2023-2024學(xué)年深圳市南山區(qū)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一?？荚嚲砀酱鸢附馕?/h1>

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-2024學(xué)年深圳市南山區(qū)高三數(shù)學(xué)下學(xué)期一模考試卷考試時間：120分鐘；滿分：150分；一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量，且，則m=A．?8B．?6C．6D．82．已知，是兩個不同的平面，m，n是兩條不同的直線，則下列說法正確的是（

）A．若，，，則 B．若，，，則C．若，，，則 D．若，，，則3．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，則（

）A．60 B．120 C．180 D．2404．將一枚質(zhì)地均勻的骰子連續(xù)拋擲6次，得到的點(diǎn)數(shù)分別為，則這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4的概率為（

）A． B． C． D．5．已知函數(shù)的最小正周期為，則在區(qū)間上的最大值為（

）A． B．1 C． D．26．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝5，c＝2acosA，則cosA＝（）A． B． C． D．7．已知，是橢圓的兩個焦點(diǎn)，雙曲線的一條漸近線與交于，兩點(diǎn).若，則的離心率為（

）A．B．C． D．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，是偶函?shù)，是奇函數(shù)，則的最小值為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某服裝公司對1-5月份的服裝銷量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如下：月份編號x12345銷量y（萬件）5096142185227若與線性相關(guān)，其線性回歸方程為，則下列說法正確的是（

）A．線性回歸方程必過 B．C．相關(guān)系數(shù) D．6月份的服裝銷量一定為272.9萬件10．設(shè)，為復(fù)數(shù)，下列命題中正確的是（）A．B．若，則與中至少有一個是0C．若，則D．11．已知圓C：，則下列命題是真命題的是（

