數(shù)學(xué)建模課件

初等模型2.1公平的席位分配2.2錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途2.3雙層玻璃窗的功效2.4汽車剎車距離2.5劃艇比賽的成績(jī)2.6實(shí)物交換2.7核軍備競(jìng)賽2.8啟帆遠(yuǎn)航2.9量綱分析與無(wú)量綱化一.比例代表制例：有A、B、C、D四個(gè)政黨，代表50萬(wàn)選民，各政黨的選民數(shù)為：

A黨：199,000B黨：127,500C黨：124,000D黨：49,500要選出5名代表：

A黨：2席B黨：1席

C黨：1席D黨：0席缺少1席，如何分配這最后一席呢？

2.1

公平的席位分配1、大余數(shù)法按每10萬(wàn)選民1席分配后，按余數(shù)大小排序，多余的席位分給余數(shù)較大的各黨。黨名代表選民數(shù)整數(shù)席余數(shù)余額席總席數(shù)

A199,000199,00012B127,500127,50001C124,000124,00001D49,500049,500112.1

公平的席位分配2、洪德(d

Hondt)規(guī)則分配辦法是：把各黨代表的選民數(shù)分別被1、2、3、…除，按所有商數(shù)的大小排序，席位按此次序分配。即若A黨的人數(shù)比D黨的人數(shù)還多，那么給A黨3席、給D黨0席也是合理的。除數(shù)A黨B黨C黨D黨1199,000(1)127,500(2)124,000(3)49,500299,500(4)63,75062,00024,750366,333(5)42,50041,33316,500449,75031,875－－總席位31102.1

公平的席位分配3、北歐折衷方案作法與洪德規(guī)則類似，所采用的除數(shù)依次為1.4、3、5、7、…

A黨B黨C黨D黨

2

2

1

0三種分配方案，得到了完全不同的結(jié)果，最大余數(shù)法顯然對(duì)小黨比較有利，洪德規(guī)則則偏向最大的黨，北歐折衷方案對(duì)最大和最小黨都不利2.1

公平的席位分配二．份額分配法(QuotaMethod)一種以“相對(duì)公平”為標(biāo)準(zhǔn)的席位分配方法，來(lái)源于著名的“阿拉巴瑪悖論”(AlabamaParadox)。美國(guó)憲法第1條第2款對(duì)議會(huì)席位分配作了明確規(guī)定，議員數(shù)按各州相應(yīng)的人數(shù)進(jìn)行分配。最初議員數(shù)只有65席，因?yàn)樽h會(huì)有權(quán)改變它的席位數(shù)，到1910年，議會(huì)增加到435席。憲法并沒(méi)有規(guī)定席位的具體分配辦法，因此在1881年，當(dāng)考慮重新分配席位時(shí)，發(fā)現(xiàn)用當(dāng)時(shí)的最大余數(shù)分配方法，阿拉巴瑪州在299個(gè)席位中獲得8個(gè)議席，而當(dāng)總席位增加為300席時(shí)，它卻只能分得7個(gè)議席。這一怪事被稱為有名的“阿拉巴瑪悖論”。2.1

公平的席位分配

某校有200名學(xué)生，甲系100名，乙系60名，丙系40名，若學(xué)生代表會(huì)議設(shè)20個(gè)席位，問(wèn)三系各有多少個(gè)席位？按慣例分配席位方案，即按人數(shù)比例分配原則

表示某單位的席位數(shù)

表示某單位的人數(shù)

表示總?cè)藬?shù)

表示總席位數(shù)1問(wèn)題的提出2.1

公平的席位分配問(wèn)題20個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲100100/200(50/100)?20=10乙6060/200(30/100)?20=6丙4040/200(20/100)?20=4現(xiàn)丙系有6名學(xué)生分別轉(zhuǎn)到甲、乙系各3名。系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?20=10.3乙6363/200=31.5%31.5%?20=6.3丙3434/200=17.0%17.0%?20=3.410641064現(xiàn)象1

丙系雖少了6人，但席位仍為4個(gè)。（不公平?。榱嗽诒頉Q提案時(shí)可能出現(xiàn)10：10的平局，再設(shè)一個(gè)席位。21個(gè)席位的分配結(jié)果系別人數(shù)所占比例分配方案席位數(shù)甲103103/200=51.5%51.5%?21=10.815乙6363/200=31.5%31.5%?21=6.615丙3434/200=17.0%17.0%?21=3.5701173現(xiàn)象2

總席位增加一席，丙系反而減少一席。（不公平！）慣例分配方法：按比例分配完取整數(shù)的名額后，剩下的名額按慣例分給小數(shù)部分較大者。存在不公平現(xiàn)象，能否給出更公平的分配席位的方案？2建模分析目標(biāo)：建立公平的分配方案。反映公平分配的數(shù)量指標(biāo)可用每席位代表的人數(shù)來(lái)衡量。系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10310103/10=10.3中乙63663/6=10.5差丙34434/4=8.5好系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)甲10010100/10=10乙60660/6=10丙40440/4=10系別人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)公平程度甲10311103/11=9.36中乙63763/7=9好丙34334/3=11.33差一般地，單位人數(shù)席位數(shù)每席位代表的人數(shù)AB當(dāng)席位分配公平但通常不一定相等，席位分配的不公平程度用以下標(biāo)準(zhǔn)來(lái)判斷。此值越小分配越趨于公平，但這并不是一個(gè)好的衡量標(biāo)準(zhǔn)。單位人數(shù)p席位數(shù)n每席位代表的人數(shù)絕對(duì)不公平標(biāo)準(zhǔn)A120101212-10=2B1001010C102010102102-100=2D100010100C,D的不公平程度大為改善！2）相對(duì)不公平表示每個(gè)席位代表的人數(shù)，總?cè)藬?shù)一定時(shí)，此值越大，代表的人數(shù)就越多，分配的席位就越少。則A吃虧,或?qū)是不公平的。定義“相對(duì)不公平”對(duì)A的相對(duì)不公平值；同理，可定義對(duì)B的相對(duì)不公平值為：對(duì)B的相對(duì)不公平值；建立了衡量分配不公平程度的數(shù)量指標(biāo)制定席位分配方案的原則是使它們的盡可能的小。3建模若A、B兩方已占有席位數(shù)為用相對(duì)不公平值討論當(dāng)席位增加1個(gè)時(shí)，應(yīng)該給A還是B方。不失一般性，有下面三種情形。情形1說(shuō)明即使給A單位增加1席，仍對(duì)A不公平，所增這一席必須給A單位。情形2說(shuō)明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給A單位增加1席，對(duì)B又不公平。計(jì)算對(duì)B的相對(duì)不公平值情形3說(shuō)明當(dāng)對(duì)A不公平時(shí)，給B單位增加1席，對(duì)A不公平。計(jì)算對(duì)A的相對(duì)不公平值則這一席位給A單位，否則給B單位。結(jié)論：當(dāng)（*）成立時(shí)，增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給A單位，反之，應(yīng)分配給B單位。記則增加的一個(gè)席位應(yīng)分配給Q值較大的一方。這樣的分配席位的方法稱為Q值方法。若A、B兩方已占有席位數(shù)為4推廣有m方分配席位的情況設(shè)方人數(shù)為，已占有個(gè)席位，當(dāng)總席位增加1席時(shí)，計(jì)算則1席應(yīng)分給Q值最大的一方。從開始，即每方至少應(yīng)得到以1席，（如果有一方1席也分不到，則把它排除在外。）5舉例甲、乙、丙三系各有人數(shù)103，63，34，有21個(gè)席位，如何分配？按Q值方法：甲1乙1丙1456789101112131415161718192021甲：11，乙：6，丙：4練習(xí)：學(xué)校共1000學(xué)生，235人住在A樓，333人住在B樓，432住在C樓。學(xué)生要組織一個(gè)10人委員會(huì)，試用慣例分配方法，d’Hondt方法和Q值方法分配各樓的委員數(shù)，并比較結(jié)果。思考題：現(xiàn)有外形相同的１2個(gè)球，其中有一個(gè)的重量與其他11個(gè)不同。請(qǐng)用一架天平稱三次，將那個(gè)不同的球找出來(lái)。d’Hondt方法有k個(gè)單位，每單位的人數(shù)為pi

