定義，得，則．所以當(dāng)即時，取得最大值．當(dāng)點在線段上時，．設(shè)，在中，，．由，得．所以．又當(dāng)時，．所以在上遞增．所以當(dāng)時，取得最大值．因為，所以的最大值為．綜上，藝術(shù)拱門在放倒的過程中，拱門上的點到地面距離的最大值為（）．14．（江蘇省揚州市2018-2019學(xué)年度第一學(xué)期期末檢測試）已知函數(shù)f(x)＝(3－x)ex，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然對數(shù)的底數(shù)，e≈2.718…)．(1)求函數(shù)f(x)的極值；(2)若函數(shù)y＝f(x)g(x)在區(qū)間[1，2]上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；(3)若函數(shù)h(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上既存在極大值又存在極小值，并且函數(shù)h(x)的極大值小于整數(shù)b，求b的最小值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）4【解析】（1），，令，解得，列表：2+0-極大值∴當(dāng)時，函數(shù)取得極大值，無極小值（2）由，得∵，令，∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增等價于對任意的，函數(shù)恒成立∴，解得．（3），令，∵在上既存在極大值又存在極小值，∴在上有兩個不等實根，即在上有兩個不等實根．∵∴當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減則，∴，解得，∴∵在上連續(xù)且，∴在和上各有一個實根∴函數(shù)在上既存在極大值又存在極小值時，有，并且在區(qū)間上存在極小值，在區(qū)間上存在極大值．∴，且，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減∵，∴，即，則∵的極大值小于整數(shù)，∴滿足題意的整數(shù)的最小值為4．15．（江蘇省如皋市2019屆高三教學(xué)質(zhì)量調(diào)研三）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點，點在軸上運動，點在軸上運動，點為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，且滿足，．（1）求動點的軌跡的方程；（2）過曲線第一象限上一點（其中）作切線交直線于點，連結(jié)并延長交直線于點，求當(dāng)面積取最大值時切點的橫坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)，，.因為，，所以，，，所以.（2）切線：，將代入得，直線：，將代入得，，因為在拋物線上且在第一象限，所以，所以，設(shè)，，，，.16．（江蘇省蘇北四市2019屆高三第一學(xué)期期末考試考前模擬）如圖，有一張半徑為1米的圓形鐵皮，工人師傅需要剪