人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第六章 平面向量及其應(yīng)用》同步練習(xí)及答案解析

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第六章平面向量及其應(yīng)用》同步練習(xí)《6.1平面向量的概念》同步練習(xí)選擇題（前四個(gè)為單選題，后兩個(gè)為多選題）1．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關(guān)D．向量的?？梢员容^大小2．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)3．設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以O(shè)和各頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中與向量相等的向量的個(gè)數(shù)有()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)4．若||=||，那么要使=，兩向量還需要具備()A．方向相反B．方向相同C．共線D．方向任意5．（多選題）給出下列結(jié)論，正確的是（）A.兩個(gè)單位向量是相等向量；B.若，，則；C.若一個(gè)向量的模為，則該向量的方向不確定；D.若，則；E.若與共線，與共線，則與共線.6．（多選題）如圖所示，在等腰梯形中，，對角線、交于點(diǎn)，過作，交于，交于，則在以、、、、、、為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，相等向量有（）A．B．C．D．二、填空題7．△ABC是等腰三角形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是______.8．若A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對于B地的位移是________.9．給出下列說法：（1）若，則或；（2）向量的模一定是正數(shù)；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；（4）向量與是共線向量，則四點(diǎn)必在同一直線上．其中正確說法的序號是________．10．若四邊形是菱形，邊長為2，則在向量，，，，，中，相等的有對，它們的模為。三、解答題11．一輛汽車從點(diǎn)出發(fā)向西行駛了到達(dá)點(diǎn)，然后改變方向向北偏西行駛了到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了到達(dá)點(diǎn)．（1）作出向量、、；（2）求.12．如圖所示，已知四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形．(1)與相等的向量有哪些？(2)與共線的向量有哪些？(3)若，求的大?。?.1平面向量的概念》同步練習(xí)答案解析一、選擇題（前四個(gè)為單選題，后兩個(gè)為多選題）1．下列說法正確的是（）A．?dāng)?shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．方向不同的向量不能比較大小，但同向的可以比較大小C．向量的大小與方向有關(guān)D．向量的?？梢员容^大小【答案】D【解析】向量不能比較大小，向量的模能比較大小，顯然D正確.2．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有（）A．個(gè)B．個(gè)C．個(gè)D．個(gè)【答案】D【解析】向量的定義：既有大小又有方向的量叫向量，①⑥⑦⑧沒有方向，不符合向量的定義.3．設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則以O(shè)和各頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中與向量相等的向量的個(gè)數(shù)有()A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【解析】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)可得，與方向相同且長度相等的向量有，，，共個(gè)，故選B.4．若||=||，那么要使=，兩向量還需要具備()A．方向相反B．方向相同C．共線D．方向任意【答案】B【解析】兩向量相等需具備長度相等且方向相同兩個(gè)條件，因此選B.5．（多選題）給出下列結(jié)論，正確的是（）A.兩個(gè)單位向量是相等向量；B.若，，則；C.若一個(gè)向量的模為，則該向量的方向不確定；D.若，則；E.若與共線，與共線，則與共線.【答案】BC【解析】兩個(gè)單位向量的模相等，但方向不一定相同，A錯(cuò)誤；若，，則，向量相等具有傳遞性，B正確；一個(gè)向量的模為，則該向量一定是零向量，方向不確定，C正確；若，則，還要方向相同才行，D錯(cuò)誤；與共線,與共線，則與共線，當(dāng)為零向量時(shí)不成立，E錯(cuò)誤.6．（多選題）如圖所示，在等腰梯形中，，對角線、交于點(diǎn)，過作，交于，交于，則在以、、、、、、為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，相等向量有（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】由相等向量的定義及梯形的性質(zhì)可知，相等向量有，故選AC。二、填空題7．△ABC是等腰三角形，則兩腰上的向量與的關(guān)系是______.【答案】模相等【解析】因?yàn)槭堑妊切危?，即||=||，向量與的方向不同，向量與的關(guān)系是模相等，故答案為模相等.8．若A地位于B地正西方向5km處，C地位于A地正北方向5km處，則C地相對于B地的位移是________.【答案】西北方向5km【解析】根據(jù)題意畫出圖形如圖所示，由圖形可得C地在B地的西北方向5km處．所以答案為西北方向5km9．給出下列說法：（1）若，則或；（2）向量的模一定是正數(shù)；（3）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的幾個(gè)向量是相等向量；（4）向量與是共線向量，則四點(diǎn)必在同一直線上．其中正確說法的序號是________．【答案】（3）【解析】（1）錯(cuò)誤．僅說明與模相等，但不能說明它們方向的關(guān)系．（2）錯(cuò)誤．例如的模.（3）正確．對于一個(gè)向量，只要不改變其大小和方向，是可以任意移動(dòng)的．（4）錯(cuò)誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個(gè)向量、必須在同一直線上．10．若四邊形是菱形，邊長為2，則在向量，，，，，中，相等的有對，它們的模為。【答案】2,2【解析】菱形如圖所示：向量和大小相等方向相同，故=，同理，=，故相等的向量有對.因?yàn)?，菱形邊長為2，所以向量的模為2.三、解答題11．一輛汽車從點(diǎn)出發(fā)向西行駛了到達(dá)點(diǎn)，然后改變方向向北偏西行駛了到達(dá)點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了到達(dá)點(diǎn)．（1）作出向量、、；（2）求.【答案】（1）詳見解析（2）【解析】（1）向量、、如圖所示：（2）由題意，易知與方向相反，故與共線，又，∴在四邊形中，.∴四邊形為平行四邊形．∴，∴.12．如圖所示，已知四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形．(1)與相等的向量有哪些？(2)與共線的向量有哪些？(3)若，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）；（3）3.【解析】(1)與相等的向量即與同向且等長的向量，有．(2)與共線的向量即與方向相同或相反的向量，有．(3)若，則．《6.2.1向量的加法運(yùn)算》同步練習(xí)一、選擇題1．已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個(gè)數(shù)為()A．5B．4C．3D．22．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A． B． C． D．3．向量﹒化簡后等于（）A． B．0 C． D．4．已知有向線段不平行，則（）。A． B．≥C．≥ D．<5.（多選題）已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的邊的中點(diǎn)，則下列等式中正確的是()A． B．C． D．6.（多選題）下列結(jié)論中，不正確結(jié)論的是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；B.在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；D.