，總席位數(shù)為n。做法：用自然數(shù)1,2,3,…分別除以每單位的人數(shù)，從所得的數(shù)中由大到小取前n個(gè)，（這n個(gè)數(shù)來(lái)自各個(gè)單位人數(shù)用自然數(shù)相除的結(jié)果），這n個(gè)數(shù)中哪個(gè)單位有幾個(gè)所分席位就為幾個(gè)。進(jìn)一步的討論Q值方法比“比例加慣例”方法更公平嗎？席位分配的理想化準(zhǔn)則已知:m方人數(shù)分別為

p1,p2,…,pm,記總?cè)藬?shù)為P=p1+p2+…+pm,待分配的總席位為N。設(shè)理想情況下m方分配的席位分別為n1,n2,…,nm(自然應(yīng)有n1+n2+…+nm=N)，記qi=Npi/P,i=1,2,…,m,ni應(yīng)是N和p1,…,pm

的函數(shù)，即ni

=ni(N,p1,…,pm)若qi

均為整數(shù)，顯然應(yīng)ni=qi

qi=Npi/P不全為整數(shù)時(shí)，ni

應(yīng)滿足的準(zhǔn)則：記[qi]–=floor(qi)~向

qi方向取整；[qi]+=ceil(qi)~向

qi方向取整.1)[qi]–

ni

[qi]+(i=1,2,…,m),2)ni

(N,p1,…,pm)

ni

(N+1,p1,…,pm)(i=1,2,…,m)

即ni必取[qi]–,[qi]+之一即當(dāng)總席位增加時(shí)，ni不應(yīng)減少“比例加慣例”方法滿足1），但不滿足2）Q值方法滿足2）,但不滿足1）。令人遺憾！問(wèn)題在一次使用中錄像帶已經(jīng)轉(zhuǎn)過(guò)大半，計(jì)數(shù)器讀數(shù)為4450，問(wèn)剩下的一段還能否錄下1小時(shí)的節(jié)目？2.2

錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的用途經(jīng)試驗(yàn)，一盤標(biāo)明180分鐘的錄像帶從頭走到尾，時(shí)間用了184分，計(jì)數(shù)器讀數(shù)從0000變到6061。錄像機(jī)計(jì)數(shù)器的工作原理0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向問(wèn)題背景要求不僅回答問(wèn)題，而且建立計(jì)數(shù)器讀數(shù)與錄像帶轉(zhuǎn)過(guò)時(shí)間的關(guān)系。思考計(jì)數(shù)器讀數(shù)是均勻增長(zhǎng)的嗎？主動(dòng)輪壓輪0000左輪盤右輪盤磁頭計(jì)數(shù)器錄像帶錄像帶運(yùn)動(dòng)方向錄像帶運(yùn)動(dòng)右輪盤半徑增大右輪轉(zhuǎn)速不是常數(shù)錄像帶運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)變慢問(wèn)題分析觀察計(jì)數(shù)器讀數(shù)增長(zhǎng)越來(lái)越慢！模型假設(shè)

錄像帶的運(yùn)動(dòng)速度是常數(shù)

v

；

計(jì)數(shù)器讀數(shù)

n與右輪轉(zhuǎn)數(shù)

m成正比，記

m=kn；

錄像帶厚度（加兩圈間空隙）為常數(shù)

w；

空右輪盤半徑記作r

；

時(shí)間

t=0時(shí)讀數(shù)n=0.建模目的建立時(shí)間t與讀數(shù)n之間的關(guān)系（設(shè)v,k,w,r為已知參數(shù)）模型建立建立t與n的函數(shù)關(guān)系有多種方法1.右輪盤轉(zhuǎn)第

i圈的半徑為r+wi,

m圈的總長(zhǎng)度等于錄像帶在時(shí)間t內(nèi)移動(dòng)的長(zhǎng)度vt,所以2.考察右輪盤面積的變化，等于錄像帶厚度乘以轉(zhuǎn)過(guò)的長(zhǎng)度，即3.考察t到t+dt錄像帶在右輪盤纏繞的長(zhǎng)度，有模型建立思考13種建模方法得到同一結(jié)果但仔細(xì)推算會(huì)發(fā)現(xiàn)稍有差別，請(qǐng)解釋。模型中有待定參數(shù)一種確定參數(shù)的辦法是測(cè)量或調(diào)查，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)測(cè)量方法。思考2模型求解參數(shù)估計(jì)另一種確定參數(shù)的方法——測(cè)試分析將模型改記作只需估計(jì)a,b理論上，已知t=184,n=6061,

再有一組(t,n)數(shù)據(jù)即可。實(shí)際上，由于測(cè)試有誤差，最好用足夠多的數(shù)據(jù)作擬合現(xiàn)有一批測(cè)試數(shù)據(jù)：

t020406080n00001141201927603413

t

100120140160184n40044545505155256061用最小二乘法可得用最小二乘法模型檢驗(yàn)應(yīng)該另外測(cè)試一批數(shù)據(jù)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ停耗Ｐ蛻?yīng)用回答提出的問(wèn)題：由模型算得n=4450時(shí)t=116.4分，剩下的錄像帶能錄184-116.4=67.6分鐘的節(jié)目。揭示了“t

與n之間呈二次函數(shù)關(guān)系”這一普遍規(guī)律，當(dāng)錄像帶的狀態(tài)改變時(shí)，只需重新估計(jì)a,b

即可。2d墻室內(nèi)T1室外T2dd墻l室內(nèi)T1室外T2問(wèn)題雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失假設(shè)熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài)材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù)建模熱傳導(dǎo)定律Q1Q2Q~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量

T~溫差,d~材料厚度,k~熱傳導(dǎo)系數(shù)2.3

雙層玻璃窗的功效dd墻l室內(nèi)T1室外T2Q1TaTb記雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度k1~玻璃的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2~空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)建模記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q22d墻室內(nèi)T1室外T2Q2雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比k1=410-3~810-3,k2=2.510-4,

k1/k2=16~32對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，取k1/k2=16建模hQ1/Q24200.060.030.026模型應(yīng)用取h=l/d=4,則Q1/Q2=0.03即雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失。結(jié)果分析Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣極低的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2,而這要求空氣非常干燥、不流通。房間通過(guò)天花板、墻壁……損失的熱量更多。雙層窗的功效不會(huì)如此之大2.4

汽車剎車距離美國(guó)的某些司機(jī)培訓(xùn)課程中的駕駛規(guī)則：背景與問(wèn)題

正常駕駛條件下,車速每增10英里/小時(shí)，后面與前車的距離應(yīng)增一個(gè)車身的長(zhǎng)度。

實(shí)現(xiàn)這個(gè)規(guī)則的簡(jiǎn)便辦法是“2秒準(zhǔn)則”：

后車司機(jī)從前車經(jīng)過(guò)某一標(biāo)志開始默數(shù)

