《3.2函數(shù)的基本性質(zhì)》專(zhuān)題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練

《3.2函數(shù)的基本性質(zhì)》專(zhuān)題復(fù)習(xí)與訓(xùn)練3.2.1單調(diào)性與最大(小)值第1課時(shí)函數(shù)的單調(diào)性學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解函數(shù)的單調(diào)性及其幾何意義，能運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的單調(diào)性．(重點(diǎn)、難點(diǎn))2．會(huì)用函數(shù)單調(diào)性的定義判斷(或證明)一些函數(shù)的單調(diào)性．(難點(diǎn))3．會(huì)求一些具體函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．(重點(diǎn))1.借助單調(diào)性的證明，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．利用求單調(diào)區(qū)間及應(yīng)用單調(diào)性解題，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．【新課導(dǎo)入】1．增函數(shù)與減函數(shù)的定義條件一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，區(qū)間D?I：如果?x1，x2∈D，當(dāng)x1＜x2時(shí)都有f(x1)＜f(x2)都有f(x1)＞f(x2)結(jié)論那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)那么就說(shuō)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖示思考1：增(減)函數(shù)定義中的x1，x2有什么特征？提示：定義中的x1，x2有以下3個(gè)特征：(1)任意性，即“任意取x1，x2”(2)有大小，通常規(guī)定x1<x2；(3)屬于同一個(gè)單調(diào)區(qū)間．2．函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，那么就說(shuō)函數(shù)y＝f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性，區(qū)間D叫做y＝f(x)的單調(diào)區(qū)間．思考2：函數(shù)y＝eq\f(1,x)在定義域上是減函數(shù)嗎？提示：不是．y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)上遞減，在(0，＋∞)上也遞減，但不能說(shuō)y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上遞減．1．函數(shù)y＝f(x)的圖象如圖所示，其增區(qū)間是()A．[－4,4]B．[－4，－3]∪[1,4]C．[－3,1]D．[－3,4]C[由圖可知，函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[－3,1]，選C.]2．下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)的是()A．y＝－eq\f(1,x) B．y＝xC．y＝x2 D．y＝1－xD[函數(shù)y＝1－x在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，其余函數(shù)在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，故選D.]3．函數(shù)f(x)＝x2－2x＋3的單調(diào)減區(qū)間是________．(－∞，1][因?yàn)閒(x)＝x2－2x＋3是圖象開(kāi)口向上的二次函數(shù)，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(－∞，1]．]【合作探究】求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間【例1】求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并指出該函數(shù)在其單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)．(1)f(x)＝－eq\f(1,x)；(2)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1，x≥1，,5－x，x<1；))(3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.[解](1)函數(shù)f(x)＝－eq\f(1,x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，0)，(0，＋∞)，其在(－∞，0)，(0，＋∞)上都是增函數(shù)．(2)當(dāng)x≥1時(shí)，f(x)是增函數(shù)，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)是減函數(shù)，所以f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，1)，[1，＋∞)，并且函數(shù)f(x)在(－∞，1)上是減函數(shù)，在[1，＋∞)上是增函數(shù)．(3)因?yàn)閒(x)＝－x2＋2|x|＋3＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x<0.))根據(jù)解析式可作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖象可知，函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間為(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)．f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函數(shù)，在(－1,0)，[1，＋∞)上是減函數(shù)．求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的方法(1)利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性，如本例(1)和(2)，其中分段函數(shù)的單調(diào)區(qū)間要根據(jù)函數(shù)的自變量的取值范圍分段求解；(2)利用函數(shù)的圖象，如本例(3)．提醒：若所求出函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間或單調(diào)減區(qū)間不唯一，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間之間要用“，”隔開(kāi)，如本例(3)．1．(1)根據(jù)如圖所示，寫(xiě)出函數(shù)在每一單調(diào)區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù)；(2)寫(xiě)出y＝|x2－2x－3|的單調(diào)區(qū)間．[解](1)函數(shù)在[－1,0]，[2,4]上是減函數(shù)，在[0,2]，[4,5]上是增函數(shù)．(2)先畫(huà)出f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－3，x<－1或x>3，,－x2－2x－3，－1≤x≤3))的圖象，如圖．所以y＝|x2－2x－3|的單調(diào)減區(qū)間為(－∞，－1]，[1,3]；單調(diào)增區(qū)間為[－1,1]，[3，＋∞)．函數(shù)單調(diào)性的判定與證明【例2】證明函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減函數(shù)．[思路點(diǎn)撥]eq\x(設(shè)元0<x1<x2<1)→eq\x(作差：fx1－fx2)eq\o(→,\s\up15(變形))eq\x(判號(hào)：fx1>fx2)eq\o(→,\s\up15(結(jié)論))eq\x(減函數(shù))[證明]設(shè)x1，x2是區(qū)間(0,1)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋\f(1,x1)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x1)－\f(1,x2)))＝(x1－x2)＋eq\f(x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,x1x2)))＝eq\f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)∵0<x1<x2<1，∴x1－x2<0,0<x1x2<1，則－1＋x1x2<0，∴eq\f(x1－x2－1＋x1x2,x1x2)>0，即f(x1)>f(x2)，∴f(x)＝x＋eq\f(1,x)在(0,1)上是減函數(shù)．利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟1取值：設(shè)x1，x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個(gè)值，且x1<x2.2作差變形：作差fx1－fx2，并通過(guò)因式分解、通分、配方、有理化等手段，轉(zhuǎn)化為易判斷正負(fù)的式子.3定號(hào)：確定fx1－fx2的符號(hào).4結(jié)論：根據(jù)fx1－fx2的符號(hào)及定義判斷單調(diào)性.提醒：作差變形是證明單調(diào)性的關(guān)鍵，且變形的結(jié)果是幾個(gè)因式乘積的形式.2．試用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f(x)＝eq\f(2x,x－1)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．[證明]f(x)＝2＋eq\f(2,x－1)，設(shè)x1>x2>1，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1)，因?yàn)閤1>x2>1，所以x2－x1<0，x1－1>0，x2－1>0，所以f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(1，＋∞)上是減函數(shù)．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．若函數(shù)f(x)是其定義域上的增函數(shù)，且f(a)>f(b)，則a，b滿(mǎn)足什么關(guān)系．如果函數(shù)f(x)是減函數(shù)呢？提示：若函數(shù)f(x)是其定義域上的增函數(shù)，那么當(dāng)f(a)>f(b)時(shí)，a>b；若函數(shù)f(x)是其定義域上的減函數(shù)，那么當(dāng)f(a)>f(b)時(shí)，a<b.2．決定二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c單調(diào)性的因素有哪些？提示：開(kāi)口方向和對(duì)稱(chēng)軸的位置，即字母a的符號(hào)及－eq\f(b,2a)的大小．