若a，b均為非零向量，則a＋b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等．二、填空題7．設(shè)是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，計(jì)算：_______．8．給出下面四個(gè)結(jié)論：①若線段AC=AB+BC，則向量;②若向量,則線段AC=AB+BC;③若向量與共線，則線段AC=AB+BC;其中正確的結(jié)論有________.9.當(dāng)非零向量a，b滿足________時(shí)，a＋b平分以a與b為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)角．10.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．解答題11.已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.12.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、AC、AB的中點(diǎn)．求證：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.《6.2.1向量的加法運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知a，b，c是非零向量，則(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(a＋b)，c＋(b＋a)中，與向量a＋b＋c相等的個(gè)數(shù)為()A．5B．4C．3D．2【答案】A【解析】依據(jù)向量加法的交換律及結(jié)合律，每個(gè)向量式均與a＋b＋c相等，故選A．2．在平行四邊形ABCD中，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）.A． B． C． D．【答案】C【解析】畫出圖像如下圖所示.對于A選項(xiàng)，大小相等方向相反，，結(jié)論正確.對于B選項(xiàng)，根據(jù)向量加法的平行四邊形法則可知，，結(jié)論正確.對于C選項(xiàng)，由于，故結(jié)論錯(cuò)誤.對于D選項(xiàng)，，大小相等方向相反，，結(jié)論正確.故選C.3．向量﹒化簡后等于（）A． B．0 C． D．【答案】D【解析】,故選D.4．已知有向線段不平行，則（）。A． B．≥C．≥ D．<【答案】D【解析】由向量的不等式，，等號當(dāng)且僅當(dāng)平行的時(shí)候取到，所以本題中，<，故選D。5.（多選題）已知點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別是的邊的中點(diǎn)，則下列等式中正確的是()A． B．C． D．【答案】ABC【解析】由向量加法的平行四邊形法則可知，，故選ABC。6.（多選題）下列結(jié)論中，不正確結(jié)論的是()A.如果非零向量a與b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必與a，b之一的方向相同；B.在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；C.若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，則A，B，C為一個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)；D.若a，b均為非零向量，則a＋b的長度與a的長度加b的長度的和一定相等．【答案】ACD【解析】當(dāng)a＋b＝0時(shí)，知A不正確；由向量加法的三角形法則知B正確；當(dāng)A，B，C三點(diǎn)共線時(shí)知C不正確；當(dāng)向量a與向量b方向不相同時(shí)|a＋b|≠|(zhì)a|＋|b|，故D不正確．二、填空題7．設(shè)是平面內(nèi)任意三點(diǎn)，計(jì)算：_______．【答案】【解析】，故答案為.8．給出下面四個(gè)結(jié)論：①若線段AC=AB+BC，則向量;②若向量,則線段AC=AB+BC;③若向量與共線，則線段AC=AB+BC;其中正確的結(jié)論有________.【答案】①【解析】①由AC=AB+BC得點(diǎn)B在線段AC上，則，正確②三角形內(nèi)，但，錯(cuò)誤③反向共線時(shí)，，錯(cuò)誤9.當(dāng)非零向量a，b滿足________時(shí)，a＋b平分以a與b為鄰邊的平行四邊形的內(nèi)角．【答案】|a|＝|b|【解析】當(dāng)|a|＝|b|時(shí)，以a與b為鄰邊的平行四邊形為菱形，則其對角線上向量a＋b平分此菱形的內(nèi)角．10.若a表示“向東走8km”，b表示“向北走8km”，則|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．【答案】8eq\r(2)km東北方向【解析】如圖所示，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，則a＋b＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→)).所以|a＋b|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(82＋82)＝8eq\r(2)(km)，因?yàn)椤螦OB＝45°，所以a＋b的方向是東北方向．解答題11.已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.【答案】3eq\r(3)【解】如圖，∵|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝3，∴四邊形OACB為菱形．連接OC、AB，則OC⊥AB，設(shè)垂足為D．∵∠AOB＝60°，∴AB＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝3，∴在Rt△BDC中，CD＝eq\f(3\r(3),2)，∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝|a＋b|＝eq\f(3\r(3),2)×2＝3eq\r(3).12.如圖，已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC、AC、AB的中點(diǎn)．求證：eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.【證明】由題意知：eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)).由平面幾何可知，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→)).∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→)))＋(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→)))＋0＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→))＝0.《6.2.2向量的減法運(yùn)算》同步練習(xí)一、選擇題1．化簡()-()的結(jié)果是()A． B． C． D．2．如圖，在四邊形中，設(shè)，，，則等于（）A．B．C．D．3．已知向量是單位向量，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為任意一點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．4．在平行四邊形中，等于（）A．B．C．D．5．（多選題）下列各式，其中結(jié)果為零向量的是（）A.；B.；C.；D..6．（多選題）四式能化簡為的是（）A． B．C． D．二、填空題7．若菱形的邊長為，則________．8．梯形中，，與交于點(diǎn)，則__________．9．化簡：=__________．10.已知菱形ABCD的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))的模為________；|eq\o(AC,\s\up6(→))|的范圍是________．三、解答題11．化簡：（1）；（2）.12.如圖，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).《6.2.2向量的減法運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．化簡()-()的結(jié)果是()A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)椋蔬xA.2．如圖，在四邊形中，設(shè)，，，則等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.3．