2秒鐘后到達(dá)同一標(biāo)志，而不管車速如何判斷“2秒準(zhǔn)則”與“車身”規(guī)則是否一樣；建立數(shù)學(xué)模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。問(wèn)題分析常識(shí)：剎車距離與車速有關(guān)10英里/小時(shí)(

16公里/小時(shí))車速下2秒鐘行駛29英尺(

9米)>>車身的平均長(zhǎng)度15英尺(=4.6米)“2秒準(zhǔn)則”與“10英里/小時(shí)加一車身”規(guī)則不同剎車距離反應(yīng)時(shí)間司機(jī)狀況制動(dòng)系統(tǒng)靈活性制動(dòng)器作用力、車重、車速、道路、氣候……最大制動(dòng)力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運(yùn)動(dòng)。車速常數(shù)反應(yīng)距離制動(dòng)距離常數(shù)假設(shè)與建模1.剎車距離d等于反應(yīng)距離d1與制動(dòng)距離d2之和2.反應(yīng)距離d1與車速v成正比3.剎車時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作功等于汽車動(dòng)能的改變;Fd2=mv2/2F

mt1為反應(yīng)時(shí)間且F與車的質(zhì)量m成正比

反應(yīng)時(shí)間t1的經(jīng)驗(yàn)估計(jì)值為0.75秒?yún)?shù)估計(jì)

利用交通部門提供的一組實(shí)際數(shù)據(jù)擬合k模型最小二乘法

k=0.06計(jì)算剎車距離、剎車時(shí)間車速(英里/小時(shí))(英尺/秒)實(shí)際剎車距離（英尺）計(jì)算剎車距離（英尺）剎車時(shí)間（秒）2029.342（44）39.01.53044.073.5（78）76.61.84058.7116（124）126.22.15073.3173（186）187.82.56088.0248（268）261.43.070102.7343（372）347.13.680117.3464（506）444.84.3“2秒準(zhǔn)則”應(yīng)修正為“t秒準(zhǔn)則”模型車速(英里/小時(shí))剎車時(shí)間（秒）201.5301.8402.1502.5603.0703.6804.3車速（英里/小時(shí)）0~1010~4040~6060~80t（秒）1234

一個(gè)雨天，你有件急事需要從家中到學(xué)校去，學(xué)校離家不遠(yuǎn)，僅一公里，況且事情緊急，你來(lái)不及花時(shí)間去翻找雨具，決定碰一下運(yùn)氣，頂著雨去學(xué)校。假設(shè)剛剛出發(fā)雨就大了，但你不打算再回去了，一路上，你將被大雨淋濕。一個(gè)似乎很簡(jiǎn)單的事情是你應(yīng)該在雨中盡可能地快走，以減少雨淋的時(shí)間。但如果考慮到降雨方向的變化，在全部距離上盡力地快跑不一定是最好的策略。試建立數(shù)學(xué)模型來(lái)探討如何在雨中行走才能減少淋雨的程度。2.5雨中行走問(wèn)題1建模準(zhǔn)備建模目標(biāo)：在給定的降雨條件下，設(shè)計(jì)一個(gè)雨中行走的策略，使得你被雨水淋濕的程度最小。主要因素：淋雨量，降雨的大小，降雨的方向（風(fēng)），路程的遠(yuǎn)近，行走的速度2）降雨大小用降雨強(qiáng)度厘米/時(shí)來(lái)描述，降雨強(qiáng)度指單位時(shí)間平面上的降下水的厚度。在這里可視其為一常量。3）風(fēng)速保持不變。4）你一定常的速度米/秒跑完全程米。2模型假設(shè)及符號(hào)說(shuō)明1）把人體視為長(zhǎng)方體，身高米，寬度米，厚度米。淋雨總量用升來(lái)記。3模型建立與計(jì)算1）不考慮雨的方向，此時(shí)，你的前后左右和上方都將淋雨。淋雨的面積雨中行走的時(shí)間降雨強(qiáng)度模型中結(jié)論，淋雨量與速度成反比。這也驗(yàn)證了盡可能快跑能減少淋雨量。從而可以計(jì)算被淋的雨水的總量為2.041（升）。經(jīng)仔細(xì)分析，可知你在雨中只跑了2分47秒，但被淋了2升的雨水，大約有4酒瓶的水量。這是不可思議的。表明：用此模型描述雨中行走的淋雨量不符合實(shí)際。原因：不考慮降雨的方向的假設(shè)，使問(wèn)題過(guò)于簡(jiǎn)化。2）考慮降雨方向。人前進(jìn)的方向若記雨滴下落速度為（米/秒）雨滴的密度為雨滴下落的反方向表示在一定的時(shí)刻在單位體積的空間內(nèi)，由雨滴所占的空間的比例數(shù)，也稱為降雨強(qiáng)度系數(shù)。所以，因?yàn)榭紤]了降雨的方向，淋濕的部位只有頂部和前面。分兩部分計(jì)算淋雨量。頂部的淋雨量前表面淋雨量總淋雨量（基本模型）可以看出：淋雨量與降雨的方向和行走的速度有關(guān)。問(wèn)題轉(zhuǎn)化為給定，如何選擇使得最小。情形1結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形2結(jié)果表明：淋雨量是速度的減函數(shù)，當(dāng)速度盡可能大時(shí)淋雨量達(dá)到最小。假設(shè)你以6米/秒的速度在雨中猛跑，則計(jì)算得情形3

此時(shí)，雨滴將從后面向你身上落下。出現(xiàn)這個(gè)矛盾的原因：我們給出的基本模型是針對(duì)雨從你的前面落到身上情形。因此，對(duì)于這種情況要另行討論。當(dāng)行走速度慢于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即這時(shí)，雨滴將淋在背上，而淋在背上的雨水量是淋雨總量為再次代如數(shù)據(jù)，得結(jié)果表明：當(dāng)行走速度等于雨滴下落的水平速度時(shí)，淋雨量最小，僅僅被頭頂上的雨水淋濕了。若雨滴是以的角度落下，即雨滴以的角從背后落下，你應(yīng)該以此時(shí)，淋雨總量為這意味著你剛好跟著雨滴前進(jìn)，前后都沒(méi)淋雨。當(dāng)行走速度快于雨滴的水平運(yùn)動(dòng)速度，即你不斷地追趕雨滴，雨水將淋濕你的前胸。被淋得雨量是淋雨總量為4結(jié)論若雨是迎著你前進(jìn)的方向向你落下，這時(shí)的策略很簡(jiǎn)單，應(yīng)以最大的速度向前跑；若雨是從你的背后落下，你應(yīng)控制你在雨中的行走速度，讓它剛好等于落雨速度的水平分量。5注意

關(guān)于模型的檢驗(yàn)，請(qǐng)大家觀察、體會(huì)并驗(yàn)證。雨中行走問(wèn)題的建模過(guò)程又一次使我們看到模型假設(shè)的重要性，模型的階段適應(yīng)性。2.5

劃艇比賽的成績(jī)賽艇2000米成績(jī)t(分)種類1234平均單人7.167.257.287.177.21雙人6.876.926.956.776.88四人6.336.426.486.136.32八人5.875.925.825.735.84艇長(zhǎng)l

艇寬b(米)(米)l/b7.930.29327.09.760.35627.411.750.57421.018.280.61030.0空艇重w0(kg)

漿手?jǐn)?shù)n

16.313.618.114.7對(duì)四種賽艇（單人、雙人、四人、八人）4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與漿手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系。試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系。問(wèn)題準(zhǔn)備調(diào)查賽艇的尺寸和重量l/b,w0/n

基本不變問(wèn)題分析

前進(jìn)阻力~浸沒(méi)部分與水的摩擦力

前進(jìn)動(dòng)力~漿手的劃漿功率分析賽艇速度與漿手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定劃漿功率