）A．若圓關(guān)于直線對稱，則B．存在直線與所有的圓都相切C．當(dāng)時，為圓上任意一點(diǎn)，則的最大值為D．當(dāng)時，直線為直線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，，則最小值為4三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.13．已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為4的半圓.若用平行于圓錐的底面，且與底面的距離為的平面截圓錐，將此圓錐截成一個小圓錐和一個圓臺，則小圓錐和圓臺的體積之比為.14．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且滿足對任意都成立，則能使成立的正整數(shù)的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.請?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知函數(shù)，a，．若在處與直線相切．(1)求a，b的值；(2)求在（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）上的最大值和最小值．16．如圖，在圓錐中，是圓的直徑，且是邊長為4的等邊三角形，為圓弧的兩個三等分點(diǎn)，是的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.17．某6人小組利用假期參加志愿者活動，已知參加志愿者活動次數(shù)為2，3，4的人數(shù)分別為1，3，2，現(xiàn)從這6人中隨機(jī)選出2人作為該組的代表參加表彰會．(1)求選出的2人參加志愿者活動次數(shù)相同的概率；(2)記選出的2人參加志愿者活動次數(shù)之和為X，求X的分布列和期望．18．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在拋物線C上，（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）的面積為4．(1)求a；(2)若直線l與拋物線C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，且直線PA，PB的斜率之和為，證明：直線l過定點(diǎn)，并求出此定點(diǎn)坐標(biāo)．19．對于給定的正整數(shù)n，記集合，其中元素稱為一個n維向量．特別地，稱為零向量．設(shè)，，，定義加法和數(shù)乘：，．對一組向量，，…，（，），若存在一組不全為零的實(shí)數(shù)，，…，，使得，則稱這組向量線性相關(guān)．否則，稱為線性無關(guān)．(1)對，判斷下列各組向量是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．①，；②，，；③，，，．(2)已知向量，，線性無關(guān)，判斷向量，，是線性相關(guān)還是線性無關(guān)，并說明理由．(3)已知個向量，，…，線性相關(guān)，但其中任意個都線性無關(guān)，證明下列結(jié)論：①如果存在等式（，），則這些系數(shù)，，…，或者全為零，或者全不為零；②如果兩個等式，（，，）同時成立，其中，則．1．D【分析】由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo)，再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案．【詳解】∵，又，∴3×4+（﹣2）×（m﹣2）＝0，解得m＝8．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．2．A【分析】由空間中線線、線面、面面之間的位置關(guān)系逐一判定各選項(xiàng)即可.【詳解】若，，設(shè)對應(yīng)法向量分別為，也是m,n的方向向量，由，即，則，故A正確；若，，，則與可能平行或相交，故B錯誤；若，，，則，或，或n與相交，故C錯誤；若，，則，又，則或，D錯誤.故選：A3．B【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式運(yùn)算.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，所以．故選：B.4．A【分析】根據(jù)的六種取值情況分別得出中位數(shù)，再利用古典概型概率公式即得.【詳解】當(dāng)時，這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為3，當(dāng)時，這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4，當(dāng)時，這6個點(diǎn)數(shù)的中位數(shù)為4.5，故由古典概型概率公式可得：.故選：A.5．C【分析】由周期公式求得，結(jié)合換元法即可求得最大值.【詳解】由題意，解得，所以，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：C.6．D【分析】由已知結(jié)合余弦定理進(jìn)行化簡即可求解.【詳解】解：因?yàn)閏＝2acosA，由余弦定理可得，將a＝3，b＝5代入整理得，所以.故選：D.7．D【分析】根據(jù)雙曲線漸近線方程可得，可得，再結(jié)合橢圓定義及離心率公式可得解.【詳解】如圖所示，由已知，則一條漸近線，即，又，即，且四邊形為矩形，所以，則，又根據(jù)橢圓定義可知，所以離心率，故選：D.8．B【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義可求得函數(shù)的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，即，①又因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，即，②聯(lián)立①②可得，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，故函數(shù)的最小值為.故選：B.9．AB【分析】對于A，由回歸直線過樣本中心點(diǎn)判斷，對于B，將樣本中心點(diǎn)代入回歸方程求解，對于C，由的值分析判斷，對于D，將代入回歸方程求解.【詳解】對于A，因?yàn)?，所以線性回歸方程必過，所以A正確；對于B，由線性回歸直線必過，所以，解得，所以B正確；對于C，因?yàn)?，所以相關(guān)系數(shù)，所以C錯誤；對于D，當(dāng)時，，所以可預(yù)測6月份的服裝銷量約為272.9萬件，所以D錯誤．故選：AB．10．ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算對選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，則，A選項(xiàng)正確.若，則，則或，所以與中至少有一個是0，B選項(xiàng)正確.若，則可能，C選項(xiàng)錯誤.，，D選項(xiàng)正確.故選：ABD11．BCD【分析】根據(jù)圓關(guān)于直線對稱，得得值，檢驗(yàn)半徑是否大于零，即可判斷A；根據(jù)直線與圓相切的充要條件判斷B；根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系確定的最值即可判斷C；根據(jù)直線與圓相切的切線長與切點(diǎn)弦關(guān)系可判斷D.【詳解】解：圓C：，整理得：，所以圓心，半徑，則對于A，若圓關(guān)于直線對稱，則直線過圓心，所以，得，又時，，方程不能表示圓，故A是假命題；對于B，對于圓，圓心為，半徑，則，當(dāng)直線為時，圓心到直線的距離，故存在直線，使得與所有的圓相切，故B是真命題；對于C，當(dāng)時，圓的方程為，圓心為，半徑由于為圓上任意一點(diǎn)，設(shè)，則式子可表示直線，此時表示直線的縱截距，故當(dāng)直線與圓相切時，可確定的取值范圍,于是圓心到直線的距離，解得或，則，所以的最大值為，故C為真命題；對于D，圓的方程為，圓心為，半徑，如圖，連接，因?yàn)橹本€與圓相切，所以，且可得，又，所以，且平分，所以，則，則最小值即的最小值，即圓心到直線的距離，所以的最小值為，故D為真命題.故選：BCD.12．【分析】由題意，若，則，求解即可【詳解】由題意，集合，集合若則，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍為故答案為：13．##1:7【分析】由題意，根據(jù)圓錐側(cè)面積計(jì)算公式，求的圓錐底面半徑、母線，結(jié)合三角形相似即可求出小圓錐和圓臺的體積之比.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，母線長為，由題意，，，故，作圓錐軸截面如下圖：所以，，，所以圓錐體積為，因?yàn)橛门c底面的距離為的平面截圓錐，故，且，所以小圓錐體積，所以圓臺的體積，故小圓錐和圓臺的體積之比為.故答案為：14．【分析】由已知等式可得或，首先求出數(shù)列為等差數(shù)列或等比數(shù)列時正整數(shù)的值，然后再討論為等差和等比交叉數(shù)列，要使的值最小，可利用遞推關(guān)系式所滿足的規(guī)律進(jìn)行推導(dǎo)得出結(jié)果.【詳解】根據(jù)可知或；當(dāng)時，數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列；所以，則，可得；當(dāng)時，數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；所以，則，解得，不合題意，舍去；若數(shù)列為等差和等比交叉數(shù)列，又易知；若要使的值最小，則，，，，，，，，，，，，，，，，，，此時，即；故正整數(shù)的最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查根據(jù)數(shù)列中的規(guī)律求解數(shù)列中的項(xiàng)的問題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)遞推關(guān)系式討論若數(shù)列為等差和等比各項(xiàng)交叉所得的數(shù)列，若要使的值最小，則需盡可能利用對數(shù)列中的項(xiàng)進(jìn)行縮減，進(jìn)而利用首項(xiàng)求出的值.15．(1)，(2)，【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意可得，即可求出、的值；（2）由（1）可得的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極小值，再求出區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，即可得解；【詳解】（1）解：函數(shù)，，函數(shù)在處與直線相切，，解得；（2）解：由（1）可得，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極大值即最大值，所以，又，所以16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，由題意可證得，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.求出平面與平面的法向量，由二面角的向量公式求解即可.【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接.因?yàn)闉閳A弧的兩個三等分點(diǎn)，所以.因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，則，從而四邊形為平行四邊形，故.因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，，則.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面的法向量為，則令，得.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則.故平面與平面所成銳二面角的余弦值為.17．(1)；(2)分布列見解析，.【分析】（1）利用古典概率公式即求；（2）由題可知X的可能取值為5，6，7，8，然后利用求分布列的步驟及期望公式即得.【詳解】（1）從這6人中隨機(jī)選出2人，共有種選法，其中這2人參加志愿者活動次數(shù)相同的選法有種．，故選出的2人參加志愿者活動次數(shù)相同的概率為．（2）由題可知，X的可能取值分別為5，6，7，8，，，，．故X的分布列為：X5678P∴．18．(1)；(2)證明見解析，定點(diǎn)．【分析】（1）利用題給條件列出關(guān)于a的方程，解之即可求得a的值；（2）先設(shè)出直線l的方程，并與拋物線方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法求得的關(guān)系，進(jìn)而求得直線l過定點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線C上，所以，即，因?yàn)榈拿娣e為4，所以，解得，所以．（2）由（1）得，．當(dāng)直線l斜率為0時，不適合題意；當(dāng)直線l斜率不為0時，設(shè)直線，設(shè)，，由，得，則，，，因?yàn)橹本€PA，PB的斜率之和為，所以，即，所以，所以，整理得，所以直線，令，解之得，所以直線l過定點(diǎn)．19．(1)①線性相關(guān)，②線性相關(guān)，③線性相關(guān)(2)向量，，線性無關(guān)，理由見解析(3)證明見