已知向量是單位向量，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)為任意一點(diǎn)，則等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由于，，故選A.4．在平行四邊形中，等于（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，又，故選D.5．（多選題）下列各式，其中結(jié)果為零向量的是（）A.；B.；C.；D..【答案】ABCD【解析】A；B；C.；D.故選ABCD。6．（多選題）四式能化簡為的是（）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】，，，故B、C、D都能化簡為，只有A項(xiàng)，化簡結(jié)果不是，故選BCD.二、填空題7．若菱形的邊長為，則________．【答案】【解析】由于，則.8．梯形中，，與交于點(diǎn)，則__________．【答案】【解析】．9．化簡：=__________．【答案】【解析】原式=10.已知菱形ABCD的邊長為2，則向量eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))的模為________；|eq\o(AC,\s\up6(→))|的范圍是________．【答案】20<|eq\o(AC,\s\up6(→))|<4【解析】因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，又|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，所以|eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2.又因?yàn)閑q\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，且在菱形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，所以||eq\o(AB,\s\up6(→))|－|eq\o(AD,\s\up6(→))||<|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))|<|eq\o(AB,\s\up6(→))|＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|，即0<|eq\o(AC,\s\up6(→))|<4.三、解答題11．化簡：（1）；（2）.【答案】（1）（2）【解析】（1）.（2）.12.如圖，解答下列各題：(1)用a，d，e表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(2)用b，c表示eq\o(DB,\s\up6(→))；(3)用a，b，e表示eq\o(EC,\s\up6(→))；(4)用d，c表示eq\o(EC,\s\up6(→)).【答案】(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝d＋e＋a；(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－c－d.【解】因?yàn)閑q\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝c，eq\o(DE,\s\up6(→))＝d，eq\o(EA,\s\up6(→))＝e，所以(1)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＝d＋e＋a.(2)eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－eq\o(BC,\s\up6(→))－eq\o(CD,\s\up6(→))＝－b－c.(3)eq\o(EC,\s\up6(→))＝eq\o(EA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝a＋b＋e.(4)eq\o(EC,\s\up6(→))＝－eq\o(CE,\s\up6(→))＝－(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→)))＝－c－d.《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》同步練習(xí)一、選擇題1．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的方向的方向相反B．C．與方向相同D．2．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A．B．C．D．3．已知向量，，，則（）A．、、三點(diǎn)共線B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線D．、、三點(diǎn)共線4．如圖所示，在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，則向量（）A． B．C． D．5.已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，則a＝bD.若ma＝na，則m＝n.6.設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)在邊的延長線上C．若，則點(diǎn)是的重心D．若，且，則的面積是的面積的二、填空題7．________________．8.已知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，若eq\o(PP1,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，則λ等于________．9．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O為平面上任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)10.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，則λ＝________，（用來表示）三、解答題11．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．12.設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？《6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．設(shè)是非零向量，是非零實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A．的方向的方向相反B．C．與方向相同D．【答案】C【解析】對于A，與方向相同或相反，因此不正確；對于B，時(shí)，，因此不正確；對于C，因?yàn)?，所以與同向，正確；對于D，是實(shí)數(shù)，是向量，不可能相等．故選C．2．設(shè)，是兩個(gè)不共線的向量，若向量與向量共線，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時(shí)，，又，∴，此時(shí)、共線，故選D.3．已知向量，，，則（）A．、、三點(diǎn)共線B．、、三點(diǎn)共線C．、、三點(diǎn)共線D．、、三點(diǎn)共線【答案】B【解析】∵，∴、、三點(diǎn)共線．故選B．4．如圖所示，在中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，則向量（）A． B．C． D．【答案】D【解析】為中點(diǎn)本題正確選項(xiàng)：。5.已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是向量，則下列命題中正確的為()A.m(a－b)＝ma－mbB.(m－n)a＝ma－naC.若ma＝mb，則a＝bD.若ma＝na，則m＝n.【答案】AB【解析】對于A和B屬于數(shù)乘對向量與實(shí)數(shù)的分配律，正確；對于C，若m＝0，則不能推出a＝b，錯(cuò)誤；對于D，若a＝0，則m，n沒有關(guān)系，錯(cuò)誤.故選A，B.6.設(shè)點(diǎn)是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．若，則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B．若，則點(diǎn)在邊的延長線上C．若，則點(diǎn)是的重心D．若，且，則的面積是的面積的【答案】ACD【解析】A中：,即：,則點(diǎn)是邊的中點(diǎn)B.,則點(diǎn)在邊的延長線上，所以B錯(cuò)誤.C.設(shè)中點(diǎn)D,則,，由重心性質(zhì)可知C成立.D．且設(shè)所以，可知三點(diǎn)共線，所以的面積是面積的故選擇ACD。二、填空題7．________________．【答案】【解析】故答案為8.已知eq\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，若eq\o(PP1,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，則λ等于________．