人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第七章 復(fù)數(shù)》單元教案

人教版高中數(shù)學(xué)必修二《第七章復(fù)數(shù)》單元教案7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念【教材分析】本節(jié)作為復(fù)數(shù)一章的開(kāi)篇，主要包括數(shù)系概念的發(fā)展簡(jiǎn)介，數(shù)系的擴(kuò)充，復(fù)數(shù)的相關(guān)概念、分類、相等條件，代數(shù)表示和幾何意義.復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對(duì)于數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)知，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問(wèn)題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)1.了解引進(jìn)虛數(shù)單位i的必要性，了解數(shù)集的擴(kuò)充過(guò)程．2.理解復(fù)數(shù)的概念、表示法及相關(guān)概念．3.掌握復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)及相關(guān)概念；2.邏輯推理：復(fù)數(shù)的分類；3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)相等求參.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的分類及復(fù)數(shù)相等的充要條件．難點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入提問(wèn)：1、N、Z、Q、R分別代表什么？它們的如何發(fā)展得來(lái)的？2．若給方程一個(gè)解，則這個(gè)解要滿足什么條件？是否在實(shí)數(shù)集中？實(shí)數(shù)與相乘、相加的結(jié)果應(yīng)如何？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本68-69頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、實(shí)數(shù)系經(jīng)過(guò)擴(kuò)充后得到的新數(shù)集是什么？復(fù)數(shù)集如何分類？2、復(fù)數(shù)能否比較大?。繌?fù)數(shù)相等的充要條件是什么？純虛數(shù)、虛數(shù)、實(shí)數(shù)、復(fù)數(shù)關(guān)系如何？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．復(fù)數(shù)的概念：z＝a＋bi(a，b∈R)全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}，叫做復(fù)數(shù)集．2．復(fù)數(shù)相等的充要條件設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，那么a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d.3．復(fù)數(shù)的分類z＝a＋bi(a，b∈R)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(實(shí)數(shù)b＝0,虛數(shù)b≠0\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(非純虛數(shù)a≠0,純虛數(shù)a＝0))))思考：復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間存在怎樣的關(guān)系？[提示]四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)的概念例1下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋i的充要條件是x＝y(tǒng)＝1；②若a，b∈R且a>b，則a＋i>b＋i；③若x2＋y2＝0，則x＝y(tǒng)＝0；④一個(gè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件是這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部等于零；⑤－1沒(méi)有平方根；⑥若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)．A．0B．1C．2D．3【答案】A【解析】①由于x，y∈C，所以x＋yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等的充要條件，①錯(cuò)．②由于兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，所以②錯(cuò)．③當(dāng)x＝1，y＝i時(shí)，x2＋y2＝0也成立，所以③錯(cuò)．④當(dāng)一個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部等于零，虛部也等于零時(shí)，復(fù)數(shù)為0，所以④錯(cuò)．⑤－1的平方根為±i，所以⑤錯(cuò)．⑥當(dāng)a＝－1時(shí)，(a＋1)i＝0是實(shí)數(shù)，所以⑥錯(cuò)．故選A.解題技巧（復(fù)數(shù)概念的理解）(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)不全是實(shí)數(shù)，就不能比較大?。?2)一個(gè)數(shù)的平方非負(fù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)是真命題，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是假命題，所以在判定數(shù)的性質(zhì)和結(jié)論時(shí)，一定要關(guān)注在哪個(gè)數(shù)集上．(3)對(duì)于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的確定不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部．跟蹤訓(xùn)練一1．下列命題正確的是________．①?gòu)?fù)數(shù)－i＋1的虛部為－1.②若z1，z2∈C且z1－z2>0，則z1>z2.③任意兩個(gè)復(fù)數(shù)都不能比較大?。敬鸢浮竣伲窘馕觥竣?gòu)?fù)數(shù)－i＋1＝1－i，虛部為－1，正確；②若z1，z2不全為實(shí)數(shù)，則z1，z2不能比較大小，錯(cuò)誤；③若兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，可以比較大小，錯(cuò)誤．題型二復(fù)數(shù)的分類例2實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(x2－x－6,x＋3)＋(x2－2x－15)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．【答案】(1)x＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(2)x≠－3且x≠5時(shí)，z是虛數(shù)．(3)x＝－2或x＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．【解析】(1)當(dāng)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15＝0，,x＋3≠0，))即x＝5時(shí)，z是實(shí)數(shù)．(2)當(dāng)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－2x－15≠0，,x＋3≠0，))即x≠－3且x≠5時(shí)，z是虛數(shù)．(3)當(dāng)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2－x－6,x＋3)＝0，,x2－2x－15≠0，))即x＝－2或x＝3時(shí)，z是純虛數(shù)．解題技巧：(復(fù)數(shù)分類的注意事項(xiàng))判斷一個(gè)復(fù)數(shù)在什么情況下是實(shí)數(shù)、虛數(shù)或者純虛數(shù)，應(yīng)首先保證復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部均有意義．