數(shù)值分析第五版答案(全) - 副本

第一章緒論1.設(shè)x>0,x的相對(duì)誤差為δ,求lnx的誤差。2.設(shè)x的相對(duì)誤差為2%,求xn的相對(duì)誤差。,,,,出它們是幾位有效數(shù)字：,,,,是二位有效數(shù)字.5計(jì)算球體積要使相對(duì)誤差限為1,問(wèn)度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限是多少解：球體體積為則何種函數(shù)的條件數(shù)為又故度量半徑R時(shí)允許的相對(duì)誤差限為6.設(shè),按遞推公式(n=1,2,…)計(jì)算到將有多大誤差故方程的根應(yīng)∴x具有5位有效數(shù)字設(shè)α=arctan(N+1),β=arctanN。則tanα=N+1,tanβ=N.若41(三位有效數(shù)字),計(jì)算到時(shí)誤差有多大這個(gè)計(jì)算過(guò)程穩(wěn)定嗎解：設(shè)y=(x-1)6計(jì)算y值，則若通過(guò)計(jì)算y值，則通過(guò)計(jì)算后得到的結(jié)果最好。解則u*=29.9833故若改用等價(jià)公式第二章插值法X則0.5<0.54<0.6=6.93147(x-0.6)-5.1082=-50×0.916291(x-0.5)(x-0.6)+69.3147(x-0.4)(x-0.6)-0.510826×50(x-0.3.給全cosx,0≤x≤90的函數(shù)表，步長(zhǎng)h=1'=(1/60),若函數(shù)表具有5位有效數(shù)字，研究用線性插值求cosx近似值時(shí)的總誤差界。解：求解Cosx近似值時(shí)，誤差可以分為兩個(gè)部分，一方面，x是近似值，具有5位有效數(shù)字，在此后的計(jì)算過(guò)程中產(chǎn)生一定的誤差傳播；另一方面，利用插值法求函數(shù)cosx的近似值時(shí)，采用的線性插值法插值余項(xiàng)不為0,也會(huì)有一定的誤差。因此，總誤差界的計(jì)算應(yīng)綜合以上兩方面的因素。令f(x)=cosx,線性插值多項(xiàng)式為插值余項(xiàng)為又∵在建立函數(shù)表時(shí)，表中數(shù)據(jù)具有5位有效數(shù)字，日cosxe[0.1].故計(jì)算中有誤差傳播∴總誤差界為4.設(shè)為互異節(jié)點(diǎn)，求證：又0≤i≤n由上題結(jié)論可知,以此為插值節(jié)點(diǎn)，則線性插值多項(xiàng)式為又f(a)=f(b)=0∴得證10.證得證。又解：∵f(x)=x7+x4+3x+115.證明兩點(diǎn)三次埃爾米特插值余項(xiàng)是R(x)=R(x)=0R(x)=g(x)(x-x)2(x-x)其中g(shù)(x)是關(guān)于x的待定函數(shù)，φ(()=f“()-H'(4)-g(x又其中ξ依賴于xP(0)=P'(0)=0,P(1)=P'(1)解：利用埃米爾特插值可得到次數(shù)不高于4的多項(xiàng)式從而則步長(zhǎng)h=1,誤差又令f"(x)=0f(x)=x2誤差為19.求f(x)=x4在[a,b]上分段埃爾米特插值，并估計(jì)誤差。f(x)=x4,f'(x)=4x上的分段埃爾米特插值函數(shù)為誤差為20.給定數(shù)據(jù)表如下：試求三次樣條插值，并滿足條件：(2)S”(0.25)=S"(0.53)=0.求解此方程組得∵三次樣條表達(dá)式為由此得矩陣開(kāi)工的方程組為求解此方程組，得M=0,M=-1.8809又∵三次樣條表達(dá)式為第三章函數(shù)逼近與曲線擬合伯恩斯坦多項(xiàng)式為其中則則當(dāng)當(dāng)6。對(duì)f(x),g(x)∈C[a,b],定義(1)令f(x)=C(C為常數(shù)，且C≠0)(2)若的正交多故9。試證明由教材式(2.14)給出的第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式族的正交多項(xiàng)式。的正交多項(xiàng)式。證明：是[0,1]上帶權(quán)若又證明：切比雪夫多項(xiàng)式為從而有11。假設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，求f(x)的零次最佳一致逼近多項(xiàng)式f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)由切比雪夫定理知達(dá)到極小，又問(wèn)這個(gè)解是否唯一···f(x)的最高次項(xiàng)系數(shù)為1,且為3次多項(xiàng)式。