【答案】－eq\f(2,5)【解析】因?yàn)閑q\o(P1P,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(PP2,\s\up6(→))，所以－eq\o(PP1,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)(eq\o(PP1,\s\up6(→))＋eq\o(P1P2,\s\up6(→)))，即eq\o(PP1,\s\up6(→))＝－eq\f(2,5)eq\o(P1P2,\s\up6(→))＝λeq\o(P1P2,\s\up6(→))，所以λ＝－eq\f(2,5).9．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))(t∈R)，O為平面上任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))＝________．(用eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))表示)【答案】(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))【解析】eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝t(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))－teq\o(OA,\s\up6(→))＝(1－t)eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→)).10.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點(diǎn)O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，則λ＝________，（用來表示）【答案】2【解析】由向量加法的平行四邊形法則知eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，又∵O是AC的中點(diǎn)，∴AC＝2AO，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，∴λ＝2.。三、解答題11．計(jì)算：（1）；（2）；（3）．【答案】略【解析】（1）原式．（2）原式．（3）原式．12.設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，記eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb(t∈R)，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，那么當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線？【解】∵eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝tb，eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝tb－a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(a＋b)－a＝eq\f(1,3)b－eq\f(2,3)a，∵A、B、C三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，即tb－a＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)b－\f(2,3)a)).由于a，b不共線，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(t＝\f(1,3)λ，,－1＝－\f(2,3)λ，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝\f(3,2)，,t＝\f(1,2).))故當(dāng)t＝eq\f(1,2)時(shí)，A、B、C三點(diǎn)共線．《6.2.4向量的數(shù)量積》同步練習(xí)第1課時(shí)向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積一、選擇題1．在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則（）A． B．0 C． D．32．下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．43．已知，，若，那么向量的夾角等于（）A．B．C．D．4．已知下列結(jié)論:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,則對任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,則a與b中至少有一個(gè)為0;⑦若a與b是兩個(gè)單位向量,則a2=b2.則以上結(jié)論正確的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦（多選題）下列命題中，正確的是（）對于任意向量，有；若，則；對于任意向量，有若共線，則（多選題）關(guān)于平面向量，下列命題中錯(cuò)誤的是（）若，則存在使得。B.若，則的夾角為直角。C.若，則D.二、填空題7．若向量、滿足，為單位向量，且與夾角為，則在上的投影向量為________.8．在等邊三角形ABC中，邊長為2，則AB·9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的單位向量為e則向量a在向量b方向上的投影是_________已知，則，以的面積為_______三．解答題11.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).12.已知若向量在上的投影向量為，求?！?.2.4向量的數(shù)量積》同步練習(xí)答案解析第1課時(shí)向量的數(shù)量積的物理背景和數(shù)量積一、選擇題1．在邊長為1的等邊三角形中，設(shè)，則（）A． B．0 C． D．3【答案】A【解析】.同理，∴.故選A.2．下面給出的關(guān)系式中正確的個(gè)數(shù)是（）①；②；③；④；⑤.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】①錯(cuò)誤，正確的是，向量數(shù)乘的結(jié)果還是向量.②③正確，根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算可判斷得出.④錯(cuò)誤，，故⑤錯(cuò)誤，.綜上所述，正確的個(gè)數(shù)為，故選B.3．已知，，若，那么向量的夾角等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，故選A．4．已知下列結(jié)論:①a·0=0;②0·a=0;③0-;④|a·b|=|a||b|;⑤若a≠0,則對任一非零向量b有a·b≠0;⑥若a·b=0,則a與b中至少有一個(gè)為0;⑦若a與b是兩個(gè)單位向量,則a2=b2.則以上結(jié)論正確的是()A．①②③⑥⑦ B．③④⑦C．②③④⑤ D．③⑦【答案】D【解析】對于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·a=0；對于②：應(yīng)有0·a=0；對于④：由數(shù)量積定義有|a·b|=|a||b|·|cosθ|≤|a||b|，這里θ是a與b的夾角，只有θ=0或θ=π時(shí)，才有|a·b|=|a||b|；對于⑤：若非零向量a、b垂直，則有a·b=0；對于⑥：由a·b=0可知a⊥b，可以都非零.故③⑦正確.故選D。5.（多選題）下列命題中，正確的是（）對于任意向量，有；若，則；對于任意向量，有若共線，則【答案】ACD【解析】由向量加法的三角形法則可知選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故選項(xiàng)C正確；當(dāng)共線同向時(shí)，，當(dāng)共線反向時(shí)，，所以選項(xiàng)D正確。故選ACD。6.（多選題）關(guān)于平面向量，下列命題中錯(cuò)誤的是（）若，則存在使得。B.若，則的夾角為直角。C.若，則D.【答案】BCD【解析】由共線向量定理可知選項(xiàng)A正確；當(dāng)時(shí)，，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于非零向量，當(dāng)不共線，且時(shí)，，所以，選項(xiàng)D錯(cuò)誤。故選BCD。二、填空題7．若向量、滿足，為單位向量，且與夾角為，則在上的投影向量為________.【答案】【解析】即在上的投影向量為故答案為：。8．在等邊三角形ABC中，邊長為2，則AB·【答案】-2【解析】AB·9．