第十一章解三角形（知識歸納題型突破）（原卷版）

第十一章解三角形（知識歸納+題型突破）1.了解余弦定理的推導(dǎo)過程．2.掌握余弦定理的幾種變形公式及其應(yīng)用．3.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法．4.能運(yùn)用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解決簡單的解三角形問題．5.理解測量中的有關(guān)名詞、術(shù)語的確切含義．6.會利用正、余弦定理解決生產(chǎn)實(shí)踐中的有關(guān)距離、角度等問題．7.能夠運(yùn)用正、余弦定理解決三角形中的面積等綜合問題．1．余弦定理文字語言三角形任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍符號語言a2＝b2＋c2－2bccosAb2＝c2＋a2－2cacosBc2＝a2＋b2－2abcosC對余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意的三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”“夾角”“余弦”．(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的是三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．2．余弦定理的變形cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．出現(xiàn)以下兩種情況可以考慮用余弦定理解答．(1)已知一個三角形的兩邊及其夾角；(2)條件中出現(xiàn)了余弦定理的局部或變形，如a2＋b2，a＋b，ab，cosA等．3．三角形的元素與解三角形(1)三角形的元素我們把三角形的三個角和三條邊叫作三角形的元素．(2)解三角形已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫作解三角形．4．正弦定理條件在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c結(jié)論eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)文字?jǐn)⑹鋈切蔚母鬟吪c它所對角的正弦的比相等5．正弦定理的變形若R為△ABC外接圓的半徑，則(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC．(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c.(4)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R.6．已知三角形的哪幾個元素，可以用正弦定理解相應(yīng)三角形？①已知三角形的任意兩角和一邊，求其他兩邊和另一角．②已知三角形的任意兩邊和其中一邊的對角，求另一邊及另兩角．7．實(shí)際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語名稱定義圖示基線在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫作基線仰角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角俯角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角(指定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)南偏西60°(指以正南方向為始邊，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的角)方位角從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角8.解三角形應(yīng)用題的基本步驟(1)分析：理解題意，弄清已知與未知，畫出示意圖(一個或幾個三角形).(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與待求量盡可能地集中在同一個三角形中，建立一個解三角形的數(shù)學(xué)模型．(3)求【解析】利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解．(4)檢驗：檢驗所求的解是否符合實(shí)際問題，從而得出實(shí)際問題的解．9．三角形的面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha＝eq\f(1,2)b·hb＝eq\f(1,2)c·hc(ha，hb，hc分別表示邊a，b，c上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsin B．(3)S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r為△ABC內(nèi)切圓的半徑).(4)三角形的面積公式S＝eq\f(1,2)absinC與原來的面積公式S＝eq\f(1,2)a·h(h為a邊上的高)的關(guān)系為h＝bsinC，實(shí)質(zhì)上bsinC就是△ABC中a邊上的高h(yuǎn).題型一已知兩邊及一角解三角形【例1】(1)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝()A．4eq\r(2) B．eq\r(30)C．eq\r(29) D．2eq\r(5)(2)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A．eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．3思維升華已知三角形的兩邊及一角解三角形的方法(1)已知兩邊及其夾角解三角形，可以先利用余弦定理直接求第三邊，再利用余弦定理的變形公式及三角形內(nèi)角和定理求其余兩角．(2)已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，可以利用余弦定理列出方程，運(yùn)用方程的思想求出第三邊，這樣可直接判斷取舍．鞏固訓(xùn)練1.已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝2，c＝2eq\r(3)，cosA＝eq\f(\r(3),2)，則b＝()A．4 B．3C．2或4 D．2或32.在△ABC中，已知A＝120°，a＝7，b＋c＝8，求b，c.題型二已知三邊(三邊關(guān)系)解三角形【例2】(1)在△ABC中，已知a＝3，b＝5，c＝eq\r(19)，則最大角與最小角的和為()A．90° B．120°C．135° D．150°(2)在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b－c)，則A＝()A．90° B．60°C．120° D．150°思維升華已知三角形的三邊解三角形的方法先利用余弦定理的變形公式求出一個角的余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理的變形公式求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角．[注意]若已知三角形三邊的比例關(guān)系，常根據(jù)比例的性質(zhì)引入k，從而轉(zhuǎn)化為已知三邊求解．鞏固訓(xùn)練1.在△ABC中，若a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，求△ABC的最大內(nèi)角的余弦值．題型三判斷三角形的形狀【例3】(1)若三條線段的長分別為5，6，7，則用這三條線段()A．能組成直角三角形 B．能組成銳角三角形C．能組成鈍角三角形 D．不能組成三角形(2)在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，試判斷△ABC的形狀．思維升華(1)判斷三角形形狀的基本思想和兩條思路(2)判斷三角形形狀時經(jīng)常用到以下結(jié)論①△ABC為直角三角形?a2＝b2＋c2或c2＝a2＋b2或b2＝a2＋c2.