與0的偏差最小上的最佳一次逼近多項(xiàng)式，并估計(jì)誤差。于是得f(x)的最佳一次逼近多項(xiàng)式為即誤差限為)令g(t)=16f(t),則g(t)=t4+10r3+24r2+22t-9進(jìn)而，f(x)的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式,則f(x)的三次最佳一致逼近多項(xiàng)式為的最佳平方逼近多項(xiàng)式。,則法方程組為解得=0.1171875+1.640625x2-0.82從而解得的最佳平方逼近多項(xiàng)式為則法方程組為則法方程組為從而解得則法方程組為從而解得最佳平方逼近多項(xiàng)式為在[-1,1]上按勒讓德多項(xiàng)式展開(kāi)求三次最佳平方逼近多項(xiàng)式。展開(kāi)按勒讓德多項(xiàng)式展開(kāi)則19。觀測(cè)物體的直線運(yùn)動(dòng)，得出以下數(shù)據(jù)：時(shí)間t(s)0距離s(m)0求運(yùn)動(dòng)方程。s=a+bi則則法方程組為故物體運(yùn)動(dòng)方程為×;用最小二乘法求形如s=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式，并計(jì)算均方誤差。則則法方程組為21。在某佛堂反應(yīng)中，由實(shí)驗(yàn)得分解物濃度與時(shí)時(shí)間100用最小二乘法求y=f(t)。觀察所給數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，采用方程兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)，則則S=a*+b*x則法方程組為從而解得因此則k=0,1,,7,N=8X43210123A1444404A284048J23,用輾轉(zhuǎn)相除法將解化為連分式。從而-Cb-Cb-Cb=C-Cb-Cb-Cb=C-Cb-Cb-Cb=C即故得即故第四章數(shù)值積分與數(shù)值微分1.確定下列求積公式中的特定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高，并指明所構(gòu)造出的求積公式所具求解求積公式的代數(shù)精度時(shí)，應(yīng)根據(jù)代數(shù)精度的定義，即求積公式對(duì)于次數(shù)不超過(guò)m的多項(xiàng)式均能準(zhǔn)確地成立，但對(duì)于m+1次多項(xiàng)式就不準(zhǔn)確成立，進(jìn)行驗(yàn)證性求解。(1)若(從而解得令f(x)=x4,則具有3次代數(shù)精度。令f(x)=1,則則從而解得令f(x)=x4,則具有3次代數(shù)精度。從而解得或因此，原求積公式具有2次代數(shù)精度。h[f(O)+f(h)]/2+ahz[f具有3次代數(shù)精度復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為復(fù)化梯形公式為復(fù)化辛普森公式為3。直接驗(yàn)證柯特斯教材公式(2。4)具有5交代數(shù)精度?？绿厮构綖榱頵(x)=x4,則令f(x)=xs,則令f(x)=x6,則因此，該柯特斯公式具有5次代數(shù)精度。4。用辛普森公式求積分并估計(jì)誤差辛普森公式為從而有誤差為5。推導(dǎo)下列三種矩形求積公式：(1)f(x)=f(a)+f'(η)(x-a),η即即即過(guò)若改用復(fù)化辛普森公式，要達(dá)到同樣精度區(qū)間[0,1]應(yīng)分多少等分故有因此，將區(qū)間213等分時(shí)可以滿足誤差要求采用復(fù)化辛普森公式時(shí)，余項(xiàng)為當(dāng)對(duì)區(qū)間[0,1]進(jìn)行等分時(shí)故有因此，將區(qū)間8等分時(shí)可以滿足誤差要求。7。如果f”(x)>0,證明用梯形公式計(jì)算積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值1大，并說(shuō)明其幾何意義。解：采用梯形公式計(jì)算積分時(shí)，余項(xiàng)為又f”(x)>0且b>akT20123k0T?)01因此J≈0kT?)012345因此I≈10.20759229。