其次根據(jù)分類的標(biāo)準(zhǔn)，列出實(shí)部、虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式再求解．跟蹤訓(xùn)練二1．實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，z＝lg(m2＋2m＋1)＋(m2＋3m＋2)i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛數(shù)；(3)純虛數(shù)．【答案】(1)m＝－2時(shí)，z為實(shí)數(shù)．(2)m≠－2且m≠－1時(shí)，z為虛數(shù)．(3)m＝0時(shí)，z為純虛數(shù)．【解析】(1)若z為實(shí)數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m＝－2或m＝－1，))解得m＝－2.∴當(dāng)m＝－2時(shí)，z為實(shí)數(shù)．(2)若z是虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1>0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≠－1，,m≠－2且m≠－1，))解得m≠－2且m≠－1.∴當(dāng)m≠－2且m≠－1時(shí)，z為虛數(shù)．(3)若z為純虛數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(lgm2＋2m＋1＝0，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2＋2m＋1＝1，,m2＋3m＋2≠0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝0或m＝－2，,m≠－1且m≠－2.))解得m＝0.∴當(dāng)m＝0時(shí)，z為純虛數(shù)．題型三復(fù)數(shù)相等的充要條件例3根據(jù)下列條件，分別求實(shí)數(shù)x，y的值．(1)x2－y2＋2xyi＝2i；(2)(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i.【答案】(1)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))【解析】(1)∵x2－y2＋2xyi＝2i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－y2＝0，,2xy＝2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－1.))(2)∵(2x－1)＋i＝y(tǒng)－(3－y)i，且x，y∈R，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－1＝y(tǒng)，,1＝－3－y，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(5,2)，,y＝4.))解題技巧（復(fù)數(shù)相等問(wèn)題的解題步驟）復(fù)數(shù)相等的充要條件是復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化的主要依據(jù)，多用來(lái)求參數(shù)，其步驟是：分別確定兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部，利用實(shí)部與實(shí)部、虛部與虛部分別相等，列方程組求解．跟蹤訓(xùn)練三1．已知M＝{2，m2－2m＋(m2＋m－2)i}，N＝{－1,2,4i}，若M∪N＝N，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】1或2.【解析】因?yàn)镸∪N＝N，所以M?N，所以m2－2m＋(m2＋m－2)i＝－1或m2－2m＋(m2＋m－2)i＝4i.由復(fù)數(shù)相等的充要條件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝－1，,m2＋m－2＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m2－2m＝0，,m2＋m－2＝4，))解得m＝1或m＝2.所以實(shí)數(shù)m的值是1或2.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)7.7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念1.復(fù)數(shù)及其相關(guān)概念例1例2例32.復(fù)數(shù)相等的充要條件3.復(fù)數(shù)分類七、作業(yè)課本70頁(yè)練習(xí)，73頁(yè)習(xí)題7.1的1-3題.【教學(xué)反思】本節(jié)是本章的入門(mén)課，概念較多，但難度不大.通過(guò)使學(xué)生體會(huì)數(shù)系的擴(kuò)充是生產(chǎn)實(shí)踐的需要，是數(shù)學(xué)學(xué)科自身發(fā)展的需要，從而讓學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)虛數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)的分類等.進(jìn)而對(duì)本節(jié)課的知識(shí)掌握的更加牢固.7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義【教材分析】復(fù)數(shù)的引入是中學(xué)階段數(shù)系的又一次擴(kuò)充，引入復(fù)數(shù)以后，這不僅可以使學(xué)生對(duì)于數(shù)的概念有一個(gè)初步的、完整的認(rèn)知，也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)打下基礎(chǔ).通過(guò)本節(jié)課學(xué)習(xí)，要使學(xué)生在問(wèn)題情境中了解數(shù)系擴(kuò)充的過(guò)程以及引入復(fù)數(shù)的必要性，學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的一些基本知識(shí)，體會(huì)人類理性思維在數(shù)系擴(kuò)充中的作用.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)：1.理解可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)或以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量來(lái)表示復(fù)數(shù)及它們之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；2.掌握實(shí)軸、虛軸、模等概念；3.掌握用向量的模來(lái)表示復(fù)數(shù)的模的方法.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)平面及復(fù)數(shù)的幾何意義的理解;2.邏輯推理：根據(jù)平面與向量的關(guān)系推出復(fù)數(shù)與向量的一一對(duì)應(yīng)及復(fù)數(shù)模公式;3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)求參數(shù)和求復(fù)數(shù)的模;4.數(shù)學(xué)建模：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，數(shù)形結(jié)合，多方位了解復(fù)數(shù)的幾何意義，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：理解復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及向量．難點(diǎn)：根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式描出其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)及向量.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入提問(wèn)：實(shí)數(shù)可以與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，類比實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)能與什么一一對(duì)應(yīng)呢？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本70-72頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、復(fù)平面是如何定義的，復(fù)數(shù)的模如何求出？