【例3】(1)若函數(shù)f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3在區(qū)間(－∞，3]上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(2)已知函數(shù)y＝f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，則實(shí)數(shù)x的取值范圍為_(kāi)_______．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(分析fx的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系)eq\o(→,\s\up15(數(shù)形結(jié)合))eq\x(建立關(guān)于a的不等式)eq\o(→,\s\up15())eq\x(求a的范圍)(2)eq\x(f2x－3>f5x－6)eq\o(→,\s\up15(f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)))eq\x(建立關(guān)于x的不等式)eq\o(→,\s\up15())eq\x(求x的范圍)(1)(－∞，－4](2)(－∞，1)[(1)∵f(x)＝－x2－2(a＋1)x＋3的開(kāi)口向下，要使f(x)在(－∞，3]上是增函數(shù)，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4.∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－∞，－4]．(2)∵f(x)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)，且f(2x－3)>f(5x－6)，∴2x－3>5x－6，即x<1.∴實(shí)數(shù)x的取值范圍為(－∞，1)．]1．(變條件)若本例(1)的函數(shù)f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．[解]由題意可知－(a＋1)≤1或－(a＋1)≥2，即a≤－3或a≥－2.所以a的取值范圍為(－∞，－3]∪[－2，＋∞)．2．(變條件)若本例(2)的函數(shù)f(x)是定義在(0，＋∞)上的減函數(shù)，求x的范圍．[解]由題意可知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3>0，,5x－6>0，,2x－3<5x－6，))解得x>eq\f(3,2).∴x的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，＋∞)).函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用1函數(shù)單調(diào)性定義的“雙向性”：利用定義可以判斷、證明函數(shù)的單調(diào)性，反過(guò)來(lái)，若已知函數(shù)的單調(diào)性可以確定函數(shù)中參數(shù)的取值范圍.2若一個(gè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則此函數(shù)在這一單調(diào)區(qū)間內(nèi)的任意子集上也是單調(diào)的.1．定義單調(diào)性時(shí)應(yīng)強(qiáng)調(diào)x1，x2在其定義域內(nèi)的任意性，其本質(zhì)是把區(qū)間上無(wú)限多個(gè)函數(shù)值的大小比較轉(zhuǎn)化為兩個(gè)任意值的大小比較．2．證明函數(shù)的單調(diào)性(利用定義)一定要嚴(yán)格遵循設(shè)元、作差、變形、定號(hào)、結(jié)論的步驟，特別在變形上，一定要注意因式分解、配方等技巧的運(yùn)用，直到符號(hào)判定水到渠成才可．3.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的范圍時(shí)，要樹(shù)立兩種意識(shí)：一是等價(jià)轉(zhuǎn)化意識(shí)，如f(x)在D上遞增，則f(x1)<f(x2)?x1<x2.二是數(shù)形結(jié)合意識(shí)，如處理一(二)次函數(shù)及反比例函數(shù)中的含參數(shù)的范圍問(wèn)題.【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)所有的函數(shù)在其定義域上都具有單調(diào)性．()(2)若函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)，則函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,3]．()(3)函數(shù)f(x)為R上的減函數(shù)，則f(－3)>f(3)．()(4)若函數(shù)y＝f(x)在定義域上有f(1)<f(2)，則函數(shù)y＝f(x)是增函數(shù)．()(5)若函數(shù)f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減，則f(x)在(－∞，0)∪(0，＋∞)上單調(diào)遞減．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．如圖是定義在區(qū)間[－5,5]上的函數(shù)y＝f(x)，則下列關(guān)于函數(shù)f(x)的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()A．函數(shù)在區(qū)間[－5，－3]上單調(diào)遞增B．函數(shù)在區(qū)間[1,4]上單調(diào)遞增C．函數(shù)在區(qū)間[－3,1]∪[4,5]上單調(diào)遞減D．函數(shù)在區(qū)間[－5,5]上沒(méi)有單調(diào)性C[由圖可知，f(x)在區(qū)間[－3,1]，[4,5]上單調(diào)遞減，單調(diào)區(qū)間不可以用并集“∪”連接，故選C.]3．如果函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋2在區(qū)間[3，＋∞)上是增函數(shù)，則b的取值范圍為()A．b＝3 B．b≥3C．b≤3 D．b≠3C[函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋2的圖象是開(kāi)口向上，且以直線(xiàn)x＝b為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，若函數(shù)f(x)＝x2－2bx＋2在區(qū)間[3，＋∞)上是增函數(shù)，則b≤3，故選C.]4．證明：函數(shù)y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．[證明]設(shè)x1>x2>－1，則y1－y2＝eq\f(x1,x1＋1)－eq\f(x2,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1).∵x1>x2>－1，∴x1－x2>0，x1＋1>0，x2＋1>0，∴eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)>0，即y1－y2>0，y1>y2，∴y＝eq\f(x,x＋1)在(－1，＋∞)上是增函數(shù)．《函數(shù)的單調(diào)性》專(zhuān)題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(1,x)的單調(diào)遞減區(qū)間是()A．(0，＋∞) B．(－∞，0)C．(－∞，0)和(0，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞)C[函數(shù)y＝eq\f(1,x)的定義域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．由函數(shù)的圖象可知y＝eq\f(1,x)在區(qū)間(－∞，0)和(0，＋∞)上分別是減函數(shù)．]2．若函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在RA．a(chǎn)≥eq\f(1,2) B．a(chǎn)≤eq\f(1,2)C．a(chǎn)>eq\f(1,2) D．a(chǎn)<eq\f(1,2)D[函數(shù)f(x)＝(2a－1)x＋b在R上是單調(diào)減函數(shù)，則2a－1<0，即a<eq\f(1,2).故選D.]3．下列函數(shù)中，在(0,2)上是增函數(shù)的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝2x－1C．y＝1－2x D．y＝(2x－1)2B[對(duì)于A，y＝eq\f(1,x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上單調(diào)遞減；對(duì)于B，y＝2x－1在R上單調(diào)遞增；對(duì)于C，y＝1－2x在R上單調(diào)遞減；對(duì)于D，y＝(2x－1)2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．故選B.]4．函數(shù)f(x)＝|x|，g(x)＝x(2－x)的遞增區(qū)間依次是()A．(－∞，0]，(－∞，1] B．(－∞，0]，(1，＋∞)C．[0，＋∞)，(－∞，1] D．[0，＋∞)，[1，＋∞)C[分別作出f(x)與g(x)的圖象得：f(x)在[0，＋∞)上遞增，g(x)在(－∞，1]上遞增，選C.]5．f(x)為(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，a∈R，則()A．f(a)＜f(2a) B．f(a2)＜f(aC．f(a2＋1)＜f(a) D．f(a2＋a)＜f(a)C[因?yàn)閍∈R，所以a－2a＝－a與0的大小關(guān)系不定，無(wú)法比較f(a)與f(2a)的大小，故A錯(cuò)；而a2－a＝a(a－1)與0的大小關(guān)系也不定，也無(wú)法比較f(a2)與f(a)的大小，故B錯(cuò)；又因?yàn)閍2＋1－a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以a2＋1＞a.又f(x)為(－∞，＋∞)上的減函數(shù)，故有f(a2＋1)＜f(a)，故C對(duì)；易知D錯(cuò)．故選C.]二、填空題6．如果二次函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______．(－∞，2][∵函數(shù)f(x)＝x2－(a－1)x＋5的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(a－1,2)且在區(qū)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是增函數(shù)，∴eq\f(a－1,2)≤eq\f(1,2)，即a≤2.]7．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x＋1)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍是________．[－1，＋∞)[函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x＋1)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－1，＋∞)，(－∞，－1)，又f(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞減，所以a≥－1.]8．