②△ABC為銳角三角形?a2＋b2＞c2且b2＋c2＞a2且c2＋a2＞b2.③△ABC為鈍角三角形?a2＋b2＜c2或b2＋c2＜a2或c2＋a2＜b2.④若sin2A＝sin2B，則A＝B或A＋B＝eq\f(π,2).鞏固訓(xùn)練1.在△ABC中，已知B＝60°，b2＝ac，則△ABC為()A．等邊三角形 B．鈍角三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形題型四余弦定理的綜合應(yīng)用【例4】已知△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.(1)證明：acosB＋bcosA＝c；(2)在①eq\f(2c－b,cosB)＝eq\f(a,cosA)；②ccosA＝2bcosA－acosC；③2a－eq\f(bcosC,cosA)＝eq\f(ccosB,cosA)這三個條件中任選一個補(bǔ)充在下面問題中，并解答．若a＝7，b＝5，________，求△ABC的周長．思維升華在利用余弦定理解決綜合問題時，如果是實(shí)際問題，應(yīng)該首先抽象出數(shù)學(xué)模型，也就是轉(zhuǎn)化到哪些三角形中，再利用余弦定理解決問題．鞏固訓(xùn)練1.已知A船在燈塔C北偏東80°處，且A到C的距離為2km，B船在燈塔C北偏西40°處，且A，B兩船的距離為3km，則B到C的距離為________km.題型五已知兩角及一邊解三角形【例5】在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解這個三角形．思維升華已知三角形的兩角和任意一邊解三角形的思路(1)若所給邊是已知角的對邊時，可由正弦定理求另一角所對的邊，再由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角．(2)若所給邊不是已知角的對邊時，先由三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，再由正弦定理求另外兩邊．鞏固訓(xùn)練1．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若B＝45°，C＝60°，c＝1，則△ABC最短邊的邊長等于()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(6),2)C．eq\f(1,2) D．eq\f(\r(3),2)2．在△ABC中，A＝60°，sinB＝eq\f(1,2)，a＝3，求三角形中其他邊與角的大?。}型六已知兩邊及其中一邊的對角解三角形【例6】已知△ABC中的下列條件，解三角形：(1)a＝10，b＝20，A＝60°；(2)a＝2，c＝eq\r(6)，C＝eq\f(π,3).思維升華已知兩邊及其中一邊的對角解三角形的思路(1)首先由正弦定理求出另一邊對角的正弦值．(2)如果已知的角為大邊所對的角時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角．(3)如果已知的角為小邊所對的角時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．鞏固訓(xùn)練1．已知△ABC中，a＝2，c＝eq\r(6)，A＝eq\f(π,4)，求C，B,b.2．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝3，b＝6，sinA＝eq\f(\r(3),4)，則B＝()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)3．已知在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是()A．x>2 B．x<2C．2<x<2eq\r(2) D．2<x<2eq\r(3)題型七判斷三角形的形狀【例7】已知在△ABC中，角A，B所對的邊分別是a和b，若acosB＝bcosA，則△ABC一定是()A．等腰三角形 B．等邊三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形思維升華判斷三角形形狀的兩種途徑[注意]在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項提取公因式，以免漏解．鞏固訓(xùn)練1．已知a，b，c分別是△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊，滿足eq\f(a,cosA)＝eq\f(b,cosB)＝eq\f(c,cosC)，則△ABC的形狀是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形2．在△ABC中，若(a－acosB)sinB＝(b－ccosC)sinA，試判斷△ABC的形狀．題型八正弦定理的綜合應(yīng)用【例8】如圖，已知一艘船以30nmile/h的速度往北偏東15°的A島行駛，計劃到達(dá)A島后停留10min后繼續(xù)駛往B島，B島在A島的北偏西60°的方向上．船到達(dá)C處時是上午10時整，此時測得B島在北偏西30°的方向，經(jīng)過20min到達(dá)D處測得B島在北偏西45°的方向，如果一切正常的話，此船約何時能到達(dá)B島？(eq\r(3)≈1.732，eq\r(6)≈2.45)思維升華利用正弦定理解決綜合問題時，如果是實(shí)際問題，應(yīng)首先轉(zhuǎn)化為解三角形的問題，然后再分析清楚在哪個三角形中，是利用正弦定理還是利用余弦定理解決問題．鞏固訓(xùn)練1.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝a(sinC＋cosC).(1)求A；(2)在①a＝2，②B＝eq\f(π,3)，③c＝eq\r(2)b這三個條件中，選出兩個使△ABC唯一確定的條件補(bǔ)充在下面的問題中，并解答問題，若________，________，求△ABC的面積．題型九測量距離問題【例9】海上A，B兩個小島相距10nmile，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是________．思維升華測量距離問題的解題思路選擇合適的輔助測量點(diǎn)，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正、余弦定理求解．構(gòu)造數(shù)學(xué)模型時，盡量把已知元素放在同一個三角形中．鞏固訓(xùn)練1．要測量河對岸A，B兩點(diǎn)之間的距離，選取相距eq\r(3)km的C，D兩點(diǎn)，并測得∠BCA＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則AB＝()A．2km B．eq\r(5)kmC．3km D．eq\r(6)km2．如圖，若小河兩岸平行，為了知道河對岸兩棵樹C，D(CD與河岸平行)之間的距離，選取岸邊兩點(diǎn)A，B(AB與河岸平行)，測得數(shù)據(jù)：AB＝6m，∠ABD＝60°，∠DBC＝90°，∠DAB＝75°，試求C，D之間的距離．題型十測量高度問題【例10】如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達(dá)B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.思維升華測量高度問題的解題思路這里要解決的主要是一些底部不能到達(dá)或者無法直接測量的物體的高度問題．常用正弦定理或余弦定理計算出物體的頂部或底部到一個可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．這類物體高度的測量是在與地面垂直的豎直平面內(nèi)構(gòu)造三角形或者在空間構(gòu)造三棱錐，再依據(jù)條件利用正、余弦定理解其中的一個或者幾個三角形，從而求出所需測量物體的高度．鞏固訓(xùn)練1.如圖，要在山坡上A，B兩處測量與地面垂直的鐵塔CD的高，由A，B兩處測得塔頂C的仰角分別為60°和45°，AB長為40m，斜坡與水平面成30°角，則鐵塔CD的高為________m.題型十一測量角度問題【例11】如圖，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處(eq\r(3