2、復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)及向量的關(guān)系如何？復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)還是虛數(shù)？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．復(fù)平面2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Za，b.2復(fù)數(shù)z＝a＋bia，b∈R平面向量eq\o(OZ,\s\up17(→)).[規(guī)律總結(jié)]實(shí)軸、虛軸上的點(diǎn)與復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)，原點(diǎn)對(duì)應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對(duì)為(0,0)，它所確定的復(fù)數(shù)是z＝0＋0i＝0，表示的是實(shí)數(shù)．3．復(fù)數(shù)的模(1)定義：向量eq\o(OZ,\s\up17(→))的模r叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模．(2)記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)關(guān)系例1求實(shí)數(shù)a分別取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z滿足下列條件：(1)在復(fù)平面的第二象限內(nèi)．(2)在復(fù)平面內(nèi)的x軸上方.【答案】(1)a＜－3.(2)a＞5或a＜－3.【解析】(1)點(diǎn)Z在復(fù)平面的第二象限內(nèi)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)<0，,a2－2a－15>0，))解得a＜－3.(2)點(diǎn)Z在x軸上方，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－15>0，,a＋3≠0，))即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.解題技巧（利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)的解題步驟）(1)復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)是：復(fù)數(shù)的實(shí)部就是該點(diǎn)的橫坐標(biāo)，虛部就是該點(diǎn)的縱坐標(biāo)．(2)已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿足的條件求參數(shù)取值范圍時(shí)，可根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部滿足的條件，通過(guò)解方程(組)或不等式(組)求解．跟蹤訓(xùn)練一1、實(shí)數(shù)x取什么值時(shí)，復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)z＝x2＋x－6＋(x2－2x－15)i的點(diǎn)Z：(1)位于第三象限；(2)位于直線x－y－3＝0上【答案】(1)－3<x<2．(2)x＝－2．【解析】因?yàn)閤是實(shí)數(shù)，所以x2＋x－6，x2－2x－15也是實(shí)數(shù)．(1)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋x－6<0，,x2－2x－15<0，))即－3<x<2時(shí)，點(diǎn)Z位于第三象限．(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足(x2＋x－6)－(x2－2x－15)－3＝0，即3x＋6＝0，x＝－2時(shí)，點(diǎn)Z位于直線x－y－3＝0上．題型二復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系例2已知平面直角坐標(biāo)系中O是原點(diǎn)，向量eq\o(OA,\s\up17(→))，eq\o(OB,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量eq\o(BA,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是()A．－5＋5i B．5－5iC．5＋5i D．－5－5i【答案】B．【解析】向量eq\o(OA,\s\up17(→))，eq\o(OB,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可得向量eq\o(OA,\s\up17(→))＝(2，－3)，eq\o(OB,\s\up17(→))＝(－3,2)．由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量eq\o(BA,\s\up17(→))＝eq\o(OA,\s\up17(→))－eq\o(OB,\s\up17(→))＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，可得向量eq\o(BA,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.解題技巧：(復(fù)數(shù)與平面向量對(duì)應(yīng)關(guān)系的解題技巧)(1)根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．反之復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后，從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段，即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量．(2)解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的題目時(shí)，一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具，實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化．跟蹤訓(xùn)練二1、在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.（1）求向量eq\o(AB,\s\up17(→))，eq\o(AC,\s\up17(→))，eq\o(BC,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）若ABCD為平行四邊形，求D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．【答案】（1）eq\o(AB,\s\up17(→))，eq\o(AC,\s\up17(→))，eq\o(BC,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.（2）D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i.【解析】（1）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，由復(fù)數(shù)的幾何意義知：eq\o(OA,\s\up17(→))＝(1,0)，eq\o(OB,\s\up17(→))＝(2,1)，eq\o(OC,\s\up17(→))＝(－1,2)，所以eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(OB,\s\up17(→))－eq\o(OA,\s\up17(→))＝(1,1)，eq\o(AC,\s\up7(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))－eq\o(OA,\s\up17(→))＝(－2,2)，eq\o(BC,\s\up17(→))＝eq\o(OC,\s\up17(→))－eq\o(OB,\s\up17(→))＝(－3,1)，所以eq\o(AB,\s\up17(→))，eq\o(AC,\s\up17(→))，eq\o(BC,\s\up17(→))對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.（2）因?yàn)锳BCD為平行四邊形，所以eq\o(AD,\s\up17(→))＝eq\o(BC,\s\up17(→))＝(－3,1)，eq\o(OD,\s\up17(→))＝eq\o(OA,\s\up17(→))＋eq\o(AD,\s\up7(→))＝(1,0)＋(－3,1)＝(－2,1)．所以D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為－2＋i.