已知f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且f(x)>0，在其定義域內(nèi)下列函數(shù)為單調(diào)增函數(shù)的是________．①y＝a＋f(x)(a為常數(shù))；②y＝a－f(x)(a為常數(shù))；③y＝eq\f(1,fx)；④y＝[f(x)]2.②③[f(x)在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且f(x)>0時(shí)，－f(x)，eq\f(1,fx)均為遞增函數(shù)，故選②③.]三、解答題9．f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)，解不等式f(x)＞f(8(x－2))．[解]由f(x)是定義在(0，＋∞)上的增函數(shù)得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,8x－2>0，,x>8x－2，))解得2＜x＜eq\f(16,7).10．證明：函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．[證明]任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝xeq\o\al(2,1)－eq\f(1,x1)－xeq\o\al(2,2)＋eq\f(1,x2)＝(x1－x2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＋\f(1,x1x2))).∵0<x1<x2，∴x1－x2<0，x1＋x2＋eq\f(1,x1x2)>0，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴函數(shù)f(x)＝x2－eq\f(1,x)在區(qū)間(0，＋∞)上是增函數(shù)．[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．若函數(shù)y＝ax與y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上都是減函數(shù)，則函數(shù)y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上()A．單調(diào)遞增 B．單調(diào)遞減C．先增后減 D．先減后增B[由于函數(shù)y＝ax與y＝－eq\f(b,x)在(0，＋∞)上均為減函數(shù)，故a<0，b<0，故二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx的圖象開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－eq\f(b,2a)<0，故函數(shù)y＝ax2＋bx在(0，＋∞)上單調(diào)遞減．]2．定義在R上的函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，則()A．f(3)<f(2)<f(1)B．f(1)<f(2)<f(3)C．f(2)<f(1)<f(3)D．f(3)<f(1)<f(2)A[對(duì)任意x1，x2∈R(x1≠x2)，有eq\f(fx2－fx1,x2－x1)<0，則x2－x1與f(x2)－f(x1)異號(hào)，則f(x)在R上是減函數(shù)．又3>2>1，則f(3)<f(2)<f(1)．故選A.]3．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3x＋5，x≤1，,\f(2a,x)，x>1))是R上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．(0,2][依題意得實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－3<0，,2a>0，,a－3＋5≥2a，))解得0<a≤2.]4．函數(shù)f(x)＝2x2－3|x|的單調(diào)遞減區(qū)間是________．eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))[函數(shù)f(x)＝2x2－3|x|＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2－3x，x≥0，,2x2＋3x，x<0，))圖象如圖所示，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(3,4)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4))).]5．已知一次函數(shù)f(x)是R上的增函數(shù)，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．[解](1)由題意設(shè)f(x)＝ax＋b(a>0)．從而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝16，,ab＋b＝5，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－4，,b＝－\f(5,3)))(不合題意，舍去)．所以f(x)的解析式為f(x)＝4x＋1.(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn)x＝－eq\f(4m＋1,8).若g(x)在(1，＋∞)上單調(diào)遞增，則－eq\f(4m＋1,8)≤1，解得m≥－eq\f(9,4)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(9,4)，＋∞)).第2課時(shí)函數(shù)的最大(小)值學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解函數(shù)的最大值和最小值的概念及其幾何意義．(重點(diǎn))2．能借助函數(shù)的圖象和單調(diào)性，求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的最值．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．能利用函數(shù)的最值解決有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題．(重點(diǎn))4．通過(guò)本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想、分類(lèi)討論思想在求解最值中的作用，提高學(xué)生邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力．(重點(diǎn)、難點(diǎn))1.借助函數(shù)最值的求法，培養(yǎng)直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．利用函數(shù)的最值解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)．【新課導(dǎo)入】函數(shù)最大值與最小值最大值最小值條件設(shè)函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：?x∈I，都有f(x)≤Mf(x)≥M?x0∈I，使得f(x0)＝M結(jié)論M是函數(shù)y＝f(x)的最大值M是函數(shù)y＝f(x)的最小值幾何意義f(x)圖象上最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)f(x)圖象上最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)思考：若函數(shù)f(x)≤M，則M一定是函數(shù)的最大值嗎？提示：不一定，只有定義域內(nèi)存在一點(diǎn)x0，使f(x0)＝M時(shí)，M才是函數(shù)的最大值，否則不是．1．函數(shù)y＝f(x)在[－2,2]上的圖象如圖所示，則此函數(shù)的最小值、最大值分別是()A．－1,0 B．0,2C．－1,2 D.eq\f(1,2)，2C[由圖可知，f(x)的最大值為f(1)＝2，f(x)的最小值為f(－2)＝－1.]2．設(shè)函數(shù)f(x)＝2x－1(x<0)，則f(x)()A．有最大值 B．有最小值C．既有最大值又有最小值 D．既無(wú)最大值又無(wú)最小值D[∵f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，∴f(x)<f(0)＝－1，故選D.]3．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)，x∈[1,2]，則f(x)的最大值為_(kāi)_______，最小值為_(kāi)_______．1eq\f(1,2)[∵f(x)＝eq\f(1,x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù)，∴f(2)≤f(x)≤f(1)，即eq\f(1,2)≤f(x)≤1.]【合作探究】利用函數(shù)的圖象求函數(shù)的最值(值域)【例1】已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－x2，x∈[－1，2]，,x－3，x∈2，5].))(1)在直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出f(x)的圖象；(2)根據(jù)函數(shù)的圖象寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域．[解](1)圖象如圖所示：(2)由圖可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－1,0)，(2,5)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2)，值域?yàn)閇－1,3]．利用圖象求函數(shù)最值的方法1畫(huà)出函數(shù)y＝fx的圖象；2觀察圖象，找出圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)；3寫(xiě)出最值，最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最大值，最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)是函數(shù)的最小值.1．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,\f(1,x)，x>1，))求f(x)的最大值、最小值．[解]作出函數(shù)f(x)的圖象(如圖)．由圖象可知，當(dāng)x＝±1時(shí)，f(x)取最大值為f(±1)＝1.當(dāng)x＝0時(shí)，f(x)取最小值f(0)＝0，故f(x)的最大值為1，最小值為0.利用函數(shù)的單調(diào)性求最值(值域)【例2】已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2x＋1,x＋1).(1)判斷函數(shù)在區(qū)間(－1，＋∞)上的單調(diào)性，并用定義證明你的結(jié)論；(2)求該函數(shù)在區(qū)間[2,4]上的最大值和最小值．[解](1)f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)，證明如下：任取－1<x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2x1＋1,x1＋1)－eq\f(2x2＋1,x2＋1)＝eq\f(x1－x2,x1＋1x2＋1)，因?yàn)椋?