福建省廈門市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期1月期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題

廈門市20232024學(xué)年第一學(xué)期高二年級(jí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題滿分：150分考試時(shí)間：120分鐘考生注意：1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名填寫在答題卡上?？忌J(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考試科目”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將答題卡交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知等比數(shù)列滿足，，則（）A. B. C.3 D.2.已知直線的傾斜角為，直線過點(diǎn)，若，則在軸上的截距為（）A. B. C.2 D.3.點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（）A. B. C. D.4.在四棱錐中，底面為平行四邊形，點(diǎn)滿足，則（）A. B.C. D.5.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為（）A. B. C. D.16.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，上一點(diǎn)滿足，為線段的中垂線與的交點(diǎn)，若的周長為，則的離心率為（）A. B. C. D.7.已知梯形中，，，，，.如圖，將沿對(duì)角線翻折至，使得，則異面直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.8.拋物線有一個(gè)重要的性質(zhì)：從焦點(diǎn)出發(fā)的光線，經(jīng)過拋物線上的一點(diǎn)反射后，反射光線平行于拋物線的對(duì)稱軸，此時(shí)反射面為拋物線在該點(diǎn)處的切線.過拋物線上的一點(diǎn)（異于原點(diǎn)）作的切線，過作的平行線交（為的焦點(diǎn)）于點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知集合，.若，則實(shí)數(shù)可以為（）A.0 B. C.1 D.210.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)，分別是和的中點(diǎn)，則（）A.B.C.點(diǎn)到平面的距離為D.直線與平面所成角的正弦值為11.已知曲線，其中，則（）A.存在使得為圓B.存在使得為兩條直線C.若為雙曲線，則越大，的離心率越大D.若為橢圓，則越大，的離心率越大12.若數(shù)列滿足，則（）A.數(shù)列是等比數(shù)列B.當(dāng)時(shí)，的所有可能取值的和為6C.當(dāng)時(shí)，的取值有10種可能D.當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，，三點(diǎn)共線，則______.14.已知拋物線的焦點(diǎn)為，是上一點(diǎn)，的面積為2，則______.15.已知圓和圓，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓，圓的切線，（，為切點(diǎn)），且，則的最大值為______.16.已知直線與直線，點(diǎn)是與軸的交點(diǎn).過作軸的垂線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，過作軸的垂線交于點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，可得到一系列點(diǎn)，，則______；設(shè)的坐標(biāo)為，則數(shù)列的前項(xiàng)和為______.（本題第一空2分，第二空3分）四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（10分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，滿足，.（1）求；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.18.（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足.（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)的直線與交于，兩點(diǎn)，，求的方程.19.（12分）已知雙曲線的左頂點(diǎn)為，為上（異于）一點(diǎn).（1）已知點(diǎn)，求當(dāng)取得最小值時(shí)直線的方程；（2）若直線與直線交于點(diǎn)，證明：為定值.20.（12分）某工廠去年12月試產(chǎn)了1000個(gè)電子產(chǎn)品，產(chǎn)品合格率為0.85.從今年1月開始，工廠在接下來的一年中將生產(chǎn)這款產(chǎn)品，1月按去年12月的產(chǎn)量和產(chǎn)品合格率生產(chǎn)，以后每月的產(chǎn)量都在前一個(gè)月的基礎(chǔ)上提高，產(chǎn)品合格率比前一個(gè)月增加0.01.（1）求今年2月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量，并判斷哪個(gè)月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品的數(shù)量最多；（2）求該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品的數(shù)量.參考數(shù)據(jù)：，.21.（12分）如圖，在平行六面體中，平面，，，.（1）求證：；（2）線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面的夾角為？若存在，求的長；若不存在，請(qǐng)說明理由.22.（12分）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，上不同兩點(diǎn)，滿足，當(dāng)時(shí)，.（1）求的方程；（2）設(shè)直線，交于點(diǎn)，已知的面積為1，求與的面積之和.廈門市20232024學(xué)年度第一學(xué)期高二年級(jí)質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1~4：CDAC 5~8：CBCB8.提示：思路1：如圖，由光學(xué)性質(zhì)可知：軸，，又，所以，因?yàn)檩S，，則有，所以，即，由三角不等式可得即（點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓除去，）.思路2：設(shè)，，易求得，所以，，聯(lián)立方程可求得，所以.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.ABC 10.BC 11.ABC 12.BCD12.