題型三復(fù)數(shù)模的計(jì)算與應(yīng)用例3設(shè)復(fù)數(shù)．（1）在復(fù)平面內(nèi)畫(huà)出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)和向量；（2）求復(fù)數(shù)的模，并比較它們的模的大?。敬鸢浮浚?）圖見(jiàn)解析，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，對(duì)應(yīng)的向量分別為，．（2），．．【解析】（1）如圖，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，對(duì)應(yīng)的向量分別為，．（2），．所以．例4設(shè)，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，那么滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形？（1）；（2）．【答案】（1）以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓．（2）以原點(diǎn)O為圓心，以1及2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界．【解析】（1）由得，向量的模等于1，所以滿足條件的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1為半徑的圓．（2）不等式可化為不等式不等式的解集是圓的內(nèi)部所有的點(diǎn)組成的集合，不等式的解集是圓外部所有的點(diǎn)組成的集合，這兩個(gè)集合的交集，就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件的點(diǎn)Z的集合．容易看出，所求的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1及2為半徑的兩個(gè)圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界（如圖）．解題技巧（與復(fù)數(shù)的模相關(guān)的解題技巧）(1)復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的?？梢员容^大?。?2)根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式|a＋bi|＝eq\r(a2＋b2)可把復(fù)數(shù)模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題解決．(3)根據(jù)復(fù)數(shù)模的定義|z|＝|eq\o(OZ,\s\up17(→))|，可把復(fù)數(shù)模的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量模(即兩點(diǎn)的距離)的問(wèn)題解決．跟蹤訓(xùn)練三1、已知復(fù)數(shù)z＝a＋eq\r(3)i(a∈R)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，且|z|＝2，則復(fù)數(shù)z等于()A．－1＋eq\r(3)iB．1＋eq\r(3)iC．－1＋eq\r(3)i或1＋eq\r(3)iD．－2＋eq\r(3)i【答案】A.【解析】由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋3＝4，,a<0，))解得a＝－1.故z＝－1＋eq\r(3)i.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)7.7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義1.復(fù)平面例1例2例3例42.復(fù)數(shù)的幾何意義3.復(fù)數(shù)的模七、作業(yè)課本73頁(yè)練習(xí)，73頁(yè)習(xí)題7.1的剩余題.【教學(xué)反思】本節(jié)重在研究復(fù)數(shù)的幾何意義，顧名思義就是從平面和向量?jī)煞矫嫜芯繌?fù)數(shù)，得出其幾何意義，內(nèi)容比較抽象，學(xué)生理解起來(lái)有一定難度。所以本節(jié)課定要提前安排好預(yù)習(xí)工作，應(yīng)采用誘思探究式教學(xué)，逐層撥開(kāi)其真實(shí)面目，讓學(xué)生達(dá)到融會(huì)貫通的目的.7.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾何意義【教材分析】復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章的重點(diǎn)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加法的運(yùn)算法則是一種規(guī)定，復(fù)數(shù)的減法運(yùn)算法則是通過(guò)轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的素材.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)：1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則；2.了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減運(yùn)算的幾何意義.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.邏輯推理：根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系推導(dǎo)其幾何意義;2.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算及有其幾何意義求相關(guān)問(wèn)題;3.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義和平面圖形，數(shù)形結(jié)合，綜合應(yīng)用.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算及其幾何意義．難點(diǎn)：加、減運(yùn)算及其幾何意義.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入提問(wèn)：1、試判斷下列復(fù)數(shù)在復(fù)平面中落在哪象限？并畫(huà)出其對(duì)應(yīng)的向量。2、同時(shí)用坐標(biāo)和幾何形式表示復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的向量，并計(jì)算。3、向量的加減運(yùn)算滿足何種法則？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本75-76頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、復(fù)數(shù)的加法、減法如何進(jìn)行？復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義如何？2、復(fù)數(shù)的加、減法與向量間的加減運(yùn)算是否相同？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．復(fù)數(shù)加法與減法的運(yùn)算法則(1)設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，則①z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i；②z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i.(2)對(duì)任意z1，z2，z3∈C，有①z1＋z2＝z2＋z1；②(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．2．復(fù)數(shù)加減法的幾何意義圖3-2-1如圖3-2-1所示，設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2對(duì)應(yīng)向量分別為eq\o(OZ,\s\up12(→))1，eq\o(OZ,\s\up12(→))2，四邊形OZ1ZZ2為平行四邊形，向量eq\o(OZ,\s\up12(→))與復(fù)數(shù)z1＋z2對(duì)應(yīng)，向量eq\o(Z2Z1,\s\up12(→))與復(fù)數(shù)z1－z2對(duì)應(yīng)．思考：類比絕對(duì)值|x－x0|的幾何意義，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？提示|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z到點(diǎn)Z0的距離．