<x1<x2?x1＋1>0，x2＋1>0，x1－x2<0，所以f(x1)－f(x2)<0?f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(－1，＋∞)上為增函數(shù)．(2)由(1)知f(x)在[2,4]上單調(diào)遞增，所以f(x)的最小值為f(2)＝eq\f(2×2＋1,2＋1)＝eq\f(5,3)，最大值f(4)＝eq\f(2×4＋1,4＋1)＝eq\f(9,5).1．利用單調(diào)性求函數(shù)的最大(小)值的一般步驟(1)判斷函數(shù)的單調(diào)性．(2)利用單調(diào)性求出最大(小)值．2．函數(shù)的最大(小)值與單調(diào)性的關(guān)系(1)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上的最小(大)值是f(a)，最大(小)值是f(b)．(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是增(減)函數(shù)，在區(qū)間[b，c]上是減(增)函數(shù)，則f(x)在區(qū)間[a，c]上的最大(小)值是f(b)，最小(大)值是f(a)與f(c)中較小(大)的一個(gè)．提醒：(1)求最值勿忘求定義域．(2)閉區(qū)間上的最值，不判斷單調(diào)性而直接將兩端點(diǎn)值代入是最容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤，求解時(shí)一定注意．2．求函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(4,x)在[1,4]上的最值．[解]設(shè)1≤x1<x2<2，則f(x1)－f(x2)＝x1＋eq\f(4,x1)－x2－eq\f(4,x2)＝x1－x2＋eq\f(4x2－x1,x1x2)＝(x1－x2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(4,x1x2)))＝(x1－x2)eq\f(x1x2－4,x1x2)＝eq\f(x1－x2x1x2－4,x1x2).∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是減函數(shù)．同理f(x)在[2,4]上是增函數(shù)．∴當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最小值4；當(dāng)x＝1或x＝4時(shí)，f(x)取得最大值5.函數(shù)最值的實(shí)際應(yīng)用【例3】一個(gè)工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬(wàn)元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬(wàn)元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當(dāng)x≤20時(shí)，年銷(xiāo)售總收入為(33x－x2)萬(wàn)元；當(dāng)x>20時(shí)，年銷(xiāo)售總收入為260萬(wàn)元．記該工廠生產(chǎn)并銷(xiāo)售這種產(chǎn)品所得的年利潤(rùn)為y萬(wàn)元．(年利潤(rùn)＝年銷(xiāo)售總收入－年總投資)(1)求y(萬(wàn)元)與x(件)的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)該工廠的年產(chǎn)量為多少件時(shí)，所得年利潤(rùn)最大？最大年利潤(rùn)是多少？[解](1)當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當(dāng)x>20時(shí)，y＝260－100－x＝160－x.故y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x2＋32x－100，0<x≤20，,160－x，x>20))(x∈N*)．(2)當(dāng)0<x≤20時(shí)，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時(shí)，ymax＝156.而當(dāng)x>20時(shí)，160－x<140，故x＝16時(shí)取得最大年利潤(rùn)，最大年利潤(rùn)為156萬(wàn)元．即當(dāng)該工廠年產(chǎn)量為16件時(shí)，取得最大年利潤(rùn)為156萬(wàn)元．解實(shí)際應(yīng)用題的四個(gè)步驟1審題：解讀實(shí)際問(wèn)題，找出已知條件、未知條件，確定自變量和因變量的條件關(guān)系.2建模：建立數(shù)學(xué)模型，列出函數(shù)關(guān)系式.3求解：分析函數(shù)性質(zhì)，利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究問(wèn)題解法一定注意自變量的取值范圍.4回歸：數(shù)學(xué)問(wèn)題回歸實(shí)際問(wèn)題，寫(xiě)出答案.3．將進(jìn)貨單價(jià)為40元的商品按50元一個(gè)出售時(shí)，能賣(mài)出500個(gè)，已知這種商品每漲價(jià)1元，其銷(xiāo)售量就減少10個(gè)，為得到最大利潤(rùn)，售價(jià)應(yīng)為多少元？最大利潤(rùn)為多少？[解]設(shè)售價(jià)為x元，利潤(rùn)為y元，單個(gè)漲價(jià)(x－50)元，銷(xiāo)量減少10(x－50)個(gè)，銷(xiāo)量為500－10(x－50)＝(1000－10x)個(gè)，則y＝(x－40)(1000－10x)＝－10(x－70)2＋9000≤9000.故當(dāng)x＝70時(shí)，ymax＝9000.即售價(jià)為70元時(shí)，利潤(rùn)最大值為9000元．二次函數(shù)的最值問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間[m，n]可能存在幾種位置關(guān)系，試畫(huà)草圖給予說(shuō)明？提示：2．求二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c在[m，n]上的最值，應(yīng)考慮哪些因素？提示：若求二次函數(shù)f(x)在[m，n]上的最值，應(yīng)考慮其開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸x＝－eq\f(b,2a)與區(qū)間[m，n]的關(guān)系．【例4】已知函數(shù)f(x)＝x2－ax＋1，求f(x)在[0,1]上的最大值．[思路點(diǎn)撥]eq\x(fx＝x2－ax＋1)eq\o(\A\AL(→,\s\up15(分類(lèi)討論)))eq\x(\A\AL(分析x＝\f(a,2)與,[0，1]的關(guān)系))eq\o(\A\AL(→,\s\up15(數(shù)形結(jié)合)))eq\x(\A\AL(求fx的最大值))[解]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝x2－ax＋1的圖象開(kāi)口向上，其對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(a,2)，當(dāng)eq\f(a,2)≤eq\f(1,2)，即a≤1時(shí)，f(x)的最大值為f(1)＝2－a；當(dāng)eq\f(a,2)>eq\f(1,2)，即a>1時(shí)，f(x)的最大值為f(0)＝1.1．在題設(shè)條件不變的情況下，求f(x)在[0,1]上的最小值．[解](1)當(dāng)eq\f(a,2)≤0，即a≤0時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞增，∴f(x)min＝f(0)＝1.(2)當(dāng)eq\f(a,2)≥1，即a≥2時(shí)，f(x)在[0,1]上單調(diào)遞減，∴f(x)min＝f(1)＝2－a.(3)當(dāng)0<eq\f(a,2)<1，即0<a<2時(shí)，f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(a,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，1))上單調(diào)遞增，故f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))＝1－eq\f(a2,4).2．在本例條件不變的情況下，若a＝1，求f(x)在[t，t＋1](t∈R)上的最小值．[解]當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝x2－x＋1，其圖象的對(duì)稱(chēng)軸為x＝eq\f(1,2)，①當(dāng)t≥eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在其上是增函數(shù)，∴f(x)min＝f(t)＝t2－t＋1；②當(dāng)t＋1≤eq\f(1,2)，即t≤－eq\f(1,2)時(shí)，f(x)在其上是減函數(shù)，∴f(x)min＝f(t＋1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＝t2＋t＋1；③當(dāng)t<eq\f(1,2)<t＋1，即－eq\f(1,2)<t<eq\f(1,2)時(shí)，函數(shù)f(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(t，\f(1,2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，t＋1))上單調(diào)遞增，所以f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(3,4).二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值設(shè)f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，則二次函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[m，n]上的最大值、最小值有如下的分布情況：對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間的關(guān)系－eq\f(b,2a)＜m＜n，即－eq\f(b,2a)∈(－∞，m)m＜－eq\f(b,2a)＜n，即－eq\f(b,2a)∈(m，n)m＜n＜－eq\f(b,2a)，即－eq\f(b,2a)∈(n，＋∞)圖象最值f(x)max＝f(n)，f(x)min＝f(m)f(x)max＝max{f(n)，f(m)}，f(x)min＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))f(x)max＝f(m)，f(x)min＝f(n)1．函數(shù)的最大(小)值，包含兩層意義：一是存在，二是在給定區(qū)間上所有函數(shù)值中最大(小)的，反映在函數(shù)圖象上，函數(shù)的圖象有最高點(diǎn)或最低點(diǎn)．2．求函數(shù)的最值與求函數(shù)的值域類(lèi)似，常用的方法是：(1)圖象法，即畫(huà)出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)寫(xiě)出最值；(2)單調(diào)性法，一般需要先確定函數(shù)的單調(diào)性，然后根據(jù)單調(diào)性的意義求出最值；(3)對(duì)于二次函數(shù)還可以用配方法研究，同時(shí)靈活利用數(shù)形結(jié)合思想和分類(lèi)討論思想解題．