賽艇速度賽艇速度前進(jìn)動(dòng)力前進(jìn)阻力漿手?jǐn)?shù)量艇重浸沒(méi)面積

對(duì)漿手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定

運(yùn)用合適的物理定律建立模型模型假設(shè)1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)),w0與n成正比2）v是常數(shù)，阻力f與sv2成正比符號(hào)：艇速v,浸沒(méi)面積

s,浸沒(méi)體積A,空艇重w0,阻力f,漿手?jǐn)?shù)n,漿手功率

p,漿手體重

w,艇重W艇的靜態(tài)特性艇的動(dòng)態(tài)特性3）w相同，p不變，p與w成正比漿手的特征模型建立f

sv2p

wv

(n/s)1/3s1/2

A1/3A

W(=w0+nw)

ns

n2/3v

n1/9比賽成績(jī)

t

n

–1/9npfv模型檢驗(yàn)n

t17.2126.8846.3285.84最小二乘法利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型

t

n

–1/9進(jìn)行檢驗(yàn)tn12487.216.886.325.84????與模型巧合！問(wèn)題的提出：四足動(dòng)物的軀干的長(zhǎng)度(不含頭尾)與它的體重有什么關(guān)系？這個(gè)問(wèn)題有一定的實(shí)際意義。比如，在生豬收購(gòu)站或屠宰場(chǎng)工作的人們，往往希望能從生豬的身長(zhǎng)估計(jì)出它的體重。動(dòng)物的生理構(gòu)造因種類不同而異，如果陷入對(duì)生物學(xué)復(fù)雜生理結(jié)構(gòu)的研究，將很難得到滿足上述目的有使用價(jià)值的模型．這里我們僅在十分粗賂的假設(shè)基礎(chǔ)上，利用類比方法，借助力學(xué)的某些結(jié)果，建立動(dòng)物身長(zhǎng)和體重間的比例關(guān)系。2.6

動(dòng)物的身長(zhǎng)和體重1、問(wèn)題的分析與假設(shè)

把四足動(dòng)物的軀干看作圓柱體，長(zhǎng)度l、直徑d、斷面面積s如下圖所示。將這種圓柱體的軀干類比作—根支撐在四肢上的彈性梁，以便利用彈性力學(xué)的一些研究結(jié)果。2、模型的建立：原理：動(dòng)物在自身體重f作用下軀干的最大下垂度b，即梁的最大彎曲，根據(jù)對(duì)彈性粱的研究，有：進(jìn)一步分析b/l的意義……3、生物學(xué)角度分析b/lb/l生理學(xué)意義：

b/l是動(dòng)物軀干的相對(duì)下垂度。b/l太大，四肢將無(wú)法支撐；b/l太小，四肢的材料和尺寸超過(guò)了支撐軀干的需要，無(wú)疑是一種浪費(fèi)。生物學(xué)進(jìn)化角度：經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期進(jìn)化，對(duì)每一種動(dòng)物而言b/l已經(jīng)達(dá)到其最合適的數(shù)值，即b/l應(yīng)視為與這種動(dòng)物的尺寸無(wú)關(guān)的常數(shù)。4、結(jié)論（1）關(guān)系式：（前面分析）（2）另一些比例關(guān)系：（3）最終結(jié)論：

即體重與軀干長(zhǎng)度的4次方戊正比。這樣，對(duì)于某一種四足動(dòng)物比如生豬，在根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)確定出上述比例系數(shù)以后，就能從軀干長(zhǎng)度估計(jì)出動(dòng)物的體重了。討論題：

大小包裝問(wèn)題

在超市購(gòu)物時(shí)你注意到大包裝商品比小包裝商品便宜這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝的每支1.50元，120g裝的每支3.00元，二者單位重量的價(jià)格比是1.2:1，試用比例方法構(gòu)造模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價(jià)格C與商品重量w的關(guān)系。（2）給出單位重量?jī)r(jià)格c與w的關(guān)系，并解釋其實(shí)際意義。提示：價(jià)格由生產(chǎn)成本，包裝成本和其他成本等決定，這些成本中有的與重量w成正比有的與表面積成正比，還有與w無(wú)關(guān)的因素。提要：決定商品價(jià)格的主要因素：生產(chǎn)成本、包裝成本、其他成本。單價(jià)隨重量增加而減少單價(jià)的減少隨重量增加逐漸降低

問(wèn)題:

我們每個(gè)人都有跑步的經(jīng)歷,有人會(huì)因此而疲憊不堪,但有誰(shuí)會(huì)想:怎么跑步能使我們消耗的能量最少?2.7跑步與走路時(shí)如何節(jié)省能量

假設(shè):(1)跑步所花費(fèi)的時(shí)間分成兩部分:第一部分為兩條腿同時(shí)離地的時(shí)間；第二部分為一條腿或兩條腿同時(shí)落地的時(shí)間。于是人體重心運(yùn)動(dòng)軌跡如圖。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)：ABCdhab（2）假設(shè)跑步是勻速的，設(shè)為，則跑步是消耗的總能量為2.8、棋子顏色的變化1、問(wèn)題：任意拿出黑白兩種顏色的棋子共8個(gè)，排成如下圖所示的圓圓，然后在兩顆顏色相同的棋子中間放一顆黑色棋子，在兩顏色不同的棋子中間放一顆白色棋子，放完后撤掉原來(lái)所放的棋子。再重復(fù)以上的過(guò)程，問(wèn)這樣重復(fù)進(jìn)行下去各棋子的顏色會(huì)怎樣變化呢?2、最終結(jié)論是什么？

可完全用數(shù)學(xué)的推理方法說(shuō)明最多經(jīng)過(guò)8次變換，各棋子的顏色都會(huì)變黑。3、分析注意：規(guī)則是兩同色的棋子中間加黑色棋子，兩異色的棋子中間加白色棋子，即黑黑得黑，白白得黑，黑白得白，與有理數(shù)符號(hào)規(guī)則類似。方法：用+1表爾黑色，用－l表示白色，開始擺的八顆棋子記為a1，a2，...，a8，并且ak＝+1或-1，

k＝1，2，…，8，下一次在al與a2中間擺的棋子的顏色由a1和a2是同色還是異色而定。類似的akak+1正好給出了所放棋子的顏色。4、符號(hào)運(yùn)算規(guī)則規(guī)則：黑黑得黑，白白得黑，黑白得白引入記號(hào)⊙，則：

(＋1)⊙(＋1)＝(＋１)^２=＋１

(－1)⊙(－1)＝(－１)^２=＋１

(＋1)⊙(－1)＝－１5、各次顏色的確定

可見：最多經(jīng)過(guò)8次變換以后，各個(gè)數(shù)都變成了+1，這意味著所有棋子都是黑色，且以后重復(fù)上述過(guò)程，顏色也就不再變化了。問(wèn)題：要用40塊方形瓷磚鋪如右圖所示形狀的地面,但當(dāng)時(shí)市場(chǎng)上只有長(zhǎng)方形瓷磚,每塊大小等于方形的兩塊。一人買了20塊長(zhǎng)方形瓷磚,試著鋪地面,結(jié)果弄來(lái)弄去始終無(wú)法鋪好。試問(wèn)是這人的功夫不到家還是這個(gè)問(wèn)題根本無(wú)解？2.9鋪瓷磚問(wèn)題首先必須分析是否可能用20塊長(zhǎng)方形瓷磚鋪成如圖所示的地面。為此，在圖上黑白相間地染色。發(fā)現(xiàn)共有19個(gè)白格和21個(gè)黑格。鋪上19塊后，總要剩下2個(gè)黑格無(wú)法鋪，因?yàn)橐粔K長(zhǎng)方形瓷磚無(wú)法蓋住兩個(gè)黑格。唯一的解決辦法就是把最后一塊分兩為兩塊。這種方法在數(shù)學(xué)上稱為奇偶校驗(yàn)，即可認(rèn)為涂黑格子是偶數(shù)，涂白格子的是奇數(shù)，同色的格子有相同的奇偶性。一塊長(zhǎng)方形瓷磚只能覆蓋奇偶性相反的一對(duì)方格，只有在剩下的兩個(gè)方格具有相反的奇偶性時(shí)，才可能把最后一塊長(zhǎng)方形瓷磚鋪上。顯然這該問(wèn)題是無(wú)解的。即任何改變鋪設(shè)方式的努力都是徒勞。