四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算例1計(jì)算：(1)(－3＋2i)－(4－5i)；(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)；(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i(a，b∈R)．【答案】(1)－7＋7i.(2)－10i.(3)3a＋(4－2b)i.【解析】(1)(－3＋2i)－(4－5i)＝(－3－4)＋[2－(－5)]i＝－7＋7i.(2)(5－6i)＋(－2－2i)－(3＋2i)＝[5＋(－2)－3]＋[(－6)＋(－2)－2]i＝－10i.(3)(a＋bi)＋(2a－3bi)＋4i＝(a＋2a)＋(b－3b＋4)i＝3a＋(4－2b)i.解題技巧（復(fù)數(shù)加減運(yùn)算技巧）(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是將實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部，因此要準(zhǔn)確地提取復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部．(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算(類似于合并同類項(xiàng))：若有括號(hào)，括號(hào)優(yōu)先；若無(wú)括號(hào)，可以從左到右依次進(jìn)行計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練一1．計(jì)算：(1)2i－[3＋2i＋3(－1＋3i)]；(2)(a＋2bi)－(3a－4bi)－5i(a，b∈R)．【答案】(1)－9i.(2)－2a＋(6b－5)i.【解析】(1)原式＝2i－(3＋2i－3＋9i)＝2i－11i＝－9i.(2)原式＝－2a＋6bi－5i＝－2a＋(6b－5)i.題型二復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義例2根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求復(fù)平面內(nèi)的兩點(diǎn)Z1x1【答案】Z1【解析】因?yàn)閺?fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z1x1,y所以Z1,==解題技巧：(運(yùn)用復(fù)數(shù)加、減法運(yùn)算幾何意義注意事項(xiàng))向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)．注意向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB－zA(終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù))．跟蹤訓(xùn)練二1、已知四邊形ABCD是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點(diǎn)A，B，C分別對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)－5－2i，－4＋5i,2，求點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)及對(duì)角線AC，BD的長(zhǎng)．【答案】D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長(zhǎng)分別是eq\r(53)和13.【解析】如圖，因?yàn)锳C與BD的交點(diǎn)M是各自的中點(diǎn)，所以有zM＝eq\f(zA＋zC,2)＝eq\f(zB＋zD,2)，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因?yàn)閑q\o(AC,\s\up17(→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|eq\o(AC,\s\up17(→))|＝|7＋2i|＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，因?yàn)閑q\o(BD,\s\up17(→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|eq\o(BD,\s\up17(→))|＝|5－12i|＝eq\r(52＋122)＝13.故點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長(zhǎng)分別是eq\r(53)和13.題型三復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算幾何意義的應(yīng)用例3已知z∈C，且|z＋3－4i|＝1，求|z|的最大值與最小值．【答案】|z|max＝6，|z|min＝4.【解析】由于|z＋3－4i|＝|z－(－3＋4i)|＝1，所以在復(fù)平面上，復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z與復(fù)數(shù)－3＋4i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)C之間的距離等于1，故復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z的軌跡是以C(－3,4)為圓心，半徑等于1的圓．而|z|表示復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的距離，又|OC|＝5，所以點(diǎn)Z到原點(diǎn)O的最大距離為5＋1＝6，最小距離為5－1＝4.即|z|max＝6，|z|min＝4.解題技巧（復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算幾何意義的解題技巧）(1)|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離，在應(yīng)用時(shí)，要把絕對(duì)值號(hào)內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓．(3)涉及復(fù)數(shù)模的最值問(wèn)題以及點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，均可從兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過(guò)幾何方法進(jìn)行求解．跟蹤訓(xùn)練三1．設(shè)z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝eq\r(2)，求|z1－z2|.【答案】|z1－z2|＝eq\r(2).【解析】設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，由題設(shè)知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2，又(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2，可得2ac＋2bd＝0.∴|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝eq\r(2).五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)7.27.2.1復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及其幾何意義1.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算例1例2例32.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算的幾何意義七、作業(yè)課本77頁(yè)練習(xí)，80頁(yè)習(xí)題7.2的1、2題.【教學(xué)反思】本節(jié)課主要是在學(xué)生了解復(fù)數(shù)的概念及其幾何意義的基礎(chǔ)上，類比實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則探討得出復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則，類比平面向量的加減運(yùn)算法則探討得出復(fù)數(shù)加減的幾何意義，使學(xué)生對(duì)知識(shí)更加融會(huì)貫通.7.