已知|a|=6,|b|=4，a·b=12，向量b方向上的單位向量為e則向量a在向量b方向上的投影是_________【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，所以向量a在向量b方向上的投影向量為：。10.已知，則，以的面積為_______【答案】【解析】設(shè)的夾角為，，所以，因?yàn)?，?所以。的邊OB上的高為，所以的面積為。三．解答題11.．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，|eq\o(AB,\s\up14(→))|＝4，|eq\o(AD,\s\up14(→))|＝3，∠DAB＝60°.求：(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→)).【答案】（1）9（2）-16（3）-6【解析】(1)eq\o(AD,\s\up14(→))·eq\o(BC,\s\up14(→))＝|eq\o(AD,\s\up14(→))|2＝9；(2)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(CD,\s\up14(→))＝－|eq\o(AB,\s\up14(→))|2＝－16；(3)eq\o(AB,\s\up14(→))·eq\o(DA,\s\up14(→))＝|eq\o(AB,\s\up14(→))||eq\o(DA,\s\up14(→))|cos(180°－60°)＝4×3×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－6.12.已知若向量在上的投影向量為，求?！敬鸢浮?【解析】設(shè)的夾角為，則因?yàn)橄蛄吭谏系耐队跋蛄繛?，所以，所以?！?.2.4向量的數(shù)量積》同步練習(xí)第2課時(shí)向量的向量積一、選擇題1．有四個(gè)式子：①；②；③；④.其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，則（）A．1 B． C．2 D．或24．已知均為單位向量，且，則向量的夾角為()A． B． C． D．5．（多選題）對于平面向量，給出下列四個(gè)命題：A.命題p1：若a?b>0，則B.命題p2：“|a?C.命題p3：當(dāng)a,b為非零向量時(shí)，“aD.命題p4：若|a+其中的真命題是（）6.（多選題）若()是所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且.給出下列說法：A.；B.的最小值一定是；C.點(diǎn)、在一條直線上；D.向量及在向量的方向上的投影向量必相等.其中正確的說法是（）二、填空題7．已知，且與垂直，則與的夾角為_________.8．已知，與的夾角為.若與的夾角銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.9.若，則________.10．在中，，，則，在方向上的投影向量是__________．三、解答題11．已知，與的夾角為.（1）求；（2）求為何值時(shí)，.12．設(shè)滿足|a|=|(1)求a,(2)求|3《6.2.4向量的數(shù)量積》同步練習(xí)答案解析第2課時(shí)向量的向量積一、選擇題1．有四個(gè)式子：①；②；③；④.其中正確的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【解析】由向量的加減與乘法運(yùn)算知①②③正確，對④，由于，故不一定正確，則正確的有3個(gè)故選C2．設(shè)m,n為非零向量，則“存在負(fù)數(shù)，使得”是“”的A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】試題分析：若，使，則兩向量反向，夾角是，那么；若，那么兩向量的夾角為，并不一定反向，即不一定存在負(fù)數(shù)，使得，所以是充分而不必要條件，故選A.3．已知，則（）A．1 B． C．2 D．或2【答案】C【解析】.故選C.4．已知均為單位向量，且，則向量的夾角為()A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)向量的夾角為θ.因?yàn)閨|＝||＝1，所以(2＋)·(－2)＝2－3·＝－3cosθ＝－，即cosθ＝，θ＝.故選A.5．（多選題）對于平面向量，給出下列四個(gè)命題：A.命題p1：若a?b>0，則B.命題p2：“|a?C.命題p3：當(dāng)a,b為非零向量時(shí)，“aD.命題p4：若|a+其中的真命題是（）【答案】BD【解析】對于A，命題p1：當(dāng)a?b>0時(shí),向量a與b的夾角可能為0,故為假命題；對于B，命題p2：當(dāng)時(shí),則向量中至少有一個(gè)零向量或cos(a,b故為真命題；對于C，命題p3：當(dāng)時(shí),成立；當(dāng),向量a與b為非零向量時(shí),a與b反向,未必有,故為假命題；對于D，命題p4：若|a+b|=|b|,則|a6.（多選題）若()是所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且.給出下列說法：A.；B.的最小值一定是；C.點(diǎn)、在一條直線上；D.向量及在向量的方向上的投影向量必相等.其中正確的說法是（）【答案】CD【解析】由可得，所以，由此可知點(diǎn)在過點(diǎn)垂直于的直線上，所以“C.點(diǎn)、在一條直線上；D向量及在向量的方向上的投影向量必相等”是正確的.故選CD。二、填空題7．已知，且與垂直，則與的夾角為_________.【答案】【解析】，，，，故答案為.8．已知，與的夾角為.若與的夾角銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.【答案】【解析】由題意可知.又∵，∴與的夾角為銳角，∴.∵，∴.解得或.當(dāng)時(shí)，與共線，其夾角不為銳角，故的取值范圍是.故填：.9.若，則________.【答案】【解析】∵，∴，即，∴，∴.∴.故填：10．在中，，，則，在方向上的投影向量是__________．【答案】【解析】△ABC中，∵，∴，∴，∴；。又AB=3，AC=4，在∴在方向上的投影向量是如圖所示．故選：C．三、解答題11．已知，與的夾角為.（1）求；（2）求為何值時(shí)，.【答案】（1）（2）【解析】（1），所以.（2）因?yàn)椋?，即，即，解得?2．設(shè)滿足|a|=|(1)求a,(2)求|3【答案】(1)θ=π3.(2)【解析】(1)設(shè)a與b夾角為θ，(3a－2b)2＝7,9|a|2＋4|b|2－12a·b＝7，而|a|＝|b|＝1，∴a·b＝12，∴|a||b|cosθ＝12又θ∈[0，π]，∴a，b所成的角為π3(2)(3a＋b)2＝9|a|2＋6a·b＋|b|2＝9＋3＋1＝13，∴|3a＋b|＝13..《6.3.1平面向量基本定理》同步練習(xí)一、選擇題1．下面三種說法，其中正確的是（）①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量.A．①②B．②③C．①③D．①②③2．已知向量，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．3．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．4．已知向量不共線，若向量與的方向相反，則等于（）A．1 B．0 C． D．5．（多選題）已知非零向量，滿足，給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）A.若與不共線，與共線，則；B.若與不共線，與共線，則；C.存在實(shí)數(shù)，使得與不共線，與共線；D.不存在實(shí)數(shù)，使得與不共線，與共線6．（多選題）已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使共線的是（）A.且；B.存在相異實(shí)數(shù)入，使；C.（其中實(shí)數(shù)滿足）；D.已知梯形，其中。二、填空題7．設(shè)向量與不共線，若，，，且三點(diǎn)共線，則_______.8．如圖，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＋＝－2，則△AOB與△AOC的面積之比為________．9．如圖所示，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為______．10．如圖所示，，點(diǎn)在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是______；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．三、解答題11．已知為兩個(gè)不共線的向量，若四邊形滿足，（1）將用表示；（2）證明四邊形為梯形.12．在梯形ABCD中，，分別是的中點(diǎn)，且.設(shè)，選擇基底，試寫出下列向量在此基底下的分解式:.6.3.1平面向量基本定理一、選擇題1．下面三種說法，其中正確的是（）①一個(gè)平面內(nèi)只有一對不共線向量可作為表示該平面的基底；②一個(gè)平面內(nèi)有無數(shù)多對不共線向量可作為該平面所有向量的基底；③零向量不可以作為基底中的向量.A．