問(wèn)題：哥尼斯堡（今俄羅斯加里寧格勒）是東普魯士的首都，普萊格爾河橫貫其中。18世紀(jì)在這條河上建有七座橋，將河中間的兩個(gè)島和河岸聯(lián)結(jié)起來(lái)，如圖所示。人們閑暇時(shí)經(jīng)常在這上邊散步，一天有人提出：能不能每座橋都只走一遍，最后又回到原來(lái)的位置。這就是著名七橋問(wèn)題。ABCD2.10

哥尼斯堡七橋問(wèn)題這個(gè)問(wèn)題看起來(lái)很簡(jiǎn)單有很有趣的問(wèn)題吸引了大家，很多人在嘗試各種各樣的走法，但誰(shuí)也沒(méi)有做到。1736年，有人帶著這個(gè)問(wèn)題找到了當(dāng)時(shí)的大數(shù)學(xué)家歐拉。歐拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。歐拉是這樣解決問(wèn)題的：既然陸地是橋梁的連接地點(diǎn)，不妨把圖中被河隔開的陸地看成A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，7座橋表示成7條連接這4個(gè)點(diǎn)的線，如圖所示。問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化成從四個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)出發(fā)，每條線只能走一次，最后回到這一點(diǎn)。即能不能用一筆就把這個(gè)圖形畫出來(lái)。除起點(diǎn)和終點(diǎn)處，一筆畫中出現(xiàn)在交點(diǎn)處的邊總是一進(jìn)一出的，故交點(diǎn)的度數(shù)總和為偶數(shù)。即從每一點(diǎn)出發(fā)的線的條數(shù)只能是偶數(shù)，而圖中每一點(diǎn)處都只有奇數(shù)條線，故不可能！一般結(jié)論：(1)連接奇數(shù)個(gè)橋的陸地僅有一個(gè)或超過(guò)兩個(gè)以上，不能實(shí)現(xiàn)一筆畫；(2)連接奇數(shù)個(gè)橋的陸地僅有兩個(gè)時(shí)，則從兩者任一陸地出發(fā)，可以實(shí)現(xiàn)一筆畫而停在另一陸地(3)每個(gè)陸地都連接有偶數(shù)個(gè)橋時(shí)，則從任一陸地出發(fā)都能實(shí)現(xiàn)一筆畫，而回到出發(fā)點(diǎn)。小結(jié):歐拉把這個(gè)問(wèn)題首先簡(jiǎn)化，他把兩座小島和河的兩岸分別看作四個(gè)點(diǎn)，而把七座橋看作這四個(gè)點(diǎn)之間的連線。那么這個(gè)問(wèn)題就簡(jiǎn)化成，經(jīng)過(guò)進(jìn)一步的分析，歐拉得出結(jié)論——不可能每座橋都走一遍，最后回到原來(lái)的位置。并且給出了所有能夠一筆畫出來(lái)的圖形所應(yīng)具有的條件。問(wèn)題：均勻正方體骰子的六個(gè)面分別刻有1,2,3,4,5,6的字樣,將一對(duì)骰子拋25次決定勝負(fù)。問(wèn)將賭注押在“至少出現(xiàn)一次雙六”或“完全不出現(xiàn)雙六”的哪一種上面有利？2.11

賭博問(wèn)題從數(shù)學(xué)上看是確定哪一種事件發(fā)生的概率大。記A為“至少出現(xiàn)一個(gè)雙六”這一事件，則為“完全不出現(xiàn)雙六”事件。故有記Ai為第i次拋擲這對(duì)骰子時(shí)出現(xiàn)雙六這一事件，則一對(duì)骰子拋擲一次可視為1次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，拋擲25次可視為25次獨(dú)立隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，所以問(wèn)題甲有物品X,乙有物品Y,雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分。研究實(shí)物交換方案。yxp.用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量。設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0,乙占有Y的數(shù)量為y0,作圖：若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn)p(x,y)都是一種交換方案：甲占有(x,y)，乙占有(x0-x,y0-y)xyyo0xo??2.12

實(shí)物交換xyyoy1y20x1x2xop1p2..甲的無(wú)差別曲線分析與建模如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度，即p1,p2對(duì)甲是無(wú)差別的，MN將所有與p1,p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái)，得到一條無(wú)差別曲線MN,線上各點(diǎn)的滿意度相同,線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度，N1M1p3(x3,y3).比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上。于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）。p1.p2.c1

y0xf(x,y)=c1無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：

單調(diào)減(x增加,y減小)

下凸(凸向原點(diǎn))

互不相交在p1點(diǎn)占有x少、y多，寧愿以較多的

y換取較少的x;在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的

x換取較少的y。甲的無(wú)差別曲線族記作f(x,y)=c1c1~滿意度（f~等滿意度曲線）xyOg(x,y)=c2c2

乙的無(wú)差別曲線族g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）

雙方的交換路徑xyyoOxof=c1O‘x’y’g=c2乙的無(wú)差別曲線族g=c2

(坐標(biāo)系x’O’y’,且反向）甲的無(wú)差別曲線族f=c1ABp

P’

雙方滿意的交換方案必在AB（交換路徑）上因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p’,(雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p兩族曲線切點(diǎn)連線記作ABABp

交換方案的進(jìn)一步確定交換方案~交換后甲的占有量(x,y)0

x

x0,0

y

y0矩形內(nèi)任一點(diǎn)交換路徑AB雙方的無(wú)差別曲線族等價(jià)交換原則X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為CD(x0,0),(0,y0)兩點(diǎn)的連線CDAB與CD的交點(diǎn)p設(shè)X單價(jià)a,Y單價(jià)b,則等價(jià)交換下ax+by=s(s=ax0=by0)yyo0xo..x2.13

量綱分析與無(wú)量綱化物理量的量綱長(zhǎng)度

l的量綱記L=[l]質(zhì)量

m的量綱記M=[m]時(shí)間t

的量綱記T=[t]動(dòng)力學(xué)中基本量綱

L,M,T速度v的量綱[v]=LT-1導(dǎo)出量綱加速度a

的量綱[a]=LT-2力f

的量綱[f]=LMT-2引力常數(shù)

k

的量綱[k]對(duì)無(wú)量綱量

，[

]=1(=L0M0T0)2.13.1量綱齊次原則=[f][l]2[m]-2=L3M-1T-2量綱齊次原則等式兩端的量綱一致量綱分析~利用量綱齊次原則尋求物理量之間的關(guān)系例：?jiǎn)螖[運(yùn)動(dòng)lmgm求擺動(dòng)周期t