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算【教材分析】復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章的重點(diǎn)，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，不同的是即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是通過(guò)分子分母同時(shí)乘分母的共軛復(fù)數(shù)，將分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算而得出的.滲透了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思想的素材.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)：1.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算；2.理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對(duì)加法的分配律;3.理解且會(huì)求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)乘法、除法運(yùn)算法則;2.邏輯推理：復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算律的推導(dǎo);3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)四則運(yùn)算;4.數(shù)學(xué)建模：結(jié)合實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求根公式和復(fù)數(shù)四則運(yùn)算，解決復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問(wèn)題.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算．難點(diǎn)：求復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入前面學(xué)習(xí)了復(fù)數(shù)的加法、減法運(yùn)算，根據(jù)多項(xiàng)式的乘法、除法運(yùn)算法則猜測(cè)復(fù)數(shù)的乘法、除法滿足何種運(yùn)算法則？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本77-79頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、復(fù)數(shù)乘法、除法的運(yùn)算法則是什么？2、復(fù)數(shù)乘法的多項(xiàng)式運(yùn)算與實(shí)數(shù)的多項(xiàng)式運(yùn)算法則是否相同？如何應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)解決問(wèn)題？要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則已知z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.[提示]復(fù)數(shù)的乘法與多項(xiàng)式乘法是類似的，有一點(diǎn)不同即必須在所得結(jié)果中把i2換成－1，再把實(shí)部、虛部分別合并．2.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)于任意z1，z2，z3∈C，有交換律z1·z2＝z2·z1結(jié)合律(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)乘法對(duì)加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1·z2＋z1·z33．復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則(a＋bi)÷(c＋di)＝eq\f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq\f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例1計(jì)算下列各題．(1)(1－2i)(3＋4i)(－2＋i)；(2)(2－3i)(2＋3i)；(3)（1+i）2.【答案】(1)－20＋15i.(2)13.(3)2i.【解析】(1)原式=(11－2i)(-2＋i)＝-20＋15i.(2)原式=(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i＝4－9i2＝4+9＝13.(3)原式＝1＋2i＋i2＝1＋2i－1＝2i.解題技巧（復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算技巧）1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開(kāi)．(2)再將i2換成－1.(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡(jiǎn)為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式(1)(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi(a，b∈R)．(2)(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)．(3)(1±i)2＝±2i.跟蹤訓(xùn)練一1．計(jì)算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝ ()A．2－13i B．13＋2iC．13－13i D．－13－2i【答案】D.【解析】(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.2．若復(fù)數(shù)(1－i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A．(－∞，1) B．(－∞，－1)C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)【答案】B.【解析】因?yàn)閦＝(1－i)(a＋i)＝a＋1＋(1－a)i，所以它在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1,1－a)，又此點(diǎn)在第二象限，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋1＜0，,1－a＞0，))解得a＜－1.題型二復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算例2計(jì)算(1＋2i)÷(3－4i).【答案】-【解析】原式解題技巧：(復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算技巧)1．兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟(1)首先將除式寫(xiě)為分式；(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)；(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．2．常用公式(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.跟蹤訓(xùn)練二1．復(fù)數(shù)z＝eq\f(1,1＋i)(i為虛數(shù)單位)，則|z|＝________.【答案】eq\f(\r(2),2).【解析】∵z＝eq\f(1,1＋i)＝＝eq\f(1－i,2)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i，∴|z|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2)＝eq\f(\r(2),2).2．計(jì)算：eq\f(1＋i4＋3i,2－i1－i)＝________.【答案】－2＋i.【解析】＝eq\f(1＋7i,1－3i)＝＝－2＋i.題型三復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的方程根問(wèn)題例3在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解下列方程：（1）；（2），其中，且．【答案】（1）方程的根為．（2）方程的根為．【解析】（1）因?yàn)?，所以方程的根為．?）將方程配方，得，．所以原方程的根為．解題技巧（解決復(fù)數(shù)方程根問(wèn)題的技巧）與復(fù)數(shù)方程有關(guān)的問(wèn)題，一般是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件，把復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化進(jìn)行求解．