《平面與平面垂直的判定》教學(xué)設(shè)計(jì)、導(dǎo)學(xué)案、同步練習(xí)

《8.6.3平面與平面垂直》教學(xué)設(shè)計(jì)第1課時(shí)平面與平面垂直的判定【教材分析】本節(jié)課選自《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科書(shū)-必修第二冊(cè)》（人教A版）第八章《立體幾何初步》，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)二面角，平面垂直的定義，平面與平面垂直的判定定理及其應(yīng)用。兩個(gè)平面垂直的判定定理是平面與平面位置關(guān)系的重要內(nèi)容.通過(guò)這節(jié)的學(xué)習(xí)可以發(fā)現(xiàn):直線與直線垂直、直線與平面垂直及平面與平面垂直的判定和性質(zhì)定理形成了套完整的證明體系,而且可以實(shí)現(xiàn)利用低維位置關(guān)系推導(dǎo)高維位置關(guān)系,利用高維位置關(guān)系也能推導(dǎo)低維位置關(guān)系,充分體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想在立體幾何中的重要地位。這節(jié)課的重點(diǎn)是判定定理,難點(diǎn)是定理的發(fā)現(xiàn)及證明。平面與平面的垂直是兩個(gè)平面的一種重要的位置關(guān)系.是繼教材直線與直線的垂直、直線與平面的垂直之后的遷移與拓展.這一節(jié)的學(xué)習(xí)對(duì)理順學(xué)生的知識(shí)架構(gòu)體系、提高學(xué)生的綜合能力起著重要的作用.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)學(xué)科素養(yǎng)A.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角，能求簡(jiǎn)單二面角平面角的大?。瓸.了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．C.熟悉線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化。1.數(shù)學(xué)抽象：二面角的有關(guān)概念；2.邏輯推理：用定理證明垂直關(guān)系；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：求簡(jiǎn)單二面角平面角的大??；4.直觀想象：面面垂直的定義?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：面面垂直的判定定理；【教學(xué)難點(diǎn)】：求簡(jiǎn)單二面角平面角的大小，用定理證明垂直關(guān)系。【教學(xué)過(guò)程】教學(xué)過(guò)程教學(xué)設(shè)計(jì)意圖一、復(fù)習(xí)回顧，溫故知新1.異面直線所成的角”是怎樣定義的？【答案】直線a、b是異面直線，經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a'//a，b'//b，我們把相交直線a'和b'所成的銳角（或直角）叫做異面直線所成的角.2.在立體幾何中,"直線和平面所成的角"是怎樣定義的？【答案】平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角.二、探索新知問(wèn)題：在鐵路公路旁，為防止山體滑坡，常用石塊修筑護(hù)坡斜面，并使護(hù)坡斜面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐用，必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋绾螐臄?shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)這種現(xiàn)象？1..二面角的概念(1)半平面的定義平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定義從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條直線叫做二面角的棱，每個(gè)半平面叫做二面角的面．(3)二面角的畫(huà)法和記法：面1－棱－面2點(diǎn)1－棱－點(diǎn)2二面角二面角思考：我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大些”，是指哪個(gè)角開(kāi)大一些，你認(rèn)為應(yīng)該怎么刻畫(huà)二面角的大??？（4）二面角的平面角以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖，，則∠AOB成為二面角的平面角.它的大小與點(diǎn)O的選取無(wú)關(guān).二面角的平面角必須滿足：①角的頂點(diǎn)在棱上②角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)③角的邊都要垂直于二面角的棱觀察：教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角？分別指出構(gòu)這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)?！敬鸢浮咳齻€(gè)2.平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作：圖形表示：觀察：如圖，建筑工人砌墻時(shí)，如何使所砌的墻和水平面垂直？【答案】用鉛錘來(lái)檢測(cè)，如系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，認(rèn)為墻面垂直與地面。3.平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。圖形：符號(hào)語(yǔ)言：簡(jiǎn)記：線面垂直，則面面垂直。如圖，在正方體中，求證：平面。證明：是正方體。例2.如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.通過(guò)復(fù)習(xí)線線角、線面角，引入本節(jié)新課。建立知識(shí)間的聯(lián)系，提高學(xué)生概括、類比推理的能力。通過(guò)觀察實(shí)例，引入二面角的定義，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。