的表達(dá)式設(shè)物理量t,m,l,g

之間有關(guān)系式

1,

2,

3

為待定系數(shù)，

為無(wú)量綱量(1)的量綱表達(dá)式對(duì)比對(duì)x,y,z的兩組測(cè)量值x1,y1,z1

和x2,y2,z2，

p1=f(x1,y1,z1),p2=f(x2,y2,z2)為什么假設(shè)這種形式設(shè)p=f(x,y,z)x,y,z的量綱單位縮小a,b,c倍p=f(x,y,z)的形式為單擺運(yùn)動(dòng)中t,m,l,g

的一般表達(dá)式y(tǒng)1~y4為待定常數(shù),

為無(wú)量綱量設(shè)f(q1,q2,,qm)=0

ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T,s=1,2,…,m-rF(

1,

2,…,

m-r)=0

與

f(q1,q2,,qm)=0

等價(jià),F未定Pi定理(Buckingham)是與量綱單位無(wú)關(guān)的物理定律，X1,X2,

,

Xn

是基本量綱,n

m,q1,q2,

,

qm

的量綱可表為量綱矩陣記作線性齊次方程組有m-r

個(gè)基本解，記作為m-r

個(gè)相互獨(dú)立的無(wú)量綱量,且則[g]=LT-2,[l]=L,[

]=L-3M,[v]=LT-1,,[s]=L2,[f]=LMT-2量綱分析示例：波浪對(duì)航船的阻力航船阻力f航船速度v,船體尺寸l,浸沒(méi)面積s,海水密度

,重力加速度g。m=6,n=3Ay=0有m-r=3個(gè)基本解rankA=3rankA=rAy=0有m-r個(gè)基本解ys

=(ys1,ys2,…,ysm)T

s=1,2,…,m-rm-r

個(gè)無(wú)量綱量

F(

1,

2,

3)=0與

(g,l,,v,s,f)=0等價(jià)為得到阻力f的顯式表達(dá)式F=0

未定F(

1,

2,…,

m-r)=0與

f(q1,q2,,qm)=0等價(jià)量綱分析法的評(píng)注

物理量的選取

基本量綱的選取

基本解的構(gòu)造

結(jié)果的局限性

(…)=0中包括哪些物理量是至關(guān)重要的基本量綱個(gè)數(shù)n;選哪些基本量綱有目的地構(gòu)造Ay=0的基本解

方法的普適性函數(shù)F和無(wú)量綱量未定不需要特定的專業(yè)知識(shí)2.12.2量綱分析在物理模擬中的應(yīng)用例:航船阻力的物理模擬通過(guò)航船模型確定原型船所受阻力~模型船的參數(shù)(均已知)可得原型船所受阻力已知模型船所受阻力~原型船的參數(shù)(f1未知，其他已知)注意：二者的

相同

按一定尺寸比例造模型船，量測(cè)f，可算出f1~物理模擬2.12.3無(wú)量綱化例：火箭發(fā)射m1m2xrv0g星球表面豎直發(fā)射。初速v,星球半徑r,表面重力加速度g研究火箭高度x隨時(shí)間t

的變化規(guī)律t=0時(shí)x=0,火箭質(zhì)量m1,星球質(zhì)量m2牛頓第二定律，萬(wàn)有引力定律——3個(gè)獨(dú)立參數(shù)用無(wú)量綱化方法減少獨(dú)立參數(shù)個(gè)數(shù)[x]=L,[t]=T,[r]=L,[v]=LT-1,[g]=LT-2變量x,t和獨(dú)立參數(shù)r,v,g的量綱用參數(shù)r,v,g的組合,分別構(gòu)造與x,t具有相同量綱的xc,tc

（特征尺度）—無(wú)量綱變量如利用新變量將被簡(jiǎn)化令

xc,tc的不同構(gòu)造1）令的不同簡(jiǎn)化結(jié)果

為無(wú)量綱量3）令

為無(wú)量綱量2）令

為無(wú)量綱量1）2）3）的共同點(diǎn)只含1個(gè)參數(shù)——無(wú)量綱量

解重要差別考察無(wú)量綱量在1）2）3）中能否忽略以

為因子的項(xiàng)？1)忽略

項(xiàng)無(wú)解不能忽略

項(xiàng)2)3)忽略

項(xiàng)不能忽略

項(xiàng)忽略

項(xiàng)火箭發(fā)射過(guò)程中引力m1g不變即x+rr原問(wèn)題可以忽略

項(xiàng)是原問(wèn)題的近似解為什么3)能忽略

項(xiàng)，得到原問(wèn)題近似解，而1)2)不能?1）令2）令3）令火箭到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)間為v/g,高度為v2/2g,大體上具有單位尺度項(xiàng)可以忽略項(xiàng)不能忽略林家翹：自然科學(xué)中確定性問(wèn)題的應(yīng)用數(shù)學(xué)2.14報(bào)童問(wèn)題問(wèn)題：報(bào)童每天清晨從報(bào)社購(gòu)進(jìn)報(bào)紙零售，晚上將沒(méi)有賣掉的報(bào)紙退回。設(shè)報(bào)紙每份的購(gòu)進(jìn)價(jià)為b，零售價(jià)為a，退回價(jià)為c，假設(shè)a>b>c。即報(bào)童售出一份報(bào)紙賺a-b，退回一份賠b-c。報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙?zhí)?，賣不完會(huì)賠錢；購(gòu)進(jìn)太少，不夠賣會(huì)少掙錢。試為報(bào)童籌劃一下每天購(gòu)進(jìn)報(bào)紙的數(shù)量，以獲得最大收入。模型分析：購(gòu)進(jìn)量由需求量確定，需求量是隨機(jī)的。假定報(bào)童已通過(guò)自己的經(jīng)驗(yàn)或其他渠道掌握了需求量的隨機(jī)規(guī)律，即在他的銷受范圍內(nèi)每天報(bào)紙的需求量為份的概率是有了和就可以建立關(guān)于購(gòu)進(jìn)量的優(yōu)化模型。模型建立：假設(shè)每天購(gòu)進(jìn)量是份，需求量是隨機(jī)的，可以小于，等于或大于，所以報(bào)童每天的收入也是隨機(jī)的。那么，作為優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)，不能取每天的收入，而取長(zhǎng)期賣報(bào)（月，年）的日平均收入。從概率論大數(shù)定律的觀點(diǎn)看，這相當(dāng)于報(bào)童每天收入的期望值，簡(jiǎn)稱平均收入。記報(bào)童每天購(gòu)進(jìn)份報(bào)紙的平均收入為，如果這天的需求量，則售出份，退回份；如果需求量則份將全部售出。需求量為的概率是，則問(wèn)題歸結(jié)為在已知時(shí)，求使最大。模型求解：和購(gòu)進(jìn)量都相當(dāng)大，將視為連續(xù)變量便于分析和計(jì)算，這時(shí)概率轉(zhuǎn)化為概率密度函數(shù)計(jì)算則令使報(bào)童日平均收入達(dá)到最大的購(gòu)進(jìn)量，得到應(yīng)滿足上式。因?yàn)?，所以根?jù)需求量的概率密度的圖形可以確定購(gòu)進(jìn)量在圖中用分別表示曲線下的兩塊面積，則Onr因?yàn)楫?dāng)購(gòu)進(jìn)超過(guò)份報(bào)紙時(shí)，是需求量不超過(guò)的概率，即賣不完的概率；是需求量的概率，即賣完的概率，所以上式表明，購(gòu)進(jìn)的份數(shù)應(yīng)該使賣不完與賣完的概率之比，恰好等于賣出一份賺的錢與退回一份賠的錢之比。結(jié)論：當(dāng)報(bào)童與報(bào)社簽訂的合同使報(bào)童每份賺錢與賠錢之比越大時(shí)，報(bào)童購(gòu)進(jìn)的份數(shù)就應(yīng)該越多。練習(xí)：利用上述模型計(jì)算，若每份報(bào)紙的購(gòu)進(jìn)價(jià)為0.75元，售出價(jià)為1元，退回價(jià)為0.6元，需求量服從均值500份，均方差50份的正態(tài)分布，報(bào)童每天應(yīng)購(gòu)進(jìn)多少份報(bào)紙才能使平均收入最高，最高收入是多少？用MATLAB作線性最小二乘擬合1.作多項(xiàng)式f(x)=a1xm+…+amx+am+1擬合,可利用已有程序:a=polyfit(x,y,m)2.多項(xiàng)式在x處的值y可用以下命令計(jì)算：