3．通過(guò)函數(shù)最值的學(xué)習(xí)，滲透數(shù)形結(jié)合思想，樹(shù)立以形識(shí)數(shù)的解題意識(shí)．【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)任何函數(shù)都有最大(小)值．()(2)函數(shù)f(x)在[a，b]上的最值一定是f(a)(或f(b))．()(3)函數(shù)的最大值一定比最小值大．()[答案](1)×(2)×(3)√2．函數(shù)y＝x2－2x，x∈[0,3]的值域?yàn)?)A．[0,3] B．[－1,0]C．[－1，＋∞) D．[－1,3]D[∵函數(shù)y＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[0,3]，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y取得最小值為－1，當(dāng)x＝3時(shí)，函數(shù)取得最大值為3，故函數(shù)的值域?yàn)閇－1,3]，故選D.]3．函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[1,3]上的最大值為4，則a＝______.1[若a<0，則函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[1,3]上是減函數(shù)，并且在區(qū)間的左端點(diǎn)處取得最大值，即a＋1＝4，解得a＝3，不滿(mǎn)足a<0，舍去；若a>0，則函數(shù)y＝ax＋1在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù)，并且在區(qū)間的右端點(diǎn)處取得最大值，即3a＋1＝4，解得a＝1.綜上，a4．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)(x∈[2,6])．(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性，并證明；(2)求函數(shù)的最大值和最小值．[解](1)函數(shù)f(x)在x∈[2,6]上是減函數(shù)．證明：設(shè)x1，x2是區(qū)間[2,6]上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1<x2，則f(x1)－f(x2)＝eq\f(2,x1－1)－eq\f(2,x2－1)＝eq\f(2[x2－1－x1－1],x1－1x2－1)＝eq\f(2x2－x1,x1－1x2－1).由2≤x1<x2≤6，得x2－x1>0，(x1－1)(x2－1)>0，于是f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)是區(qū)間[2,6]上的減函數(shù)．(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x－1)在區(qū)間[2,6]的兩個(gè)端點(diǎn)處分別取得最大值與最小值，即在x＝2時(shí)取得最大值，最大值是2，在x＝6時(shí)取得最小值，最小值是eq\f(2,5).《函數(shù)的最大(小)值》專(zhuān)題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上的最小值為()A．2 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,2)B[∵函數(shù)y＝eq\f(1,x－1)在[2,3]上單調(diào)遞減，∴當(dāng)x＝3時(shí)，ymin＝eq\f(1,3－1)＝eq\f(1,2).]2．函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－6，x∈[0,5]的值域?yàn)?)A．[－6，－2] B．[－11，－2]C．[－11，－6] D．[－11，－1]B[函數(shù)f(x)＝－x2＋4x－6＝－(x－2)2－2，x∈[0,5]，所以當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取得最大值為－(2－2)2－2＝－2；當(dāng)x＝5時(shí)，f(x)取得最小值為－(5－2)2－2＝－11，所以函數(shù)f(x)的值域是[－11，－2]．故選B.]3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋6，x∈[1，2]，,x＋7，x∈[－1，1，))則f(x)的最大值、最小值分別為()A．10,6 B．10,8C．8,6 D．以上都不對(duì)A[當(dāng)1≤x≤2時(shí)，8≤2x＋6≤10，當(dāng)－1≤x<1時(shí)，6≤x＋7<8，∴f(x)min＝f(－1)＝6，f(x)max＝f(2)＝10.故選A.]4．當(dāng)0≤x≤2時(shí)，a<－x2＋2x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1] B．(－∞，0]C．(－∞，0) D．(0，＋∞)C[令f(x)＝－x2＋2x，則f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1.又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0，∴a<0.]5．某公司在甲、乙兩地同時(shí)銷(xiāo)售一種品牌車(chē)，利潤(rùn)(單位：萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1＝－x2＋21x和L2＝2x(其中銷(xiāo)售量單位：輛)．若該公司在兩地共銷(xiāo)售15輛，則能獲得的最大利潤(rùn)為()A．90萬(wàn)元 B．60萬(wàn)元C．120萬(wàn)元 D．120.25萬(wàn)元C[設(shè)公司在甲地銷(xiāo)售x輛，則在乙地銷(xiāo)售(15－x)輛，公司獲利為L(zhǎng)＝－x2＋21x＋2(15－x)＝－x2＋19x＋30＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(19,2)))2＋30＋eq\f(192,4)，∴當(dāng)x＝9或10時(shí)，L最大為120萬(wàn)元．]二、填空題6．函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)在[1，b](b>1)上的最小值是eq\f(1,4)，則b＝________.4[因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,x)在[1，b]上是減函數(shù)，所以f(x)在[1，b]上的最小值為f(b)＝eq\f(1,b)＝eq\f(1,4)，所以b＝4.]7．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a，x∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，則f(x)的最大值為_(kāi)_______．1[函數(shù)f(x)＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋4＋a，x∈[0,1]，且函數(shù)有最小值－2.故當(dāng)x＝0時(shí)，函數(shù)有最小值，當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)有最大值．∵當(dāng)x＝0時(shí)，f(0)＝a＝－2，∴f(x)max＝f(1)＝－1＋4－2＝1.]8．函數(shù)f(x)＝eq\r(6－x)－3x在區(qū)間[2,4]上的最大值為_(kāi)_______．－4[∵y＝eq\r(6－x)在區(qū)間上是減函數(shù)，y＝－3x在區(qū)間上是減函數(shù)，∴函數(shù)f(x)＝eq\r(6－x)－3x在區(qū)間上是減函數(shù)，∴f(x)max＝f(2)＝eq\r(6－2)－3×2＝－4.]三、解答題9．畫(huà)出函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,x)，x∈－∞，0，,x2＋2x－1，x∈[0，＋∞))的圖象，并寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，函數(shù)的最小值．[解]函數(shù)的圖象如圖所示．由圖象可知f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)和[0，＋∞)，無(wú)遞減區(qū)間．由函數(shù)圖象可知，函數(shù)的最小值為f(0)＝－1.10．已知函數(shù)f(x)＝－x2＋2x－3.(1)求f(x)在區(qū)間[2a－1,2]上的最小值g(a(2)求g(a)的最大值．[解](1)f(x)＝－(x－1)2－2，f(2)＝－3，f(0)＝－3，∴當(dāng)2a－1≤0，即a≤eq\f(1,2)時(shí)，f(x)min＝f(2a－1)＝－4a2＋8a當(dāng)0＜2a－1＜2，即eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)時(shí)，f(x)min＝f(2)＝－3.所以g(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－4a2＋8a－6，a≤\f(1,2)，,－3，\f(1,2)<a<\f(3,2).))(2)當(dāng)a≤eq\f(1,2)時(shí)，g(a)＝－4a2＋8a－6單調(diào)遞增，∴g(a)≤geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝－3；又當(dāng)eq\f(1,2)<a<eq\f(3,2)時(shí)，g(a)＝－3，∴g(a)的最大值為－3.[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．函數(shù)f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是()A.eq\f(3,2) B．－eq\f(8,3)C．－2 D．2A[∵f(x)＝－x＋eq\f(1,x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上單調(diào)遞減，∴f(x)max＝f(－2)＝2－eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).]2．已知函數(shù)y＝x2－2x＋3在閉區(qū)間[0，m]上有最大值3，最小值2，則m的取值范圍是()A．[1，＋∞) B．[0,2]C．(－∞，2] D．[1,2]D[f(x)＝(x－1)2＋2，∵f(x)min＝2，f(x)max＝3，且f(1)＝2，f(0)＝f(2)＝3，∴1≤m≤2，故選D.]3．函數(shù)g(x)＝2x－eq\r(x＋1)的值域?yàn)開(kāi)_______．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)，＋∞))[設(shè)eq\r(x＋1)＝t(t≥0)，則x＋1＝t2，即x＝t2－1，∴y＝2t2－t－2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(1,4)))2－eq\f(17,8)，t≥0，∴當(dāng)t＝eq\f(1,4)時(shí)，ymin＝－eq\f(17,8)，∴函數(shù)g(x)的值域?yàn)閑q\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(17,8)，＋∞)).]4．