通過(guò)思考，引入二面角的平面角，提高學(xué)生分析問(wèn)題、概括能力。通過(guò)觀察，由實(shí)例引入兩平面垂直，提高學(xué)生分析問(wèn)題法人能力。通過(guò)觀察實(shí)例，引入平面與平面垂直的判定定理，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力。通過(guò)例題的講解，讓學(xué)生進(jìn)一步理解平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用，提高學(xué)生解決與分析問(wèn)題的能力。三、達(dá)標(biāo)檢測(cè)1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.2．從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．互為余角 B．相等C．其和為周角 D．互為補(bǔ)角【答案】D【解析】畫(huà)圖知從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補(bǔ)角，所以選D.3．已知l⊥平面α，直線m?平面β.有下面四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個(gè)命題是()A．①② B．③④C．②④ D．①③【答案】D【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正確．4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于．【答案】45°【解析】根據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.5．如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.【證明】因?yàn)锽CC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.通過(guò)練習(xí)鞏固本節(jié)所學(xué)知識(shí)，通過(guò)學(xué)生解決問(wèn)題的能力，感悟其中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。四、小結(jié)1.平面與平面垂直的判定：（1）定義（2）判定定理2.數(shù)學(xué)思想：轉(zhuǎn)化思想五、作業(yè)習(xí)題8.66,7題通過(guò)總結(jié)，讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固本節(jié)所學(xué)內(nèi)容，提高概括能力,提高學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力。【教學(xué)反思】本節(jié)課教師通過(guò)多媒體動(dòng)畫(huà)演示使學(xué)生初步感知判定定理。然后進(jìn)一步通過(guò)建筑工程中和現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際例子去發(fā)現(xiàn)平面與平面垂直的判定定理，而不是接受定理，這樣處理增加了學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)。第二，教師以教室的門(mén)為例，由于門(mén)框木柱與地面垂直，那么經(jīng)過(guò)木柱的門(mén)無(wú)論轉(zhuǎn)到什么位置都有門(mén)面垂直于地面，然后請(qǐng)同學(xué)給出面面垂直的判定定理.培養(yǎng)學(xué)生自學(xué)能力,通過(guò)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，歸納能力，語(yǔ)言表達(dá)能力。第三，通過(guò)模型教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀能力，通過(guò)類比教學(xué)，加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解.通過(guò)實(shí)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和探索意識(shí)，加深對(duì)知識(shí)的理解與掌握?！?.6.3平面與平面垂直》導(dǎo)學(xué)案第1課時(shí)平面與平面垂直的判定【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解二面角的有關(guān)概念，會(huì)作二面角的平面角，能求簡(jiǎn)單二面角平面角的大?。?.了解面面垂直的定義，掌握面面垂直的判定定理，初步學(xué)會(huì)用定理證明垂直關(guān)系．3.熟悉線線垂直、線面垂直的轉(zhuǎn)化?！窘虒W(xué)重點(diǎn)】：面面垂直的判定定理；【教學(xué)難點(diǎn)】：求簡(jiǎn)單二面角平面角的大小，用定理證明垂直關(guān)系?！局R(shí)梳理】1．二面角的概念(1)定義：從一條直線出發(fā)的所組成的圖形．(2)相關(guān)概念：①這條直線叫做二面角的，②兩個(gè)半平面叫做．(3)畫(huà)法：(4)記法：二面角或或或.(5)二面角的平面角：若有①Ol；②OAα，OBβ；③OAl，OBl，則二面角α-l-β的平面角是.(6)平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角α的取值范圍是0°≤α≤180°.2．平面與平面垂直(1)定義：一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．(2)畫(huà)法：(3)記作：α⊥β.(4)判定定理：文字語(yǔ)言如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的，那么這兩個(gè)平面垂直圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言l⊥α，?α⊥β【學(xué)習(xí)過(guò)程】一、探索新知問(wèn)題：在鐵路公路旁，為防止山體滑坡，常用石塊修筑護(hù)坡斜面，并使護(hù)坡斜面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌?；修筑水壩時(shí)，為了使水壩堅(jiān)固耐用，必須使水壩面與水平面成適當(dāng)?shù)慕嵌龋绾螐臄?shù)學(xué)的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)這種現(xiàn)象？