y=polyval（a，x）輸出擬合多項(xiàng)式系數(shù)a=[a1,…am,

am+1](數(shù)組)）輸入同長(zhǎng)度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)即要求出二次多項(xiàng)式:中的使得:例對(duì)下面一組數(shù)據(jù)作二次多項(xiàng)式擬合1）輸入以下命令：

x=0:0.1:1;y=[-0.4471.9783.286.167.087.347.669.569.489.3011.2];A=polyfit(x,y,2)z=polyval(A,x);plot(x,y,'k+',x,z,'r')%作出數(shù)據(jù)點(diǎn)和擬合曲線的圖形2）計(jì)算結(jié)果：Ａ=-9.810820.1293-0.0317解．用多項(xiàng)式擬合的命令MATLAB(zxec2)課外討論題問(wèn)題1：你還能想出理由設(shè)法收集并可使賽艇速度模型改進(jìn)的數(shù)據(jù)嗎？問(wèn)題2：有人建議：如果負(fù)載時(shí)輕量級(jí)八人艇是重量級(jí)八人艇的比例模型（即尺寸比例是1:（1.8）1/3），5%的優(yōu)勢(shì)便消失。你同意嗎？為什么？簡(jiǎn)單的優(yōu)化模型3.1

存貯模型3.2

生豬的出售時(shí)機(jī)3.3

森林救火3.4

最優(yōu)價(jià)格3.5血管分支3.6消費(fèi)者均衡3.7冰山運(yùn)輸

現(xiàn)實(shí)世界中普遍存在著優(yōu)化問(wèn)題

靜態(tài)優(yōu)化問(wèn)題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù))

建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)

求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法靜態(tài)優(yōu)化模型3.1

存貯模型問(wèn)題配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時(shí)因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)，產(chǎn)量大于需求時(shí)要付貯存費(fèi)。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時(shí)間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計(jì)劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費(fèi)用最小。要求不只是回答問(wèn)題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費(fèi)、貯存費(fèi)之間的關(guān)系。問(wèn)題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無(wú)貯存費(fèi)，準(zhǔn)備費(fèi)5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，貯存費(fèi)每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費(fèi)900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費(fèi)4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費(fèi)5000元，總計(jì)127500元。平均每天費(fèi)用950元平均每天費(fèi)用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費(fèi)用最小嗎?每天費(fèi)用5000元

這是一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個(gè)周期的總費(fèi)用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費(fèi)用的平均值

周期短，產(chǎn)量小

周期長(zhǎng)，產(chǎn)量大問(wèn)題分析與思考貯存費(fèi)少，準(zhǔn)備費(fèi)多準(zhǔn)備費(fèi)少，貯存費(fèi)多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費(fèi)用（二者之和）最小模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費(fèi)為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時(shí)，Q件產(chǎn)品立即到來(lái)（生產(chǎn)時(shí)間不計(jì)）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費(fèi)用的平均值最小。4.為方便起見，時(shí)間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型建立0tq貯存量表示為時(shí)間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問(wèn)題連續(xù)化一周期貯存費(fèi)為A=QT/2模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,

c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)

回答問(wèn)題

問(wèn)：與前面計(jì)算的`950元有微小差別,你能解釋嗎？

經(jīng)濟(jì)批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費(fèi)c1,每天每件貯存費(fèi)c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型思考：1、如果生產(chǎn)能力有限,是一個(gè)常數(shù),又如何建模？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時(shí)，Q件立即到貨。2、為什么不考慮生產(chǎn)費(fèi)用？在什么條件下才不考慮？允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時(shí)仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失簡(jiǎn)單情形：假設(shè)1、2不變，改變假設(shè)3假設(shè)3：允許缺貨,每天每件缺貨損失費(fèi)c3,

缺貨數(shù)量需在下次生產(chǎn)時(shí)補(bǔ)足。T一周期貯存費(fèi)一周期缺貨費(fèi)周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費(fèi)用每天總費(fèi)用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費(fèi)用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨注：不允許缺貨模型為允許缺貨模型特例。允許缺貨模型0qQ

rT1tT注意：缺貨需補(bǔ)足Q

~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R

（或訂貨量）Q~不允許缺貨時(shí)的產(chǎn)量(或訂貨量)3.2

生豬的出售時(shí)機(jī)飼養(yǎng)場(chǎng)每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計(jì)可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問(wèn)題市場(chǎng)價(jià)格目前為每千克8元，但是預(yù)測(cè)每天會(huì)降低0.1元，問(wèn)生豬應(yīng)何時(shí)出售。如果估計(jì)和預(yù)測(cè)有誤差，對(duì)結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時(shí)間增加，出售單價(jià)隨時(shí)間減少，故存在最佳出售時(shí)機(jī)，使利潤(rùn)最大求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤(rùn)20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價(jià)格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤(rùn)Q=R-C=pw-C估計(jì)r=2，若當(dāng)前出售，利潤(rùn)為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1敏感性分析研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響估計(jì)r=2，g=0.1

設(shè)g=0.1不變t對(duì)r的（相對(duì)）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時(shí)間推遲3%。rt敏感性分析估計(jì)r=2，g=0.1研究r,g變化時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響

設(shè)r=2不變t對(duì)g的（相對(duì)）敏感度生豬價(jià)格每天的降低量g增加1%，出售時(shí)間提前3%。gt強(qiáng)健性分析保留生豬直到利潤(rùn)的增值等于每天的費(fèi)用時(shí)出售由S(t,r)=3建議過(guò)一周后(t=7)重新估計(jì),再作計(jì)算。研究r,g不是常數(shù)時(shí)對(duì)模型結(jié)果的影響w=80+rt

w=w(t)p=8-gt

p=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤(rùn)的增值每天投入的資金3.3

森林救火森林失火后，要確定派出消防隊(duì)員的數(shù)量。隊(duì)員多，森林損失小，救援費(fèi)用大；隊(duì)員少，森林損失大，救援費(fèi)用小。綜合考慮損失費(fèi)和救援費(fèi)，確定隊(duì)員數(shù)量。問(wèn)題分析問(wèn)題記隊(duì)員人數(shù)x,失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,時(shí)刻t森林燒毀面積B(t).

損失費(fèi)f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.

救援費(fèi)f2(x)是x的增函數(shù),由隊(duì)員人數(shù)和救火時(shí)間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小

關(guān)鍵是對(duì)B(t)作出合理的簡(jiǎn)化假設(shè).問(wèn)題分析失火時(shí)刻t=0,開始救火時(shí)刻t1,滅火時(shí)刻t2,畫出時(shí)刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費(fèi)）1）0

t

t1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢(shì)蔓延速度）2）t1

t

t2,

降為

-x

(

為隊(duì)員的平均滅火速度）4）每個(gè)隊(duì)員的單位時(shí)間滅火費(fèi)用c2,一次性費(fèi)用c3假設(shè)1）的解釋

rB火勢(shì)以失火點(diǎn)為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費(fèi)用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢(shì)不繼續(xù)蔓延的最少隊(duì)員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,

,

為已知參數(shù)模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)估計(jì),

c2

x

c1,t1,

x

c3,

x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費(fèi),c2~每個(gè)隊(duì)員單位時(shí)間滅火費(fèi),c3~每個(gè)隊(duì)員一次性費(fèi)用,t1~開始救火時(shí)刻,~火勢(shì)蔓延速度,~每個(gè)隊(duì)員平均滅火速度.為什么?