用n=2,3的高斯-勒讓德公式計(jì)算積分用n=2的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分用n=3的高斯—勒讓德公式計(jì)算積分I≈0.3478548×[f(-0.8611363)++0.6521452×[f(-0.3399810)+f(0.10地球衛(wèi)星軌道是一個(gè)橢圓，橢圓周長(zhǎng)的計(jì)算公式是這是a是橢圓的半徑軸，c是地球中心與軌道中心(橢圓中心)的距離，記h為近地點(diǎn)距離，H為遠(yuǎn)地點(diǎn)距離，R=6371(km)我國(guó)第一顆地球衛(wèi)星近地點(diǎn)距離h=439(km),遠(yuǎn)地點(diǎn)距離H=2384(km)。試求衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)。kT?)1012即人造衛(wèi)星軌道的周長(zhǎng)為48708km11。證明等式試依據(jù)解)的值，用外推算法求π的近似值?！啻撕瘮?shù)的泰勒展式為由外推法可得nT369故π≈3.1415812。用下列方法計(jì)算積分并比較結(jié)果。(3)將積分區(qū)間分為四等分，用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式。解(1)采用龍貝格方法可得kTTTT01234故有I≈1.098613(2)采用高斯公式時(shí)此時(shí)y∈[1,3],利用三點(diǎn)高斯公式，則I=0.5555556×[f(-0.7745967)+f(0.7745967)]+0.8利用五點(diǎn)高斯公式，則I≈0.2369239×[f(-0.9061798)++0.4786287×[f(-0.5384693)+f(0.5384693)]+0.568(3)采用復(fù)化兩點(diǎn)高斯公式將區(qū)間[1,3]四等分，得則I≈f(-0.5773503)+f(0.5773作變換則作變換則I≈f(-0.5773503)+f(0.5773則I≈f(-0.5773503)+f(0.5773因此，有13.用三點(diǎn)公式和積分公式求在x=1.0,1.1,和處的導(dǎo)數(shù)值，并估計(jì)誤差。f(x)的值由下表給出：X由帶余項(xiàng)的三點(diǎn)求導(dǎo)公式可知又又故誤差分別為利用數(shù)值積分求導(dǎo)，由梯形求積公式得從而有故又且解方程組可得第5章數(shù)值分析課后習(xí)題全解第5章：解線性方程組的直接方法1.證明：由消元公式及A的對(duì)稱(chēng)性得2.證明：(1)因A對(duì)稱(chēng)正定，故(2)由A的對(duì)稱(chēng)性及消元公式得也對(duì)稱(chēng).又顯然L非其異，從而對(duì)任意的x≠0,有(由A的正定性故LALr正定.3.證明由矩陣乘法簡(jiǎn)單運(yùn)算即得證.4.解設(shè)有分解由公式素.故有從而有故,,,5.解(1)設(shè)U為上三角陣故因故當(dāng)U為下三角陣時(shí)(2)除法次數(shù)為n,乘法次數(shù)為故總的乘法次數(shù)為n+n(n-1)/2=n(n+1)/2.(3)設(shè)U為上三角陣，U-I=S,側(cè)S也是上三角陣.由得23m126.證明(1)因A是對(duì)稱(chēng)正定陣，故存在唯一的分解A=LL,其中L是具有正對(duì)角元素的下三角陣.從而A-1=(LD)-1=(L)-1L-1=(L-1)T故A-1是對(duì)稱(chēng)矩陣.又L-1非奇異，故對(duì)任意的x≠0,有L-1x≠0,故xTA-1X=xT(L1)rL1x=(L1x)故A-1是對(duì)稱(chēng)正定矩陣，即A-1也對(duì)稱(chēng)正定.(2)由A對(duì)稱(chēng)正盯，故A的所有順序主子式均不為零，從而A有唯一的又由分解的唯一性即得從而有又由A的對(duì)稱(chēng)正定性知故8.解設(shè)有分解,,由公式其中b,a,C素，則有由,分別是系數(shù)矩陣的主角線元素及其下邊和上邊的次對(duì)角線元,,:,.,,,,得由得由,由得故故,與第三行交換，則可以分解，且分解唯一。B中，,但它仍可以分解為其中!為一任意常數(shù)，且U奇異，故分解且分解不唯一，對(duì)C,△≠0,i=1,2,3,故C可分解且分解唯一。故12.證明(1)有定義知(2)由范數(shù)定義，有(2)對(duì)任意實(shí)數(shù)c,有(3)因A正定，故有分解A=LE,則故對(duì)任意向量x和y,總有故,即故證明設(shè)λ≠0,則故20.證明xrArAx=(Ax)r(Ax)>0第六章課后習(xí)題解答1.