1..二面角的概念(1)半平面的定義平面內(nèi)的一條把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面．(2)二面角的定義從一條出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.這條叫做二面角的棱，每個(gè)叫做二面角的面．(3)二面角的畫(huà)法和記法：面1－棱－面2點(diǎn)1－棱－點(diǎn)2二面角二面角思考：我們常說(shuō)“把門(mén)開(kāi)大些”，是指哪個(gè)角開(kāi)大一些，你認(rèn)為應(yīng)該怎么刻畫(huà)二面角的大小？（4）二面角的平面角以二面角的棱上任意一點(diǎn)為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于的兩條射線，這兩條射線所成的角叫做二面角的平面角.如圖，，則∠AOB成為二面角的平面角.它的大小與點(diǎn)O的選取無(wú)關(guān).二面角的平面角必須滿足：①角的頂點(diǎn)在棱上②角的兩邊分別在兩個(gè)面內(nèi)③角的邊都要垂直于二面角的棱觀察：教室相鄰的兩個(gè)墻面與地面可以構(gòu)成幾個(gè)二面角？分別指出構(gòu)這些二面角的面、棱、平面角及其度數(shù)。2.平面與平面垂直的定義一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直.記作：圖形表示：觀察：如圖，建筑工人砌墻時(shí)，如何使所砌的墻和水平面垂直？3.平面與平面垂直的判定定理如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的，那么這兩個(gè)平面垂直。圖形：符號(hào)語(yǔ)言：簡(jiǎn)記：線面垂直，則面面垂直。如圖，在正方體中，求證：平面。例2.如圖,AB是圓O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的任意一點(diǎn)，求證：平面PAC⊥平面PBC.【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．直線l⊥平面α，l?平面β，則α與β的位置關(guān)系是()A．平行 B．可能重合C．相交且垂直 D．相交不垂直2．從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角的關(guān)系是()A．互為余角 B．相等C．其和為周角 D．互為補(bǔ)角3．已知l⊥平面α，直線m?平面β.有下面四個(gè)命題：①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β；④l⊥m?α∥β.其中正確的兩個(gè)命題是()A．①② B．③④C．②④ D．①③4．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，二面角A-BC-A1的平面角等于．5．如圖，棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.證明：平面AB1C⊥平面A1BC1.參考答案：觀察：三個(gè)2.觀察：用鉛錘來(lái)檢測(cè)，如系有鉛錘的細(xì)線緊貼墻面，認(rèn)為墻面垂直與地面。例1.證明：是正方體。例2.達(dá)標(biāo)檢測(cè)1.【答案】C【解析】由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.2.【答案】D【解析】畫(huà)圖知從二面角內(nèi)一點(diǎn)分別向二面角的兩個(gè)面引垂線，則這兩條垂線所夾的角與二面角的平面角互為補(bǔ)角，所以選D.3.【答案】D【解析】∵l⊥α，α∥β，∴l(xiāng)⊥β，∵m?β，∴l(xiāng)⊥m，故①正確；∵l∥m，l⊥α，∴m⊥α，又∵m?β，∴α⊥β，故③正確．4.【答案】45°【解析】根據(jù)正方體中的位置關(guān)系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根據(jù)二面角的平面角定義可知，∠ABA1即為二面角A-BC-A1的平面角.又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.5.【證明】因?yàn)锽CC1B1是菱形，所以B1C⊥BC1，又B1C⊥A1B，且BC1∩A1B＝B，所以B1C⊥平面A1BC1，又B1C?平面AB1C，所以平面AB1C⊥平面A1BC1.《8.6.3平面與平面垂直》同步練習(xí)第1課時(shí)平面與平面垂直的判定一、選擇題1．在長(zhǎng)方體中，，，則二面角的大小是（）A．30o B．45o C．60o D．90o2．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為()A． B． C． D．3．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角4．已知是圓柱上底面的一條直徑，是上底面圓周上異于，的一點(diǎn)，為下底面圓周上一點(diǎn)，且圓柱的底面，則必有（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面5．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在棱上存在點(diǎn)M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面6．（多選題）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，將ΔABD沿對(duì)角線BD折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A'，并且平面A'BD⊥A．A'D⊥BC B．三棱錐AC．CD⊥平面A'BD D．平面A三、填空題7．在長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的二面角的正弦值是_________.8．如圖，在四棱錐中，底面且底面各邊都相等，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面平面（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）9．