用min{a，b}表示a，b兩個(gè)數(shù)中的最小值．設(shè)f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，則f(x)的最大值為_(kāi)_______．6[在同一個(gè)平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出函數(shù)y＝x＋2和y＝10－x的圖象．根據(jù)min{x＋2,10－x}(x≥0)的含義可知，f(x)的圖象應(yīng)為圖中的實(shí)線(xiàn)部分．解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此時(shí)y＝6，故兩圖象的交點(diǎn)為(4,6)．所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2，0≤x≤4，,10－x，x>4，))其最大值為交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，所以f(x)的最大值為6.]5．某商場(chǎng)經(jīng)營(yíng)一批進(jìn)價(jià)是每件30元的商品，在市場(chǎng)試銷(xiāo)中發(fā)現(xiàn)，該商品銷(xiāo)售單價(jià)x(不低于進(jìn)價(jià)，單位：元)與日銷(xiāo)售量y(單位：件)之間有如下關(guān)系：x4550y2712(1)確定x與y的一個(gè)一次函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝f(x)(注明函數(shù)定義域)．(2)若日銷(xiāo)售利潤(rùn)為P元，根據(jù)(1)中的關(guān)系式寫(xiě)出P關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并指出當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為多少元時(shí)，才能獲得最大的日銷(xiāo)售利潤(rùn)？[解](1)因?yàn)閒(x)是一次函數(shù)，設(shè)f(x)＝ax＋b，由表格得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(45a＋b＝27，,50a＋b＝12，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝162，))所以y＝f(x)＝－3x＋162.又y≥0，所以30≤x≤54，故所求函數(shù)關(guān)系式為y＝－3x＋162，x∈[30,54]．(2)由題意得，P＝(x－30)y＝(x－30)(162－3x)＝－3x2＋252x－4860＝－3(x－42)2＋432，x∈[30,54]．當(dāng)x＝42時(shí)，最大的日銷(xiāo)售利潤(rùn)P＝432，即當(dāng)銷(xiāo)售單價(jià)為42元時(shí)，獲得最大的日銷(xiāo)售利潤(rùn)．3.2.2奇偶性第1課時(shí)奇偶性的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義．2．了解奇函數(shù)、偶函數(shù)圖象的特征．3．掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法.1.借助奇(偶)函數(shù)的特征，培養(yǎng)直觀想象素養(yǎng)．2．借助函數(shù)奇、偶的判斷方法，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．【新課導(dǎo)入】函數(shù)的奇偶性奇偶性偶函數(shù)奇函數(shù)條件設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮，如果?x∈I，都有－x∈I結(jié)論f(－x)＝f(x)f(－x)＝－f(x)圖象特點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)思考：具有奇偶性的函數(shù)，其定義域有何特點(diǎn)？提示：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．1．下列函數(shù)是偶函數(shù)的是()A．y＝xB．y＝2x2－3C．y＝eq\f(1,\r(x))D．y＝x2，x∈[0,1]B[選項(xiàng)C、D中函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，選項(xiàng)A中的函數(shù)是奇函數(shù)，故選B.]2．下列圖象表示的函數(shù)具有奇偶性的是()ABCDB[B選項(xiàng)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，是偶函數(shù)，其余選項(xiàng)都不具有奇偶性．]3．函數(shù)y＝f(x)，x∈[－1，a](a>－1)是奇函數(shù)，則a等于()A．－1 B．0C．1 D．無(wú)法確定C[∵奇函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∴a－1＝0，即a＝1.]4．若f(x)為R上的偶函數(shù)，且f(2)＝3，則f(－2)＝________.3[∵f(x)為R上的偶函數(shù)，∴f(－2)＝f(2)＝3.]【合作探究】函數(shù)奇偶性的判斷【例1】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x；(2)f(x)＝eq\r(1－x2)＋eq\r(x2－1)；(3)f(x)＝eq\f(2x2＋2x,x＋1)；(4)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1，x<0，,0，x＝0，,x＋1，x>0.))[解](1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又f(－x)＝(－x)3＋(－x)＝－(x3＋x)＝－f(x)，因此函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－x2≥0，,x2－1≥0))得x2＝1，即x＝±1.因此函數(shù)的定義域?yàn)閧－1,1}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．又f(1)＝f(－1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)．(3)函數(shù)f(x)的定義域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．(4)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，－x<0，,0，－x＝0，,－x＋1，－x>0，))即f(－x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x>0，,0，x＝0，,－x－1，x<0.))于是有f(－x)＝－f(x)．所以f(x)為奇函數(shù)．判斷函數(shù)奇偶性的兩種方法(1)定義法：(2)圖象法：1．下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有________．(填序號(hào))①f(x)＝x3；②f(x)＝|x|＋1；③f(x)＝eq\f(1,x2)；④f(x)＝x＋eq\f(1,x)；⑤f(x)＝x2，x∈[－1,2]．②③[對(duì)于①，f(－x)＝－x3＝－f(x)，則為奇函數(shù)；對(duì)于②，f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1，則為偶函數(shù)；對(duì)于③，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(－x)＝eq\f(1,－x2)＝eq\f(1,x2)＝f(x)，則為偶函數(shù)；對(duì)于④，定義域?yàn)閧x|x≠0}，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，f(－x)＝－x－eq\f(1,x)＝－f(x)，則為奇函數(shù)；對(duì)于⑤，定義域?yàn)閇－1,2]，不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，不具有奇偶性，則為非奇非偶函數(shù)．]奇偶函數(shù)的圖象問(wèn)題【例2】已知奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－5,5]，且在區(qū)間[0,5]上的圖象如圖所示．(1)畫(huà)出在區(qū)間[－5,0]上的圖象；(2)寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以y＝f(x)在[－5,5]上的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．由y＝f(x)在[0,5]上的圖象，可知它在[－5,0]上的圖象，如圖所示．(2)由圖象知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－2，0)∪(2,5)．(變條件)將本例中的“奇函數(shù)”改為“偶函數(shù)”，再求解上述問(wèn)題．[解](1)如圖所示(2)由(1)可知，使函數(shù)值y<0的x的取值集合為(－5，－2)∪(2,5)．巧用奇、偶函數(shù)的圖象求解問(wèn)題1依據(jù)：奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng).2求解：根據(jù)奇、偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可以解決諸如求函數(shù)值或畫(huà)出奇偶函數(shù)圖象的問(wèn)題.2．如圖是函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x2＋1)在區(qū)間[0，＋∞)上的圖象，請(qǐng)據(jù)此在該坐標(biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)的圖象，請(qǐng)說(shuō)明你的作圖依據(jù)．[解]因?yàn)閒(x)＝eq\f(1,x2＋1)所以f(x)的定義域?yàn)镽.又對(duì)任意x∈R，都有f(－x)＝eq\f(1,－x2＋1)＝eq\f(1,x2＋1)＝f(x)，所以f(x)為偶函數(shù)．所以f(x)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，其圖象如圖所示．,利用函數(shù)的奇偶性求值[探究問(wèn)題]1．對(duì)于定義域內(nèi)的任意x，若f(－x)＋f(x)＝0，則函數(shù)f(x)是否具有奇偶性？若f(－x)－f(x)＝0呢？提示：由f(－x)＋f(x)＝0得f(－x)＝－f(x)，∴f(x)為奇函數(shù)．由f(－x)－f(x)＝0得f(－x)＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．2．若f(x)是奇函數(shù)且在x＝0處有定義，則f(0)的值可求嗎？若f(x)為偶函數(shù)呢？提示：若f(x)為奇函數(shù)，則f(0)＝0；若f(x)為偶函數(shù)，無(wú)法求出f(0)的值．