根與系數(shù)的關(guān)系仍適用，但判別式“Δ”不再適用．跟蹤訓(xùn)練三1、已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一個(gè)根(b，c為實(shí)數(shù))．(1)求b，c的值；(2)試判斷1－i是否是方程的根．【答案】(1)b＝－2，c＝2.(2)1－i也是方程的一個(gè)根．【解析】(1)因?yàn)?＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝0，,2＋b＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝2.))∴b＝－2，c＝2.(2)將方程化為x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左邊x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，顯然方程成立，∴1－i也是方程的一個(gè)根．五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)7.27.2.2復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算1.復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算例1例2例32.復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律3.復(fù)數(shù)的除法七、作業(yè)課本80頁(yè)練習(xí)，80頁(yè)習(xí)題7.2的剩余題.【教學(xué)反思】本節(jié)課主要是在學(xué)生了解復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算及共軛復(fù)數(shù)的基礎(chǔ)上，類比多項(xiàng)式的乘除運(yùn)算法則探討得出復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則，使學(xué)生對(duì)知識(shí)更加融會(huì)貫通.尤其在例3，使學(xué)生對(duì)方程的根有了更深刻的認(rèn)識(shí).7.3.1復(fù)數(shù)的三角表示式【教材分析】《復(fù)數(shù)的三角形式》是復(fù)數(shù)這一章中的一個(gè)重要內(nèi)容，引進(jìn)復(fù)數(shù)三角式的依據(jù)是復(fù)數(shù)的幾何意義和三角函數(shù)的定義，它是數(shù)形結(jié)合的產(chǎn)物，有了它就可借助三角知識(shí)幫助處理復(fù)數(shù)的一些問(wèn)題.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)：1.掌握復(fù)數(shù)的三角形式，熟練進(jìn)行兩種形式的轉(zhuǎn)化;?2.培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化，推理及運(yùn)算能力;3.通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)知識(shí)，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)美與圖形美.數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)1.數(shù)學(xué)抽象：復(fù)數(shù)三角表示的理解;2.直觀想象：復(fù)數(shù)的輻角及輻角的主值的含義;3.數(shù)學(xué)運(yùn)算：復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的轉(zhuǎn)化.【教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)】重點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角表達(dá)式的理解及其與代數(shù)表達(dá)式之間的互化．難點(diǎn)：復(fù)數(shù)三角表達(dá)式的理解.【教學(xué)過(guò)程】一、情景導(dǎo)入提問(wèn)：1、如圖，角θ的終邊上一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P到原點(diǎn)O的距離|OP|＝r，那么怎樣用角θ和r表示x，y?2、我們知道，復(fù)數(shù)可以用a＋bi(a，b∈R)的形式來(lái)表示，復(fù)數(shù)a＋bi與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)一一對(duì)應(yīng)，與平面向量eq\o(OZ,\s\up15(→))＝(a，b)也是一一對(duì)應(yīng)的，如圖，你能用向量eq\o(OZ,\s\up15(→))的模r和以x軸的非負(fù)半軸為始邊，以向量eq\o(OZ,\s\up15(→))所在射線(射線OZ)為終邊的角θ來(lái)表示復(fù)數(shù)z嗎？要求：讓學(xué)生自由發(fā)言，教師不做判斷。而是引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步觀察.研探.二、預(yù)習(xí)課本，引入新課閱讀課本83-85頁(yè)，思考并完成以下問(wèn)題1、什么是輻角，輻角的主值用什么表示？取值范圍是多少？2、復(fù)數(shù)的三角形式是怎樣定義的?又有什么特點(diǎn)？3、兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件是什么?要求：學(xué)生獨(dú)立完成，以小組為單位，組內(nèi)可商量，最終選出代表回答問(wèn)題。三、新知探究1.復(fù)數(shù)的輻角以x軸的正半軸為始邊、向量OZ所在的射線為終邊的角，叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的輻角。適合于0≤θ<2π的輻角θ的值，叫輻角的主值。記作：argz,即0≤argz<2π.2.復(fù)數(shù)的三角表達(dá)式一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ+isinθ)的形式．其中，r是復(fù)數(shù)的模；θ是復(fù)數(shù)z＝a＋bi的輻角．r(cosθ+isinθ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡(jiǎn)稱三角形式．為了與三角形式區(qū)分開(kāi)來(lái)a+bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡(jiǎn)稱代數(shù)形式．注意：復(fù)數(shù)三角形式的特點(diǎn)模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連3、兩個(gè)用三角形式表示的復(fù)數(shù)相等的充要條件：兩個(gè)非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們模與輻角的主值分別相等．四、典例分析、舉一反三題型一復(fù)數(shù)的三角形式例1下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．(1)z1＝cos60°＋isin30°；(2)z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))；(3)z3＝－sinθ＋icosθ.【答案】(1)z1＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)z2＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5)).(3)z3＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).【解析】(1)由“角相同”知，不是三角形式．z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)i，模r＝eq\r(\f(1,2)2＋\f(1,2)2)＝eq\f(\r(2),2)，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，與z1對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以取θ＝eq\f(π,4).即z1＝cos60°＋isin30°＝eq\f(\r(2),2)(coseq\f(π,4)＋isineq\f(π,4))．(2)由“加號(hào)連”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z2(2coseq\f(π,5)，－2sineq\f(π,5))在第四象限，不需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“2π－eq\f(π,5)”變換到第四象限．