①②B．②③C．①③D．①②③【答案】B【解析】由題意知，說法①中，只要是不共線的一對向量就可以作為該平面的基底，故說法①錯(cuò)；則②③顯然正確，故選B.2．已知向量，且，，，則一定共線的三點(diǎn)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，向量，且，，，可得，即共線，所以三點(diǎn)共線，故選A.。3．在中，，．若點(diǎn)滿足，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，故選A．4．已知向量不共線，若向量與的方向相反，則等于（）A．1 B．0 C． D．【答案】C【解析】∵向量與的方向相反，∴.由向量共線的性質(zhì)定理可知，存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，即，解得.當(dāng)時(shí)，向量與是相等向量，其方向相同，不符合題意，故舍去；∴.故選C。5．（多選題）已知非零向量，滿足，給出以下結(jié)論，其中正確結(jié)論是（）A.若與不共線，與共線，則；B.若與不共線，與共線，則；C.存在實(shí)數(shù)，使得與不共線，與共線；D.不存在實(shí)數(shù)，使得與不共線，與共線【答案】AD【解析】因?yàn)榉橇阆蛄?，滿足，若與不共線，與共線，可得，即，，解得，所以A正確，B錯(cuò)誤.若與共線，可得，可得與共線，所以C錯(cuò)誤，D正確.故選AD。6．（多選題）已知向量是兩個(gè)非零向量，在下列四個(gè)條件中，一定能使共線的是（）A.且；B.存在相異實(shí)數(shù)入，使；C.（其中實(shí)數(shù)滿足）；D.已知梯形，其中?！敬鸢浮緼B【解析】A由得，所以，故A正確；B因?yàn)榇嬖谙喈悓?shí)數(shù)入，使；所以，所以，故B正確；C若，則，但不一定共線，故C錯(cuò)誤；D梯形中，沒有說明哪組對邊平行，故D錯(cuò)誤.故選AB。二、填空題7．設(shè)向量與不共線，若，，，且三點(diǎn)共線，則_______.【答案】【解析】三點(diǎn)共線且向量與不共線，解得：本題正確結(jié)果：8．如圖，設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＋＝－2，則△AOB與△AOC的面積之比為________．【答案】【解析】如圖，設(shè)M是AC的中點(diǎn)，則＋＝2.又＋＝－2，∴＝－，即O是BM的中點(diǎn)，∴S△AOB＝S△AOM＝S△AOC，即＝.9．如圖所示，平面內(nèi)有三個(gè)向量、、，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為______．【答案】6【解析】如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，OC為對角線作平行四邊形ODCE，則．在直角△OCD中，因?yàn)椋螩OD=30°，∠OCD=90°，所以，，故，，即，所以.10．如圖所示，，點(diǎn)在由射線、線段及的延長線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是______；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是______．【答案】；【解析】由題意得：設(shè)＝.由得因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，有，解得三、解答題11．已知為兩個(gè)不共線的向量，若四邊形滿足，（1）將用表示；（2）證明四邊形為梯形.【答案】（1）（2）詳見解析【解析】（1）（2）因?yàn)椋?，所以與同方向，且的長度為的長度的2倍，所以在四邊形中，，且，所以四邊形是梯形.12．在梯形ABCD中，，分別是的中點(diǎn)，且.設(shè)，選擇基底，試寫出下列向量在此基底下的分解式:.【答案】,,【解析】如圖，∵，且，∴.又∵，∴.∵∴.《6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》同步練習(xí)一、選擇題1.設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，則eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)是()A．(4，－2) B．(4,2)C．(2,4) D．(-4,8)2.如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則eq\o(AB,\s\up14(→))可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j3.已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝(－2,4)，則下列說法正確的是()A．A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)B．B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)C．當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)D．當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)4．若{i，j}為正交基底，設(shè)a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限（多選題）下列說法正確的是（）相等向量的坐標(biāo)相同；平面上一個(gè)向量對應(yīng)平面上唯一的坐標(biāo)；一個(gè)坐標(biāo)對應(yīng)唯一的一個(gè)向量；平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)。6.（多選題）已知向量，平面內(nèi)的任意向量，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使得。B.若則。C.若，且，則的起點(diǎn)是原點(diǎn)O。D.若，且的終點(diǎn)坐標(biāo)是，則。二、填空題7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，以{i，j}作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，若|a|＝2，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為________．8.若向量與相等，則=_________.9.如圖,在6×6的方格中,已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn),且滿足向量,那么_______.10.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝2，∠xOA＝150°，則點(diǎn)A坐標(biāo)為，向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)為________．三．解答題11.已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，試求eq\o(AC,\s\up14(→))和eq\o(BD,\s\up14(→))的坐標(biāo)．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b.四邊形OABC為平行四邊形．(1)求向量a，b的坐標(biāo)；(2)求向量eq\o(BA,\s\up14(→))的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．《6.3.2平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.設(shè)i，j是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)分別與x軸，y軸正方向相同的兩個(gè)單位向量，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若eq\o(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，則eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)是()A．(4，－2) B．(4,2)C．(2,4) D．(-4,8)【答案】B【解析】因?yàn)閑q\o(OA,\s\up14(→))＝4i＋2j，所以eq\o(OA,\s\up14(→))＝(4,2)，故選B。2.如果用i，j分別表示x軸和y軸正方向上的單位向量，且A(2,3)，B(4,2)，則eq\o(AB,\s\up14(→))可以表示為()A．2i＋3j B．4i＋2jC．2i－j D．