,由森林類型、消防員素質(zhì)等決定，可查。由模型決定隊(duì)員數(shù)量x減少滅火時(shí)間你們有什么疑問(wèn)？能否對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)？(1)假設(shè)2,3只符合風(fēng)力不大的情況;(2)有人認(rèn)為

與開始救火的時(shí)刻t1有關(guān)

(t1),

t1

越大

越小。3.4

最優(yōu)價(jià)格問(wèn)題根據(jù)產(chǎn)品成本和市場(chǎng)需求，在產(chǎn)銷平衡條件下確定商品價(jià)格，使利潤(rùn)最大假設(shè)1）產(chǎn)量等于銷量，記作x2）收入與銷量x成正比，系數(shù)p即價(jià)格3）支出與產(chǎn)量x成正比，系數(shù)q即成本4）銷量x依賴于價(jià)格p,x(p)是減函數(shù)

建模與求解收入支出利潤(rùn)進(jìn)一步設(shè)求p使U(p)最大使利潤(rùn)U(p)最大的最優(yōu)價(jià)格p*滿足最大利潤(rùn)在邊際收入等于邊際支出時(shí)達(dá)到

建模與求解邊際收入邊際支出結(jié)果解釋

q/2~成本的一半

b

~價(jià)格上升1單位時(shí)銷量的下降幅度（需求對(duì)價(jià)格的敏感度）

a

~絕對(duì)需求量(

p很小時(shí)的需求)b

p*

a

p*

思考：如何得到參數(shù)a,b?可由價(jià)格p和售量x的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)用最小二乘法擬合來(lái)確定。3.5血管分支背景機(jī)體提供能量維持血液在血管中的流動(dòng)給血管壁以營(yíng)養(yǎng)克服血液流動(dòng)的阻力消耗能量取決于血管的幾何形狀在長(zhǎng)期進(jìn)化中動(dòng)物血管的幾何形狀已經(jīng)達(dá)到能量最小原則研究在能量最小原則下，血管分支處粗細(xì)血管半徑比例和分岔角度問(wèn)題模型假設(shè)1)一條粗血管和兩條細(xì)血管在分支點(diǎn)對(duì)稱地處于同一平面；2)血液流動(dòng)近似于粘性流體在剛性管道中的運(yùn)動(dòng)；3)血液給血管壁的能量隨管壁的內(nèi)表面積和體積的增加而增加，管壁厚度近似與血管半徑成正比。qq1q1ABB′CHLll1rr1

粗細(xì)血管中單位時(shí)間的流量分別為q和q1。r/r1,

?1）考察血管AC與CB,CB′q=2q12)粘性流體在剛性管道中運(yùn)動(dòng)

p~A,C壓力差，

~粘性系數(shù)克服阻力消耗能量3)提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量管壁內(nèi)表面積s=2

rl管壁體積v=

(d2+2rd)l,管壁厚度d與r成正比,

v與r的平方成正比。模型假設(shè)qq1q1ABB′CHLll1rr1

模型建立qq1q1ABB′CHLll1rr1

克服阻力消耗能量提供營(yíng)養(yǎng)消耗能量機(jī)體為血流提供能量模型求解qq1q1ABB′CHLll1rr1

模型解釋生物學(xué)家：結(jié)果與觀察大致吻合大動(dòng)脈半徑rmax,毛細(xì)血管半徑rmin大動(dòng)脈到毛細(xì)血管有n次分岔觀察：狗的血管血管總條數(shù)推論:n=？這只是估計(jì),因?yàn)檠芊种Ш茈y完全對(duì)稱!q2U(q1,q2)=cq103.6

消費(fèi)者均衡問(wèn)題消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度用無(wú)差別曲線族表示，問(wèn)他如何分配一定數(shù)量的錢，購(gòu)買這兩種商品，以達(dá)到最大的滿意度。設(shè)甲乙數(shù)量為q1,q2,消費(fèi)者的無(wú)差別曲線族(單調(diào)減、下凸、不相交），記作U(q1,q2)=cU(q1,q2)~效用函數(shù)已知甲乙價(jià)格p1,p2,有錢s，試分配s,購(gòu)買甲乙數(shù)量q1,q2,使U(q1,q2)最大.模型及求解已知價(jià)格p1,p2,錢s,求q1,q2,或p1q1/p2q2,使U(q1,q2)最大.用拉格朗日乘子法求二元條件極值給定U(q1,q2)后,(*)即可確定最優(yōu)比例p1q1/p2q2s/p2s/p1q2U(q1,q2)=cq10幾何解釋直線MN:最優(yōu)解Q:MN與l2切點(diǎn)斜率·MQN··結(jié)果解釋——邊際效用消費(fèi)者均衡狀態(tài)在兩種商品的邊際效用之比恰等于它們價(jià)格之比時(shí)達(dá)到。效用函數(shù)U(q1,q2)應(yīng)滿足的條件A.U(q1,q2)=c

所確定的函數(shù)q2=q2(q1)單調(diào)減、下凸

解釋B的實(shí)際意義建立消費(fèi)者均衡模型的關(guān)鍵是確定效用函數(shù)U(q1,q2)效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式

消費(fèi)者均衡狀態(tài)下購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格之比的平方根成正比。

U(q1,q2)中參數(shù)

,分別表示消費(fèi)者對(duì)甲乙兩種商品的偏愛(ài)程度。

購(gòu)買兩種商品費(fèi)用之比與二者價(jià)格無(wú)關(guān)。

U(q1,q2)中參數(shù)

,

分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。效用函數(shù)U(q1,q2)幾種常用的形式U(q1,q2)中參數(shù)a,b

分別表示對(duì)甲乙的偏愛(ài)程度。思考：模型應(yīng)用應(yīng)用模型時(shí),可根據(jù)上面分析決定選用哪一種形式的效用函數(shù),再由經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)估計(jì)其參數(shù)。(最小二乘法)(2)若消費(fèi)者購(gòu)買商品的錢s增加,其它條件不變,消費(fèi)者均衡狀態(tài)又將如何變化?(3)如何推廣到m(>2)種商品的情況?(1)若商品甲的價(jià)格P1增加,其它條件不變,消費(fèi)者均衡狀態(tài)將如何變化?(1)P1增加時(shí),消費(fèi)者均衡狀態(tài)Q點(diǎn)將左移;q2U(q1,q2)=cq10s/p2s/p1·MQN··(2)S增加時(shí),消費(fèi)者均衡狀態(tài)Q點(diǎn)將向右上方移動(dòng);(3)優(yōu)化模型為3.7

冰山運(yùn)輸背景

波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水的成本為每立方米0.1英鎊。

專家建議從9600千米遠(yuǎn)的南極用拖船運(yùn)送冰山，取代淡化海水

從經(jīng)濟(jì)角度研究冰山運(yùn)輸?shù)目尚行?。建模?zhǔn)備1.日租金和最大運(yùn)量船型小中大日租金（英鎊）

最大運(yùn)量（米3）4.06.28.051051061072.燃料消耗（英鎊/千米）3.融化速率（米/天）與南極距離(千米)船速(千米/小時(shí))01000>400013500.10.300.150.450