所以z2＝2(coseq\f(π,5)－isineq\f(π,5))＝2[(cos(2π－eq\f(π,5))＋isin(2π－eq\f(π,5))]＝2(coseq\f(9π,5)＋isineq\f(9π,5))．(3)由“余弦前”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z3(－sinθ，cosθ)在第二象限(假定θ為銳角)，需要改變?nèi)呛瘮?shù)名稱，可用誘導(dǎo)公式“eq\f(π,2)＋θ”將θ變換到第二象限．所以z3＝－sinθ＋icosθ＝cos(eq\f(π,2)＋θ)＋isin(eq\f(π,2)＋θ).解題技巧（復(fù)數(shù)三角形式的判斷依據(jù)和變形步驟）(1)判斷依據(jù)：三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．(2)變形步驟：首先確定復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在象限(此處可假定θ為銳角)，其次判斷是否要變換三角函數(shù)名稱，最后確定輻角．此步驟可簡(jiǎn)稱為“定點(diǎn)→定名→定角”.跟蹤訓(xùn)練一1．下列復(fù)數(shù)是不是三角形式？若不是，把它們表示成三角形式．(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)；(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)；(3)z3＝－2(cosθ＋isinθ)．【答案】(1)是三角形式．(2)z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)z3＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．【解析】(1)z1＝2(coseq\f(11,12)π＋isineq\f(11,12)π)符合三角形式的結(jié)構(gòu)特征，是三角形式．(2)由“加號(hào)連”知，不是三角形式．z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝－eq\f(1,4)－eq\f(\r(3),4)i，模r＝eq\f(1,2)，cosθ＝－eq\f(1,2).復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以取θ＝eq\f(4,3)π，即z2＝eq\f(1,2)(coseq\f(2,3)π－isineq\f(2,3)π)＝eq\f(1,2)(coseq\f(4,3)π＋isineq\f(4,3)π)．(3)由“模非負(fù)”知，不是三角形式．復(fù)平面上的點(diǎn)Z1(－2cosθ，－2sinθ)在第三象限(假定θ為銳角)，余弦“－cosθ”已在前，不需要變換三角函數(shù)名稱，因此可用誘導(dǎo)公式“π＋θ”將θ變換到第三象限．所以z3＝－2(cosθ＋isinθ)＝2[cos(π＋θ)＋isin(π＋θ)]．題型二復(fù)數(shù)的代數(shù)形式表示成三角形式例2畫(huà)出下列復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成三角形式：（1）；（2）.【答案】（1）作圖見(jiàn)解析;（2）作圖見(jiàn)解析;【解析】（1）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以.于是.（2）復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量如圖所示，則.因?yàn)榕c對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以.于是.當(dāng)然，把一個(gè)復(fù)數(shù)表示成三角形式時(shí)，輻角不一定取主值.例如也是的三角形式.解題技巧：(復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟)(1)先求復(fù)數(shù)的模；(2)決定輻角所在的象限；(3)根據(jù)象限求出輻角(常取它的主值)；(4)寫(xiě)出復(fù)數(shù)的三角形式．跟蹤訓(xùn)練二1．把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式：(1)1；(2)－2i；(3)eq\r(3)－i;(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))．【答案】(1)1＝cos0＋isin0.(2)－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．【解析】(1)r＝1，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在x軸的正半軸上，所以arg(1)＝0.所以1＝cos0＋isin0.(2)r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，所以arg(－2i)＝eq\f(3π,2).所以－2i＝2(coseq\f(3π,2)＋isineq\f(3π,2))．(3)r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，且cosθ＝eq\f(\r(3),2)，所以取θ＝－eq\f(π,6).所以eq\r(3)－i＝2[cos(－eq\f(π,6))＋isin(－eq\f(π,6))]．(4)－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝－eq\r(2)＋eq\r(2)i，r＝2，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，且cosθ＝－eq\f(\r(2),2)，所以取θ＝eq\f(3π,4).所以－2(sineq\f(3π,4)＋icoseq\f(3π,4))＝2(coseq\f(3π,4)＋isineq\f(3π,4))．題型三把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式例3分別指出下列復(fù)數(shù)的模和一個(gè)輻角，畫(huà)出它們對(duì)應(yīng)的向量，并把這些復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：（1）；（2）.【答案】（1）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，作圖見(jiàn)解析,（2）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，作圖見(jiàn)解析,【解析】（1）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示.所以.（2）復(fù)數(shù)的模，一個(gè)輻角，對(duì)應(yīng)的向量如圖所示.所以.解題技巧（把復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式的注意事項(xiàng)）（1）類似三角形式的復(fù)數(shù)求模和輻角時(shí)，注意三角形式的結(jié)構(gòu)特征：模非負(fù)，角相同，余弦前，加號(hào)連．（2）由三角形式表示成代數(shù)形式，直接求出角的三角函數(shù)值，化簡(jiǎn)即可．跟蹤訓(xùn)練三1．把下列復(fù)數(shù)表示成代數(shù)形式：(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))；(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]；(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)．【答案】(1)z1＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝－2i.(3)z3＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.【解析】(1)z1＝3(coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6))＝3×eq\f(\r(3),2)＋3×eq\f(1,2)i＝eq\f(3\r(3),2)＋eq\f(3,2)i.(2)z2＝2[cos(－eq\f(π,2))＋isin(－eq\f(π,2))]＝2×0＋2×(－1)i＝－2i.(3)z3＝5(cos135°＋isin135°)＝5×(－eq\f(\r(2),2))＋5×eq\f(\r(2),2)i＝－eq\f(5\r(2),2)＋eq\f(5\r(2),2)i.五、課堂小結(jié)讓學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)主要知識(shí)及解題技巧六、板書(shū)設(shè)計(jì)7.37.3.1復(fù)數(shù)的三