－2i＋j【答案】C【解析】記O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則eq\o(OA,\s\up14(→))＝2i＋3j，eq\o(OB,\s\up14(→))＝4i＋2j，所以eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OB,\s\up14(→))－eq\o(OA,\s\up14(→))＝2i－j.故選C。3.已知eq\o(AB,\s\up14(→))＝(－2,4)，則下列說法正確的是()A．A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)B．B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)C．當(dāng)B是原點(diǎn)時(shí)，A點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)D．當(dāng)A是原點(diǎn)時(shí)，B點(diǎn)的坐標(biāo)是(－2,4)【答案】D【解析】當(dāng)向量起點(diǎn)與原點(diǎn)重合時(shí)，向量坐標(biāo)與向量終點(diǎn)坐標(biāo)相同．故選D。4．若{i，j}為正交基底，設(shè)a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于()A．第一、二象限 B．第二、三象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【解析】x2＋x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)＞0，所以向量a對應(yīng)的坐標(biāo)位于第四象限．故選D。（多選題）下列說法正確的是（）相等向量的坐標(biāo)相同；平面上一個(gè)向量對應(yīng)平面上唯一的坐標(biāo)；一個(gè)坐標(biāo)對應(yīng)唯一的一個(gè)向量；平面上一個(gè)點(diǎn)與以原點(diǎn)為始點(diǎn)，該點(diǎn)為終點(diǎn)的向量一一對應(yīng)?！敬鸢浮緼BD【解析】由向量坐標(biāo)的定義得一個(gè)坐標(biāo)可對應(yīng)無數(shù)個(gè)相等的向量，故C錯(cuò)誤。所以選ABD.6.（多選題）已知向量，平面內(nèi)的任意向量，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.存在唯一的一對實(shí)數(shù)x，y，使得。B.若則。C.若，且，則的起點(diǎn)是原點(diǎn)O。D.若，且的終點(diǎn)坐標(biāo)是，則?！敬鸢浮緽CD【解析】由平面向量基本定理，可知A中結(jié)論正確；，但1=1，故B中結(jié)論錯(cuò)誤；因?yàn)橄蛄靠梢云揭疲韵蛄颗c向量的起點(diǎn)是不是原點(diǎn)無關(guān)，故C中結(jié)論錯(cuò)誤；當(dāng)?shù)慕K點(diǎn)坐標(biāo)是時(shí)，是以的起點(diǎn)是原點(diǎn)為前提的，故D中結(jié)論錯(cuò)誤。故選BCD。二、填空題7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸，y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j，以{i，j}作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，若|a|＝2，θ＝45°，則向量a的坐標(biāo)為________．【答案】(eq\r(2)，eq\r(2))【解析】由題意知a＝2cos45°i＋2sin45°j＝eq\r(2)i＋eq\r(2)j＝(eq\r(2)，eq\r(2))．8.若向量與相等，則=_________.【答案】-1【解析】因?yàn)?，所?0且=2，解得.9.如圖,在6×6的方格中,已知向量的起點(diǎn)和終點(diǎn)均在格點(diǎn),且滿足向量,那么_______.【答案】3【解析】分別設(shè)方向向右和向上的單位向量為則,又因?yàn)?所以,解得所以答案為3.10.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在第二象限，|eq\o(OA,\s\up14(→))|＝2，∠xOA＝150°，則點(diǎn)A坐標(biāo)為，向量eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)為________．【答案】(－eq\r(3)，1)(－eq\r(3)，1)【解析】設(shè)A(x，y)，∴x＝|eq\o(OA,\s\up14(→))|cos150°＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))＝－eq\r(3)，y＝|eq\o(OA,\s\up14(→))|sin150°＝2×eq\f(1,2)＝1，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，1)．∴eq\o(OA,\s\up14(→))的坐標(biāo)為(－eq\r(3)，1)．三．解答題11.已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，試求eq\o(AC,\s\up14(→))和eq\o(BD,\s\up14(→))的坐標(biāo)．【解析】由長方形ABCD知，CB⊥x軸，CD⊥y軸，因?yàn)锳B＝4，AD＝3，所以eq\o(AC,\s\up14(→))＝4i＋3j，所以eq\o(AC,\s\up14(→))＝(4,3)．又eq\o(BD,\s\up14(→))＝eq\o(BA,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＋eq\o(AD,\s\up14(→))，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝－4i＋3j，所以eq\o(BD,\s\up14(→))＝(－4,3)．12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq\o(OA,\s\up14(→))＝a，eq\o(AB,\s\up14(→))＝b.四邊形OABC為平行四邊形．(1)求向量a，b的坐標(biāo)；(2)求向量eq\o(BA,\s\up14(→))的坐標(biāo)；(3)求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【解析】(1)作AM⊥x軸于點(diǎn)M，則OM＝OA·cos45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，AM＝OA·sin45°＝4×eq\f(\r(2),2)＝2eq\r(2)，∴A(2eq\r(2)，2eq\r(2))，故a＝(2eq\r(2)，2eq\r(2))．∵∠AOC＝180°－105°＝75°，∠AOy＝45°，∴∠COy＝30°.又OC＝AB＝3，∴Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，∴eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\o(OC,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))，即b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2))).(2)eq\o(BA,\s\up14(→))＝－eq\o(AB,\s\up14(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3\r(3),2))).(3)eq\o(OB,\s\up14(→))＝eq\o(OA,\s\up14(→))＋eq\o(AB,\s\up14(→))＝(2eq\r(2)，2eq\r(2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))《6.3.3平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示》同步練習(xí)一、選擇題1.已知向量,則（）A． B．C． D．2.如果用分別表示軸和軸方向上的單位向量，且，那么可以表示為（）A． B． C． D．3.在平行四邊形中，為一條對角線．若，，則等于()A． B． C． D．4.已知四邊形為平行四邊形，其中，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5.（多選題）若向量與向量相等，且，則的值為（）A.B.C.D.6.（多選題）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．AB.C.D.（2,3）填空題7.在平行四邊形中，為一條對角線，，，則__________．8.已知點(diǎn)向量，則向量的坐標(biāo)為_________．9.已知A，B，C三點(diǎn)共線，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_____.10.若，則向量_____，向量______.