提示：選項(xiàng)A：取，則，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，則或，所以，其中，，，，…，，化簡可得：，其中，，，，…，，當(dāng)時(shí)，的取值共有種，其和，選項(xiàng)B，C正確；由可得，即，所以，累加可得，故選項(xiàng)D正確.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.1 14.515. 16.8，（或）16.提示：，，則，，則，即，所以，所以，所以，，所以的前項(xiàng)和為.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.解法一：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，據(jù)題意，，所以①又因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，即②由①②可知，，，即.經(jīng)檢驗(yàn)，滿足，所以（2）因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以?shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，所以，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為解法二：（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，據(jù)題意，，所以①因?yàn)?，所以，化簡得②由①②可知，，，所以?）同解法一.18.解：（1）設(shè)，因?yàn)樗曰喌?，所以點(diǎn)的軌跡的方程為（2）因?yàn)?，，所以圓心到直線的距離①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，與圓無交點(diǎn)，舍去；②當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)，即所以，解得所以的方程為或19.解法一：（1）設(shè)，其中，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為，此時(shí)，所以直線的方程為或（2）設(shè)，，則直線的方程為：，所以所以，所以為定值解法二：（1）同解法一；（2）設(shè)直線的方程為：，顯然存在，聯(lián)立方程，化簡可得：，由韋達(dá)定理可知：，所以，可求得所以，所以為定值20.解：（1）記從今年1月起，第月的產(chǎn)量為，第月的產(chǎn)品合格率為.由題可知，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比，數(shù)列為等差數(shù)列，首項(xiàng)，公差，所以，所以今年2月份生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為設(shè)第月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)為，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，即5月或6月生產(chǎn)的不合格產(chǎn)品數(shù)最多（2）設(shè)今年前個(gè)月生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)為，則所以①②①－②得所以，即該工廠今年全年生產(chǎn)的合格產(chǎn)品總數(shù)約為19604個(gè)21.解法一：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以因?yàn)?，所以又因?yàn)?，所以，化簡得所以，所以?）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件.因?yàn)槠矫妫?，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，，設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，得，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量由，得，令，得，所以所以，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，即，解得又因?yàn)?，所以舍去，所以線段上不存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為解法二：在平面內(nèi)過點(diǎn)作的垂線，垂足為，以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，，，（1）設(shè)，則，所以，由得，所以又因?yàn)?，所以，解得所以，，，，所以，所以?）由（1）得平面的一個(gè)法向量為假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)，則設(shè)平面的一個(gè)法向量為由，得，令，則，，所以所以，因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，即，解得又因?yàn)?，所以舍去，所以線段上不存在點(diǎn)使得平面與平面的夾角為解法三：（1）在平面中，過作的垂線，垂足為，連結(jié)交于.因?yàn)槠矫?，平面，所以因?yàn)?，所以平面又因?yàn)槠矫?，所以因?yàn)椋?，所以平面因?yàn)槠矫妫?則所以，所以，所以在中，，，，所以在中，，，，所以在中，，，，所以，所以所以（2）同解法一.22.解法一：（1）當(dāng)時(shí)，，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為矩形，即軸，所以，所以，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)?，所以，由?duì)稱性，不妨設(shè)，，由，可得又，所以延長交于點(diǎn)，易知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線，顯然存在，設(shè)，，，聯(lián)立方程，化簡可得：所以，，直線，直線，所以，即，所以，即，所以，代入韋達(dá)定理可得：，解得由可得，所以解法二：（1）當(dāng)時(shí)，，則四邊形為平行四邊形，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為矩形，即軸，所以，，即，，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（2）因?yàn)椋?，由?duì)稱性，不妨設(shè)，，由，可得又，，所以延長交于點(diǎn)，易知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線，顯然存在，設(shè)，，，聯(lián)立方程，化簡可得：所以，，因?yàn)?，所以，同理所以，即代入消可得：，即，即，所以解法三：?）同解法一；（2）由對(duì)稱性可知，不妨設(shè)，由，可得，延長交于點(diǎn)，易知，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)直線，顯然存在，，，，聯(lián)立方程，化簡可得可得，，由，，、，，三點(diǎn)共線可得所以，即，即，所以，，代入韋達(dá)定理可得：，解得如圖可知：，所以，所以解法四：（1）同解法一；（2）