解：(a)因系數(shù)矩陣按行嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)，故雅可比法與高斯-塞德?tīng)柧諗俊?b)雅可比法的迭代格式為T(mén)(17)(4.0000186,2.9999915,2.0高斯=塞德?tīng)柗ǖ牡袷綖?f(8)(4.0000186,2.9999915二2:解(a)雅可比法的迭代矩陣高斯高斯塞德每法途敵高斯一塞確(b)雅可比法的迭二二必要條件：必要條件：k故對(duì)任意的有|Ax-Ax!!IA-A)AxKAx(k)O二kkA對(duì)習(xí)題(a),A對(duì)稱(chēng)，又1)0,0.840,|A|0.2900,頡正定，但其雅可比迭代法不收斂5.解答見(jiàn)例6-4 △二△ K123000012345678<(A)’(A)’μdet-1<a2<0,det(A)(1a)z(12a)十>0J0JJ=fnJ=f0a0與所述迭代格式相減有nxx*G(xk)x*)又GPJnP0因此，至多迭代次即可收斂到方程組的解SOR法的迭代矩軋(DwL)1((1w)DwU)十≤用反證法設(shè)L有一個(gè)特征值滿足|11,則有從而有det{(D-ul):(DwL)1(1w)Dw}0λ≤≠二λ二A的有根區(qū)間.又.根據(jù)二分法的誤差估計(jì)式知要求誤差小于，只需,解得k+l>5.322果見(jiàn)表7-7.,故至少應(yīng)二分6次.具體計(jì)算結(jié)表7-7k“bkX01212+2+3一4一5附近的一個(gè)根，設(shè)將方程改寫(xiě)成下列等價(jià)形式，并建立相應(yīng)的迭代公式：(1),迭代公式試分析每種迭代公式的收斂性，并選取一種公式求出具有四位有效數(shù)字的近似根解取*=1.5的鄰域[,]來(lái)考察.(1)當(dāng),故迭代公式上整體收斂.在[,]上整體收斂.由于(2)的L叫小，故取(2)中迭代式計(jì)算.要求結(jié)果具有四位有效數(shù)字，只需即表7-8kk142536由于,故可取x*≈x=1.466表7-9k“bkXXX02345678900001+十此時(shí)具有三位有效數(shù)字.,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-10所示.表7-10kXkkXk123456此時(shí),故x*≈x6精確到三位小數(shù).4、給定函數(shù)f(x),設(shè)對(duì)一切xf'(x)存在且0<m≤f'(x)≤M,證明對(duì)于范圍,故5、用斯蒂芬森迭代法計(jì)算第2題中(2)的近似根，精確到10-s解記第2題中(2)的迭代函,(3)的迭代函數(shù)為,利用迭代式，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-11.表7-11k加速9(x)的結(jié)果×kk001122334φ(x*)=x*,φ'(x*)=0,φ"(x*)=0.于是由x*=x*-p(x*)f(x*)-q(x*)fz(x*)=φ”(x*)=-2p'(x*)f'(x*)-p(x*)f"(x*)得故取即迭代至少三階收斂.7、用下列方法求f(x)=x?-3x-1=0在*=2附近的根.根的準(zhǔn)確值x*=1.87938524…,要求計(jì)算結(jié)果準(zhǔn)確到四位有效數(shù)字(1)用牛頓法；f(1)<0,f(2)>0,f(x)=3x2-3=3(xz-I)≥0,f”(x)=6x>0Vxf(1)<0,f(2)>0,f(x)=3x2-3=3(xz-I)≥0,f”(x)=6x>0Vx∈[1,2]計(jì)算得,利用弦截法,故取表7-13-13,因記,容易算得f(4)=2.842…>0,f(4.6)=-4.26…<0,因的有限區(qū)間.對(duì)于二分法，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)表7-12.表7-12k“bkkf(x)的符號(hào)023456789十+十++一一+若用牛頓迭代法求解，由于,故取x=4.6,迭代計(jì)算結(jié)果如表7-13所示.kkXk142536的牛頓公式證明對(duì)一切且序列是遞減的.,且,且故*≤,即.根據(jù)單調(diào)原理知，有極限.易證起極限為√a.對(duì)利用例7-9的結(jié)論知，a的根.證明見(jiàn)例7-1011、用牛頓迭代法和求重根的牛頓迭代法和(書(shū)中式，)計(jì)算方程的解用牛頓法迭代公式為,迭代到用求重根的迭代公式，迭代迭代公式為取則.四次迭代達(dá)到上面^20的結(jié)果.取,得.結(jié)果與公式的相同.的迭代公式，并討論其收斂性.,根據(jù)例7-9的結(jié)論知，牛頓序列收斂到Va.當(dāng)單增趨于時(shí)，之后迭代也收斂.13、應(yīng)用牛頓法于方程