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，已知，將沿邊折起，折起后點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則翻折后的幾何體中有如下描述：①與所成角的正切值為；②；③；④平面平面，其中正確的命題序號(hào)為_(kāi)__________．10．如圖所示，在長(zhǎng)方體中，棱與棱的位置關(guān)系是_________，棱與平面的位置關(guān)系是__________，平面與平面的位置關(guān)系是_________.三、解答題11．已知四棱錐的底面是菱形，，的中點(diǎn)是頂點(diǎn)在底面的射影，是的中點(diǎn)．（1）求證：平面平面；（2）若，直線與平面所成角的正弦值．12．如圖在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn)，已知.求證：（1）直線平面；（2）平面平面.《8.6.3平面與平面垂直》同步練習(xí)答案解析第1課時(shí)平面與平面垂直的判定一、選擇題1．在長(zhǎng)方體中，，，則二面角的大小是（）A．30o B．45o C．60o D．90o【答案】A【解析】由題意，作出長(zhǎng)方體的圖象，取中點(diǎn)為，連接、，因?yàn)槠矫?，所以即在平面上的投影，又平面，所以，因?yàn)?，所以四邊形是正方形，為中點(diǎn)，所以，又，所以平面，又平面，所以，即二面角，又，，所以，.故選：A2．如圖，AB是圓的直徑，PA垂直于圓所在的平面，C是圓上一點(diǎn)(不同于A、B)且PA＝AC，則二面角P－BC－A的大小為()A． B． C． D．【答案】C【解析】由條件得：PA⊥BC，AC⊥BC又PA∩AC＝C，∴BC⊥平面PAC，∴∠PCA為二面角P－BC－A的平面角．在Rt△PAC中，由PA＝AC得∠PCA＝45°，故選C．3．如圖，在三棱錐P-ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是所在棱的中點(diǎn)，則下面結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A．平面EFG∥平面PBCB．平面EFG⊥平面ABCC．∠BPC是直線EF與直線PC所成的角D．∠FEG是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角【答案】D【解析】對(duì)于A，因?yàn)辄c(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB,AP的中點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以平面．同理平面，又,所以平面平面．因此A正確．對(duì)于B，因?yàn)?所以平面．又,所以平面，又平面，所以平面平面．因此B正確．對(duì)于C，由于平面平面，且與平面PAB交于EF，PB，∴所以∠BPC是直線EF與直線PC所成的角．因此C正確．對(duì)于D，由于FE,GE與AB不垂直，所以∠FEG不是平面PAB與平面ABC所成二面角的平面角，因此D不正確．綜上選項(xiàng)D不正確．選D．4．已知是圓柱上底面的一條直徑，是上底面圓周上異于，的一點(diǎn)，為下底面圓周上一點(diǎn)，且圓柱的底面，則必有（）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面【答案】B【解析】因?yàn)槭菆A柱上底面的一條直徑，所以，又圓柱的底面，所以，因?yàn)椋云矫?又平面，所以平面平面.故選：B.5．（多選題）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，側(cè)面為正三角形，且平面平面，則下列說(shuō)法正確的是（）A．在棱上存在點(diǎn)M，使平面B．異面直線與所成的角為90°C．二面角的大小為45°D．平面【答案】ABC【解析】解：如圖，對(duì)于，取的中點(diǎn)，連接，∵側(cè)面為正三角形，，又底面是菱形，，是等邊三角形，，又，，平面，平面，故正確.對(duì)于，平面，，即異面直線與所成的角為90°，故正確.對(duì)于，∵平面平面，，平面，，是二面角的平面角，設(shè)，則，，在中，，即，故二面角的大小為45°，故正確.對(duì)于，因?yàn)榕c不垂直，所以與平面不垂直，故錯(cuò)誤.故選：6．（多選題）如圖，梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，將ΔABD沿對(duì)角線BD折起.設(shè)折起后點(diǎn)A的位置為A'，并且平面A'BD⊥A．A'D⊥BC B．三棱錐AC．CD⊥平面A'BD D．平面A【答案】CD【解析】如圖所示：E為BD中點(diǎn)，連接A'EAD//BC，AD=AB=1，AD⊥AB得到∠DBC=∠ADB=45°又∠BCD=45°故ΔBCD為等腰直角三角形平面A'BD⊥平面BCD，CD⊥BD，所以CD⊥平面E為BD中點(diǎn)，A'E⊥BD則A'E⊥平面BCD所以A如果A'D⊥BC，則可得到BC⊥平面A'三棱錐A'-BCD的體積為在直角三角形A'CD中，A'C在三角形A'BC中，A'B=1,BC=2,A'C=3滿足又BA'⊥DA'所以BA'⊥平面A'DC，所以平面A'綜上所述：答案為CD三、填空題7．在長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的二面角的正弦值是_________.【答案】【解析】畫(huà)出圖像如下圖所示，將平面延展成平面，將平面延展成平面，平面與平面相交于，且，所以是平面與平面所成的二面角.在中，所以.故答案為：8．如圖，在四棱錐中，底面且底面各邊都相等，是上一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，平面平面（只要填寫(xiě)一個(gè)你認(rèn)為正確的條件即可）【答案】DM⊥PC(或BM⊥PC)【解析】連接，因?yàn)榈酌?，所?因?yàn)樗倪呅蔚母鬟呄嗟龋?且，所以平面，即，要使平面平面，只需垂直于面上的與相交的直線即可，所以可填；故填．9．如圖所示，正方形的邊長(zhǎng)為，已知，將沿邊折起，折起后點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則翻折后的幾何體中有如下描述：①與所成角的正切值為；②；③；④平面平面，其中正確的命題序號(hào)為_(kāi)__________．【答案】③④【解析】作出折疊后的幾何體直觀圖如圖所示：∵AB=a,BE=a,∴AE=a.∴.∵BC∥DE，∴∠ABC是異面直線AB，DE所成的角，在Rt△ABC中,,故①不正確；連結(jié)BD，CE，則CE⊥BD，又AD⊥平面BCDE，CE?平面BCDE，∴CE⊥AD，又BD∩AD=D，BD?平面ABD，AD?平面ABD，∴CE⊥平面ABD，又AB?平面