解答題11.已知點(diǎn)A（-1，2），B（2，8）及，求點(diǎn)C，D和12.已知四邊形為平行四邊形，且，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求其余三個(gè)頂點(diǎn)、、的坐標(biāo).《6.3.3平面向量的加、減運(yùn)算的坐標(biāo)表示》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1.已知向量,則（）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?所以.本題選擇D選項(xiàng).2.如果用分別表示軸和軸方向上的單位向量，且，那么可以表示為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】記為坐標(biāo)原點(diǎn)，則，所以，故選C.3.在平行四邊形中，為一條對角線．若，，則等于()A． B． C． D．【答案】B【解析】∵，∴，∴，故選B.4.已知四邊形為平行四邊形，其中，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)D的坐標(biāo)為，∵，∴，，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，,∴，解得，，即的坐標(biāo)為，故選D.5.（多選題）若向量與向量相等，且，則的值為（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】由得，則，解得，故選AC。6.（多選題）已知平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是．則第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為（）．AB.C.D.（2,3）【答案】ABC【解析】設(shè)平行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)分別是，第四個(gè)頂點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，，解得，此時(shí)第四個(gè)項(xiàng)點(diǎn)的坐標(biāo)為．∴第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．故選ABC。二、填空題7.在平行四邊形中，為一條對角線，，，則__________．【答案】【解析】∵，∴故答案為：8.已知點(diǎn)向量，則向量的坐標(biāo)為_________．【答案】【解析】設(shè)，∵點(diǎn)，向量，∴∴解得，∴，∴．故答案為．9.已知A，B，C三點(diǎn)共線，，點(diǎn)的縱坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_____.【答案】-1【解析】設(shè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.∵三點(diǎn)共線，，的縱坐標(biāo)分別為，∴，∴，故答案為-1.10.若，則向量_____，向量______.【答案】【解析】，①.②①②，得；①②，得，故答案為，.三、解答題11.已知點(diǎn)A（-1，2），B（2，8）及，求點(diǎn)C，D和【答案】見解析．【解析】設(shè)點(diǎn)C(x1，y1)，D(x2，y2)，由題意可得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3，6)，，＝(－3，－6)，因?yàn)?，所?x1＋1，y1－2)＝(3，6)，＝(－3，－6)，則有和解得和所以點(diǎn)C，D的坐標(biāo)分別為(2，8)和(-4，-4)，所以＝(－6，－12)．12.已知四邊形為平行四邊形，且，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，求其余三個(gè)頂點(diǎn)、、的坐標(biāo).【答案】、、【解析】設(shè)、、的坐標(biāo)分別為，，，由向量坐標(biāo)的定義可得，，∵點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，解得∴的坐標(biāo)為，∴，解得，∴的坐標(biāo)為，又∵四邊形為平行四邊形，∴，即，可得，解得，∴的坐標(biāo)為.《6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示》同步練習(xí)一、選擇題1．已知平面向量，，且∥，則=（）A． B． C． D．2．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．3．已知向量，，且與共線，，則A．B．C．或D．或4．已知向量則下列向量中與向量平行且同向的是（）A． B．C． D．5．（多選題）若三點(diǎn)A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，則下列式子正確的是()A．2m－n＝3 B．n－m＝1C．m＝3，n＝3 D．m－2n＝36．（多選題）已知向量，，則下列敘述中，不正確是（）A．存在實(shí)數(shù)x，使 B．存在實(shí)數(shù)x，使C．存在實(shí)數(shù)x，m，使 D．存在實(shí)數(shù)x，m，使二、填空題7.已知，，若在直線AB上，________．8．已知點(diǎn)、、，若點(diǎn)滿足，則當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，的取值范圍是_______________________.9．已知向量a=(2，1)，b=(1，?2)．若ma＋nb=(9，?8)(m，n∈R)，則m?n的值為________．10．與向量同向的單位向量的坐標(biāo)為_______________，反向的單位向量的坐標(biāo)為_______________。三、解答題11．已知、、，，.（1）求點(diǎn)、及向量的坐標(biāo)；（2）求證：.12．已知點(diǎn)及，求：（1）若點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍,（2）四邊形能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的值；若不能，請說明理由．《6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示》同步練習(xí)答案解析一、選擇題1．已知平面向量，，且∥，則=A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意結(jié)合平面向量平行的充要條件可得：.本題選擇B選項(xiàng).2．已知平面向量，且，則（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，且，，，則，因此，，故選C.3．已知向量，，且與共線，，則A．B．C．或D．或【答案】D【解析】因?yàn)榕c共線，所以，，所以又因?yàn)?，所以?本題選擇D選項(xiàng)4．已知向量則下列向量中與向量平行且同向的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】，故選A．5．（多選題）若三點(diǎn)A(4,3)，B(5，m)，C(6，n)在一條直線上，則下列式子正確的是()A．2m－n＝3 B．n－m＝1C．m＝3，n＝3 D．m－2n＝3【答案】AC【解析】∵三點(diǎn)，，在一條直線上∴∴∴∴，即.當(dāng)m＝3時(shí)，n＝3。故選AC.6．（多選題）已知向量，，則下列敘述中，不正確是（）A．存在實(shí)數(shù)x，使 B．存在實(shí)數(shù)x，使C．存在實(shí)數(shù)x，m，使 D．存在實(shí)數(shù)x，m，使【答案】ABC【解析】由，得，無實(shí)數(shù)解，故A中敘述錯(cuò)誤；，由，得，即，無實(shí)數(shù)解，故B中敘述錯(cuò)誤；，由，得，即，無實(shí)數(shù)解，故心中敘述錯(cuò)誤；由，得，即，所以，，故D中敘述正確．故選：ABC二、填空題7.已知，，若在直線AB上，________．【答案】23【解析】，，由題意知A，B，C三點(diǎn)共線，∴，∴，∴．故答案為：8．已知點(diǎn)、、，若點(diǎn)滿足，則當(dāng)點(diǎn)在第一象限時(shí)，的取值范圍是_______________________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，.，，，，得，要使點(diǎn)在第一象限，只需，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為.9．已知向量a=(2，1)，b=(1，?2)．若ma＋nb=(9，?8)(m，n∈R)，則m?n的值為________．【答案】?3【解析】由a=(2，1)，b=(1，?2)，可得ma＋nb=(2m，m)＋(n，?2n)=(2m＋n，m?2n)，由已知可得，解得，從而m?n=?3.10