【例3】(1)若函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函數(shù)，定義域?yàn)閇a－1,2a]，則a＝________，(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，則f(3)＝________.[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(fx是偶函數(shù))eq\o(→,\s\up15(定義域關(guān)于),\s\do15(原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)))eq\x(求a的值)eq\o(→,\s\up15(圖象關(guān)于),\s\do15(y軸對(duì)稱(chēng)))eq\x(求b的值)(2)eq\x(令gx＝x7－ax5＋bx3＋cx)→eq\x(\a\al(判斷gx,的奇偶性))→eq\x(\a\al(計(jì)算g－3))→eq\x(\a\al(代入求得f3))(1)eq\f(1,3)0(2)7[(1)因?yàn)榕己瘮?shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以a－1＝－2a，解得a＝eq\f(1,3).又函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x2＋bx＋b＋1為二次函數(shù)，結(jié)合偶函數(shù)圖象的特點(diǎn)，易得b＝0.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，則g(x)是奇函數(shù)，∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2，又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，所以f(3)＝5＋2＝7.]利用奇偶性求參數(shù)的常見(jiàn)類(lèi)型及策略1定義域含參數(shù)：奇、偶函數(shù)fx的定義域?yàn)閇a，b]，根據(jù)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，利用a＋b＝0求參數(shù).2解析式含參數(shù)：根據(jù)f－x＝－fx或f－x＝fx列式，比較系數(shù)即可求解.3．若f(x)＝(x＋a)(x－4)為偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝________.4[法一：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，f(－x)＝(－x＋a)(－x－4)＝x2－(a－4)x－4a，兩式恒相等，則a－4＝0，即法二：f(x)＝(x＋a)(x－4)＝x2＋(a－4)x－4a，要使函數(shù)為偶函數(shù)，只需多項(xiàng)式的奇次項(xiàng)系數(shù)為0，即a－4＝0，則a法三：根據(jù)二次函數(shù)的奇偶性可知，形如f(x)＝ax2＋c的都是偶函數(shù)，因而本題只需將解析式看成是平方差公式，則a＝4.]1．奇偶性是函數(shù)“整體”性質(zhì)，只有對(duì)函數(shù)f(x)定義域內(nèi)的每一個(gè)值x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＝f(x))，才能說(shuō)f(x)是奇函數(shù)(或偶函數(shù))．2．函數(shù)的奇偶性是其相應(yīng)圖象特殊對(duì)稱(chēng)性的反映，也體現(xiàn)了在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的定義域的兩個(gè)區(qū)間上函數(shù)值及其性質(zhì)的相互轉(zhuǎn)化，這是對(duì)稱(chēng)思想的應(yīng)用．【課堂達(dá)標(biāo)】1．思考辨析(1)函數(shù)f(x)＝x2，x∈[0，＋∞)是偶函數(shù)．()(2)對(duì)于函數(shù)y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)y＝f(x)一定是奇函數(shù)．()(3)不存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)．()(4)若函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則這個(gè)函數(shù)不是奇函數(shù)就是偶函數(shù)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．函數(shù)f(x)＝|x|＋1是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)B[∵f(－x)＝|－x|＋1＝|x|＋1＝f(x)，∴f(x)為偶函數(shù)．]3．已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2x是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)a＝______.0[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴2ax2＝0對(duì)任意x∈R恒成立，所以a＝0.]4．已知函數(shù)y＝f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2＋2x.現(xiàn)已畫(huà)出函數(shù)f(x)在y軸左側(cè)的圖象，如圖所示．(1)請(qǐng)補(bǔ)出完整函數(shù)y＝f(x)的圖象；(2)根據(jù)圖象寫(xiě)出函數(shù)y＝f(x)的增區(qū)間；(3)根據(jù)圖象寫(xiě)出使f(x)<0的x的取值集合．[解](1)由題意作出函數(shù)圖象如圖：(2)據(jù)圖可知，單調(diào)增區(qū)間為(－1,0)，(1，＋∞)．(3)據(jù)圖可知，使f(x)<0的x的取值集合為(－2,0)∪(0,2)．《奇偶性的概念》專(zhuān)題訓(xùn)練[合格基礎(chǔ)練]一、選擇題1．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f(x)＝x2－eq\f(1,2)x，則f(1)＝()A．－eq\f(3,2) B．－eq\f(1,2)C.eq\f(3,2) D.eq\f(1,2)A[因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以f(1)＝－f(－1)＝－eq\f(3,2).]2．若函數(shù)f(x)(f(x)≠0)為奇函數(shù)，則必有()A．f(x)f(－x)>0 B．f(x)f(－x)<0C．f(x)<f(－x) D．f(x)>f(－x)B[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.]3．函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)的圖象關(guān)于()A．y軸對(duì)稱(chēng) B．直線(xiàn)y＝－x對(duì)稱(chēng)C．直線(xiàn)y＝x對(duì)稱(chēng) D．坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)D[函數(shù)的定義域?yàn)?－∞，0)∪(0，＋∞)，則f(－x)＝－2x＋eq\f(1,x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(1,x)))＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則函數(shù)f(x)＝2x－eq\f(1,x)的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．故選D.]4．下列函數(shù)為奇函數(shù)的是()A．y＝－|x| B．y＝2－xC．y＝eq\f(1,x3) D．y＝－x2＋8C[A、D兩項(xiàng)，函數(shù)均為偶函數(shù)，B項(xiàng)中函數(shù)為非奇非偶，而C項(xiàng)中函數(shù)為奇函數(shù)．]5．下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的個(gè)數(shù)為()①圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是奇函數(shù)；②圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的函數(shù)是偶函數(shù)；③奇函數(shù)的圖象一定過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；④偶函數(shù)的圖象一定與y軸相交．A．4 B．3C．2 D．1C[由奇函數(shù)、偶函數(shù)的性質(zhì)，知①②說(shuō)法正確；對(duì)于③，如f(x)＝eq\f(1,x)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函數(shù)，但它的圖象不過(guò)原點(diǎn)，所以③說(shuō)法錯(cuò)誤；對(duì)于④，如f(x)＝eq\f(1,x2)，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函數(shù)，但它的圖象不與y軸相交，所以④說(shuō)法錯(cuò)誤．故選C.]二、填空題6．已知f(x)＝x3＋2x，則f(a)＋f(－a)的值為_(kāi)_______．0[∵f(－x)＝－x3－2x＝－f(x)，∴f(－x)＋f(x)＝0，∴f(a)＋f(－a)＝0.]7．若函數(shù)f(x)＝(m－1)x2＋(m－2)x＋(m2－7m＋12)為偶函數(shù)，則m2[∵f(x)為偶函數(shù)，故m－2＝0，∴m＝2.]8．設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝x2＋1，則f(－2)＋f(0)＝________.－5[由題意知f(－2)＝－f(2)＝－(22＋1)＝－5，f(0)＝0，∴f(－2)＋f(0)＝－5.]三、解答題9．定義在[－3，－1]∪[1,3]上的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，其部分圖象如圖所示．(1)請(qǐng)?jiān)谧鴺?biāo)系中補(bǔ)全函數(shù)f(x)的圖象；(2)比較f(1)與f(3)的大小．[解](1)由于f(x)是奇函數(shù)，則其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，其圖象如圖所示．(2)觀察圖象，知f(3)<f(1)．10．已知函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(m,x)，且f(1)＝3.(1)求m的值；(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性．[解](1)由題意知，f(1)＝1＋m＝3，∴m＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x＋eq\f(2,x)，x≠0.∵f(－x)＝(－x)＋eq\f(2,－x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(2,x)))＝－f(x)，∴函數(shù)f(x)為奇函數(shù)．[等級(jí)過(guò)關(guān)練]1．設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域都為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是()A．f(x)g(x)是偶函數(shù) B．|f(x)|g(x)是奇函數(shù)C．f(x)|g(x)|是奇函數(shù) D．|f(x)g(x)|是奇函數(shù)C[∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴|f(x)|為偶函數(shù)，|g(x)|為偶函數(shù)．再根據(jù)兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)、兩個(gè)偶函數(shù)的積還是偶函數(shù)、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)，可得f(x)|g(x)|為奇函數(shù)，故選C.]2．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8(a，b是常數(shù))，且f(－3)＝5，則f(3)＝()A．21 B．－21C．26 D．－26B[設(shè)g(x)＝x5＋ax3＋bx，則g(x)為奇函數(shù)，由題設(shè)可得f(－3)＝g(－3)－8＝5，求得g(－3)＝13.又g(x)為奇函數(shù)，所以g(3)＝－g(－3)＝－13，于是f(3)＝g(3)－8＝－13－8＝－21.]3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(x＋1x＋a,x)為奇函數(shù)，則a＝________.－1[∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，即eq\f(－x＋1－x＋a,－x)＝－eq\f(x＋1x＋a,x).顯然x≠0，整理得x2－(a＋1)x＋a＝x2＋(a＋1)x＋a，故a＋1＝0，得a＝－1.]4．設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇－6,6]，當(dāng)x∈[0,6]時(shí)f(x)的圖象如圖所示，不等式f(x)<0的解集用區(qū)間表示為_(kāi)_______．[－6，－3)∪(0,3)[由f(x)在[0,6]上的圖象知，滿(mǎn)足f(x)<0的不等式的解集為(0,3)．又f(x)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以在[－6,0)上，不等式f(x)<0的解集為[－6，－3)．綜上可知，不等式f(x)<0的解集為[－6，－3)∪(0,3)．]5．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函數(shù)，且f(1)＝3，f(2)＝5，求a，b，c的值．[解]因?yàn)楹瘮?shù)f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx＋c)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)，故eq\f(a－x2＋1,b－x＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，即eq\f(ax2＋1,－bx＋c)＝－eq\f(ax2＋1,bx＋c)，所以－bx＋c＝－(bx＋c)，即c＝－c，解得c＝0.所以f(x)＝eq\f(ax2＋1,bx).而f(1)＝eq\f(a×12＋1,b×1)＝eq\f(a＋1,b)＝3，所以a＋1＝3b.①由f(2)＝5，即eq\f(a×22＋1,b×2)＝eq\f(4a＋1,2b)＝5.②解①②組成的方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2).))故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)，,b＝\f(3,2)，,c＝0.))第2課時(shí)奇偶性的應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.會(huì)根據(jù)函數(shù)奇偶性求函數(shù)值或解析式．2．能利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析、解決較簡(jiǎn)單的問(wèn)題.1.利用奇偶性求函數(shù)的解析式，培養(yǎng)邏輯推理素養(yǎng)．2．借助奇偶性與單調(diào)性的應(yīng)用提升邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).【合作探究】用奇偶性求解析式【例1】(1)函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)＝－x＋1，求f(x)的解析式；(2)設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函數(shù)f(x)，g(x)的解析式．[思路點(diǎn)撥](1)eq\x(設(shè)x<0，則－x>0)eq\o(→,\s\up15(當(dāng)x>0),\s\do15(fx＝－x＋1))eq\x(求f－x)eq\o(→,\s\up15(奇函數(shù)))eq\x(得x<0時(shí)fx的解析式)eq\o(→,\s\up15(奇函數(shù)),\s\do15(的性質(zhì)))eq\x(f0＝0)eq\o(→,\s\up15(分段函數(shù)))eq\x(fx的解析式)(2)eq\x(fx＋gx＝\f(1,x－1))eq\o(→,\s\up15(用－x代式中x))eq\x(得f－x＋g－x＝\f(1,－x－1))eq\o(→,\s\up15(奇偶性))eq\x(得fx－gx＝－\f(1,x＋1))eq\o(→,\s\up15(解方程組))eq\x(\a\al(得fx，gx,的解析式))[解](1)設(shè)x<0，則－x>0，∴f(－x)＝－(－x)＋1＝x＋1，又∵函數(shù)f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴當(dāng)x<0時(shí)，f(x)＝－x－1.又x＝0時(shí)，f(0)＝0，所以f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－1，x<0，,0，x＝0，,－x＋1，x>0.))(2)∵f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)．由f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替x得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，∴f(x)－g(x)＝eq\f(1,－x－1)，②(①＋②)÷2，得f(x)＝eq\f(1,x2－1)；(①－②)÷2，得g(x)＝eq\f(x,x2－1).把本例(2)的條件“f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)”改為“f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)”，再求f(x)，g(x)的解析式．[解]∵f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，又f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，①用－x代替上式中的x，得f(－x)＋g(－x)＝eq\f(1,－x－1)，即f(x)－g(x)＝eq\f(1,x＋1).②聯(lián)立①②得f(x)＝eq\f(x,x2－1)，g(x)＝eq\f(1,x2－1).利用函數(shù)奇偶性求解析式的方法1“求誰(shuí)設(shè)誰(shuí)”，既在哪個(gè)區(qū)間上求解析式，x就應(yīng)在哪個(gè)區(qū)間上設(shè).2要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入.3利用fx的奇偶性寫(xiě)出－fx或f－x，從而解出fx.提醒：若函數(shù)fx的定義域內(nèi)含0且為奇函數(shù)，則必有f0＝0，但若為偶函數(shù)，未必有f0＝0.函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合問(wèn)題[探究問(wèn)題]1．如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f(x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？如果偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f(x)在(－b，－a)上的單調(diào)性如何？提示：如果奇函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞增，那么f(x)在(－b，－a)上單調(diào)遞增；如果偶函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上單調(diào)遞減，那么f(x)在(－b，－a)上單調(diào)遞增．2．你能否把上述問(wèn)題所得出的結(jié)論用一句話(huà)概括出來(lái)？提示：奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上單調(diào)性相反．3．若偶函數(shù)f(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞增，那么f(3)和f(－2)的大小關(guān)系如何？若f(a)>f(b)，你能得到什么結(jié)論？提示：f(－2)>f(3)，若f(a)>f(b)，則|a|<|b|.角度一比較大小問(wèn)題【例2】函數(shù)y＝f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，且函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論成立的是()A．f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2))) B．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))C．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1) D．feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))[思路點(diǎn)撥]eq\x(y＝fx＋2是偶函數(shù))→eq\x(fx的圖象關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng))eq\o(→,\s\up15([0，2]上),\s\do15(遞增))eq\x(比較大小)B[∵函數(shù)f(x＋2)是偶函數(shù)，∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)x＝2對(duì)稱(chēng)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，又f(x)在[0,2]上單調(diào)遞增，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))，即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,2)))<f(1)<feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)